Процес вивчення геометричних величин в основній школі

Размещено на http://www.allbest.ru

ЗМІСТ

геометричний довжина площа величина

ВСТУП

РОЗДІЛ I. ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ ДО ТЕТИ «ПРИКЛАДНА СПРЯМОВАНІСТЬ ВИВЧЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ВЕЛИЧИН В ОСНОВНІЙ ШКОЛІ»

1.1 Особливості прикладної спрямованості шкільного курсу геометрії

1.2 Роль і місце вивчення геометричних величин, їх вимірювань у процесі навчання

1.3 Прикладна спрямованість вивчення довжин у курсі геометрії основної школи

1.4 Прикладна спрямованість вивчення величин кутів у курсі геометрії основної школи

1.5 Прикладна спрямованість вивчення площ фігур у курсі геометрії основної школи

1.6 Аналіз діючих підручників з геометрії основної школи

РОЗДІЛ II. МЕТОДИКА ВИВЧЕННЯ ПРИКЛАДНОЇ СПРЯМОВАНОСТІ ГЕОМЕТРИЧНИХ ВЕЛИЧИН В КУРСІ ГЕОМЕТРІЇ ОСНОВНОЇ ШКОЛИ

2.1 Методика вивчення прикладної спрямованості довжин в курсі геометрії основної школи

2.2 Методика вивчення прикладної спрямованості величин кутів в курсі геометрії основної школи

2.3 Методика вивчення прикладної спрямованості площ фігур в курсі геометрії основної школи

2.4 Педагогічний експеримент

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ



ВСТУП

Актуальність теми. Однією з найважливіших проблем сьогодні в нашій країні є проблема освіти, сутність якої полягає в тому, що в учнів знизився інтерес до вивчення, як усіх предметів, так і математики, зокрема. Тому мета роботи полягає у підвищенні інтересу до математики за рахунок використання прикладних задач, які виникають за межами математики, але їх розв'язування вимагає застосування математичного апарату. Такі задачі стимулюють учнів до здобуття нових знань, збагачують їх теоретичними і практичними знаннями. У процесі навчання важливо досягти розуміння школярами того факту, що математичні поняття, з якими вони оперують на уроках, є абстракціями реальних явищ та процесів навколишнього світу.

Уявлення учнів про взаємозв'язок геометрії і навколишнього світу досягається поєднанням теоретичного і сучасних прикладних аспектів шкільного курсу геометрії. Цьому сприяє й той факт, що в програмі та навчальних посібниках відображені внутрішньо предметні та міжпредметні зв'язки. Великий інтерес представляють ті поняття, які знаходять застосування у кількох шкільних предметах. Одним з таких понять є поняття величини.

Величина - одне з основних математичних понять. Прикладна спрямованість вивчення в курсі математики основної школи величин і їх вимірювань має велике значення в плані розвитку школярів.

Сутність прикладної спрямованості шкільного курсу математики полягає в орієнтації цілей, змісту і засобів навчання математики у напрямку:

· здійснення цілеспрямованих змістових і методологічних зв'язків математики з практикою;

· набуття учнями у процесі математичного моделювання знань, умінь і навичок, які будуть використовуватись ними у повсякденному житті, в майбутній професійній діяльності.

Через поняття величини описуються реальні властивості предметів і явищ, відбувається пізнання навколишньої дійсності; знайомство з залежностями між величинами допомагає створити у дітей цілісні уявлення про навколишній світ; вивчення процесу вимірювання величин сприяє набуттю практичних умінь і навичок необхідних людині в її повсякденній діяльності.

Об'єкт дослідження: процес вивчення геометричних величин в основній школі

Предмет дослідження: прикладна спрямованість вивчення геометричних величин, а саме: довжин, величин кутів, площ фігур.

Мета дослідження: розробити методику реалізації прикладної спрямованості в процесі вивченні геометричних величин в основній школі.

Завдання:

· проаналізувати навчальну, періодичну та енциклопедичну літературу, в якій розглядаються геометричні величини та прикладна спрямованість вивчення геометричних величин в основній школі;

· встановити особливості прикладної спрямованості при вивченні геометричних величин;

· встановити роль і місце величин, їх вимірювань в процесі навчання;

· описати методику реалізації прикладної спрямованості при вивченні геометричних величин в основній школі;

· скласти систему прикладних задач для шкільного курсу геометрії. вивчення геометричний довжина площа

Методи дослідження:

· синтез необхідних відомостей при вивченні прикладної спрямованості геометричних величин;

· абстрагування, як виділення суттєвого та відокремлення від несуттєвого;

· узагальнення та систематизація отриманих даних.

Практичне значення: застосування набутих знань при вивченні прикладної спрямованості геометричних величин для поглибленого вивчення матеріалу шкілього курсу геометрії з метою забезпечення сприятливих умов для розвитку мислення, творчості, просторової уяви та розвитку всіх пізнавальних процесів.

Особистий внесок: узагальнено і систематизовано науково-методичну та навчальну літературу. Розкрито велику кількість науково-популярної літератури, в якій розглядаються питання щодо прикладної спрямованості шкільного курсу геометрії при вивченні геометричних величин, яку проаналізовано і використано в підготовці до даної роботи. Розроблено методику вивчення прикладної спрямованості геометричних велечин в курсі геометрії основної школи. Проведено педагогічний експеримент що до розв'язання учнями 9-тих класів задач прикладного характеру та оброблено його результати.

Застосування. Задачі прикладного характеру досить вдало доповнюють систему задач шкільного курсу математики і можуть використовуватись на різних етапах навчання і з різною метою. Прикладні задачі, які потребують знань про геометричні величини можуть зустрічатись в астрономії, фізиці, в мореплавстві, артилерії, картографії, техніці, геодезії і навіть у побуті.

Короткий виклад. Курсова робота складається з вступу, та двох розділів: РОЗДІЛ I. ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ ДО ТЕТИ «ПРИКЛАДНА СПРЯМОВАНІСТЬ ВИВЧЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ВЕЛИЧИН В ОСНОВНІЙ ШКОЛІ» (1.1. Особливості прикладної спрямованості шкільного курсу геометрії; 1.2. Роль і місце вивчення геометричних величин, їх вимірювань у процесі навчання; 1.3. Прикладна спрямованість вивчення довжин у курсі геометрії основної школи; 1.4. Прикладна спрямованість вивчення величин кутів у курсі геометрії основної школи; 1.5. Прикладна спрямованість вивчення площ фігур у курсі геометрії основної школи; 1.6. Аналіз діючих підручників з геометрії основної школи), РОЗДІЛ II. МЕТОДИКА ВИВЧЕННЯ ПРИКЛАДНОЇ СПРЯМОВАНОСТІ ГЕОМЕТРИЧНИХ ВЕЛИЧИН В КУРСІ ГЕОМЕТРІЇ ОСНОВНОЇ ШКОЛИ (2.1. Методика вивчення прикладної спрямованості довжин в курсі геометрії основної школи; 2.2. Методика вивчення прикладної спрямованості величин кутів в курсі геометрії основної школи; 2.3. Методика вивчення прикладної спрямованості площ фігур в курсі геометрії основної школи; 2.4. Педагогічний експеримент). Також висновків та списку використаних джерел.



РОЗДІЛ I. ТЕОРЕТИЧНІ ПОНЯТТЯ ДО ТЕТИ «ПРИКЛАДНА СПРЯМОВАНІСТЬ ВИВЧЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ВЕЛИЧИН В ОСНОВНІЙ ШКОЛІ»

1.1 Особливості прикладної спрямованості в шкільному курсі геометрії

Вперше означення поняття „прикладна спрямованість шкільного курсу математики” було запропоновано радянським педагогом-математиком В.В. Фірсовим. Згодом воно вдосконалювалось іншими вченими (Ю.М. Колягін, В.В. Пікан, З.І. Слєпкань, І.Ф. Тесленко, Г.П. Бевз, Б.В. Гнеденко). В найширшому розумінні сутність прикладної спрямованості шкільного курсу математики полягає в здійсненні цілеспрямованого, змістового та методологічного зв'язків математики з практикою та набуття учнями в процесі навчання математики знань, умінь і навичок, які будуть використовуватись ними в повсякденному житті, в навчанні, в майбутній професійній діяльності [1. 12 c. ].

Основним методом реалізації прикладної спрямованості шкільного курсу математики є метод математичного моделювання, а найбільш ефективним засобом - прикладні задачі, розв'язування яких потребує глибоких знань як з математики, так і з інших дисциплін.

Прикладними називаємо задачі, які виникають за межами математики, але розв'язування яких вимагає застосування математичного апарату.

Виділимо такі етапи математичного моделювання в процесі розв'язування прикладних задач:

· створення математичної моделі;

· дослідження математичної моделі;

· інтерпретація розв'язків.

Дослідження показують, що найбільш складним для учнів є перший етап. Це пов'язано, насамперед, з невмінням перекласти умову прикладної задачі з природної мови на мову математики та створити адекватну математичну модель, оскільки у більшості учнів розвинуте алгоритмічне мислення, що є перешкодою розвитку мислення творчого. Якщо ж учням запропонувати готову модель прикладної задачі (рівняння, систему рівнянь, функцію тощо), або допомогти створити її, то з розв'язанням учні справляються, як правило, добре. Менш успішним, порівняно з другим етапом, є третій етап. Учні не завжди можуть проінтерпретувати розв'язок математичної задачі як розв'язок прикладної задачі [17. 46 с. ]. Отже, в учнів необхідно спеціально формувати вміння застосовувати теоретичні знання для розв'язання конкретних практичних задач.

Деякі задачі ілюструють запозичений у природи принцип оптимізації трудової діяльності (мета: досягнення найбільшого ефекту з найменшими затратами), інші -- розвивають здібності учнів до технічної творчості (геометричні задачі на побудову тощо).

Розв'язування прикладних задач сприяє ознайомленню учнів із роботою підприємств і галузей господарства, що є умовою орієнтації інтересу учнів до вибору майбутньої професії. Використання прикладних задач дозволяє вдало створювати проблемні ситуації на уроці (наприклад, чому більш вигідно будувати одноповерхові будинки з квадратною основою, ніж із основою у вигляді іншого прямокутника з таким самим периметром тощо). Такі задачі стимулюють учнів до здобуття нових знань, збагачують учнів теоретичними знаннями з технічних та інших дисциплін.

Цікавим і перспективним є спосіб проведення інтегрованих уроків як демонстрації зв'язку математики з іншими науками. Такі уроки сприяють встановленню логічних зв'язків між предметами, попереджають виникнення формалізму у знаннях учнів. Інтегровані уроки мають яскраво виражену прикладну спрямованість і тому викликають незаперечний пізнавальний інтерес учнів.

Наприклад, уроки математики можна інтегрувати з уроками трудового навчання в такому поєднанні: «Формули. Побудова креслень одягу», «Одиниці маси. Робота з харчовими продуктами. Приготування страв»; з уроками географії так: «Масштаб. Побудова плану шкільної території»; з уроками природознавства: «Симетрія. Симетрія в природі»; з уроками фізики: «Швидкість. Одиниці вимірювання швидкості»; з уроками історії: «Подорож у минуле геометрії», «Сім чудес світу» тощо.

Під час добору задач прикладного характеру доцільно дотримуватись певних вимог. Задача має демонструвати практичне застосування математичних ідей і методів та ілюструвати матеріал, що вивчається на певному уроці, містити відомі або інтуїтивно зрозумілі учням поняття й терміни, а також реальні числові дані, що не ведуть до громіздких обчислень. За таких умов використання прикладної задачі, складеної на матеріалах суміжних предметів, може дати потрібний педагогічний ефект.

Отже, задачі прикладного характеру досить вдало доповнюють систему задач шкільного курсу математики і можуть використовуватись на різних етапах навчання і з різною метою. Залучення учнів до розв'язування таких задач на уроках геометрії сприяє розвитку творчого мислення, свідомому, якісному засвоєнню навчального матеріалу, активізує навчально-пізнавальну діяльність, дозволяє здійснювати перенесення отриманих знань і умінь в ту чи іншу галузь, що у свою чергу, активізує інтерес до завдань прикладного характеру і вивчення математики в цілому.

1.2 Роль і місце вивчення геометричних величин, їх вимірювань у процесі навчання

Довжина, площа, маса, час, об'єм - це величини. Про зростання ролі величин у пізнанні природи говорить той факт, що вони проникають і є складовою частиною таких наук, як біологія, психологія, педагогіка, соціологія та ін. Але для математики і фізики поняття величини є найбільш характерним.

Без величин вивчення природи обмежувалося б лише спостереженнями і залишалося на описовому рівні. Саме кількісні моделі різних об'єктів, явищ найбільш описові. Характерним загальним поняттям для всіх моделей є поняття "величина".

Кожен об'єкт має багато різних властивостей, які відображені у відповідних величинах.

Властивість об'єкта	Відповідна величина
Інертність	маса
просторова протяжність	довжина
Перешкоду проходженню електричного струму	опір

Величини не існують самі по собі, як певні субстанції, відірвані від матеріальних об'єктів і їх властивостей. З іншого боку, величини в деякій мірі ідеалізують властивості об'єктів і явищ. У процесі абстракції завжди відбувається огрубіння дійсності, відволікання від ряду обставин. Тому величини - це не сама реальність, а лише її відображення. Але практика показує, що величини точно відбивають властивості навколишньої дійсності.

Розрізняють декілька видів величин: скалярні, векторні, тензорні. У шкільному навчанні знайшли широке застосування скалярні (величини, які цілком визначаються одним чисельним значенням. Такими, наприклад, є довжина, площа, об'єм, маса та інші.) і векторні величини.

Величини дозволяють перейти від описового до кількісного вивчення властивостей об'єктів, тобто математизувати знання про природу.

Величини тісно пов'язані з поняттям вимірювання. Виміри є одним із шляхів пізнання природи людиною, об'єднуючим теорію з практичною діяльністю людини. Роль і значення вимірювань у процесі розвитку природничих і технічних наук безперервно зростає, так як зростає кількість і якість різних вимірів величин.

Говорячи про геометричні величинах, слід чітко розрізняти саму геометричну фігуру, величину, і числове значення цієї величини. Наприклад:

Геометрична фігура	Величина	Значення величини
Відрізок АВ: А В	Довжина відрізка АВ: АВ = 4 см	Числове значення довжини відрізка АВ: 4

Відмінність довжини відрізка від числового значення довжини в тому, що перше залишається незмінним, а друге залежить від обраної одиниці виміру. [18. 146 - 153 с].

Поряд з вивченням конкретних величин в школі важливо, щоб учні отримали досить повне і в той же час доступне уявлення про:

· поняття величини, способи її вимірювання;

· роль і місце величин в пізнанні природи;

· властивості величини, її види;

· суть математичної обробки результатів вимірювань.

Розуміння цих питань сприяє формуванню в учнів наукового світогляду. Вивчаючи величини, учні знайомляться також з основними метрологічними поняттями: розмір, значення, розмірність величини, еталони одиниць вимірювання і т.д.

Вивчення залежностей між величинами дозволяє учням бачити не тільки якісні зв'язки різних сторін об'єктивної реальності, тобто на описовому рівні, а й оцінювати їх кількісно.

У процесі вивчення різних величин учні повинні знати не тільки їх числові характеристики, але і ті властивості об'єктів, які характеризуються даними величинами. [16. 10 c.]

Отже, вивчення геометричних величин в шкільному курсі геометрії має важливе значення для розвитку пізнавальних процесів особистості. Величини дозволяють перейти від описового до кількісного вивчення властивостей об'єктів, тобто математизувати знання про навколишній світ. Без величин вивчення природи обмежувалося б лише спостереженнями і залишалося б на описовому рівні. Розуміння поняття величин та їх вимірюваннь сприяє формуванню в учнів наукового світогляду. Виміри є одним із шляхів пізнання природи людиною, об'єднуючи теорію з її практичною діяльністю.

1.3 Прикладна спрямованість вивчення довжин у курсі геометрії основної школи

У традиційній школі вивчення величин починається з довжини предметів.

Перші уявлення про довжину, як про властивість предметів, у дітей виникає задовго до школи. З перших днів навчання у школі ставиться завдання уточнити просторові поняття дітей. Важливим кроком у формуванні даного поняття є знайомство з прямою лінією і відрізком, як «носієм» лінійної протяжності, позбавленим, по суті, інших властивостей.

Про походження поняття «відрізок» говорить навіть його назва. Очевидно, що перш ніж учені ввели в геометрію це поняття, людям неодноразово доводилося відрізувати куски палиць, мотузок тощо.

Рис. 1.2

Прикладний - прикладений до діла, той, що має практичне значення, у свою чергу практичний - це той, що відноситься до області життєвого досвіду, реальних потреб. Спрямованість - зосередженість думок, інтересів, направлених на досягнення певної мети [2. 4 c. ]. Тож потрібно щоб учні вміли порівнювати різні предмети, їх довжину, для цього вчитель повинен наводити різноманітні приклади, які зустрічаються в нашому житті.

Рис. 1.3

Спочатку учні порівнюють предмети за довжиною, не вимірюючи їх. Роблять вони це накладенням (додатком) та візуально («на око»). Доцільно показати учням плакат, що ілюструє зв'язок геометричного поняття «відрізок» з об'єктами матеріального світу (рис. 1.3). Наприклад, учням пропонується розглянути малюнки і відповісти на питання: «Яка відстань довша, а яка коротша?» (рис. 1.2).

Для практичних цілей часто виникає необхідність проводити геометричні побудови на місцевості. Такі побудови потрібні і при будівництві будівель, і при прокладанні доріг, і при різних вимірах об'єктів на місцевості. Можна подумати, що робота на рівній поверхні землі нічим, по суті, не відрізняється від роботи циркулем і лінійкою на звичайному аркуші паперу. Це не зовсім так. Адже на папері циркулем ми можемо проводити будь-які окружності або їх дуги, а лінійкою - будь-які прямі. На місцевості ж, де відстані між точками досить великі, для подібних дій знадобилася б довга мотузка або величезна лінійка, які не завжди є під руками. Та й взагалі креслити прямо на землі, які б то не було лінії-дуги або прямі - представляється досить складним. [10. 89 - 91 c. ]Таким чином, побудови на місцевості мають свою специфіку та сприяють розумовій діяльності школярів.

Необхідно відмовитися від проведення справжніх прямих на землі. Будемо ці прямі прокладати, наприклад, кілочками, досить густу мережу точок. Для практичних потреб цього зазвичай вистачає, оскільки пересування по прямій від одного кілочка до іншого, розташованому на близькій відстані від першого, - дія, цілком здійсненне. Такі способи вимірювання на місцевості вчителі повинні проводити з своїми учнями, що розвиває в них просторову уяву та мислення в цілому. [10. 92 c. ]

Вимірювати довжину відрізків лінійкою з поділками учні починають ще в 1-му класі. У 7-му класі слід нагадати як це робиться. У крамницях довжину тканини відмірююсь суцільними дерев'яним або металевим метром; швачки, кравці користуються клейончастою сантиметровою стрічкою; теслярі, слюсарі - складним метром; будівельники, геодезисти - рулеткою; землеміри- польовим циркулем (сажнем).

Бажано показати семикласникам кожний з цих вимірювальних інструментів і розповісти, як ними користуватись.

Слюсарі, токарі, фрезерувальники розміри деталей визначають штангенциркулем (рис. 1.3), а якщо потрібна особливо висока точність,- мікрометром (рис. 1.4).

Дерев'яним інструментом подібним до штангенциркуля, лісники вимірюють діаметри дерев. Учням можна показувати ці прилади, але спеціально розглядати будову їх на уроці геометрії не обов'язково.



1.4 Прикладна спрямованість вивчення величин кутів в курсі геометрії основної школи

Висока ефективність прикладної спрямованості навчання ні в кого з науковців та вчителів сучасної школи не викликає сумніву, однак його використання в шкільній практиці -- явище не таке вже й часте. Однією з причин цього є порівняно складна технологія його реалізації. Треба зазначити, що у педагогічній літературі дуже мало задач на прикладну спрямованість, виняток не становить вивчення кутів в шкільному курсі геометрії.

При вивченні кутів, діти повинні мати чітке уявлення про кут та знати його основні властивості.

Традиційно, в основній школі поняття кута можна сформулювати так:

кут - геометрична фігура, утворена двома променями (сторонами кута), які виходять з одної точки, що називається вершиною кута.

Ряд практичних задач приводить до доцільності розглядати кут як фігуру, що утворюється при обертанні фіксованого променя навколо точки О (з якої виходить промінь) до заданого положення. У цьому випадку кут є мірою повороту променя.

У процесі навчання важливо досягти розуміння школярами того факту, що геометричні поняття, з якими вони оперують на уроках геометрії (кути, площі, довжини), є абстракціями реальних явищ та процесів навколишнього світу. Кожен школяр повинен розуміти глибокий зміст мудрих слів Галілея: «Велика книга природи написана на мові математики».[2. 24 - 28 c.]

Для того, щоб учні вміли застосовувати свої знання в повсякденному житті, набуті під час вивчення даної теми, вони добре повинні володіти даним матеріалом. Лише за таких умов діти зможуть розв'язати прикладну задачу. Так, наприклад шофер повинен уміти визначати кути підйому і спуску, читати відповідні позначення на дорожніх знаках і, звичайно ж, - знати кутові характеристики своєї машини. Для кожного автомобіля характерні передній і задній кути звису (рис 1.5). Наприклад, для автомобіля ГАЗ-24 «Волга» вони відповідно дорівнюють 30° і 18°, а для автомобіля ВАЗ-2121 «Нива» - 40° і 32°.

Рис. 1.5

Мірою кутів характеризується багато сільськогосподарських машин, особливо їх ріжучі частини. Наприклад, лапи культиваторів, що підрізують бур'яни в ґрунті, виготовляються такими, що кут між ріжучими кромка-ми дорівнює або 60°, або дещо менше. [2. 31 c.]

Якщо у класі є діти, які займаються певним видом спорту, вчитель може спонукати учнів до вивчення геометрії зацікавивши їх тим, що навіть у спорті кут має велике значення, наприклад: у відповідальних іграх хокеїстам не дозволяють грати клюжками, кути яких відрізняються від 138° більше, ніж на 2° тощо.

Рис. 1.6

З кутами мають справу геодезисти, маркшейдери, рідоти, штурмани, артилеристи, інженери, слюсарі, токарі, фрезерувальники, будівельники і багато інших фахівців. Для геодезистів і маркшейдерів кут -- найваж-ливіший параметр; щодня вони або вимірюють десятки кутів, або вико-нують обчислення з великою кількістю кутів.

У шкільному курсі геометрії кути вимірюються градусами за допомогою транспортирів (рис. 1.6 ). З невеликою точністю кути на місцевості можна визначати, користуючись компасом або годинником із звичайним циферблатом (рис. 1.7).

Рис. 1.7

Прямий кут можна навіть неозброєним оком побачити в будь-якому приміщенні. Відрізки перпендикулярних прямих (точніше, матеріальні моделі їх) можна побачити в кожному будинку, в кожній кімнаті. Будь-який пред-мет, що має форму прямокутника або прямокутного паралелепіпеда (двері, цеглина, стіна, шафа тощо), містить взаємно перпендикулярні сторони або ребра.

Дорогу рекомендується переходити перпендикулярно до її осі. Сад, поле звичайно обробляють у двох взаємно перпендикулярних напрямах.

Кожна лінія в зошиті в клітинку перпендикулярна до кожної з тих, що її перетинає. За допомогою такої сітки прямих добре ілюструвати теорем; про те, що коли пряма перпендикулярна до однієї з паралельних прямих: то вона перпендикулярна і до другої.

Прикладний зміст теми «Кути» може проявлятися в таких аспектах, як вимірювання на місцевості, задачі геодезії, астрономічні обчислення, задачі техніки та практики, системи вимірювання кутів (в мореплавстві, астрономії, артилерії, картографії, техніці), обертальний рух в техніці, обертальний рух в навколишньому середовищі тощо.

Задача №2. (Прикладний зміст теми: обертальний рух у навколишньому середовищі). На скільки градусів повертається годинна стрілка протягом трьох діб? А хвилинна стрілка?

Вказівки до розв'язання. Протягом доби годинна стрілка здійснює два повні оберти, повертаючись на . За три доби ця стрілка повернеться на кут. За одну годину хвилинна стрілка повертається на . Тоді за три доби (72 години) вона повернеться на кут .

Наведемо приклад прикладної задачі на застосування другої ознаки рівності трикутників (за стороною і прилеглими до неї кутами).

Рис. 1.8

Задача №3. Визначити відстань між пунктами А і В за умови, що до пункту А підійти можна, а до пункту В -- не можна (наприклад, між деревами А і В, що розміщені на різних берегах річки).

Розв'язання. Відкладемо на одному з берегів відрізок АС, виміряємо

довжину АС і кути ВАС і ВСА (рис. 1.8).

Рис. 1.9

Потім в іншій півплощині від прямої АС відкладаємо кути , які дорівнюють відповідно кутам САВ і АСВ, і знаходимо точку перетину променів . За другою ознакою , тому, вимірявши довжину дістанемо шукану відстань АВ.

Звичайно, цю задачу можна розв'язати й іншими способами. Наприклад, визначивши середину М відрізка АС, знаходимо таку точку на прямій ВМ, щоб (рис. 1.9).

і Тоді за другою ознакою рівності трикутників , і отже, . Вимірявши , дістанемо шукану відстань АВ. [2. 34 - 37 c. ]

Отже, прикладні задачі належать до основних засобів, які розкривають прикладний зміст навчального матеріалу. Розв'язування прикладних задач дає можливість активізувати навчальну діяльність учнів, пробудити та закріпити в них інтерес до вивчення геометрії.



1.5 Прикладна спрямованість вивчення площ фігур в курсі геометрії основної школи

У процесі вивченні теми «Площі фігур» діти спочатку ознайомлюються з самим поняттям площі, потім вивчають площу прямокутника, паралелограма, трикутника, трапеції, площі подібних фігур та площу круга.

Взагалі, для простих фігур площа - це додатна величина, числове значення якої має такі властивості:

1) рівні фігури мають рівні площі;

2) якщо фігура розбивається на частини, що є простими фігурами, то площа цієї фігури дорівнює сумі площ її частин;

3) площа квадрата із стороною, що дорівнює одиниці вимірювання, дорівнює одиниці. [5. 167 c. ]

Слово «площа» має кілька значень. Ним називають і частину міської території, наприклад, площа Перемоги у Києві. Говорять також про житлову площу, посівну площу. У геометрії площа -- одна з величин. Раніше площею називали певну числову характеристику тільки плоскої фігури. Не випадково слова «площа» і «площина» одного кореня. Нині ці поняття слід розрізняти.

Учні мають добре знати співвідношення між одиницями площ:

1 м² = 100 дм² = 1000 см² = 1000 000 мм².

Площі полів, лісів, ставків вимірюють звичайно в гектарах. Соту частину гектара -- ар -- у побуті називають соткою.

1 га = 100 а = 10 000 м² = 0,01 км².

Найпростішою фігурою щодо обчислення її площі є прямокутник, площа якого обчислюється за формулою:

S = ab,

де а і b -- довжина і ширина сторін прямокутника.

Учні повинні розуміти, що для того, щоб обчислити житлову площу квартири, треба знайти площу кожної кімнати. Щоб дізнатися, скільки квадратних метрів обштукатурив штукатур, пофарбував маляр, треба визначити площу стіни, стелі, дверей, вікон, підлоги тощо, а вони, за деяким винятком, мають форму прямокутників.

Щоб побудувати математичну модель подібної задачі школярі повинні добре володіти основним матеріалом з даної теми. Але не кожному учневі це під силу, тому вчителеві часто доводиться наштовхувати учнів на правильний хід думок.

Зрозуміло, що площі полів, підлоги, стін, стелі та інших подібних об'єктів на практиці обчислюють наближено, інколи навіть «на око». Непогано, якщо й учні матимуть у цьому хоч деякі навички, наприклад, зуміють «прикинути», яка площа класної кімнати, спортивного майданчика, футбольного поля тощо, тому при прогулянках чи екскурсіях, для кращого розвитку розумової діяльності учнів, потрібно тренувати навики учнів шляхом наближеного вимірювання площ.

Слід звернути увагу учнів на те, що в польових умовах далеко не завжди можна вимірювати і обчислювати площі так, як це робиться на папері. Якщо, наприклад, на полі, що має форму трапеції, колоситься пшениця, топтати її, щоб виміряти безпосередньо висоту цієї трапеції, ніхто не буде. І якщо на аркуші паперу легко визначити точку перетину двох будь-яких непаралельних прямих, то в польових умовах це зробити нелегко, а інколи неможливо. Вимірюючи площі земельних ділянок, звичайно йдуть по контуру. Для вимірювання найчастіше користуються польовим циркулем, значно рідше -- кутомірними інструментами.

Клас задач, що розв'язують землеміри-обліковці, набагато ширший. Розглянемо конкретну задачу.

Від поля ABCD, що має форму майже рівнобічної трапеції (рис. 1.10), треба відміряти його частину ABQP також у формі трапеції, щоб її площа дорівнювала 1 га.

Рис. 1.10

Задача зводиться до визначення на відрізках АD і ВС точок Р і Q так щоб чотирикутник ABQP був трапецією площею 1 га. Як це зробити?

На папері учень може добудувати цю трапецію до трикутника, може провести паралельно АВ відрізок PQ, виміряти його довжину тощо. У практиці землеміра такі методи незастосовні. Та вони й не потрібні, оскільки для практичних потреб досить знайти наближений розв'язок задачі (можна з точністю до 1 м). Звичайно, учень не зважиться за висоту трапеції AВ взяти довжину її бічної сторони АР, оскільки «висота рівнобічної трапеції не дорівнює її бічній стороні». Тому він настільки ускладнює розв'язання задачі, що, заплутуючись у ньому, інколи припускається помилок, які спотворюють відповідь у кілька разів. Землемір також знає, що висота рівнобічної трапеції не дорівнює її бічній стороні. Але він знає й інше: у подібних випадках висота трапеції відрізняється від її бічної сторони не більше на 1 м. Тому він створює найпростішу модель задачі, прийнявши трапецію ABQP за прямокутник:

270 * АР = 10 000, АР= 37 м.

Для практичних потреб така точність достатня. А якщо треба уточнити результат, можна «прикинути», що АР становить приблизно частину AD. Отже,

PQ = 270 + (308 - 270) 280 .

Тоді звідки АР 36 м. Але оскільки АР все таки дещо більша за висоту трапеції ABQP, краще відміряти АР = 37 м.

Велике значення має й час, який можна відвести на розв'язування задачі. Буває так, що відповіді чекають багато робітників і машин, терплять зволікання обставини. У таких умовах краще знайти наближений розв'язок, але своєчасно, ніж точний на той час, коли він уже потрібен.

На такі наближені методи розв'язування прикладних задач також варто звертати увагу учнів. Не тільки наближені обчислення, а й наближені моделі задач у житті мають велике значення.

Про те, що площі подібних фігур відносяться як квадрати відповідних лінійних розмірів, корисно знати для розв'язування прикладних задач. Наприклад: на плані з масштабом 1:10 000 площа поля дорівнює приблизно . Яка площа поля на місцевості? [2. 67 - 69 c. ]

Площу круга визначають багато фахівців. Щоб знайти площу лінзи телескопа чи інших подібних речей треба вміти визначати площу круга. Заготівельники лісу так часто мають справу з площами кругів, що користуються спеціальними таблицями, в яких для різних діаметрів стовбурів дерев наведено площі їх перерізів. Навіть щоб визначити, скільки квітів слід заготовити для висаджування на круглій клумбі потрібно обчислювати площу круга.

Але не тільки площі кругів обчислюють фахівці-практики. Нерідко виникає потреба знайти площу кругового сектора, сегмента, кільця або якої- небудь складнішої фігури.

Отже, прикладні задачі при вивченні теми «Площі фігур» сприяють розвитку мислення учнів і є невід'ємною частиною навчального процесу, адже побудова математичної моделі, її дослідження та інтерпретація даних потребує великих знань і досвіду самих учнів.

1.6 Аналіз діючих підручників з геометрії основної школи

Проаналізувавши діючі підручники з геометрії було виявлено, що в багатьох з них немає задач прикладного характеру. Майже в усіх підручниках розглядаються задачі стандартного вигляду, які не потребують певних роздумів та міркувань.

У підручнику з геометрії , авторами якої є М. І. Бурда та Н. А. Тарасенко під час вивчення теми «Вимірювання відрізків», можна побачити зображення вимірювальних приладів, таких як міліметрову лінійку, штангенциркуль, мікрометр, рулетку та польовий циркуль, що збільшує знання та світогляд учнів. Після блоку стандартних задач учням пропонується розв'язати кілька прикладних задач.

За підручником Г. П. Бевза, В. Г. Бевза, Н. Г. Владімірова учні розглядають стандартні задачі по темі «Кути та їх виміри», «Площі фігур» так як і в підручнику за М. І. Бурдою, Н. А. Тарасенком, але в кінці цього підручника учням пропонується кілька задач прикладного характеру, які обов'язково повинні розглядатися при вивченні даних тем.

Так як задач даного типу практично немає в діючих підручниках, вчителям потрібно самостійно складати прикладні задачі, які будуть доповнювати систему задач та сприятимуть гармонійному розвитку учнів. Подібні задачі розкривають прикладну спрямованість шкільного курсу геометрії і дають можливість застосувати здобуті учнями знання, вміння і навички, отримані в школі, до реальних потреб у різних сферах життя.



РОЗДІЛ II. МЕТОДИКА ВИВЧЕННЯ ПРИКЛАДНОЇ СПРЯМОВАНОСТІ ГЕОМЕТРИЧНИХ ВЕЛИЧИН В КУРСІ ГЕОМЕТРІЇ ОСНОВНОЇ ШКОЛИ

2.1 Методика вивчення прикладної спрямованості довжин в курсі геометрії основної школи

Розроблено методику до вивчення теми «Вимірювання відрізків»:

· введення поняття довжина;

· знайомство семикласників з вимірювальними інструментами та їх використання в навколишньому світі;

· порівняння предметів за довжиною, не вимірюючи їх - накладанням та візуально («на око»);

· використання малюнків, що ілюструє зв'язок геометричного поняття «відрізок» з об'єктами матеріального світу;

· після розгляду довжин предметів переходимо до вивчення довжини відрізка;

· введення понять дистанція та інтервал;

· розв'язування прикладних задач.

Наведемо деякі прикладні задачі, які були розроблені для вивчення даної теми:

1. Відстань між Сумами та Житомиром дорівнює 480 км. Житомир розташований на відстані 140 км від Києва. Визначити відстань від Києва до Сум, вважаючи, що всі три міста розташовані на одній прямій;

2. Щоб дізнатися довжину свого кроку, відміряйте рулеткою відстань 10 м і пройдіть цю відстань кілька разів. Запишіть, скільки кроків ви робили щоразу. Знайдіть середню кількість кроків. Розділіть 10 м на отриману середню кількість кроків - це і буду довжина вашого кроку. Виміряйте у кроках і переведіть у метри:

a) довжину класної кімнати;

b) довжину шкільного коридору;

c) відстань від вашого дому до найближчої зупинки транспорту.

3. Неозброєним оком людина може бачити одноповерховий будинок на відстані 5 км, вікна в цьому будинку - за 4 км, а димар - за 3 км. На якій відстані від будинку (приблизно) перебуває людина, яка:

a) уже бачить будинок, але не бачить вікна в ньому;

b) уже бачить вікна у будинку, але ще не бачить димар?

4. Три хлопчики: Сергій, Андрій і Віталій сидять на одній лавці. Відомо, що відстань між Сергієм і Андрієм дорівнює 4,3 см, між Сергієм і Віталієм - 7,5 см, між Андрієм і Віталієм - 3,2 см. Чи може Віталій сидіти між Сергієм та Андрієм? Який з трьох хлопчиків сидить між двома іншими?

2.2 Методика вивчення прикладної спрямованості величин кутів в курсі геометрії основної школи

Розроблено методику до вивчення теми «Вимірювання кутів»:

· введення поняття кута;

· знайомство з приладами, за допомогою яких вимірюються кути;

· учні повинні пригадати та навести приклади прямого та розгорнутого кутів;

· порівняння градусної міри кутів, не вимірюючи їх;

· використання малюнків, що ілюструє зв'язок геометричного поняття «кута» з об'єктами матеріального світу;

· наведення прикладів учнями, що ілюструють зв'язок кутів з предметами, що нас оточують;

· введення таких дій з величинами кутів: порівняння, додавання віднімання величин кутів і поділ кута на цілі частини;

· розв'язування прикладних задач.

Наведемо деякі прикладні задачі, які були розроблені для вивчення даної теми:

1. Північний вітер змінився на північно-східний. Який кут повороту вітру?

2. Котра тепер година, якщо стрілки годинника утворюють кут , а хвилинна стрілка показує на цифру 6?

3. Автомобільна дорога Київ - Одеса проходить через місто Умань. Вважатимемо, що всі три міста розташовані на одній прямій. Поясніть, до яких міст можуть прямувати два автомобілі. Якщо вони виїхали з Умані:

§ у протилежних напрямках;

§ в одному напрямку. Зробіть малюнок.

4. На скільки градусів повертається годинна стрілка протягом трьох діб? А хвилинна стрілка?

5. Визначити відстань між пунктами А і В за умови, що до пункту А підійти можна, а до пункту В -- не можна (наприклад, між деревами А і В, що розміщені на різних берегах річки).

2.3 Методика вивчення прикладної спрямованості площ фігур в курсі геометрії основної школи

Розроблено методику до вивчення розділу «Площі фігур»:

Урок №1. «Поняття про площу фігури. Основні властивості площі»

· введення поняття площі для простих фігур;

· властивості площі;

· порівняння площ фігур, зображених на готових малюнках;

· визначення наближеного значення площі класної кімнати («на око») та інших предметів;

· розв'язування вправ.

Урок №2 - 3. «Площі прямокутника і паралелограма, трикутника. Формула Герона»

· повторення поняття площі фігур та властивостей;

· використання малюнків, що ілюструє зв'язок геометричного поняття «площі» з об'єктами матеріального світу;

· вивчення формул для обчислення площ фігур;

· порівняння прямокутників, паралелограмів та трикутників за площею, не вимірюючи їх;

· знаходження площ прямокутника, паралелограма та трикутника;

· знаходження площ об'єктів, що мають форму відповідних фігур (розв'язування прикладних задач);

· створення учнями задач, прикладного характеру;

· створення учнями вдома макетів до прикладних задач;

Урок №4. «Площа трапеції»

· перевірка домашнього завдання (побудови макетів до прикладних задач);

· повторення попереднього матеріалу;

· вивчення формул для обчислення площі трапеції;

· розв'язування вправ;

· обчислення задач на знаходження площі в польових умовах;

· створення учнями прикладних задач на вивчення теми «Площа трапеції».

Урок №5 - 6. «Розв'язування задач»

· повторення формул для обчислення площ вивчених фігур;

· порівняння об'єктів за площею, не вимірюючи їх - візуально («на око»);

· використання малюнків, що ілюструє зв'язок геометричного поняття «площа» з об'єктами матеріального світу;

· розв'язування прикладних задач, які включають в себе вивчені фігури;

· створення учнями власних прикладних задач;

· побудова макетів до прикладних задач.

Урок №7. «Формули для радіуса кола, вписаного у трикутник, і кола, описаного навколо нього»

· використання малюнків, що ілюструє зв'язок геометричного поняття «площа» з об'єктами матеріального світу;

· виведення формул радіусів вписаного у трикутник, і кола, описаного навколо нього;

· розв'язування прикладних задач;

· створення учнями власних прикладних задач.

Урок №8. «Площі подібних фігур»

· повторення попереднього матеріалу;

· виведення формули для площ подібних фігур;

· використання малюнків, що ілюструє зв'язок геометричного поняття «площі подібних фігур» з об'єктами матеріального світу;

· розв'язування прикладних задач;

· створення учнями власних прикладних задач.

Урок №9. «Площі круга та його частин»

· повторення попереднього матеріалу;

· введення поняття круга;

· використання малюнків, що ілюструє зв'язок геометричного поняття «круг» з об'єктами матеріального світу;

· вивчення площі круга та його частин;

· розв'язування прикладних задач;

· створення учнями власних прикладних задач.

Урок №10 - 11. «Розв'язування задач»

· повторення матеріалу з даного розділу;

· розв'язування комбінованих задач;

· розв'язування прикладних задач;

· створення учнями власних прикладних задач.

Виходячи з розробленої методики до розділу «Методика вивчення геометричних величин в курсі геометрії основної школи» можна зробити висновки про те, що запропоновано методика належать до основних засобів, які розкривають прикладний зміст навчального матеріалу. Розв'язування прикладних задач дає можливість активізувати навчальну діяльність учнів, пробудити та закріпити в них інтерес до вивчення геометрії.

Дана методика сприяє розвитку мислення учнів і є невід'ємною частиною навчального процесу, адже побудова математичної моделі, її дослідження та інтерпретація даних потребує великих знань і досвіду самих учнів.

2.4 Проведення дослідження

Було проведено дослідження у 9 - Б класі школи №27 на вміння учнями розв'язувати прикладні задачі з курсу геометрії.

Дослідження проводилось у три етапи під час проходження педагогічної практики протягом п'яти тижнів, з 13 лютого по 16 березня 2012 року. На першому етапі при проведенні констатувального експерименту було здійснено аналіз знань і вмінь учнів під час розв'язування прикладних задач з курсу геометрії. Їм було запропоновано 15 задач прикладного характеру.

Було встановлено, що учні не вміють розв'язувати прикладні задачі. Причиною цього є те, що більшість учні не вміють самостійно будувати математичну модель даної задачі. Лише після підказок вчителя діти можуть її побудувати та отримати певний результат. Тож другий етап мого дослідження був пошукового характеру, тобто, я розробила методику контролю й корекції навчальних досягнень учнів, яка полягала в тому, що на уроках геометрії учням були запропоновані задачі прикладного характеру з даної теми. До деяких задач були завчасно створені макети математичних моделей, що сприяло чіткому розумінню учнів: що потрібно знайти та від чого потрібно відштовхуватись при розв'язуванні задачі. Учням також було запропоновано розробити власні моделі задач, що розвивало їх мислення та уяву. Протягом чотирьох тижнів у вільний час проводились консультації що до задач прикладного характеру та наводились приклади розв'язання деяких задач. Учням було запропоновано розробити самостійно по кілька задач даного типу з будь-яких тем геометрії.

На третьому етапі експерименту учням знову було запропоновано розв'язати задачі прикладного характеру з геометрії, які були схожі до задач, що пропонувалися при проведенні констатувального експерименту та були однакового рівня складності.

Результати проведення першого та останнього дослідження відображені на даній гістограмі, яка показує, що рівень знань учнів підвищився, що свідчить про те, що учні краще навчилися будувати математичні моделі, що є основою до розв'язання самої задачі. Тож можна стверджувати про ефективність використання даної методики. Звісно що були отримані не дуже високі показники успішності учнів, так як за досить короткий проміжок часу, діти не змогли засвоїти матеріал на високому рівні.

Не всі учні вміють розв'язувати задачі прикладного характеру, для цього їм бракує знань та вмінь застосовувати свої знання в нестандартних ситуаціях. Ті учні, які на високому рівні розв'язують звичайні задачі з геометрії, не змогли повністю впоратись із поставленим завданням тому, що вони не вміють побудувати математичну модель, що є основою для розв'язання прикладної задачі.

Навчання учнів самостійно здійснювати дослідження, використовувати нестандартні підходи до розв'язування задач, а також розв'язування прикладних задач сприяє результативному та ефективному процесу формування творчого мислення учня, підвищення навчально-пізнавальної діяльності.



ВИСНОВКИ

Кожна особистість повинна володіти певними прийомами математичної діяльності та навичками їх застосувань до розв'язання конкретних практичних задач. Тому перед сучасною школою поставлені завдання щодо поєднання теоретичного навчання з подальшим практичним застосуванням, а саме підвищення шкільної математичної освіти за умов посилення її прикладного та практичного спрямування.

Було встановлено, що основним методом реалізації прикладної спрямованості шкільного курсу математики є метод математичного моделювання, а найбільш ефективним засобом - прикладні задачі, розв'язування яких потребує глибоких знань як з математики, так і з інших дисциплін.

Задачі прикладного характеру досить вдало доповнюють систему задач шкільного курсу математики і можуть використовуватись на різних етапах навчання і з різною метою. Залучення учнів до розв'язування таких задач на уроках математики сприяє розвитку творчого мислення, свідомому, якісному засвоєнню навчального матеріалу, активізує навчально-пізнавальну діяльність, дозволяє здійснювати перенесення отриманих знань і умінь в ту чи іншу галузь, що у свою чергу, активізує інтерес до завдань прикладного характеру і вивчення математики в цілому.

Взагалі, реалізувати на практиці прикладну спрямованість навчання математики вчителю доволі непросто. При цьому йому доводиться розв'язувати дві основні проблеми. Перша - добір змісту навчального матеріалу з прикладною спрямованістю. Важливо дібрати такий зміст, який відповідає шкільній програмі, доступний для учнів, відповідає їх інтересам, пізнавальним потребам. Друга проблема - розуміння та засвоєння учнями прикладного змісту математики. Розв'язання багатьох прикладних задач потребує достатньої математичної підготовки. Крім того, часто необхідні ґрунтовні знання з інших шкільних предметів. Проте лише незначна частина учнів володіє уміннями встановлювати міжпредметні зв'язки та інтегрувати відповідні знання та уміння. Розкриваючи прикладне значення математики, вчителю необхідно також враховувати індивідуальні відмінності учнів, що вимагає диференціації змісту, систем задач, прийомів та методів навчання.

Під час проведення педагогічного експерименту було встановлено, що діти не вміють розв'язувати прикладні задачі. Тож для вирішення цієї проблеми була розроблена й запроваджена спеціальна методика, яка за досить короткий проміжок часу сприяла кращому розумінню учнями задач прикладного характеру. Після проведення й обробки результатів під час проведення повторного дослідження на вміння учнями розв'язувати прикладні задачі було встановлено, що рівень знань учнів покращився.

Прикладні задачі належать до основних засобів, які розкривають прикладний зміст навчального матеріалу. Розв'язування прикладних задач дає можливість активізувати навчальну діяльність учнів, пробудити та закріпити в них інтерес до вивчення математики, тому на уроках геометрії вчитель повинен разам з учнями розв'язувати прикладні задачі; потрібно щоб учнів самостійно здійснювати дослідження, використовувати нестандартні підходи до розв'язування задач, що сприяє результативному та ефективному процесу формування творчого мислення учня, підвищення навчально-пізнавальної діяльності.



СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Балк М. Б. Математика після уроків / М. Балк, Г. Балк. - М.: Освіта, 1977. - 157 с.

2. Бевз Г. П. Прикладна спрямованість шкільного курсу геометрії: Посібник для вчителя / Бевз Г. П. - К. , 1999 - 97 с.

3. Бенбямінов М. Р. Математика і сільське господарство / Бенбямінов М. Р. - М.: Освіта, 1968 - 289 с.

4. Бурда М. І. Геометрія: Підруч. для 7 кл. загальноосвіт. навч. закл / Бурда М. І., Тарасенко Н. А. - К.: Зодіак-ЕКО, 2007. - 208 с.

5. Бурда М. І. Геометрія: Підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закл / Бурда М. І., Тарасенко Н. А. - К.: Зодіак-ЕКО, 2007. - 226 с.

6. Ганьшин В. М. Найпростіші вимірювання на місцевості / Ганьшин В. М. - М.: Мир, 1973 - 126 с.

7. Коваль В. В. Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики/ Коваль В. В. - Кривий Ріг: КДПУ, 2001. - 248 c.

8. Кравчук В. Геометрія: Підручник для 7 класу / Кравчук В., Янченко Г.- Тернопіль : Підручник і посібники, 2007. - 224 с.

9. Математика в школах України, №27(219), 2008. - 21- 23 с.

10. Петров В. А. Викладання математики в сільській школі: Кн. для вчителя / Петров В. А. - М.: Просвітництво, 1986. - 289 с.

11. Погорєлов О. В. Планіметрія: Підруч. Для 7 - 9 кл. серед. шк. - 5-те вид. - К.: Освіта, 2001. - 223 с.

12. Слобода І. В. Математичне моделювання в процесі розв'язування текстових задач / Слобода І. В. - Кривий Ріг: КДПУ, 2001. - 87 с.

13. Совертков П. И. Обучение генерированию идей при решении геометрических задач исследовательского характера / Совертков П.И. Математика в школе. - 2008. - №4. - С.22-28.

14. Слєпкань З.І. Математика в школі / Слєпкань З. І. - 2003. - №9.- С. 3-4.

15. Смирнова И. М. Математика в школе / Смирнова И. М. - 2010. - № 8. - С. 36-41.

16. Сунгатова Р. В. Математика: Додат. до газ."Шкільний світ" / Сунгатова Р. В.. - 2008. - №42. - С.7-12.

17. Терешин Н. А. Прикладная направленость шлольного курса математики: Кн. Для учителя / Терешин Н. А. - М.: Просвещение, 1990.- 96 с.

18. Швець В. О. Дидактика математики: проблеми і дослідження: Міжнародний збірник наукових робіт / Швець В. О. - Д: ДонНУ, 2009.- 250 с.

19. Яременко Я. Г. Математика в школах України / Я. Г. Яременко. - 2010. - № 34-36. - С. 38-41.

Размещено на Allbest.ru