Розвиток логічного мислення учнів у процесі вивчення геометрії

КУРСОВА РОБОТА

з дисципліни “Педагогіка”

на тему: „Розвиток логічного мислення учнів у процесі вивчення геометрії”

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ 1 ЛОГІЧНЕ МИСЛЕННЯ ТА ЙОГО СКЛАДОВІ

1.1 Логіка як наука про мислення

1.2 Поняття як перший ступінь логічних форм мислення

1.3 Судження як другий ступінь логічних форм мислення

1.4 Умовивід як третій ступінь логічних форм мислення

1.5 Основні закони логіки мислення

РОЗДІЛ 2 ВПЛИВ ВИБОРУ МЕТОДІВ НАВЧАННЯ НА РОЗВИТОК ЛОГІЧНОГО МИСЛЕННЯ УЧНІВ У ШКОЛІ

2.1 Традиційні методи навчання та їх класифікація

2.2 Класифікація методів проблемнорозвиваючого навчання

2.3 Методи логічнодидактичних ігор на уроках геометрії

РОЗДІЛ 3 РОЛЬ ОСНОВНИХ ЕЛЕМЕНТІВ ШКІЛЬНОГО УЧБОВОГО ПРОЦЕСУ ВИВЧЕННЯ ГЕОМЕТРІЇ У РОЗВИТКУ ЛОГІЧНОГО МИСЛЕННЯ УЧНІВ

3.1 Роль геометричних означень та понять

3.2 Роль логічних доведень геометричних тверджень(лем та теорем)

3.3 Роль практичного розв'язування геометричних задач

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

ДОДАТКИ

ВСТУП

Відомо, що людина відрізняється від інших живих істот своїм умінням мислити, думати. Мислення - це вища форма пізнання світу. Свої думки людина виражає за допомогою мови. Навіть тоді, коли людина міркує „про себе”, вона неодмінно оформляє думки словами. Психологи називають це внутрішньою мовою.

Всебічні дослідження привели вчених до висновку, що мислення і мова становлять нерозривну єдність. Якщо ж проаналізувати мову довільної групи людей, то можна помітити, що вона не однакова: одні люди виражають свої думки лаконічно, чітко, зрозуміло, обгрунтовано, інші - розпливчасто, не завжди зрозуміло. Про перших часто говорять, що вони мислять логічно, про других цього сказати не можна. Звичайно, кожний з нас хотів би мислити логічно. Слово „логічно” походить від терміна „логіка”. Логікаце наука про форми і закони мислення. Хоч мислення має надзвичайно складну структуру, стародавні мислителі помітили, що значну частину умовиводів ( висновків) ми робимо за стандартними схемами, незалежними від того конкретного матеріалу, яким оперуємо. Так, закон силогізму , яким ми часто користаємося, твердить: „з істиності тверджень „ суть ” і „ суть ” випливає істинність твердження „ суть ” незалежно від того, які об'єкти позначено буквами ,,.

Близько 2,5 тисячі років тому в Індіїї, Китаї і Греції мислителі й філософи почали систематично вивчати загальні форми логічних умовиводів. Особливо вплинула на формування логіки як науки і на її дальший розвиток давньогрецька формальна логіка, розвинута Платоном , Арістотелем і стоїками. Велике значення для її розвитку мали праці великого грецького мислителя Арістотеля (384322 рр. до н.е.), в яких він показав що правильні міркування підпорядковані невеликій кількості законів, які не залежать від змісту

висловлень, а тільки від їх форми.

Тому традиційну, Арістотелеву, логіку називають ще формальною, а Арістотеля вважають батьком формальної логіки. Він розвинув її настільки фундаментально , що багато століть вона залишалась неперевершеним зразком логічного аналізу.

У 17 столітті видатний німецький учений Г.Лейбниц (16461716) чітко сформулював ідею побудови нової логіки, в якій би кожному поняттю відповідав певний символ, а міркування мали б форму обчислень. Проте його праці містили лише програму побудови так званої символічної логіки. Тільки в середині 19 століття англійский математик Д. Буль (18151864) частково втілив у життя ідею Лейбница: він створив алгебру логіки, в якій діють закони , подібні до законів звичайної алгебри, але буквами позначаються не числа , а висловлення.

Великий внесок у розвиток математичної логіки зробили вчені різних країн : німці Г. Фреге (18481925), Д. Гільберт (18621943), австрієць К. Гедель (народився в 1906 р.), англійці А де Морган (18061871), А. Уайтхед (18611947), Б. Рассел (18721970), поляки Я. Лукасевич ( 18781956), А. Тарський (19011983), американці А. Черч ( народився в 1903 р. ) , А. Тьюрінг (19121954), італієць Д.Пеано (18581932), росіянин П.С.Порецький (18461907), радянські математики П.С.Новиков (19011975), А.А. Марков (19031980) , А.М. Колмогоров (19031987) та інші.

Математична логіка уточнила й поновому висвітлила поняття і методи традіційної формальної логіки, істотно розширила її можливості й сферу застосування. Нині математична логіка використовується в біології, медицині , лінгвістиці, педагогіці , психології , економіці, техніці, не говорячи вже про саму математику. Надзвичайно важлива роль належить математичній логіці в розвитку обчислювальної техніки: вона використовується в конструюванні електроннообчислювальних машин (ЕОМ) і при розробці штучних мов для спілкування з машинами.

Метою дійсної курсової роботи було дослідження шляхів побудови програм навчання курсу геометрії в школі з погляду виховання логічного мислення учнів.

РОЗДІЛ 1

ЛОГІЧНЕ МИСЛЕННЯ ТА ЙОГО СКЛАДОВІ

1.1 Логіка як наука про мислення

Як самостійна наука логіка склалася більше двох тисяч років назад в ІV ст. до н.е. Її засновником є давньогрецький філософ Арістотель (384322 рр. до н.е.). В своїх працях, які отримали назву “Органон” (грец. “знаряддя пізнання”), Арістотель сформулював основні закони мислення: тотожності, протиріччя і виключеного третього - описав важливі логічні операції, розробив теорію поняття і судження, змістовно дослідив дедуктивний (силогістичний) умовивід [9]. Арістотелівське вчення про силогізм склало основу логіки предикатів (математична логіка). Античні стоїки доповнили теорію силогізму, описавши складні умовиводи (Зенон, Хрисипп та ін.). Також великий вклад зробили такі мислителі як Гален, Порфірій, Боецій. В середні віки логіка слугувала в основному релігійній схоластиці, тим самим удосконалюючи і розвиваючи свої можливості. В Новий час значний вклад зробив Ф.Бекон (15611626), розробивши на противагу дедуктивній логіці Арістотеля індуктивний метод, принцип якого виклав у праці “Новий Оганон”. Розроблені методи наукової індукції, систематизовані пізніше англійським філософом і логіком Д.С.Міллем (18061873) суттєво укріпили позиції логіки як окремої науки. Тим самим дедуктивна логіка Арістотеля і індуктивна логіка БеконаМілля склали основу загальноосвітньої дисципліни названої формальною логікою. Подальший розвиток логіки пов'язаний з іменами таких видатних філософів як Р.Декарт, Г.Лейбніц, І.Кант.

Р.Декарт (15691650) розробив ідеї дедуктивної логіки, сформулювавши правила наукового дослідження. Г.Лейбніц (16461716) сформулював закон достатньої підстави, висунув ідею математичної логіки. В другій половині ХІХ ст. в логіці починають широко застосовуватися математичні методи числення. Цей напрямок розроблений в працях Д.Буля, І.С.Джевонсонц, П.С.Порецкього, Г.Фреге, Ч.Пірса, Б.Россела, Я.Лукашевича та ін. математиків і логіків. Теоретичний аналіз дедуктивних міркувань методами числення з використанням формалізованих мов отримав назву математичної, чи символічної логіки. Символічна логіка включає багато “логік”, таких як: багатозначна логіка, модальна логіка, ймовірнісна і часова логіка.

Важливими напрямками формування розумової культури учнів на матеріалі математики є розвиток їхнього логічного мислення.

Мислення людини підкоряється логічним законам і протікає в логічних формах незалежно від науки логіки. Вона є лише наслідком існування певного закономірного стану речей і є його систематизоване і упорядковане відображення. Багато людей мислять логічно, не знаючи правил логіки, так само як для падіння (комусь або чомусь) необов'язково знати закони тяжіння або для розмовляння - закони граматики.

Логіка - наука про мислення. Назва її походить від грецького слова logos - “думка”, “слово”, “закон”. Термін “логіка” вживається також для позначення закономірностей об'єктивного світу, для позначення строгості, послідовності, закономірності процесу мислення (“логіка мислення”, “логіка міркування”) [4]. Закономірний характер мислення є своєрідним відображенням об'єктивних закономірностей. Логіка, яка вивчає пізнаюче мислення і застосовується як засіб пізнання, виникла і розвивалась як філософська наука і в теперішній час являє собою складну систему знань, що включає дві відносно самостійні науки: логіку формальну і логіку діалектичну (усне пояснення).

Предметом логіки є закони і форми, прийоми і операції мислення, за допомогою яких людина пізнає навколишній світ.

Пізнання як процес відображення об'єктивного світу свідомістю людини являє собою сутність чуттєвого і раціонального пізнання.

Чуттєве пізнання має 3 основні форми:

1. Відчуття - відображення окремих чуттєво сприймаємих властивостей предметів (наприклад: колір, форма, запах, смак і т.д.).

2. Сприйняття - цілісний образ предмету, виникаючий в результаті його безпосереднього впливу на органи відчуттів.

3. Уявлення - це чуттєвий образ предмету, який зберігся в свідомості. Якщо сприйняття це безпосередній вплив, то уява є тоді, коли такого впливу вже немає. Образи уяви можуть бути довільно комбіновані.

На відміну від чуттєвого пізнання, мислення відображає зовнішній світ в абстракціях(відволікання). Відходячи від конкретного в речах і явищах, абстрактне мислення здатне узагальнювати багато однорідних предметів, виокремлювати найбільш важливі властивості, розкривати суттєві зв'язки.

Основні властивості абстрактного мислення:

1. Мислення відображає дійсність в узагальнених образах.

2. Мислення - процес опосередкованого відображення дійсності.

3. Мислення нерозривно зв'язане з мовою.

4. Мислення - процес активного відображення дійсності (нове знання).

Мислення підпорядковується логічним законам мислення. Необхідно розрізняти істинність думки і логічну правильність міркування. Думка істинна, якщо відповідає дійсності, і навпаки. Логічна правильність міркування це умова істинності думок. Це міркування, в якому одні думки (висновки) з необхідністю випливають з інших думок. Закон мислення, чи логічний закон - це необхідний, суттєвий зв'язок думок в процесі міркування. Слід розрізняти формальнологічні і діалектичні закони.

Основні форми абстрактного мислення - поняття, судження і умовивід.

Виділяючи певну сукупність загальних, суттєвих властивостей, чи прикмет, ми створюємо поняття предмету (Поняття А складає сукупність признаків а, в, с і т.д., які з'язані певним чином). Таким чином, різні предмети відображаються в мисленні однаково - як певний зв'язок їх суттєвих ознак, тобто у формі поняття.

В формі суджень відображаються зв'язки між предметами і їх властивостями. Цей зв'язок виражається у формі ствердження чи заперечення. Будьякий тип судження складає схему S - P, де S (суб'єкт; поняття про предмет судження) і Р (предикат; поняття про прикмету), а знак “--“ зв'язка між ними.

Отже, судження являє собою спосіб зв'язку понять, виражений в формі ствердження чи заперечення.

Умовивід - це поєднання декількох суджень (які називаються засновки), з яких необхідно витікає нове судження (висновок). Отже, ми виділяємо дещо загальне, що є в різних по змісту умовиводах: спосіб зв'язку суджень (загальне поняття). Загальним для всіх форм мислення є спосіб зв'язку елементів думки - прикмет в понятті, понять в судженні і суджень в умовиводах.

Логічна форма, чи форма мислення, це спосіб зв'язку елементів думки, її побудова, завдяки якій зміст існує і відображає дійсність.

Дослідження логічних форм безвідносно до конкретного змісту і складає найважливіше завдання науки логіки.

У своїй теоретичній і практичній діяльності людина може успішно вирішувати ті або інші проблеми тільки за однієї умови, якщо її мислення, що бере участь в цьому рішенні, буде коректним. А щоб мислення було таким, воно повинне задовольняти принаймні таким вимогам, як: визначеність, послідовність, доказовість.

Визначене мислення - це мислення точне, ясне, таке, що не допускає сумнівів і софістичних вигадок, тобто вільне від свідомої чи несвідомої підміни однієї думки іншою (підміна тези) тощо.

Послідовне мислення - це мислення, яке є вільним від внутрішніх суперечностей, що руйнують зв'язок між думками там, де цей зв'язок необхідний для встановлення істинності чи помилковості якогонебудь міркування чи судження.

Доказове мислення - це мислення, що не просто формулює істину як таку, а вказуючи підстави, за якими вона з необхідністю повинна бути визнана істиною, тобто вказує оптимальний, логічно ефективний шлях досягнення дійсного знання. У цьому випадку ціннішим є не скільки визнання істини як такої, скільки саме така вказівка шляху, «технології» досягнення цієї істини

Слід підкреслити одну важливу особливість законів, принципів і правил логіки, виконання яких необхідне нам як надійний інструментарій для того, щоб наше мислення було визначеним, послідовним і доказовим, одним словом коректним

Наочно це можна показати за допомогою рис.1.1.

Рис. 1.1 ? Сутність і зміст поняття коректності мислення і його джерела

Отже, ця особливість законів, принципів і правил логіки полягає в тому, що вони можуть формулюватися тільки на основі попередньо встановлюних теоретичних істин. Іншими словами, наука логіки існує не тому, що є відомі правила мислення, а навпаки, правила мислення тільки тому й існують і є значущими для пізнання, що незалежно від науки логіки реально існують форми мислення, які постійно, впродовж багатьох століть успішно застосовуються людиною в її повсякденній життєдіяльності. Саме ці форми мислення і складають предмет дослідження логіки як науки. Таким чином, для правильного мислення необхідно дотримуватись трьох атрибутивних умов: визначеності, послідовності й доказовості. Саме ці три вимоги і створюють можливість того, щоб наше мислення було, як прийнято говорити, логічним.

1.2 Поняття як перший ступінь логічних форм мислення

Оволодіння будьякою наукою немислиме без опанування системою поняття цієї науки. Поняття - це форма мислення, в якій відображається суть предметів і явищ реального світу в їх істотних необхідних ознаках і відношеннях. Кожному поняттю відповідає певний об'єкт мислення. Ним можуть бути будь - який матеріальний предмет або явище природи чи суспільства, окремі властивості цих предметів чи явищ, окреме слово чи група слів і так далі [10].

Усе те, в чому предмети схожі один з одним або що їх відрізняє одне від одного, у логіці називається їх ознаками. Істотними вважаються ті ознаки предмета, кожна з яких необхідна, а їх сукупність достатня для того, щоб відрізняти даний предмет (чи клас предметів) від інших і дістати відповідь на запитання : „що це таке ?”. Наприклад , поняттям про квадрат буде поняття про прямокутник, у якого всі сторони рівні. Тут виділено дві ознаки: прямокутність і рівність усіх сторін. Кожна з цих двох ознак, взята окремо, відрізняє квадрат або від ромба, у якого всі сторони рівні, але немає характерної для квадрата властивості - прямокутність; або від нерівностороннього прямокутника. Виделені дві ознаки квадрата не тільки необхідні кожна зокрема; разом їх виявляється цілком достатньо для того, щоб за їх допомогою, не вказуючи ніяких інших ознак, ми могли відрізнити квадрат від будьякої іншої геометричної фігури. Отже, виділені дві ознаки істотні для квадрата.

Існують родові і видові ознаки. Родовими називають ознаки, істотні для предметів одного класу. Наприклад, для ромба такою ознакою є належність до множини паралелограмів. Видовими ознаками називають ті, які лежать в основі виділення певної групи предметів у межах роду. Наприклад, видовою ознакою ромба є рівність усіх його сторін, оскільки саме ця ознака виділяє ромб з множини усіх паралелограмів.

Сукупність істотних ознаках, спільних для всіх предметів даного класу, що входять у дане поняття, називається змістом поняття. Наприклад, змістом поняття „квадрат” є обидві його істотні ознаки : прямокутність і рівність усіх сторін; змістом поняття „непроникності” є властивість геометричних тіл, коли два тіла не можуть водночас займати один і той самий простір.

Обсяг або об'єм поняття - це певна сукупність, множина, клас предметів, кожний з яких має ознаки, відображені в змісті поняття. Так, обсяг поняття „квадрат ” становить множина всіх чотирикутників, які мають істотні ознаки квадрата.

Зміст і обсяг поняття тісно пов'язані між собою і залежать один від одного. Із збільшенням змісту поняття зменшується його обсяг і навпаки - зменшення змісту поняття збільшується його обсяг. Наприклад , в обсяг поняття „паралелограм” входять усі види паралелограмів, зміст цього поняття становлять ознаки : „чотирикутника” і „попарна паралельність несуміжних сторін”. Коли до цих істотних ознак додати ознаку „ рівність усіх кутів зазначеної фігури”, то обсяг поняття зменшиться - тепер до нього входить лише частина всіх паралелограмів, тобто лише прямокутники.

Зміст і обсяг поняття - це дві його сторони, невіддільні від нього. Залежність між змістом і обсягом понять добре розкривається через дії обмеження й узагальнення. Обмеження поняття - це логічна дія, внаслідок якої відбувається перехід від поняття з більшим обсягом ( роду) до поняття з меншим обсягом (виду) через додавання до змісту попереднього поняття ознак, які стосуються лише частини предметів, що входять в обсяг вихідного поняття.

Узагальнення - це логічна дія над поняттям, яка за своїм характером протилежна обмеженню. Результатом узагальнення є поняття, більші за обсягом, ніж вихідне. У процесі узагальнення думка йде від поняття меншої загальності (виду) до поняття більшої загальності (роду). Так, якщо у понятті „правильна піраміда” віднімемо ознаки „основою піраміди є правильний багатокутник” і „основа висоти збігається з центром цього багатокутника”, то дістанемо загальніше поняття „піраміда”; віднявши видові ознаки поняття „піраміда”, дістанемо ще ширше поняття - „багатогранник”

Таким чином, рух від загального до конкретного здійснюється за допомогою обмеження понять, а умовою розширення знань, виявлення все ширших зв'язків і відношень між предметами дійсності є узагальнення.

Важливу роль у встановлені відношення між поняттями відіграє порівняння, яке є важливим методом пізнання. На основі порівняння змісту і обсягу понять їх поділяють на дві великі групи порівнянні і непорівнянні. Ті поняття, у зміст яких порівнянні поняття відображають предмети однієї предметної області, то вони можуть мати спільну частину обсягу. Ці поняття належать до одного й того самого найближчого роду.

Непорівнянні поняття не мають найближчого спільного родового поняття, оскільки вони відображають предмети різних, віддалених предметів галузей. Наприклад, поняття „трикутник” і „хоробрість” непорівнянні - вони відображають предмети, які не мають спільних ознак. Предметом дослідження нормальної логіки є порівнянні поняття, бо вони відіграють важливу роль у мисленні і пізнанні дійсності.

Порівнянні поняття поділяють на сумісні і несумісні. Якщо два порівняні поняття в своєму змісті не мають ознак, що виключають повний або частковий збіг обсягів цих понять, то їх називають сумісними.

Сумісність поняття включають у свій обсяг поняття, які перебувають у відношенні тотожності ( рівнозначності), підпорядкованості та часткового збігу(перерізу). У відношенні тотожності або рівнозначності перебуває поняття, які мають однаковий обсяг, але відрізняються одне від одного змістом. Це, наприклад, поняття перпендикуляра, проведеного в площині прямої, яка має той самий напрям і проходить через цю саму точку на колі. Обидва предмета мають різні ознаки, але один і той самий обсяг, бо такий перпендикуляр і така пряма збігаються.

У мові тотожні поняття називаються синонімами. У відношенні підпорядкування перебувають поняття, обсяг першого з яких повністю входить в обсяг другого тільки частково входить в обсяг першого. Перше поняття називається підпорядкованим, а друге - підпорядкованим.

Несумісні поняття -це поняття, обсяги яких зовсім не збігаються. Множини, відповідні цим поняттям, не мають спільних елементів. Зміст таких понять виключає будьяку можливість як повного, так і часткового обсягу. До несумісних належать поняття, які перебувають у відношенні співпідпорядкування, протилежнності і суперечності.

У відношенні співпідпорядкування перебувають поняття, обсяги яких входять у більш широке поняття якому вони однаковою мірою підпорядковуються. Множини співпідпорядкуваних понять не мають спільних елементів. Зміст цих понять має спільну родову ознаку але кожне з них має ще й свої власні видові ознаки.

У відношенні протилежності ( або супротивності, контрарності - від латинського слова contrarium - протилежність ) перебуває поняття, обсяги яких входять в обсяг підпорядковуючого, але повністю його не вичерпують. Зміст цих понять виключають зміст протилежного йому поняття. Між протилежними поняттями можливе третє. Прикладом понять, що перебувають у відношені протилежності, є „гострокутний трикутник” „тупокутний трикутник” (між ними можливе третє поняття - „прямокутний три кутник”, спільною родовою ознакою їх є поняття „трикутник”.

У відношенні суперечності перебувають такі два сумісні поняття, кожне з яких включає зміст іншої. Обсяги їх не збігаються і водночас вичерпують обсяг родового поняття. Між ними неможливе третє поняття. Такими поняттями будуть: „рівний”„нерівний”, „гострий”„негострий” , „ціле число”„неціле число”, „більше”„не більше” і так далі.

Поділ поняття - це логічна дія, яка полягає в мисленому поділі обсягу (роду) поняття на видові поняття, з яких відображені види предметів.

Особливим видом поділу є також кваліфікація. Тут не обмежується поділом поняття на класи, а класи поділяють на підкласи, підкласи -на ще дрібніші частини і так далі.

Логічний поділ ( утому числі і класифікація) має велике значення при вивченні будьякої науки, бо розчленовуючи обсяг поняття на окремі класи чи види, що мають і подібні, і відмінні ознаки, ми маємо можливість глибше вивчати поняття конкретної науки і зв'язки між ними.

Розглянемо означення понять

Поняття вводять за допомогою логічної операції означення.Особливу велику роль означення відіграють у математиці. Вони допомогають виділити даний предмет з множини інших об'єктів. Під означенням ми розуміємо таку логічну операцію, за допомогою якої розкривається зміст поняття. Отже, означити поняття - це перелічити всі істотні ознаки об'єктів, що входять у дане поняття. Словесне позначення поняття називається терміном. Наприклад ,

„кут”, „коло”, „переріз множини”терміни. Поняття, яке означується , називають означуваним, а те поняття чи групу понять, за допомогою яких вводиться означуване поняття , називають означуючими поняттями. Наприклад „Ромбом називається паралелограм, сторони якого рівні”. У цьому означенні „паралелограм” - означуюче, а „ромб” -означуване поняття.

У математиці існують різні види означень. Найпоширеніший з них - означення через найближчий рід і видову ознаку. Цей спосіб полягає в тому, що називаються, по перше, найближчий рід, до якого належить означуване поняття, і подруге, особлива ознака ( або кілька ознак) даного поняття, що характеризує його як один з видів зазначеного роду. У курсі шкільної математики існують такі означення :

„Центральним кутом у колі називається плоский кут з вершиною в центрі цього кола” (тут „плоский кут” - родове поняття, а властивість вершини плоского кута лежати в центрі кола - видова ознака);

„Паралелограм - це чотирикутник, в якого протилежні сторони паралельні” -(тут „чотирикутник” родове поняття, а властивість його протилежних сторін бути паралельними видова ознака);

„Якщо основою призми є паралелограм, то вона називається паралелепіпедом” (тут поняття „призма” - родове, а властивість призми мати в основі паралелограм видова ознака) та інше.

Означення через найближчий рід і видову ознаку застосовується тоді, коли відомо, що означуване поняття є поняттям про предмет, який належить до одного з видів певного роду. При такому введені понять у самому означенні не вказується спосіб виникнення означуваного об'єкта. Але окремі означення можуть розглядати предмет і за способом його утворення або виникнення . При цьому ознаки змісту поняття розглядається як зумовлені самим способом виникнення предмета. Означення такого типу називаються генетичними ( від слова „генезис”, що означає „виникнення”). Прикладами таких означень у шкільній математиці є: „Бісектрисою кута -називається промінь, який виходить з його вершини, проходить між його сторонами і ділить кут пополам”; „пірамідою називається багатогранник, утворений усіма відрізками, які сполучають дану точку - вершину піраміди - з точками плоского багатокутника - основи піраміди” та інші. Генетичні означення задають можливий спосіб утворення предмета і водночас властивості цього предмета. Окремим видом генетичних означень є індуктивні означення.

Нові математичні поняття вводять також за допомогою описування їх властивостей. Такі означення називають дескриптивними, або дескрипціями. Однією з дескрипцій числа може бути така: „ це число, яке будучи помноженим на довжину діаметра, дає довжину кола”.

Коли означення якогось поняття через рід і вид здійснити важко, то часто звертаються до такого виду означень, як означення через абстракцію.

Також означення поняття можно виконати через аксіому.Так, у шкільному курсі геометрії система аксіом дає можливість встановити співвідношення між такими основними поняттями, як „точка”, „пряма”, „площина”, і цим самим дати їм неявне означення.

Щоб поняття стало надійним інструментом пізнання, були коректними, їх означення потрібно будувати, додержуючи ряду вимог, порушення яких призводить до логічних помилок. Розглянемо ці вимоги.

1.Означення повинно бути співмірним, тобто обсяги означуваного і означуючого понять мають бути рівними між собою. Так, в означенні „квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні” обсяги означуваного поняття („квадрат”) і означуючого поняття („прямокутник, усі сторони якого рівні”) збігаються, усі квадрати є такими прямокутниками і всі такі прямокутники є квадратами. Означення, в якому вимоги співмірності не виконується, неправильне означення, тобто в ньому допущено логічну помилку. Наприклад, означення „Квадратом називається чотирикутник у якого всі сторони рівні” неправильне, бо воно неспівмірне: ромб теж рівносторонні чотирикутник. Помилковість цього означення полягає в тому, що за його допомогою не можна точно відрізнити квадрат від ромба.Таке помилкове означення, коли обсяг означуючого поняття більший від обсягу означуваного поняття називається занадто широким. Неспівмірне означення може бути й занадто вузьким. Так називається означення, коли обсяг означуючого поняття менший від обсягу означуваного поняття.

2.Означення не повинно містити в собі так званого порочного кола. Порочним колом називається такий спосіб означення, коли поняття начебто означується через інше поняття, однак це інше поняття може стати зрозумілим тільки через означуване поняття. Наприклад, якщо прямий кут означувати як кут, сторони якого взаємно перпендикулярні, а взаємно перпендикулярні

прямі - як прямі, що утворюють прямий кут, то виникнення порочного кола очевидне.

3. Означення не повинно бути лише заперечним.Заперечним називається таке означення, в якому задаються лише ознаки, що належать даному поняттю, але у книжці Евкліда „Начала” є таке означення поняття точки: „Точка це те, що не має частин”. З такого означення не можна дізнатия про істотні ознаки поняття точки. Тому це означення мало придатне для пізнання властивостей предмета. Це пояснюється тим, що точка - настільки простий і однорідний елемент простору, що доповнити його ознаками не вдається.

4. Родова ознака має вказувати на найближче ширше поняття. Напприклад, „Паралелепіпедом називається призма, основою якої є паралелограм” правильне, бо поняття „призма” є найближчим родовим поняттям щодо поняття „паралелепіпед”. Якщо б ми хотіли означити поняття „паралелепіпед” не через поняття „призма”, а через поняття „багатогранник”, то допустили б логічну помилку, бо перескочили б через поняття „призма”, яке є найближчим родовим поняттям щодо поняття „паралелепіпед”.

5. Видовою відмінністю повинна бути ознака або група істотних ознак, властивих тільки даному предметові і відсутніх в інших предметах, які належать до цього самого роду. Так, для родового поняття „трикутник” видовими поняттями є „прямокутний трикутник”, „гострокутний трикутник”, „тупокутний трикутник”. Означення „Трикутник називається прямокутним, якщо він має прямий кут” є правильним, бо відова відмінність „мати прямий кут” виконується тільки для прямокутних трикутників.

6. Означення має бути чітким і однозначним. Воно не повинно вводитися за допомогою взаємно суперечливих характеристик (типу „круглий квадрат”, „квадратне коло” і так далі).

Розглянемо формування понять за допомогою таких логічних прийомів, як порівняння, аналіз, синтез, абстрагування та узагальнення:

1. Порівнянняце логічний прийом , за допомогою якого встановлюється тотожність і відмінність ознак предметів і явищ дійсності.

2. Аналіз (розклад, розчленування) - це мисленне вичленення окремих властивостей предмета і дослідження їх як певних елементів цілого.

3. Синтез (з'єднання, складання, сполучення) - це мисленне поєднання тих частин цілого, які вичленені й вивчені впроцесі аналізу, встановлення взаємодії й взаємозв'язку їх та дослідження предмета як єдиного цілого.

4. Абстрагування (відволікання) - це мислене відволікання від ряду неістотних властивостей і зв'язків досліджуваного предмета і виділення найстотніших і найхарактерніших його ознак, зв'язвів і відношень з метою проникнення в суть цього предмета.

5. Узагальнення є продовженням і одночасно завершенням логічної дії абстрагування. Це поширення в думці загальних істотних ознак класу (множин) предметів виділених у процесі абстракції, на кожний предмет цієї множини.

1.3 Судження як другий ступінь логічних форм мислення

Окремими, ізольованими поняттями мислити неможливо. Найбільш простою, елементарною формою мислення є судження. У формі судження знаходять свій вираз знання про взаємозв'язки предметів з їхніми ознаками та взаємовідношення між ними. Судження (висловлення) - це форма мислення, в якій стверджується або заперечується щось про предмет, про певні зв'язки і відношення між предметами і явищами [10].

Судження як форма мислення істотно відрізняється від поняття. Це пов'язано з тим, що ці логічні форми по різному відображають навколишню дійсність. Якщо поняття відображає сукупність істотних ознак предмета, то судження відображають окремі відношення між предметами і їх ознаками, причому шляхом ствердження чи заперечення. Судження, таким чином, надає людській думці закінчену форму, де може бути безпосередньо виражена істинність чи хібність нашого висловлення.

Перевіркою істинності змісту конкретного судження займається та наука, до предметної області якої належить предмет цього судження. Судження бувають істинними і хибними.

Кожне судження має свою структуру (будову), яка залежить від того, що воно відображає властивості чи відношення і взаємозв'язки між предметами. Судження, в яких стверджуються (або заперечується) наявність властивості у того чи іншого предмета, називаються судженнями про належність, або атрибутивними судженнями. Наприклад, „Тетраедр - просторове тіло”. Судження, в яких відображається відношення між двома і більше предметами, називаються судженнями про відношення, або релятивними судженнями. Наприклад „”.

Праналізуємо атрибутнє судженя: „Тетраедр є пірамідою”. Атрибутнє судження складаєть з трьох елементів : поняття про предмет думки („тетраедр”), поняття про властивість предмета думки ( відповідно „піраміда”), і

зв'язки ( „є”, „не є”) , що відображають відношення між предметом і його властивостями.

Поняття про предмет думки називається суб єктом судження і позначається великою латинською літерою . Поняття про ознаки (властивості) предмета називається предикатом судження і позначаеться літерою .Зв'язка в судженні виражається словами „є” , „не є”, „суть”, „не суть” і так далі.

Треба чітко розмежовувати поняття „предмет судження” і „суб'єкт судження”. Предмет судження - це предмет дійсності, про який йдеться в судженні, але який існує незалежно від мислення людини. Суб'єкт судження - це поняття про об'єктивно існуючий предмет, який став предметом судження. Ці два поняття пов'язані між собою, але вони не тотожні. Перший існує незалежно від другого, другий визначається першим.( суб єкт) і ( предикат) називаються термінами судження.Наприклад судження про відношення „Сума кутів опуклого кутника дорівнює ”.

Релятивні судження відображають найрізномнітніші відношення між предметами об'єктивної дійсності: рівності, тотожності, протилежності, суперечності, простору, часу, розміру, кількості, якості і так далі. Властивості, притаманні окремим предметам (або множинам окремих предметів), тому їх називають одномісними предикатами. Відношення мають місце між двома, трьома і більше предметами (або множинами , що складаються з двох , трьох і так далі предметів), тому їх називають багатомісними предикатами( двомісними, тримісними).

Судження в мові виражається за допомогою речення. Речення відносно судження є його своєрідною матеріальною оболонкою, а судження, як форма відображення об єктивної дійсності, наповнює речення певним конкретним змістом. Тому якщо ми не можемо виразити якесь судження в реченні, то можна, що в нас іще не сформувалось нове судження.

Граматичною формою судження є розповідне речення. Так наприклад , речення „Об'єм кулі дорівнює ”, „Центр кола, вписаного у трикутник, є точкою перетину його бісектрис” виражають судження.

Судження і речення, як бачимо, взаємопов'язані. Однак цей зв'язок не дає підстав для ототожнення їх. Виступаючи в єдності в процесі мислення, кожне з них має свою специфіку і особливості. Поперше, судження відрізняється від речення своїм характером: судження - категрія логічна, ідеальна, а речення - категорія граматична, мовна. По - друге, судження - категорія інтернаціональна, загальнолюдська. Саме ця особливість робить можливим обмін думками між людьми різних націй. Речення природної мови - категорія національна. Воно підлягає специфічним законам граматики певної національної мови. По третє, судження за структурою завжди, тричленне: воно складається з суб'єкта, предиката і зв'язки. Якщо зв'язка явно не виражена в мові, це ще не означає, що її немає в судженні. Речення ж має невизначену кількість членів: воно може бути одночленним („Світає”, „Дощить”), двочленним („Прямі перетинаються”) і багаточленним („Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту”).

Усі судження залежно від їх структрури поділяються на дві групи: прості і складні, а в межах цих груп поділяються на окремі види.

Судження, структура яких описується формулами „” („ є ” або „ не є ” ) називаються простими судженнями. Жодна частина такого судження не є судженням, а предикат відображає ознаку, яка належить або не належить цим предметам чи виражає відношення між ними. Наприклад судження: „Циліндр - це просторове тіло”. За змістом предиката прості судження поділяються на:

1. атрибутивні (про належність)

2. релятивні (про відношення)

3. судження існування

Судження існування (або екзистенціальні судження) це судження, які стверджують, що існує певна річ, яка має певну властивість, або перебуває у певному відношенні щодо інших речей. Наприклад „Існує трикутник, що дорівнює даному”.

Судження, в якому стверджується або заперечуеться ознака за предметом, множиною ( класом) або частиною множини ( класу) предметів, незалежно від будь-яких умов, називається категоричним. Категоричні твердження поділяються на види: за якістю; за кількістю; за якістю і кількостю.

Якість судження - це відображення належності або неналежності певної властивості досліджування предмету. Формою вираження якості судження є стверджувальне або заперечне висловлення. Стверджувальним називається судження, в якому стверджується наявність ознаки у даного предмета.

Заперечним називаються судженя, в якому наявність ознаки у даного предмета заперечується. Формула заперечного судження: „не є ”, „не суть”, „ є не”, „ суть не ”.

Кількість судження визначається тією кількістю (множиною) предметів, про яку в ньому йдеться. а цією основою судження поділяються на одиничні, часткові та загальні.

Кожний предмет матеріальної дійсності може бути охарактеризований водночас і якісно, і кількісно. Категоричних суджень є чотири види: загальностверджувальні, частковостверджувальні, загальнозаперечні і частковозаперечні.

Загальностверджувальне - це судження, в якому стверджується якась ознака за множиною ( класом) предметів. Позначається воно великою літерою ( перша літера латинського слова affirmo - стверджую)

Частковостверджувальні - це судження, в якому ознака стверджується за якоюсь частиною множини ( класу) предметів. Позначається воно великою літерою ( друга голосна латинського слова affirmo - стверджую)

Загальнозаперечне це судження, в якому ознака заперечується за множиною (класом) предметів, тобто за кількістю це судження загальне, а за якістю - заперечне. Позначається великою літерою (nego -заперечую).

Частковозаперечне - це судження, в якому ознака заперечується за частиною множини ( класу предметів), тобто це судження часткове за кількістю і заперечне за якістю. Позначається воно великою літерою ( друга голосна латинського слова nego -заперечую).

1.4 Умовивід як третій ступінь логічних форм мислення

Умовивід це форма мислення, що дозволяє з одного або декількох суджень, називаних посилками, витягати за допомогою правил логіки нове судження - висновок [10].

В умовиводі розрізняють посилки висловлення, що представляють вихідне знання, і висновок висловлення, до якого ми приходимо в результаті умовиводу. У природній мові існують слова й словосполучення, що вказують як на висновок («значить», «отже», «звідси видно», «тому», «із цього можна зробити висновок» тощо), так і на посилки умовиводу («тому що», «оскільки», «тому що», «беручи до уваги, що...», «адже» тощо). Представляючи судження в деякій стандартній формі, у логіці прийнято вказувати спочатку посилки, а потім висновок, хоча в природній мові їхній порядок може бути довільним: спочатку висновок потім посилки; висновок може перебувати «між посилками».

Поняття умовиводу як логічної операції тісно пов'язане з поняттям логічного проходження. З огляду на цей зв'язок, ми розрізняємо правильні й неправильні умовиводи. Умовивід, що представляє собою перехід від посилок до висновку, є правильним, якщо між посилками й висновком є відношення логічного проходження. У противному випадку якщо між посилками й висновком немає такого відношення умовивід неправильно. Природно, що логіку цікавлять лише правильні умовиводи. Що ж стосується неправильних, то вони привертають увагу логіки лише з погляду виявлення можливих помилок. У розподілі умовиводів на правильні й неправильні ми повинні розрізняти відношення логічного проходження двох видів дедуктивне й індуктивне. Перше гарантує істинність висновку при істинності посилок. Друге при істинності посилок забезпечує лише деякий ступінь правдоподібності висновку (деяку ймовірність його істинності). Відповідно до цього умовиводи діляться на дедуктивні й індуктивні. Перші інакше ще називають демонстративними (достовірними), а другі правдоподібними (проблематичними).

У силогізм входить рівно три термина:

S менший термін: суб'єкт висновку (входить також у меншу посилку);

P більший термін: предикат висновку (входить також у більшу посилку);

M середній термін: входить в обидві посилки, але не входить на закінчення

Підлягаючий S (суб'єкт) - це те, щодо чого ми висловлюємо умовивід ділиться на два види:

1. Певне: Одиничне, Частка, Множинне.

2. Невизначене.

Присудок P (предикат) - те, що ми висловлюємо складається з 3 видів суджень:

Оповідальні це судження щодо подій, станів, процесів або діяльності;

Описові коли одному або багатьом предметам приписується яканебудь властивість. Суб'єктом завжди є певна річ.

Відношення між підметам і присудкам:

1. Судження тотожності поняття суб'єкта й предиката мають той самий обсяг. Приклад: «усякий рівносторонній трикутник є рівнокутний трикутник».

2. Судження підпорядкування поняття з менш широким обсягом підкоряється поняттю з більше широким обсягом.

3. Судження відносини саме простору, часу, відносин.

Висновок у чисто умовному умовиводі ґрунтується на правилі: наслідок наслідку є наслідок підстави.

Умовивід, у якому висновок виходить із двох умовних посилок, ставиться до простого. Однак висновок може випливати з більшого числа посилок, які утворюють ланцюг умовних суджень. Такі умовиводи називаються складними.

Умовнокатегоричним називається умовивід, у якому одна з посилок умовна, а інша посилка й висновок категоричні судження.

Із чотирьох модусів умовнокатегоричного умовиводу, що вичерпують всі можливі комбінації посилок, достовірні висновки дають два: стверджуючий (modus ponens) (1) і заперечливий (modus tollens) (2). Вони виражають закони логіки й називаються правильними модусами умовнокатегоричного умовиводу. Ці модуси підкоряються правилу: твердження підстави веде до твердження наслідку й заперечення наслідку - до заперечення підстави. Два інших модуси (3 і 4) достовірних висновків не дають. Вони називаються неправильними модусами й підкоряються правилу: заперечення підстави не веде з необхідністю до заперечення наслідку й твердження наслідку не веде з необхідністю до твердження підстави.

Умовивід, у якому одна посилка умовна, а інша розділове судження, називається умовнорозділовим, або лемматичним.

Розділове судження може містити дві, три й більше числа альтернатив, тому лемматичні умовиводи діляться на дилеми (дві альтернативи), трилеми (три альтернативи) і так далі.

Розрізняють два види дилем: конструктивну (творчу) і деструктивну (руйнівну), кожна з яких ділиться на просту й складну.

Індукція це умовивід, у результаті якого на основі знання про окремі предмети якогонебудь класу робиться висновок про весь клас цих предметів.

Спостереження природних явищ і узагальнення отриманих результатів являють собою один з найпоширеніших методів збагнення навколишнього світу. Факти наштовхують людини на загальні закономірності, наводять на них. Тому Аристотель називав цей вид умовиводу наведенням.

Індукцію прийнято підрозділяти на повну й неповну; остання у свою чергу розпадається ще на два різновиди. Крім того, є також наукова індукція.

Найпростішим різновидом індуктивного процесу є повна індукція. У цьому випадку перераховуються все без винятку предмети даного класу. З повною індукцією досить часто доводиться зіштовхуватися в повсякденній практичній діяльності. Ми можемо робити узагальнюючі висновки про ціну на різноманітні товари якогось підприємства, про морозні дні минулого тижня, про поверховість будинків у даному кварталі. При неповній індукції поширені узагальнення, побудовані на основі знання тільки частини всієї сукупності речей, що цікавить нас. У всякому разі, багато наукових законів отримані за допомогою неповної індукції.

Методи наукової індукції розробляються на основі загального вчення про індуктивні умовиводи. Вона може бути повною й неповною у всіх різновидах останньої. Але наукова індукція спрямована на вивчення взаємозалежних явищ.

Аналогія в перекладі із грецького означає подібність, подобу. У логіці, однак, при проведенні аналогії не обмежуються вказівкою на подібність. Воно стає основою для одержання нових висновків про такі об'єкти, пізнання яких за якимись причинами утруднено.

Аналогія являє собою вид умовиводу, у якому знання про один предмет переносяться на предмет іншої природи на підставі наявності подібності між ними.

Говорячи формально, умовивід за аналогією будується в такий спосіб: два предмети володіють рядом подібних ознак a, b, c, причому один з них має ще й ознаку d. Тоді можна зробити припущення, що й у другого теж є ця ознака. Варто пам'ятати, що даний вид умовиводу не завжди приводить до обґрунтованих висновків. Як правило, вони є лише більшменш можливими; до них, тому найчастіше прибігають як до первісних орієнтовних робочих гіпотез, коли ще немає більше надійних способів одержати відповіді на питангня, що нас цікавлять. Вони можуть служити методологічними орієнтирами в наукових дослідженнях, звужують зону пошуку. Отримані за допомогою аналогії результати потім звичайно перевіряють іншими методами.

1.5 Основні закони логіки мислення

У логіці можна навести велику кількість прикладів тотожно істинних суджень. Але найзагальнішими з них, які лежать в основі логічних операцій над поняттями , в судженні й умовиводах, є класичні, основні закони мислення: закон тотожності, закон суперечності; закон третього і закон достатньої підстави [9].

1.Закон тотожності.

Згідно з цим законом логічний зв'язок між думками можливий лише за умови, що ми, міркуючи про якийсь предмет, розглядатимемо саме його і весь час надаватимемо одного й того самого змісту його властивостям (ознакам). Так, з двох суджень „Усі піраміди -просторові тіла” і „Тетраедр піраміда” неминуче випливає висновок: „Тетраедр просторове тіло”. Але висновок цей випливає тільки тоді, коли ми в обох цих судженнях під словом „піраміда” розумітимемо один і той самий предмет і надаватимемо одного й того самого змісту його ознаками. Так само ми маємо мислити і про „просторові тіла” і про „тетраедр”.

Закон тотожності можна сформулювати так: кожна думка про конкретний предмет, про конкретну його властивість у конкретному міркуванні повинна зберігати один і той самий визначениий зміст. Формула цього закону: „ є ” або „” (читається: „ тотожно ”); його можна записати також у вигляді тотожно істинної формули „”. Закон тотожності поширюється на всі форми мислення: поняття, судження і умовиводи. Він найширше застосовується в практиці мислення, бо вимагає чіткості, визначеності наших думок.

2. Закон суперечності.

Закон суперечності говорить про суперечних один одному висловленнях (судженнях), тобто про такі судженнях, одне із яких є запереченням іншого. В одному із суперечних суджень щось затверджується, в іншому це ж саме заперечується.

Якщо позначити буквою А довільне висловлення, то вираження неА, буде запереченням цього висловлення.

Ідея, що виражається законом суперечності, здається простою і навіть банальною: висловлення і його заперечення не можуть бути разом щирими.

Закон протиріччя говорить про суперечні висловлення - звідси його назва. Але він заперечує протиріччя, ідентифікує їх як помилку й тим самим вимагає несуперечності - звідси інше розповсюджене ім'я - закон непротиріччя.

3. Закон виключеного третього.

Закон виключеного третього, як і закон протиріччя, встановлює зв'язок між суперечними один одному висловленнями (судженнями). І зновтаки ідея, що виражається їм, представляється спочатку простою і очевидною: із двох суперечних висловлень одне є щирим.

Істинність заперечення рівнозначна хибності твердження. У силу цього закон виключеного третього можна передати й так: кожне висловлення є щирим або помилковим.

4. Закон достатньої підстави

Четвертий основний закон формальної логіки виражає ту фундаментальну властивість логічної думки, що називають обґрунтованістю або доведеністю. Формулюється він звичайно так: усяка думка щира або помилкова не сама по собі, а в силу достатньої підстави. Це значить: будьяке положення, перш ніж стати науковою істиною, повинне бути підтверджене аргументами, достатніми для визнання його твердо й незаперечно доведеним. Закон достатньої підстави був уведений математиком Лейбницем і не відразу одержав визнання логіків.

РОЗДІЛ 2

ВПЛИВ ВИБОРУ МЕТОДІВ НАВЧАННЯ НА РОЗВИТОК

ЛОГІЧНОГО МИСЛЕННЯ УЧНІВ У ШКОЛІ

2.1 Традиційні методи навчання та їх класифікація

Метод навчання -- це взаємопов'язана діяльність викладача та учнів, спрямована на засвоєння учнями системи знань, набуття умінь і навичок, їх виховання і загальний розвиток [11].

У вузькому значенні метод навчання є способом керівництва пізнавальною діяльністю учнів, що має виконувати три функції: навчаючу, виховну і розвиваючу. Він є складним педагогічним явищем, в якому поєднані гносеологічний, логікозмістовий, психологічний та педагогічний аспекти. Складовою методу навчання є прийом навчання.

Прийом навчання -- це сукупність конкретних навчальних ситуацій, що сприяють досягненню проміжної (допоміжної) мети конкретного методу.

Методи навчання класифікують на загальні (можуть використовуватися в процесі навчання будьяких навчальних предметів) і спеціальні (застосовуються для викладання окремих предметів, але не можуть бути використані при викладанні інших предметів).

За іншою класифікацією їх поділяють на: методи готових знань (учні пасивно сприймають подану викладачем інформацію, запам'ятовують, а в разі необхідності відтворюють її) і дослідницький метод (передбачає активну самостійну роботу учнів при засвоєнні знань: аналіз явищ, формулювання проблеми, висунення і перевірка гіпотез, самостійне формулювання висновків), який найбільш повно реалізується в умовах проблемного навчання.

Залежно від походження інформації виділяють: словесні, наочні та практичні методи.

Залежно від мети виділяють: методи здобуття нових знань, метод формування умінь і навичок, метод застосування знань на практиці, методи творчої діяльності, методи закріплення знань, умінь і навичок, методи перевірки і оцінювання знань, умінь і навичок.

Досить розгалуженою є класифікація методів навчання за особливостями навчальнопізнавальної діяльності учнів, яку складають:

-- пояснювальноілюстративний (інформаційнорецептивний) метод: викладач організує сприймання та усвідомлення учнями інформації, а учні здійснюють сприймання (рецепцію), осмислення і запам'ятовування її;

-- репродуктивний: викладач дає завдання, у процесі виконання якого учні здобувають уміння застосовувати знання за зразком;

-- проблемного виконання: викладач формулює проблему і вирішує її, учні стежать за ходом творчого пошуку (учням подається своєрідний еталон творчого мислення);

-- частковопошуковий.(евристичний): викладач формулює проблему, поетапне вирішення якої здійснюють учні під його керівництвом (при цьому відбувається поєднання репродуктивної та творчої діяльності учнів);

-- дослідницький: викладач ставить перед учнями проблему, і ті вирішують її самостійно, висуваючи ідеї, перевіряючи їх, підбираючи для цього необхідні джерела інформації, прилади, матеріали тощо.

Залежно від особливостей викладання та навчання, в яких поєднуються методи викладання (діяльність викладача) з відповідними методами навчання (діяльність учнів) методи навчання класифікуються як: