Розвиток логічного мислення школярів на уроках математики

Поняття, думка, висновок як основні форми мислення. Формування в учнів характерних для математики прийомів розумової діяльності. Підходи до становлення логіко-математичного мислення. Його розвиток за допомогою системи нестандартних розвиваючих завдань.

Рубрика Педагогика
Вид курсовая работа
Язык украинский
Дата добавления 21.02.2015
Размер файла 44,4 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсова робота

Розвиток логічного мислення школярів на уроках математики

Зміст

Вступ

Розділ 1. Теоретичні аспекти проблеми розвитку логічного мислення школярів на уроках математики

1.1 Проблема розвитку мислення в процесі навчання

1.2 Шляхи і засоби розвитку логічного мислення

Розділ 2. Розвиток логічного мислення учнів за допомогою системи розвиваючих завдань

Висновки

Список використаних джерел

Вступ

Вивчення математики в школі направлене на досягнення, в першу чергу, цілей інтелектуального розвитку учнів, формування якостей мислення, характерних для математичної діяльності і необхідних людині для життя в сучасному суспільстві, для загальної соціальної орієнтації і рішення практичних проблем.

У сферу інтересів особи входить уміння адаптуватися до нових умов життя: аналізувати ситуацію, адекватно змінювати організацією свою діяльність, уміти володіти засобами комунікації, здобувати інформацію і користуватися нею. Якщо з цієї точки зору звернутися до цілей шкільної математичної освіти, то одним з першочергових і найважливіших завдань є розвиток мислення учнів. «Учити потрібно не думкам, а мислити», - ці слова німецького філософа і ученого XVIII в. И. Канта мають велике значення, є пріоритетним принципом в навчанні математиці. Основною метою освітнього процесу стає засвоєння певних способів мислення, які забезпечують розуміння і вироблення нових знань[14, с.24].

Останніми роками багато і часто говорять про недостатню ефективність процесу навчання. Вчителі стурбовані тим, що школярі насилу засвоюють навчальний матеріал, не можуть застосовувати знання в зміненій ситуації, вибрати той або інший метод розв`язку рівнянь. Більше всього посилаються на те, що учні не вивчають правила, не уміють застосовувати їх, не можуть вивчити теорему. В той же час в школі все ще переважає традиційна модель, орієнтована на засвоєння знань, умінь і навиків учнів, і інформаційні методи навчання.

А з іншого боку, вивчення математики пов'язане із специфічними математичними видами пізнавальної діяльності, це загальні і специфічні. Серед загальних видів пізнавальної діяльності головне місце займають логічні прийоми мислення. З погляду діяльнісного підходу до навчання, слід озброюватись системою загальних і специфічних прийомів діяльності - як розумовою, так і практичною. Очевидно, що логічні розуміння є найважливішим компонентом розумової діяльності, оскільки однією з істотних характеристик мислення є те, що це логічно організований пошуковий процес, зосереджений на вирішуваній проблемі.

Отже, вчителі найчастіше не володіють повною мірою уміннями розвивати логічне мислення, організовувати навчальну діяльність учнів по засвоєнню поняття, правила, методів рішення математичних завдань, відбирати для цього навчальний матеріал. В результаті не створюються умови для ефективного розвитку загально-навчальних умінь.

У цих випадках навчання є інформаційним: вчитель розповів новий матеріал, показав зразки рішення задачі або рівняння, перевірив знання правив, теорем, дав завдання для самостійного вирішення і оцінив виконання їх. В цьому випадку не доводиться говорити про розвиток учнів. Таке навчання не робить істотного впливу як на загальний психічний розвитку дітей, так і на розвиток їх спеціальних здібностей. Не можна не погодитися з думкою відомого американського математика і методиста Д. Пойа, що, якщо викладач математики «заповнить відведений йому навчальний час натаскуванню учнів в шаблонних вправах, він уб'є їх інтерес, загальмує їх розумовий розвиток і упустить свої можливості». Розвиток учнів багато в чому залежить від тієї діяльності, яку вони виконують в процесі навчання, - репродуктивною або продуктивною (творчою) [13].

Творча діяльність учня, направлена на творче розуміння засвоюваного матеріалу і породження нових способів дії, її розвиток залежать від наявності трьох складових мислення: 1) високий рівень сформованості елементарних розумових операцій; 2) високий рівень активності мислення, що виявляється у висуненні безлічі гіпотез, варіантів рішень, нестандартних ідей; 3) високий рівень організованості і цілеспрямованості мислення, що виявляється у виділенні істотного в явищах, усвідомленні власних способів мислення.

Сформованість названих якостей мислення дозволить подолати труднощі в оволодінні навчальним матеріалом і приведе до розвитку творчої особи учня. Це пояснюється тим, що учень, отримуючи теоретично обгрунтовані способи дій, знання, може самостійно виробляти подібні способи в незнайомих ситуаціях або нові способи при рішенні поставлених проблем.

Таким чином, завдання вчителя зводиться до формування вказаних компонентів мислення. При цьому інструментом для розвитку мислення є цікаві завдання (завдання на «міркування», логічні завдання, головоломки, нестандартні завдання). Їх можна успішно використовувати на уроках як додатковий, допоміжний шлях для тренінгу мислення і формування елементів творчої діяльності.

Слід зазначити, що в переважній більшості підручників і дидактичної літератури для середньої школи практично відсутні завдання, які б сприяли підготовці учнів до діяльності творчого характеру і формуванню у них відповідних інтелектуальних умінь. У традиційних підручниках, в основному, містяться завдання, що вимагають «обчислити», «знайти», «вирішити», «перевірити», «перерахувати» і т.д. Такий матеріал не орієнтує вчителя на організацію діяльнісного підходу до навчання учнів. Якщо ж ми хочемо навчити школяра логічно мислити, то треба учити саме цьому, потрібно давати можливо більше вправ, що розвивають здібність до логічного мислення, як взагалі потрібно багато вправлятися, щоб навчитися якому-небудь виду діяльності [7, с.37-39].

Необхідно використовувати на уроках завдання нестандартні, завдання, що вимагають відомої незалежності мислення, здорового глузду, оригінальності.

Все це приводить вчителя до необхідності шукати нестандартні завдання в різних навчальних посібниках, методичній літературі.

За час моєї роботи в школі спостерігалося зниження пізнавального інтересу до уроків математики, рівня успішності учнів, обумовленого недостатньо розвиненим мисленням, недостатнім розвитком математичної мови і обчислювальних навичок в учнів, розвитку обдарованих дітей. Тому стало необхідним урізноманітити методи навчання, активізувати пізнавальну і розумову діяльність учнів. Розвиваючі завдання - відмінний інструмент для такого розвитку, вони дають можливість включити в активну роботу всіх учнів, розвинути самостійність, пізнавальний інтерес, формують математичний стиль мислення, розвивають здібності дітей. Викладені вище факти визначили тему моєї дослідницької роботи «Розвиток логічного мислення учнів за допомогою розвиваючих завдань на уроках математики».

Об'єктом дослідження є проблема розвитку логічного мислення при рішенні нестандартних завдань школярами на уроках математики.

Предметом дослідження є різноманітність методів і форм по розвитку логічного мислення в процесі вирішення завдань.

Актуальність дослідження обумовлена необхідністю вирішення проблеми розвитку логічного мислення учнів в процесі навчання, розвитку інтересу до математики, підвищення якості навчально-виховного процесу, розвитку обдарованих дітей.

Мета дослідження: пошук, розробка і перевірка навчально-методичних умов формування і розвитку логічного мислення через вирішення нестандартних завдань на уроках математики.

Гіпотеза дослідження: розвиток логічного мислення на уроках математики, підвищення рівня знань в учнів може бути досягнуте, якщо:

1. Створити систему розвивальних завдань.

2. Використовувати широкий спектр проблемних, дослідницьких, пошукових методів, орієнтованих чітко на реальний практичний результат.

3. Навчити дітей самостійно мислити, логічно міркувати, вести пошук потрібної інформації, аналізувати, робити узагальнення, висновки.

Виходячи з поставленої мети і висунутої гіпотези належить вирішити наступні завдання:

1. З'ясувати залежність підвищення об'єму логічного мислення і рівня знань, умінь від ступеня використання різноманітних розвиваючих завдань, вправ.

2. Визначити ефективні форми і методи формування логічного мислення і інтересу до уроків математики.

3. Виявити ефективність роботи по вибраній темі.

Розділ 1. Теоретичні аспекти проблеми розвитку логічного мислення школярів на уроках математики

1.1 Проблема розвитку мислення в процесі навчання

Проблема розвитку мислення в різні часи розглядалася різними психологами. Сучасна психологічна наука розуміє мислення як вищий пізнавальний процес. Воно є формою творчого віддзеркалення людиною дійсності, що породжує такий результат, якого в самій дійсності або у суб'єкта на даний момент часу не існує. Мислення людини також можна розуміти як творче перетворення наявних в пам'яті уявлень і образів [14].

Відмінність мислення від решти психологічних процесів пізнання полягає в тому, що воно завжди пов'язане з активною зміною умов, в яких знаходиться людина. Мислення завжди направлене на рішення якої-небудь задачі. В процесі мислення проводиться цілеспрямоване і доцільне перетворення дійсності.

Мислення - це особливого роду розумова і практична діяльність, що припускає систему включених в неї дій і операцій пізнавального характеру.

Розумова деятельность людей здійснюється за допомогою розумових операцій: порівняння, аналізу, синтезу, абстракції, узагальнення і конкретизації.

Порівняння - це зіставлення предметів і явищ з метою знайти схожість і відмінність між ними. У навчальній діяльності школяра порівняння грає дуже важливу роль. Порівнюючи, наприклад, операції множення і ділення, трикутник і прямокутник, школяр глибше пізнає особливості даних предметів і явищ. Аналіз - це уявне розчленовування предмету або явища на створюючі його частини, виділення у ньому окремих частин, ознак і властивостей. Синтез - це уявне з'єднання окремих елементів або частин в єдине ціле. У реальному розумовому процесі аналіз і синтез завжди виконуються спільно. Аналіз і синтез - найважливіші розумові операції, в єдності вони дають повне і всебічне знання дійсності. Аналіз дає знання окремих елементів, а синтез, спираючись на результати аналізу, об'єднуючи ці елементи, забезпечує знання об'єкту в цілому. Для запам'ятовування певного тексту учень виділяє в нім окремі частини, смислові шматки і намагається зрозуміти, як вони логічно зв'язані в єдине ціле.

Абстракція - це уявне виділення яких-небудь істотних ознак, властивостей об'єктів при одночасному відверненні від всіх інших їх властивостей і ознак. В результаті абстракції виділена властивість або ознака сама стає предметом мислення. Всі математичні поняття якраз і представляють собою абстрактні об'єкти. Так, наприклад, поняття геометричної фігури утворюється шляхом виділення в спостережуваних предметах їх форми, протяжності і взаємного положення в просторі і відвернення від всіх інших властивостей (матеріалу, кольору, маси.)

Абстракція лежить в основі узагальнення - уявного об'єднання предметів і явищ в групи по тих загальних і істотних ознаках, які виділяються в процесі абстрагування.

У навчальній роботі школярів узагальнення зазвичай виявляється у висновках, визначеннях, правилах. Школярам іноді важко провести узагальнення, оскільки далеко не завжди їм вдається самостійно виділити не просто загальні, але і істотні загальні ознаки. Деякі психологи (Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов) розрізняють два види узагальнення: формально-емпіричне і змістовне (теоретичне). Формально-емпіричне узагальнення здійснюється шляхом порівняння ряду об'єктів і виявлення зовні однакових і загальних ознак. Теоретичне узагальнення засноване на глибокому аналізі об'єктів і виявленні прихованих загальних і істотних ознак, відносин і залежностей.

Конкретизація - це уявний перехід від загального до одиничного, яке відповідає цьому загальному. У навчальній діяльності конкретизувати - означає привести приклад, ілюстрацію, конкретний факт, підтверджуючий загальне теоретичне положення, правило, закон. У навчальному процесі конкретизація має велике значення: вона пов'язує наші теоретичні знання з життям, з практикою і допомагає правильно зрозуміти дійсність. Відсутність конкретизації приводить до формалізму знань, які залишаються голими і даремними абстракціями, відірваними від життя [19].

Основні форми мислення.

Розрізняють три основні форми мислення: поняття, думка, висновок.

Поняття - це форма мислення, в якій відбиваються загальні і притому істотні властивості предметів і явищ.

Кожен предмет, кожне явище мають багато різних властивостей, ознак. Ці властивості, ознаки, можна розділити на дві категорії - істотні і неістотні. Наприклад, кожен окремий трикутник має три кути, певні розміри - довжина сторін і площа, певна величина кутів, форма. Але тільки перша ознака робить фігуру трикутником, дозволяє відрізнити її від інших фігур: прямокутника, кола, трапеції. Решта ознак відрізняє один трикутник від іншого; при зміні їх трикутник не перестане бути трикутником.

У понятті містяться лише властивості, загальні і істотні для цілого ряду однорідних предметів. Поняття існує у вигляді значення слова, позначається словом. Кожне слово узагальнює (окрім, зрозуміло, слів, що позначають імена власні). У поняттях наші знання про предмети і явища дійсності кристалізуються в узагальненому і відвернутому вигляді. В цьому відношенні поняття істотно відрізняється від сприйняття і представлення пам'яті: сприйняття і уявлення конкретні, образні, наочні; поняття володіє узагальненим, абстрактним, не наочним характером.

Поняття - розвиненіша і всебічна форма пізнання, воно значно ширше і повніше відображає дійсність, чим уявлення.

В процесі суспільно-історичного розвитку пізнання розширюється, заглиблюється і змінюється зміст понять [ 7, c. 37-39].

Думка. У думках відбиваються зв'язки і відносини між предметами і явищами навколишнього світу і їх властивостями і ознаками. Думка - це форма мислення, що містить твердження і заперечення якого-небудь положення щодо предметів, явищ або їх властивостей.

Думки бувають загальними приватними і одиничними. У загальних думках стверджується або заперечується щось щодо всіх предметів і явищ, що об'єднуються поняттям. У приватній думці мова йде тільки про частину предметів і явищ, що об'єднуються поняттям. Одинична думка - це думка, в якій мова йде про якому-небудь індивідуальному понятті.

Думку розкриває зміст понять. Знати який-небудь предмет або явище - означає уміти висловити про нього правильну і змістовну думку, тобто уміти судити про нього .

Істиність думок перевіряється суспільною практикою людини.

Висновок. Висновок - така форма мислення, в процесі якої людина, зіставляючи і аналізуючи різні думки, виводить з них нову думку. Типовий приклад висновку - доказ геометричних теорем. Людина користується в основному двома видами висновків - індуктивними і дедуктивними.

Індукція - це спосіб міркування від приватних думок до загальної думки, встановлення загальних законів і правил на підставі вивчення окремих фактів і явищ.

Дедукція - це спосіб міркування від загальної думки до приватної думки, пізнання окремих фактів і явищ на підставі знання загальних законів і правил.

Індукція починається з накопичення знання про можливо більше число в чому-небудь однорідних предметів і явищ, що дає можливість знайти схоже і відмінне в предметах і явищах і опустити неістотне і другорядне. Узагальнюючи схожі ознаки цих предметів і явищ, роблять загальний висновок, встановлюють загальне правило або закон.

Дедуктивний висновок дає людині знання про конкретні властивості і якості окремого предмету на основі знання загальних законів і правил.

Основні види мислення.

Розрізняють три види мислення: 1) наочно-дієве, 2) наочно-образне і 3)словесно-логічне (теоретичне).

Найранішим ступенем в розвитку мислення дитини є наочно-дієве мислення. Воно характеризується тим, що завдання, що підлягає рішенню, дається наочно і вирішується руками, тобто з практичною дією. Ця форма «мислення руками» не зникає з розвитком вищих форм логічного мислення. З розвитком мови і накопиченням досвіду дитина приходить до наочно-образного мислення. Дитина мислить образами, а слово, яким вона володіє, допомагає їй робити узагальнення. Дитина, прийшовши в школу, в основному мислить, спираючись на конкретні образи. Але повне і глибоке вивчення програмного матеріалу сприяє розвитку словесно-логічного мислення.

Логічне мислення є вищим ступенем розумового розвитку дитини, проходить тривалий шлях розвитку. Воно характерне тим, що здійснюється у формі абстрактних понять і міркувань. У складних розумових діях дорослого є елементи всіх трьох видів мислення, але якийсь один з них зазвичай переважає. Так при доказі теорем, рішенні завдань домінує, звичайно теоретичний тип мислення, хоча там використовуються і елементи наочного дієвого і наочно-образного мислення (побудова креслень, схем, уявні і практичні їх перетворення і т.п.).

Одночасно з розвитком мислення у дитини розвивається і мова. У мові думка знаходить матеріальну форму, в якій вона тільки і може бути сприйнята іншими людьми і самою людиною [ 4 ].

Високорозвинуте мислення взагалі неможливе поза мовою, воно завжди пов'язане з мовою, і мова виступає як матеріальна оболонка мислення.

Логічне мислення, на відміну від практичного, здійснюється тільки словесним шляхом. Навчання дитини доказу вимагає від нього сформованості умінь правильно міркувати, що безпосередньо виявляється через правильність математичної мови дитини. Математична мова і уміння правильно міркувати тісно пов'язані один з одним.

Про людину, у якої добре розвинене логічне мислення, говорять, що вона грунтовно мислить, дисципліновано міркує. Така людина, як правило, не допускає помилок в своїх міркуваннях і висновках. Добре розвинене логічне мислення застерігає людину від промахів і помилок в практичній діяльності. І ця якість розвивається головним чином в процесі вивчення математики, бо математика - це практична логіка, в ній кожне нове положення отримане за допомогою точних обгрунтованих міркувань на основі раніше відомих положень, тобто точно доводиться. Математика привчає до логічного мислення. У математиці учень з найбільшою повнотою, найбільш опукло і зорово може побачити демонстрацію майже всіх основних законів елементарної логіки.

Рішення будь-якої задачі по математиці - це, перш за все, ланцюг міркувань. Обчислення, перетворення, побудови, якими так часто доводиться користуватися для вирішення завдань, неможливі без логічних міркувань: вони прямують міркуваннями. Отже, в математиці неможливо обійтися без логіки. Для успішного вивчення математики треба наполегливо вчитися правильно міркувати.

Мислення людини, і зокрема школяра, найяскравіше виявляється при рішенні завдань.

Будь-яка розумова діяльність починається з питання, яке ставить перед собою чоловік, не маючи готової відповіді на нього. Іноді це питання ставлять інші люди (наприклад, вчитель), але завжди акт мислення починається з формулювання питання, на яке треба відповісти, завдання, яке необхідно вирішити, з усвідомлення чогось невідомого, що треба зрозуміти, з'ясувати.

Рішення розумової задачі починається з ретельного аналізу даних, з'ясування того, що дане, що має в своєму розпорядженні людина. Ці дані зіставляють один з одним і з питанням, співвідносять з колишніми знаннями і досвідом людини. Людина намагається привернути принципи, успішно застосовані раніше при рішенні задачі, схожої з новою. На цій основі виникає гіпотеза, намічається спосіб дій, шлях рішень. Практична перевірка гіпотези, перевірка шляху рішення може показати помилковість намічених дій. Тоді шукають нову гіпотезу, інший спосіб дії, причому тут важливо ретельно з'ясувати причини попередньої невдачі, зробити з неї відповідні висновки.

Зв'язок мови і мислення не тільки дозволяє глибше проникати в явища дійсності, у відносини між речами, діями, якостями, але і має в своєму розпорядженні систему синтаксичних конструкцій, які дають можливість сформулювати думку, виразити її. Мова має в своєму розпорядженні складніші утворення, які дають основу для теоретичного мислення і які дозволяють людині вийти за межі безпосереднього досвіду і робити висновки відвернутими вербально-логічними шляхом. До апаратів логічного мислення відносяться і ті логічні структури, моделлю яких є силогізм. Перехід до складних форм суспільної діяльності дає можливість опанувати тими засобами мови, які лежать в основі найбільш високого рівня пізнання - теоретичного мислення.

1.2 Шляхи і засоби розвитку логічного мислення

Розвиток мислення при вивченні математики полягає у формуванні в учнів характерних для цього предмету прийомів розумової діяльності. При цьому важливо, щоб в структуру розумової діяльності школярів крім алгоритмічних умінь і навиків, фіксованих в стандартних правилах, формулах і способах дій, увійшли евристичні прийоми, які необхідні для вирішення творчих завдань, застосування знань в нових ситуаціях, докази висловлюваних тверджень.

Процес навчання припускає цілеспрямоване управління розумовою діяльністю учнів, що приводить до просування учнів в їх розумовому розвитку. Щоб розвинути мислення учнів, потрібно показати їм як функціонує мислення на практиці. Розвиток відбувається в діяльності, тому необхідно створювати учням умови відповідної діяльності, потрібно демонструвати складну картину пошуку рішення, всю складність цієї роботи. В цьому випадку учні стають активними учасниками процесу пошуку рішення, починають розуміти джерела виникнення рішення. Як результат - ними легше освоюються причини помилок, утруднень, оцінюється знайдений спосіб рішення і хід логічних думок, а без цього знання не можуть перейти в переконання.

Системний розвиток логічного мислення повинен бути невідривний від уроку, кожен учень повинен брати участь в процесі рішення не тільки стандартних завдань, але і завдань розвиваючого характеру (активно або пасивно).

На уроках вчитель повинен моделювати ту розумову діяльність, яка потрібна на даному етапі розвитку (учити аналізувати завдання, робити креслення, виявляти відносини об'єктів і т.д.). Це має повчальне і виховуюче значення: учні залучаються до методу пошуку, орієнтуються не тільки на результат, але і на процес його досягнення, тобто вчаться мислити логічно.

Можна виділити два підходи до формування і становлення логіко-математичного мислення:

Ш традиційне навчання, що приводить залежно від дії і інших об'єктивних причин до формування або емпіричного, або теоретичного мислення;

Ш спеціально організоване навчання, орієнтоване на формування навчальної діяльності, що приводить до становлення теоретичного мислення.

Для формування логічного мислення пріоритетним є другий підхід.

Основним засобом розвитку математичних здібностей в учнів є завдання. Не випадково відомий сучасний математик Д. Пойа пише: «Що означає володіння математикою? Це є уміння вирішувати завдання, причому не тільки стандартні, але і такі, що вимагають відомої незалежності мислення, здорового глузду, оригінальності, винахідливості»[ 13].

Одна з головних причин утруднень учнів при рішенні завдань, полягає в тому, що математичні завдання, що містяться в основних розділах шкільних підручників, як правило, обмежені однією темою. Їх рішення залежить від знань, умінь і навиків учнів по якому-небудь одному питанню програмового матеріалу і не передбачає широких зв'язків між різними розділами шкільного курсу математики. Роль і значення таких завдань вичерпуються в перебігу того нетривалого періоду, який відводитися на вивчення (повторення) того або іншого питання програми. Функція таких завдань найчастіше зводитися до ілюстрації теоретичного матеріалу, що вивчається, до роз'яснення його сенсу. Тому учню неважко знайти метод рішення даної задачі. Цей метод іноді підказується назвою розділу підручника або задачника, темою, що вивчається на уроці, вказівками вчителя і т.д. Самостійний пошук методу рішення учнем тут мінімальний. При рішенні завдань на повторення, в учнів, як правило, виникають певні труднощі.

На жаль, в практиці навчання математиці рішення завдань найчастіше розглядається лише як засіб свідомого засвоєння школярами програмового матеріалу. І навіть завдання підвищеної складності спеціальних збірок, призначених для позакласної роботи, в основному мають на меті закріплення умінь і навиків стандартних завдань, в рішенні, завдань певного типу. А тим часом функції завдань дуже різноманітні: повчальні, такі, що розвивають, виховують, контролюючі.

Кожна пропонована функція для вирішення завдання може слугувати багатьом конкретним цілям навчання. Та все ж головна мета завдань - розвинути творче мислення учнів, зацікавити їх математикою, привести до «відкриття» математичних фактів. Досягти цієї мети за допомогою одних стандартних завдань неможливо, хоча стандартні завдання, безумовно, корисні і необхідні, якщо вони дані вчасно і в потрібній кількості. Слід уникати великого числа стандартних завдань як на уроці, так і в позакласній роботі, оскільки в цьому випадку сильні учні можуть втратити інтерес до математики і навіть випробувати огиду до неї. Ознайомлення учнів лише із спеціальними способами рішення окремих типів завдань створюють, на мій погляд, реальну небезпеку того, що учні обмежаться засвоєнням одних шаблонних прийомів і не придбають уміння самостійно вирішувати незнайомі завдання ("Ми такі" завдання не вирішували", - часто заявляють учні, зустрівшись із завданням незнайомого типу).

У системі завдань шкільного курсу математики, безумовно, необхідні завдання, направлені на відпрацювання того або іншого математичного навику, завдання ілюстративного характеру, тренувальні вправи, що виконуються за зразком. Але не менш необхідні завдання, направлені на виховання в учнів стійкого інтересу до вивчення математики, творчого відношення до навчальної діяльності математичного характеру. Необхідні спеціальні вправи для навчання школярів способам самостійної діяльності, загальним прийомам рішення завдань, для оволодіння ними методами наукового пізнання реальної дійсності і прийомам продуктивної розумової діяльності, якими користуються учені-математики, вирішуючи ту або іншу задачу. Здійснюючи цілеспрямоване навчання школярів рішенню завдань, за допомогою спеціальних підібраних вправ, можна учити їх спостерігати, користуватися аналогією, індукцією, порівняннями, і робити відповідні висновки.

Необхідно на уроках систематично використовувати завдання, сприяючи цілеспрямованому розвитку творчого мислення учнів, їх математичному розвитку, формуванню у них пізнавального інтересу і самостійності. Такі завдання вимагають від школярів спостережливості, творчості і оригінальності. Ефективний розвиток математичних здібностей в учнів неможливий без використання в навчальному процесі завдань на кмітливість, завдань-жартів, математичних ребусів, софізмів.

Як засоби розвитку логічного мислення можуть виступати цікаві завдання (завдання «на міркування», головоломки, нестандартні завдання, логічні завдання).

Цікавий матеріал багатообразний, але його об'єднує наступне:

Ш спосіб рішення цікавих завдань не відомий. Для їх вирішення характерний, броунівський рух думки, тобто до рішення приводить метод проб і помилок. Пошукові проби рішення можуть в окремих випадках закінчитися здогадкою, яка є знаходженням шляху шуканого рішення.

Ш цікаві завдання сприяють підтримці інтересу до предмету і грають роль мотиву до діяльності учнів. Незвичність сюжету, способу презентації завдання знаходять емоційний відгук у дітей і ставлять їх в умови необхідності її рішення;

Ш цікаві завдання складені на основі знань законів мислення.

Систематичне застосування завдань такого вигляду сприяє розвитку вказаних розумових операцій і формуванню математичних представлень дітей. Для вирішення таких завдань характерний процес проб. Поява здогадки свідчить про розвиток у дітей таких якостей розумової діяльності, як кмітливість.

Кмітливість - це особливий вид прояву творчості. Вона виражається в результаті аналізу, порівнянь, узагальнень, встановлення зв'язків, аналогії, висновків. Про прояви кмітливості свідчить уміння обдумовувати конкретну ситуацію, встановлювати взаємозв'язки, на основі яких вирішальні завдання приходять до висновків, узагальнень. Кмітливість є показником уміння оперувати знаннями. З цього виходить, що кмітливість, що спричиняє за собою здогадку як результат пошуку рішення цікавої задачі, не є щось дане зверху. Ці якості розумової діяльності можна і потрібно розвивати в процесі навчання [ 18 ].

У будь-якому випадку здогадці як способу рішення задачі передує ретельний аналіз: виділення в завданні істотних ознак, просторового розташування і узагальнення ряду фігур, їх властивостей, схожих ознак і т.п. Проте для вирішення цікавих завдань метод проб і помилок ненадійний і нераціональний. Набагато ефективніший спосіб - озброїти дітей тими прийомами розумової діяльності, які необхідні при цьому: аналіз і синтез, порівняння, аналогія, класифікація. Пропонуючи учням цікаві завдання, ми формуємо у них здатність виконувати ці операції і одночасно розвиваємо їх.

Звичайно, не можна привчати дітей вирішувати тільки ті завдання, які викликають у них інтерес. Але не можна і забувати, що такі завдання учень вирішує легше і свій інтерес до рішення однієї або декількох завдань він може надалі перенести і на «нудні» розділи, неминучі при вивченні будь-якого предмету, у тому числі і математики. Таким чином, вчитель, охочий навчити школярів вирішувати завдання, повинен викликати у них інтерес до завдання, переконати, що від рішення математичної задачі можна отримати таке ж задоволення, як від розгадування кросворду або ребусу.

Завдання не повинні бути дуже легкими, але і не повинні бути дуже важкими, оскільки учні, не вирішивши задачу або не розібравшись в рішенні, запропонованому вчителем, можуть втратити віру в свої сили. Не слід пропонувати учням завдання, якщо немає упевненості, що вони зможуть її вирішити. Ну а як же допомогти що вчиться навчитися вирішувати завдання, якщо інтерес до рішення завдань у нього є і труднощі рішення його не лякають? У чому повинна полягати допомога вчителя учневі, що не зумів вирішити цікаву для нього задачу? Як ефективним чином направити зусилля учня самостійно почати або продовжити рішення задачі?

Не слід йти по найлегшому в цьому випадку шляху - знайомити учня з готовим рішенням. Не слід і підказувати, до якого розділу шкільного курсу математики відноситься запропоноване завдання, які відомі властивості і теореми потрібно застосувати при рішенні. Рішення нестандартної задачі - дуже складний процес, для успішного здійснення якого учень повинен уміти думати, здогадуватися.

Необхідне також хороше знання фактичного матеріалу, володіння загальними підходами до рішення завдань, досвід в рішенні нестандартних завдань. В процесі рішення кожної задачі і учневі, вирішальному завдання, і вчителеві, повчальному рішенню завдань, доцільно чітко розділяти чотири ступені: 1) вивчення умови завдання; 2) пошук плану рішення і його складання; 3) здійснення плану, тобто оформлення знайденого рішення; 4) вивчення отриманого рішення - критичний аналіз результату рішення і відбір корисної інформації. Навіть при рішенні нескладного завдання учні багато часу витрачають на міркування про те, за що узятися, з чого почати. Щоб допомогти учням знайти шлях до рішення завдань, вчитель повинен уміти поставити себе на місце вирішального завдання, спробувати побачити і зрозуміти джерело його можливих утруднень, направити його зусилля в найбільш природне русло. Уміла допомога учневі, що залишає йому розумну частку самостійної роботи, дозволить дитині розвинути математичні здібності, накопичити досвід, який надалі допоможе знаходити шлях до рішення нових завдань. «Краще, що може зробити вчитель для учня, полягає в тому, щоб шляхом ненастирливої допомоги підказати йому блискучу ідею... Хороші ідеї мають своїм джерелом минулий досвід і раніше придбані знання... Часто виявляється доречним почати роботу з питання: «Чи відоме вам яке-небудь споріднене завдання?» (Пойа Д.) [ 13 ].

Таким чином, хорошим засобом навчання рішенню завдань, засобом для знаходження плану рішення є допоміжні завдання. Уміло поставлені допоміжні питання, допоміжне завдання або система допоміжних завдань допоможуть зрозуміти ідею рішення. Необхідно прагнути до того, щоб учень випробував радість від рішення важкої для нього задачі, отриманої за допомогою допоміжних завдань або навідних питань, запропонованих вчителем.

Розділ 2. Розвиток логічного мислення учнів за допомогою системи розвиваючих завдань

Для здійснення формування логічного мислення учнів можна скласти систему розвиваючих завдань по темах:

* аналогія;

* виключення зайвого;

* класифікація;

* логічні завдання;

* перебір;

* завдання з геометричним змістом;

* завдання «на переливання»;

* завдання-жарти;

* ребуси;

* цікаві завдання.

Ці завдання можна розділити на групи, враховуючи їх дію на розумову діяльність учнів.

Формування гнучкості розуму, звільнення мислення від шаблонів відбувається при рішенні завдань-жартів, цікавих завдань, завдань на перебір варіантів, оскільки в більшості випадків ці завдання не прив'язані до тем і не вимагає особливої теоретичної підготовки.

Логічні завдання, ребуси, завдання «на переливання», завдання на класифікацію вчать школярів умінню міркувати, формують математичний стиль мислення, розвивають логико-лінгвістичні здібності дітей, які приводять до уміння чітко мислити, повноцінно логічно міркувати і ясно висловлювати свої думки [4, с.128]

Завдання на аналогію і виключення зайвого використовується для формування умінь пошуку рішення завдань, інтуїції, вимагають знання теорії і нешаблонного підходу до рішення.

Завдання з геометричним змістом націлені на знання геометричних фігур і їх властивостей як основи для формування просторових і образотворчих умінь школярів, на розширення кругозору.

Вчитель, що викладає в 5-6 класах, може розвивати логічне мислення учнів за допомогою створеної системи. Для цього необхідно враховувати наступне:

Ш вибрані завдання повинні бути посильними для дітей;

Ш завдання, відібрані для одного уроку, повинні бути різноманітними для дії на різні компоненти мислення;

Ш якщо учні не справляються із завданням, то доцільно залишити його на обдумування до наступного уроку;

Ш учням можна дати необов'язкове домашнє завдання по складанню аналогічних завдань;

Ш якщо на уроці час обмежений, то ці завдання можна застосовувати на заняттях гуртка математики.

Учні добре сприймають ці завдання. Діти бачать в них відпочинок від утомливого, іноді одноманітного часто арифметичного тренування. Це ненав'язливий засіб навчання логічним прийомам, які застосовуються в кожному математичному міркуванні.

Система розвиваючих завдань

Аналогія

Аналогія - це схожість між об'єктами в деякому відношенні. Використання аналогії в математиці є однією з основ пошуку рішення завдань. Завдання цієї серії направлені на відбір таких пізнавальних прийомів, як проведення словесних аналогій і знаходження аналогії між фігурами.

Наприклад:

Ш Зменшуване - різниця, множник - ..?

Ш Продовжите ряд:

а) 1, 5, 13, 29..би) 1, 4, 9, 16..

в) 7, 19, 37, 61,.г) 1, 8, 27..

Ш Знайдіть правило знаходження числа, що стоїть в середній клітці першого рядка. І за цим правилом вставте в порожню клітку пропущене число.

Рис. 1

Ш Виключення зайвого

У кожному завданні цієї серії вказано чотири об'єкти, з яких три значною мірою схожі один з одним, і лише один відрізняється від всіх інших.

Наприклад

Ш Сума, різниця, множник, приватне

Ш См, дм, м2, км.

Ш 1, 9, 27, 64

Можна запропонувати дітям спочатку вирішити анаграми, потім виключити зайве слово.

Наприклад, МАПРЯ, МІНЬПРО, ЗОКВІДРІ, РИПЕТРЕМ (зайве слово - периметр)

Класифікація

Класифікація - це загальний пізнавальний прийом мислення, суть якого полягає в розбитті даної безлічі об'єктів на попарно непересічні підмножини (класи). Число таких підмножин, а також їх склад залежить від підстави класифікації (тобто ознаки, істотної для даних об'єктів), яка може застосовувати різні значення.

Наприклад

Ш Що об'єднує слова довжина, площа, маса? Яке слово до них підходить: секунда, центнер, величина, метр?

Ш Розбийте дані слова на два стовпчики і озаглавте кожен стовпчик.

Доданок, від'ємник, сума, приватне, множник, зменшуване, дільник, твір, різниця.

У кожному завданні дано п'ять слів. Під цим списком повинні стояти ще чотири слова, розбиті на дві пари. З них дані тільки три. Виберіть із списку одне слово, яке потрібно поставити замість знаку питання, щоб знайдене четверте слово знаходилося з третім в такому ж відношенні, що і перше з другим.

а) Величина, кількість, цифра, рахунок, номер

Слово - буква

Натуральне число - ?

б) Координата, початок, одиничний відрізок, напрям, шкала.

Морозиво - порція

Координатний промінь - ?

в)Різниця, множення, твір, ділення, приватне.

Доданок - сума

Множник - ?

Перебір

Суть цього прийому полягає в проведенні організованого розбору і аналізу всіх випадків, які потенційно можливі в ситуації, описаній в завданні.

Наприклад: . Скільки є двозначних чисел, у яких серед цифр є хоч би одна п'ятірка?

Ш У числі 48352 закреслюйте такі дві цифри, щоб число, утворене цифрами, що залишилися, в тому ж порядку було найбільшим (найменшим).

Завдання на переливання

Ш У першу судину входить 10 літрів води. Як, використовуючи ще дві порожні судини по 5 і 7 літрів, розділити воду на дві частини.

Ш Восьмилітровий бідон наповнений водою. Як за допомогою трилітрової і п'ятилітрової банок відлити 1 л води?

Завдання-жарти

Ш Гусак коштує 20 грн. і ще половину того, скільки він насправді стоїть. Скільки коштує гусак?

Ш Скільки кінців у двох палиць; у трьох палиць, у п'яти з половиною палиць?

Ш Кришка столу має 4 кути. Один кут відпиляли. Скільки кутів залишилося?

Ш Який математичний знак потрібно поставити між 5 і 6, щоб отримане число було більше 5, але менше 6.

Ш Один потяг відправляється з Києва до Миколаєва, одночасно з ним виходить потяг з Миколаєва до Києва, швидкість якого в 2 рази більше.

Який з потягів у момент зустрічі знаходитиметься далі від Києва?

Цікаві завдання.

Ш Чому рівний вираз -15 ? (-14) ? (-13) ? ..? 13 ? 14 ? 15

Ш Якою цифрою закінчується вираз всіх чисел від 7 до 12.

Ш Уздовж всієї траєкторії забігу поставили 15 стовпів. Після початку забігу спортсмен був у третього стовпа через три хвилини. За скільки хвилин він пробіжить весь шлях?

Логічні завдання

Логічні завдання - це завдання, що вимагають уміння проводити доказові міркування, аналізувати. Логічні вправи прямо і безпосередньо орієнтовані на розвиток логічного мислення учнів. Логічні вправи є завдання творчого характеру. Вони дозволяють організувати на уроках цікаві діяльнісні ситуації, які сприяють кращому засвоєнню програмного матеріалу і розвитку логічного мислення. Педагогічна практика показує, що у основної маси учнів здоровий глузд випереджає математичну підготовку. Це обумовлює високий інтерес школярів до рішення таких завдань. Від звичайних вони відрізняються тим, що не вимагають обчислень, а вирішуються за допомогою міркувань. Можна сказати, що логічне завдання - це особлива інформація, яку не тільки потрібно відпрацювати відповідно до заданої умови, але і хочеться це зробити [6].

Логічні завдання достатньо цікаві і дуже корисні для розвитку математичних здібностей. Вони виробляють уміння встановлювати зв'язки між об'єктами, спостережливість, наполегливість. Проте при рішенні таких завдань учні багато витрачають часу на міркування про те, з чого почати.

У наступній серії завдань численні факти, що містяться в умові, учні легко сприймають за допомогою схем або «графів». Мова графів проста, зрозуміла і наочна. Графські завдання допускають виклад в цікавій, ігровій формі. Для їх вирішення часто не потрібні глибокі знання, а слід застосувати кмітливість. Тому графські завдання можна використовувати для розвитку міркування і поліпшення логічного мислення дітей, починаючи з дитячого садка і закінчуючи старшими класами середньої школи.

Принцип їх побудови доступний кожному: об'єкти зображаємо крапками, а відносини між ними - відрізками; крапки сполучаємо суцільною лінією, якщо точки однієї множини відповідають точкам іншої множини, або штриховий, якщо вони не відповідають. За допомогою такого наочного прийому можна навчити дітей вирішувати достатньо складні завдання. Графську мову переводить рішення задачі з абстрактно-словесного плану в конкретно-наочний. Звернення до графа дає поштовх до пошуку і підказує напрям цього пошуку.

Розглянемо декілька завдань цієї серії.

Ш Зустрілися Белов, Чернов і Рижов. Один з них був блондин, інший - брюнет, третій, - рудий. Брюнет сказав Белову: «Ні в одного з нас колір волосся не відповідає прізвищу». Який колір волосся у кожного з них, якщо брюнети завжди говорять правду?

Рішення:

Белов.....блондин

Чернов......брюнет

Рижов.....рудий

Ш Едік, Вася, Андрій і Міша зайняли перші чотири місця в змаганнях, причому ні на одне призове місце не було двох претендентів. На запитання, які вони зайняли місця, хлопчики чесно відповіли:

Андрій - «Я не був останнім»;

Вася - «Я зайняв друге місце»;

Едік - «Я зайняв ні перше, ні третє місце».

Які місця зайняли хлопчики?

Рішення

Едік міг зайняти тільки 4-е місце, Андрій - 1-і або 3-і, тоді Миша - 3-і або 1-і.

М......1

В......2

А......3

Е.....4

Ш Три клоуни Бім, Бом і Бам вийшли на арену в червоній, зеленій і синій сорочках. Їх туфлі були тих же трьох кольорів. У Біма колір сорочки і туфель співпадали. У Бома ні туфлі, ні сорочка не були червоними. Бам був в зелених туфлях, але в сорочці іншого кольору. Як були одягнені клоуни?

Рішення

Бім....червоні туфлі

Бом....зелені туфлі

Бам....сині туфлі

червона сорочка, зелена сорочка, синя сорочка.

Бом може бути тільки в синіх туфлях, тоді Бім в червоних туфлях і в червоній сорочці. Тепер Бам може бути тільки в синій сорочці, тоді Бом в зеленій.

Розглянемо ще одну серію завдань, достатньо складних для учнів, які часто зустрічаються на олімпіадах. Щоб навчити вирішувати школярів ці завдання, потрібно почати з такого допоміжного завдання.

Ш Хлоп'ята відмітили, що ділянку в 15 см гусениця проповзла за 7 хвилин. Знайдіть довжину гусениці, якщо швидкість її руху 3 см/хв.

Задачу потрібно вирішувати обов'язково з малюнком.

Ш Потяг завдовжки 450 м проходить міст за 35 с., а повз чергового по станції проходить за 15 с. Знайти довжину моста і швидкість потягу.

Ш Поїзд, завдовжки 18 м, проїжджає повз стовпа за 9 с. Знайти час, за який потяг проїде міст завдовжки 36 м.

Завдання з геометричним змістом

Великі можливості для розвитку логічного мислення школярів є в змісті геометричного матеріалу підручника.

Розглянемо на прикладах, як можна використовувати цікаві завдання з геометричним вмістом в 5 класі. При цьому основною метою є формування і розвиток розумових операцій: аналізу і синтезу, порівняння, аналогій, узагальнення, класифікації; розвиток і тренінг мислення взагалі і творчого зокрема.

Ш Дерев'яний забарвлений кубик розпиляли навпіл. Скільки стало забарвлених і незабарвлених граней у кожної половини?

Ш Скільки (квадратів) трикутників ви бачите на малюнку?

Ш Розрізати квадрат на дві рівні фігури (10 способів)

Ш Яка з фігур «зайва» на малюнку?

Ш Намалюйте два трикутники так, щоб їх загальною частиною були: а) шестикутник; би) п'ятикутник; у) чотирикутник; г) відрізок; д) крапка.

Система розвиваючих завдань дозволяє прищепити інтерес до предмету, дає глибше і повніше розуміння, розвиває мислення учнів. В результаті підвищується успішність учнів.

Стійкі позитивні результати можна отримати при підборі завдань, що мають відношення до заданої теми. Не слід пропонувати цікаві завдання як засіб заповнення дозвілля або розваги. Проблема включення завдань подібного вигляду в навчальний процес повинна вирішуватися природним чином. Аналіз показує, що серед цікавих завдань багато завдань чисто навчального призначення, але поданих в нестандартній або проблемній формі.

Виховання культури мислення повинне проводитися повсякденно.

Фридман Л.М., що спеціально вивчав дану проблему, встановив експериментально, що короткочасне навчання логічним поняттям не дає ефекту, його можна досягти тільки тоді, коли ці поняття органічно вплетені в курс математики [19].

мислення математика логічний

Висновки

Працюючи по будь-якому підручнику, вчитель може проявляти творчий підхід до навчання учнів, удосконалювати освітній процес, учити мислити. Необхідно систематично використовувати на уроках завдання, сприяючі формуванню у учнів пізнавального інтересу і спостережливості. Здійснюючи цілеспрямоване навчання школярів рішенню завдань, за допомогою спеціальних підібраних вправ, учити їх спостерігати, користуватися аналогією, індукцією, порівняннями і робити відповідні висновки.

Логічне мислення розвивається інтенсивніше, якщо створювати на уроках атмосферу пошани, заохочувати ініціативу і стимулювати творчість учнів. Системний розвиток логічного мислення повинен бути невідривним від уроку, кожен учень повинен брати участь в процесі рішення не тільки стандартних завдань, але і завдань розвиваючого характеру (активно або пасивно).

Істотно важливо, щоб вчитель математики, шкільний підручник демонстрували справжні зразки культури мислення, адже учні в своїй розумовій діяльності природно наслідують вчителеві, підручнику. І якщо вчитель припускається похибок в логіці викладу, в обгрунтуванні, то звичайно, важко чекати від учнів високої культури мислення.

Отже, можливості удосконалення методики роботи вчителя суттєво залежать від його уміння цілеспрямовано формувати математичне мислення учнів, активізуючи його. Здійснювати таке управління вчитель, очевидно, може, використовуючи власні психолого-педагогічні знання, вміння, навички, тобто систему закономірностей, що концентрує в собі відомості по психології, дидактиці і відповідну методику використання цієї системи при навчанні математики.

Систематичне використання на уроках математики і позаурочних заняттях спеціальних задач і завдань, спрямованих на розвиток логічного мислення, розширює математичний кругозір школярів і дозволяє більш упевнено орієнтуватися в найпростіших закономірностях життя, а також активніше використовувати математичні знання в повсякденному житті. Тому в якості одного з основних принципів нової концепції в "математику для всіх" на перший план висунута ідея пріоритету розвиваючої функції навчання математиці. Відповідно до цього принципу центром методичної системи навчання математиці стає не вивчення основ математичної науки як такий, а пізнання навколишнього світу людини засобами математики і, як наслідок, до динамічної адаптації людини до цього світу, до соціалізації особистості.

Основною метою математичної освіти повинний бути розвиток уміння математично, а виходить, логічно й усвідомлено досліджувати явища реального світу. Реалізація цієї мети може і повинне сприяти рішення на уроках математики різного роду нестандартних логічних задач. Тому використання вчителем школи цих задач на уроках математики є не тільки бажаним, але навіть необхідним елементом навчання математиці.

Отже, найважливішою задачею математичної освіти є озброєння учнів загальними прийомами мислення, просторової уяви, розвиток здатності розуміти зміст поставленої задачі, уміння логічно міркувати, засвоїти навички алгоритмічного мислення.

Список використаних джерел

1. Асеев Г.Г., Абрамов О.М., Ситников Д.Э. Дискретна математика: Навчальний посібник. -- Ростов н/Д: Фенікс, Харків: Торсинг, 2008. -- 144 з.

2. Атанасян Л.С. та інші. Геометрія. Підручник для 7-9 класів середньої школи. -- М.: Освіта, 1990.

3. Березина Л.Ю. Графи і їх застосування.--М., Освіта, 1979.--143 з.

4. Епишева О.Б., Крупич В.И. Учити школярів вчитися математиці: Формування прийомів учбової діяльності: кн. для вчителя. - М.: Освіта, 1990 -- 128 с.

5. Канин Е.С. До вивчення відповідності і функції в VI класі // Математика в школі. -- 2009. -- №5.

6. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. та інші. Методика викладання математики. -- М.: Освіта, 1977.

7. Липина И. Развитие логического мышления на уроках математики // Начальная школа. -- 1999. -- № 8. С. 37-39.

8. Мельников О.И. Графи в навчанні математиці // Математика в школі, 2003. -- №8.

9. Мешкова И.А. Графська модель пошуку раціонального рішення // Математика в школі, 2007. -- №1.

10. Можливості шкільного підручника у формуванні в учнів умінь самоконтролю і оцінювання навчальних досягнень // Пробл. сучас. підручн.: Зб. наук. Праць.-- К.: Пед. Думка, 2010. -- Вип. 10.

11. Оре О. Теория графів. М., Наука, 1968.--352 с.

12. Погорелов А.В. Геометрія. Підручник для 7-11 класів середньої школи. -- М.: Освіта, 1990.

13. Пойа Д. Математичне відкриття. -- М.: Наука, 1970.

14. Столяр А.А. Методи навчання математиці. - Мінськ: Вища школа, 1966.

15. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя. -- М.: Просвещение, 1990. -- 224 с.

16. Слєпкань З.І. Методика навчання математики: Підручник. 2 - ге вид., доп. І переробл. К.: Вища шк., 2006.- 582 с.

17. Фокуси з числами. // Позакласний час. - 2006. - №23 - 24 . -- 128 с.

18. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н., Стеценко В.Я. Як навчитися вирішувати завдання. - М.: Освіта, 1979.

19. Фридман Л.М. Психолого-педагогічні основи навчання математиці в школі. - М.: Освіта, 1983.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.