Логика

Естественная классификация животных охватывает дл 1,5 млн. видов, а классификация растений включает около 500 тыс. видов растений.

Существуют переходные формы, которые трудно отнести к той или иной определенной группе. Например, при классификации наук возникают такие переходные формы, как биохимия, геохимия, физическая химия и др.

В ходе изучения любого школьного предмета учащимся приходиться иметь дело с классификацией. Например, в русском языке, в котором различаются части речи: самостоятельные : имя существительное, глагол, прилагательное, наречие, местоимение, числительное; служебные : предлоги, союзы, частицы; и междометия. Пример был дан выше «плод».

Вспомогательная классификация - это распределение предметов по группам на основании их несущественных признаков. Вспомогательная классификация не дает возможности судить о свойствах предметов. Например, список фамилий, алфавитный каталог книг, предметный указатель в учебнике.

Отношение между понятиями. Круш Эйлера. Примеры и задания

Предметы мира находятся друг с другом во взаимосвязи и взаимообусловленности. Поэтому и понятия, отражающие предметы мира, так же находятся в определенных отношениях. Связь между двумя понятиями по содержанию может быть весьма далекой. Эта связь может выражаться только в том , что оба понятия отражают какие-то предметы или свойства предметов мира. Например, «безответственность» и «нитка», «романс» и «кирпич». Такого рода далекие друг от друга по своему содержанию понятия, не имеющие общих признаков, называются несравнимыми, остальные называются сравнимыми.

Сравнимые понятия делятся по объему: на совместимыеые (объемы этих понятий совпадают полностью или частично) и несовместимые (объемы которых не совпадают ни в одном элементе).

Типы совместимости:

1) Равнозначность (тождество)

2) Перекрещивание

3) Подчинение (отношение рода и вида)

Отношения между понятиями , изображают с помощью круговых схем 9кругов Эйлера), где каждый круг обозначает объем понятия. Если понятие единичное, то оно также изображается кругом.

a) равнозначными или тождественными называются понятия, которые различаются по своему содержанию, но объемы которых совпадают. Т.е в них мыслится или один и тот же класс, состоящий из одного элемента, или один и тот же класс предметов, состоящий более чем из одного элемента. Примеры равнозначных понятий.:

· Волга -самая длинная река в Европе.

· А.П. Чехов -автор комедии «вишневый сад»

· Равносторонний прямоугольник, квадрат, равноугольный ромб. Объемы тождественных понятий изображаются кругами, полностью совпадающими.

· Понятия, объемы которых частично совпадают, т.е. содержат общие элементы находятся в отношении перекрещивания.

Например, спортсмен и студент. Они изображаются пересекающимися кругами.

В заштрихованной части 2-х кругов мыслятся студенты, являющиеся спортсменами, или спортсмены являющиеся студентами. В левой части круга А - студенты не являющиеся спортсменами. В правой части круга В - спортсмены, которые не являются студентами.

Отношение подчинения (субординации)

Характеризуются тем, что объемом одного понятия целиком включается в объем другого понятия, но не исчерпывает его. Это отношение вида и рода; А - подчиняющее понятие (млекопитающее), В - подчиненное понятие (логика).

Типы несовместимости:

ь Соподчинение (координация) - это отношение между объемами 2- х или нескольких понятий, исключающих друг - друга, но принадлежащих некоторому, более общему родовому понятию. Например,»ель», «береза», «сосна» принадлежат объему понятия «дерево».

Они изображаются отдельными неперекрещивающимися кругами внутри более обширного круга. Это виды одного и того же рода.

ь В отношении противоположности (контрастности) находятся объемы таких понятий, которые являются видами одного и того же рода, и притом одно из них содержит какие- то признаки, а другое эти признаки не только отрицает, но и заменяет их другими, исключающими (т.е. противоположными знаками). Слова, выражающие противоположные понятия, являются антонимами.

Примеры противоположных понятий: «храбрость»- «трусость», «белая краска» - «черная краска».

ь В отношении противоречия находятся такие 2 понятия, которые являются видами одного и того же рода, и при этом одно понятие указывает на некоторые признаки, а другие эти признаки отрицает, исключает, не заменяя их никакими другими признаками. Круг Эйлера в данном случае делится на 2 части (А и не А), и между ними не существует третьего понятия.

Примеры. Определить отношения между следующими понятиями; изобразить эти отношения кругами Эйлера.

1. дом, недостроенный дом, каменный дом, строение.

2.спортсмен, рабочий, орденоносец.

Логические операции с понятиями. Операции с классами (объемами понятий). Обобщение и ограничение понятий

Операции с классами это такие логические действия, которые приводят нас к образованию нового класса.

Существуют следующие операции с классами: объединение, пересечение, вычитание, дополнение.

ь Объединение (сложение) классов . Объединение (сумма) 2-х классов - это класс тех элементов, которые принадлежат хотя бы к одному из этих 2-х классов. Обозначаются: А+В или А В. Объединение класса четных чисел с классом нечетных чисел дает класс целых чисел.

При объединении:

ь Пересечение (умножение) классов.

Общей частью, или пересечением 2-х классов, называется класс тех элементов, которые содержатся в обоих данных множествах, т.е. это множество элементов общих обоим множествам. Пересечение обозначается А В или А в , -пустое множество.

Тождество подчинение перекрещивание

Соподчинение противоположность противоречие

Основные законы операций объединения и пересечения

1 .законы идемпотентности

А+А=А

А*А=А

Если мы к классу «дом» прибавим класс «дом», то поучим класс «дом», т.е. «домов» не станет в 2 раза больше и объем понятия «дом» останется прежним.

2. законы коммутативности.

А+В=В+А, А*В=В*А

Если мы к классу «растение» + класс «животное», то получим класс «организм». Тот же самый класс получим, если «животное»+ «растение».

3. законы ассоциативности.

(А+В)+С= А+(В+С)

(А*В)*С= А*(В*С)

4. законы дистрибутивности.

(А+В)*С= (А*С)+(В*С)

(А*В)+С=( А+С)*(В+С).

5. законы поглощения.

А+(А*В)=А

А*(А+В)=А

Доказательство этих законов осуществляется графическим методом.

Промежуточный результат изображен горизонтальной штриховкой. В первом законе поглощения он равен А*В, а во втором А+В. Конечный результат изображен вертикальной штриховкой; он равен классу А.

Вычитание классов.

Разностью множеств А и В называется множество тех элементов класса А, которые не являются элементами класса В. Разность обозначается А- В.

Могут встретиться следующие 5 случаев:

1 случай..Класс А включает в себя класс В. Тогда разностью А- В будет заштрихованная часть А, т.е. множество тех элементов, которые не суть В. Пример, если мы из множества звуков русского языка (А) вычитаем множество гласных звуков (В), то получим множество согласных звуков.

2 сл. разностью 2-х перекрещивающихся классов будет заштрихованная часть А. например, разность множеств «рабочий» (А) и «рационализатор» (В) даст множество рабочих, которые не являются рационализаторами.

3 сл. если класс А полностью включен в класс В и класс В включен в класс А, то эти классы равны (тождественны). Тогда разность А- В даст пустой, или нулевой класс, т.е. класс в котором нет ни одного элемента. Например, если мы из класса «сосна» вычитаем класс «сосна», то разностью А- В равна пустому классу.

4. класс А и класс В не имеют общих элементов. Тогда разность А- В = А, т.к.всякий элемент класса А не является элементом класса В. Например, разность класса « стол» (А) и класса «стул» (В) равна классу «стол» (А)

6 если объем класса А меньше объема класса В, то в результате вычитания получим пустой класс, т.к. нет элементов класса А, которые не являются элементом класса В. Например, разность класса «личное местоимение» (А) и «местоимение» (В) дает пустой класс.

Законы. Дополнение к классу А.

Дополнением к классу А называется класс А, который будучи сложенным с А, дает рассматриваемую область предметов, а в пересечении с классом А дает , т.е. для которого А+ А=1 и А* А=0. откуда А=1- А, поэтому операцию дополнения к классу А можно рассматривать как частный случай операции «вычитания». Если от класса целых чисел (1) отнять класс четных чисел (А), то мы получим класс нечетных чисел (т.е. А 1, поскольку всякое целое число четное или нечетное и нет таких четных чисел, которые были бы нечетными). Заштрихованная часть на рисунке обозначает дополнение к А, т.е. А.

Определение понятий, его структура, виды, правила и возможные ошибки

Значение определений в познании. ( примеры, задания)

Определение (или дефиниция) понятия есть логическая операция, которая раскрывает содержание понятия либо устанавливает значение термина.

С помощью определения понятий мы в явной форме указываем на сущность отражаемых в понятии предметов, раскрываем содержание понятия и тем самым отличаем круг определяемых предметов от других так, например, давая определение понятия «трапеция», мы отличаем его от других четырехугольников, например от прямоугольника или ромба. «Трапеция»-четырехугольник, у которого 2 стороны параллельны, а 2 другие- не параллельны.

РЕАЛЬНЫЕ И НОМИНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Если определяется предмет, то определение будет реальным. Если определяется термин, обозначающий предмет, то определение будет номинальным. С помощью номинальных определений вводятся также новые термины, краткие имена взамен более сложных описаний предметов. Например, «навыком называют такое действие, в составе которого отдельные операции стали автоматизированными в результате упражнений».

Путем номинальных определение вводятся и знаки, заменяющие термины. Например, «конъюнкция обозначается знаками или &», «тангенс угла обозначается как ...» и т. д.

Определения делятся на явные и неявные. Явные определения- это такие, в которых даны и и между ними устанавливается некоторое отношение равенства, эквивалентности, где -определяемое понятие, т. е. понятие, посредством которого оно определяется. Самое распространенное явное определение- определение через ближайший род и видовое отличие. В нем устанавливаются существенные признаки определяемого предмета.

Пример.«Правильный многоугольник- многоугольник, у которого все стороны конгруэнтны и все углы равны».Признак, указывающий на тот круг предметов, из числа которых нужно выделить множество предметов, называется родовым признаком или родом.

В приведенном примере родовым является понятие «многоугольник».

Признаки, при помощи которых выделяется определенное множество предметов из числа предметов, соответствующих родовому понятию, называется видовым отличием. При определении понятия видовых признаков (отличий) может быть 1 или несколько.

ПРАВИЛА ЯВНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ОШИБКИ ВОЗМОЖНЫЕ.

1. Определение должно быть соразмерным, т.е. объем определяющего понятия должен быть равен объему определяемого понятия. . Это правило часто нарушается, в результате чего возникают логические ошибки в определении. Типы логических ошибок:

а) Широкое определение, когда . Пример, «лошадь- млекопитающее и позвоночное животное».

б) Узкое определение, когда . Н-р, «совесть- это осознание человеком ответственности перед самим собой за свои поступки»

в) Определение в одном отношении широкое, в другом- узкое. . и . Например, «бочка- сосуд для хранения жидкостей». С одной стороны, это широкое определение, т.к. сосудом для хранения жидкостей может быть чайник, ведро и т.д.; с другой стороны, это узкое определение, т.к. бочка пригодна для хранения и твердых тел, а не только жидкостей.

2. Определение не должно содержать круга. Круг возникает тогда, когда определяется через , а был определен через . Такие определения носят название тавтологий. Например, «закон есть закон», «масляное масло», «трудоемкий труд», «заданная задача», «поиграем в игру».

3. Определение должно быть четким, ясным. Это правило означает, что смысл и объем понятий, входящих в, должны быть свободными от двусмысленности; не допускается подмена их метафорами, сравнениями и т.д.

Неявные определения. В отличии от явных определений, имеющих структуру , в неявных определениях место занимает контекст, или набор аксиом, или описание способа настроения определяемого объекта.

Контекстуальное определение позволяет выяснить содержание незнакомого слова, выражающего понятие через контекст, не прибегая к словарю для перевода, если текст дан на иностранном языке.

Значения неизвестных в уравнениях даны в неявном виде. Если дано уравнение первой степени, например 10-y=3, или дано квадратное уравнение, например, x-7x+12=0, то решая их и находя значение корней этих уравнений, мы даем явное определение для y(y=7) и для x(x=4 и x=3).

Индуктивные определения характеризуются тем, что определяемый термин используется в выражений понятия, которое ему приписывается в качестве его смысла . примером индуктивного определения является определение понятия «натуральное число» с использованием самого термина «натуральное число»:

2. 1- натуральное число 3.если н- натуральное число, то н=1 - натуральное число.

4. никаких натуральных чисел, кроме указанных в пунктах 1 и 2 нет.

С помощью этого индуктивного определения получается натуральный ряд чисел: 1, 2,3,4 … таков алгоритм построения ряда натуральных чисел.

Итак, определение понятия можно сформулировать после всестороннего изучения предмета. Необходимо изучение предмета не в статике, а в динамике, в развитии.

Уточнение понятий, правильное раскрытие их содержания и объема имеет важное значение не только в создании научной терминологии, но и ри уточнении смысла слов в рассуждении.

Роль определений понятия в науке связана с тем, что определения являются существенным моментом в познании мира.

Суждение как форма мышления. Суждение и предложение. Логика вопросов и ответов

Суждение - форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о существовании предметов . связях между предметами и его свойствами или об отношениях между предметами. утверждается или отрицается наличие у предмета какого-либо признака

Примеры; «ледоколы существуют», «киев больше Тулы», «некоторые деревья не являются лиственными».если в суждении у и это соответствует действительности, то суждение истинно.

Например: «10 больше 3», «все ужи пресмыкающие». В противном случае суждение ложно.

Наша обычная логика является 2-х значной: суждение либо истинно, либо ложно.

В трехзначной логике: суждение может быть либо истинным, либо неопределенным. Например, «на марсе есть жизнь» не является ни истинным, ни ложным; оно неопределенно.

В простом суждении имеются субъект, предикат, связка и квантор.

Субъект суждения (S) -это понятие о предмете суждения. Предикатами (Р) суждения называются понятие о признаке предмета, рассматриваемом в суждении. Связка может быть выражена одним словом или тире, или простым согласованием слов (собака лает, дождь идет). Перед субъектом суждения иногда стоит квантор: «все», «ни один», «некоторые» и др. квантор указывает, относиться ли суждение ко всему объему понятия, выражающего субъект, или к его части. Простые суждения о которых шла речь, называются ассерторическими.

Суждение и предложение

Понятия в языке выражаются, одним словом или группой слов. Суждения выражаются повествовательными предложениями, которые содержат какое- то сообщение, информацию. Например, «ни один дельфин не является рыбой».

По цели высказывания предложения делятся на повествовательные, побудительные и вопросительные.

Вопросительные предложения не содержат в своем составе суждения, т. к. в них ничего не утверждается, не отрицается и они не истинны и не ложны. Если же в предложении выражен риторический вопрос4 например: «кто не хочет счастья?», «кто из вас не любит стихов А.С. Пушкина?»,то в нем содержится суждение, т.к. налицо утверждение, уверенность, что «все хотят счастья».

Побудительные предложения выражают побуждение собеседника к совершению действия. Побудительное предложение не содержит суждения (подожди меня!), хотя в них что-то утверждается или отрицается. Но предложения, в котором сформулированы воинские команды, приказы, призывы или лозунги выражают суждения.

Односоставные безличные предложения (знобит, подморозило), назывные предложения (утро, осень) и некоторые виды повествовательных предложений (дальний восток находится от нас далеко) является суждениями лишь при рассмотрении их в контексте и при уточнении: «кто он?», «от кого - от нас?» если этого уточнение не сделано, то неизвестно, выражает ли данное предложение истину или ложь.

Выше отмечалось, что предложения бывают повествовательные, побудительные и вопросительные. Остановимся и подробнее раскроем вопросительные предложения, основу которых составляет вопрос.

Вопрос в познании играет особенно большую роль, т.к. все познание мира начинается с вопроса, с постановки проблемы.

Термины «проблема», «вопрос», «проблемная ситуация» обозначают нетождественные, хотя и связанные между собой понятия.

Термин «проблема» означает такой вопрос из области науки, для ответа на который недостаточно имеющейся к данному моменту информаций.

Вопрос же - форма выражения проблемы. Но вопрос ставится и с целью получения некоторой информации, уже имеющейся у человека, и с целью выявления его личного мнения по данному вопросу или с целью обучения.

Выдающийся педагог В.А. Сухомлинский значительную роль в процессе обучения отводил умению учителя ставить перед учениками вопросы и добиваться правильных ответов на них, таких ответов, которые способствовали бы интеллектуальному развитию личности ребенка, будили бы собственную мысль ученика.

От постановки вопроса зависит очень многое, даже сам ответ, и здесь необходимо знать правила постановки простых и сложных вопросов.

1.корректность постановки вопроса. Итак, вопросы должны быть правильно поставленными, корректными. Провокационные и неопределенные вопросы недопустимы.

2. предусмотренные альтернативности ответа («да» или «нет») на уточняющие вопросы например, «шел ли вчера в центре Москвы дождь?».

3. краткость и ясность формулировки вопроса. Длинные, запутанные, нечеткие вопросы затрудняют их понимание и ответ на них.

4. простота вопроса. Если вопрос сложный, то его лучше разбить на несколько вопросов.

5. в сложных разделенных вопросах необходимость перечисления всех альтернатив.

6. необходимость отличать обычный вопрос от риторического вопроса (т.к. это суждение а обычные вопросы суждении не является). Пример, «кто не хочет счастья?».

Подытожив, можно сказать следующее, что:

1. суждение - форма мышления, в которой что - либо утверждается или отрицается о существовании предметов, связях между предметов и т.д.

2. предложения делятся на повествовательные, побудительные и вопросительные.

3. роль постановки вопроса.

Простые суждения, их состав и виды

Объединенная классификация простых категорических суждений по количеству и качеству.

Суждения бывают простые и сложные:

Последние состоят из нескольких простых:

Виды простых суждений.

1. суждения свойства. В суждениях этого вида утверждается или отрицается принадлежность предмету известных свойств, составлений, видов деятельности. Пример, «у розы приятный запах». Схема суждения: S есть Р, S не есть Р.

2. суждения отношениями. В этих суждениях говорится об отношениях между предметами. Например, «Эльбрус выше Монблана», «отцы старше своих детей».

Формула

3. суждения существования. В них утверждается или отрицается существование предметов в действительности.

4. категорические суждения. По качеству связки («есть или не есть) категорические суждения делятся на утвердительные и отрицательные (ни один карась не является хищной рыбой). Связка «есть» утвердительном суждении отражает наличие у предмета некоторых свойств. Связка «не есть» отражает то, что предмету не присуще некоторое свойство.

Объединенная классификация простых категорических суждений по количеству и качеству.

В каждом суждении имеется количественная и качественная характеристика. Поэтому в логике применяется объединенная классификация суждений по количеству и качеству, на основе которой выделяются следующие 4 типа суждений:

1. суждение А общеутвердительное. Его структура «все S есть Р». Рассмотрим 2 случая.

· В суждении «все караси - рыбы» субъектом является понятие «карась» (S), а предикатом понятие «рыба» (Р). Квантор общности «все».

Субъект распределен, т.к. речь идет о всех карасях, т.е. его объем полностью включен в объем в объем предиката. Предикат не распределен т.к. в суждении речь идет лишь о той части объема предиката которая совпадает с объемом субъекта. Если объем Р > объема S, то Р не распределен.

· В суждении «все квадраты - равносторонние прямоугольники» термины такие: S - квадрат, Р - равносторонний прямоугольник, квантор общности - «все» . В этом суждении S распределен, т.к. их объемы полностью совпадают.

2. Суждение I частноутвердительное . Его структура: «некоторые S есть Р». 2 случая.

· В суждении «некоторые школьники» футболисты» термины такие: S- школьники, Р- футболисты, квантор существования - некоторые. Субъект не распределен, т.к. в нем мыслится только часть школьников, т.е. объем субъекта лишь частично включается в объем предиката. Предикат тоже не распределен, т.к. он также лишь частично включен в объем субъекта. (только некоторые футболисты являются школьниками).

Если понятия S и Р перекрещиваются, то Р не распределен.

· В суждении «некоторые писатели - драматурги». Термины такие: S- писатель, Р - драматурги, квантор существования - некоторые. Субъект не распределен, т.к. в нем мыслится только часть писателей, т.е. объем субъекта лишь частично включается в объем предиката. Предикат распределен, т.к. объем предиката полностью входит в объем субъекта. Т.О. Р распределен, если объем Р меньше объема S,что бывает в частных выделяющих суждениях.

3.суждение Е общеотрицательное. Его структура: «ни одно S не есть Р. Например, ни один лев не есть травоядное животное.

В нем термины такие: S-лев, Р- травоядное животное», квантор общности - ни один. Здесь объем субъекта полностью исключается из объема предиката и наоборот. Поэтому и S, и Р распределены.

4. суждение О частноотрицательное. Его структура: некоторые S не есть Р.

Например, некоторые учащиеся не являются спортсменами». В нем такие термины: S -учащиеся, Р- спортсмены, квантор существования - некоторые.

Субъект не распределен, т.к. мыслится лишь часть учащихся, а предикат распределен, ибо в нем мыслятся все спортсмены, ни один из которых не включен в ту часть учащихся, которая мыслится в субъекте.

Итак, S распределен в общих суждениях и не распределен в частных; Р всегда распределен в отрицательных суждениях, в утвердительных же он распределен тогда, когда по объему Р S.

Сложные суждения, их состав и виды. Таблицы истинности сложных суждений.

Сложные суждения образуются из простых суждений с помощью логических связок: конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания. Таблицы истинности этих логических связок следующие:

а	В
И	И	И	И	Л	И	И
И	Л	Л	И	И	Л	Л
Л	И	Л	И	И	И	Л
Л	Л	Л	Л	Л	И	И

Буквы а, в, с- переменные, обозначающие суждения; «и» -истина, «л»-ложь.

Таблицу истинности для конъюнкции можно разъяснить на следующем примере:

«(учитель конкретный) является хорошим педагогом (а) и учится заочно (в)». Она будет истинна в том и только в том случае, если суждения аи в оба истинны. Это и отражено в первой строке. Если же (а) ложно или (в) ложно либо и а, и в ложны, то вся конъюнкция обращается в ложь.

Суждение 2увеличение рентабельности» достигается путем повышения производительности труда (а) или путем снижения себе стоимости продукции (в)- пример нестрогой дизъюнкции. Дизъюнкция называется нестрогой, если ее члены не исключают друг друга. Такое высказывание истинно в том случае, когда истинно хотя бы одно из 2-х суждений, и ложно, когда оба суждения ложны

Члены строгой дизъюнкции исключают друг - друга. Это можно разъяснить на примере6 «я поеду на юг на поезде (а) или полечу на самолете (в).» я не могу одновременно ехать на поезде и лететь на самолете. Строгая дизъюнкция истинна тогда, когда истинно лишь одно из 2-х простых суждений.

Таблицу для импликации можно разъяснить на таком примере: «если через проводник пропустить электрический ток (а), то проводник нагреется (в)». Импликация истинна всегда, кроме одного случая, когда первое суждение истинно, а 2- е ложное. Действительно, не может быть так, чтобы по проводнику пропустили электрический ток. Т.е. суждение (а) было истинным, а проводник не нагрелся, т.к. суждение (в) было ложным

Эквиваленция в таблице характеризуется так: а=в истинно в тех и только в тех случаях, когда и а, и в либо оба истинны, либо оба ложны

Отрицание суждения а (т.е.а) характеризуется так: если а истинно, то его отрицание ложно, и если (а) ложно, то (а) истинно.

Способы отрицания суждений

2 суждения называются отрицающими или противоречивыми друг другу, если одно из них истинно, а другое обязательно ложно.(они не могут одновременно быть истинными или одновременно ложными).

Отрицающими являются следующие пары суждений:

а	а
И	Л
Л	И

1. А-О . Все S есть Р и некоторые S не есть Р.

2. Е-I. Ни одно S не есть Р и некоторые S есть Р.

3. это S есть Р и это S не есть Р.

Операцию отрицания в виде образования нового суждения из данного следует отличать от отрицания, входящего в состав отрицательных суждений. Существует 2 вида отрицания: внутреннее и внешнее. Внутренне указывает на несоответствие предиката субъекту ( связка: не есть, не суть, не является).

Например, «некоторые люди не имеют высшего образования». Внешнее отрицание означает отрицание всего суждения. Например, «не верно, что в Москве протекает река Нева».

Итак, 1) конъюнкция истинна тогда, когда оба простых суждения истинны.

2) строгая дизъюнкция (а в) истинна тогда, когда только одно простое суждение истинно.

3) нестрогая дизъюнкция (а в) истинна тогда, когда хотя бы одно простое суждение истинно.

4) импликация истинна во всех случаях, кроме одного: когда (а) истинно, а (в) ложно.

5) эквиваленция (а ) истинна тогда, когда оба суждения истинны или оба ложны

6) отрицание (а) истинны дает ложь, и наоборот.

Отношения между суждениями по истинности. Логический квадрат

Суждения, как и понятия, делятся на сравнимые (имеют общий субъект или предикат) и несравнимые. Сравнимые суждения делятся на совместимые и несовместимые.

Совместимые выражают одну и ту же мысль полностью или лишь в некоторой части отношения совместимости: эквивалентность, логическое подчинение, частичное совпадение. Совместимые эквивалентные суждения выражают одну и ту же мысль в различной форме. Например, «Юрий Гагарин первый космонавт», и «Юрий Гагарин первым полетел в космос». Субъект здесь один и тот же, а предикаты различные по форме, но одинаковые по смыслу.

В 2-х эквивалентных суждениях: «Михаил Шолохов- лауреат нобелевской премии» и « автор романа «тихий дон»- лауреат нобелевской премии»- одинаковыми являются предикаты, а различными по форме выражения, но тождественными понятиями- субъекты.

Совместимые суждения, находящиеся в отношении логического подчинения, имеют общий предикат; понятия, выражающие субъекты 2-х таких суждений, так же находятся в отношении логического подчинения. Отношения между суждениями по истинности принято схематически изображать в виде «логического квадрата»

Для суждений А и I, а также Е и О, находящиеся в отношении логического подчинения, истинность общего суждения определяет истинность частного, подчиненного суждения, но ложность общего суждения оставляет частное суждение неопределенным. Истинность частного суждения оставляет общее суждение неопределенным. Ложность частного суждения обуславливает ложность общего суждения. Если истинно суждение «ни одна трапеция не является сферическим телом», то будет истинным и суждение «некоторые трапеции не являются сферическими телами». Умозаключение подчиненному ему частному суждению всегда будет давать истинное заключение.

В отношении частичного совпадения (субконртакности) находятся 2 таких совместимых суждения I и О, которые имеют одинаковые субъекты и одинаковые предикаты, но различаются по качеству. Например, I -«некоторые свидетели дают истинные показания» и О - «некоторые свидетели не дают истинных показаний». Оба они одновременно может быть истинными, но не могут быть одновременно ложными. Если одно из них ложно, то другое неопределенно (оно может быть истинным, либо ложным).

Отношения несовместимости: противоположность, противоречие. По логическому квадрату в отношении противоположности (контрарности) находятся суждения А и Е. два суждения: А- «все люди трудятся добросовестно» и Е - «ни один человек не трудится добросовестно» - оба ложны. Но А и Е не могут быть оба истинными. Если одно из противоположных суждений истинно, то другое будет ложным.

Итак, из истинности, одного из противоположных суждений вытекает ложность другого, но ложность одного из них оставляет другое суждение неопределенным.

В отношении противоречия (контрадикторности) находятся суждения А и О, а так же Е и I, противоречащих суждения не могут быть одновременно ложными. Если в настоящее время истинно суждение I- «некоторые летчики - космонавты», то ложным будет суждение «ни один летчик не является космонавтом».

Закономерности, выражающие отношения между суждениями, по истинности, имеют большое познавательное значение, т.к. они помогают избежать ошибок при непосредственных умозаключениях, производимых из одной посылки (одного суждения).

Модальные суждения, их состав и виды

В логике рассматривались, простые суждения, которые называются ассерторическими, а так же сложные суждения, составленные из простых. В них утверждается или отрицается наличие определенных связей между предметом и его свойствами или констатируется отношение между двумя или большим числом предметов. Например, «школьники - учащиеся», «в прямоугольном треугольнике сумма квадратов ( катетов равна квадрату гипотенузы, т.е. а+в =с». Общая форма суждений: «S есть ( не есть) Р, то S есть (не есть) Р».

В этих ассерторических суждениях не установлен характер связи между субъектом и предикатом. Характер связи между субъектом и предикатом или между отдельными простыми суждениями в сложном суждении раскрывается в модальном суждении. Из выше перечисленных суждений можно образовать такие, например, модальные суждения: «несомненно, что все школьники - учащиеся», «доказано, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы». Отсюда видно, что модальные суждения не просто утверждают или отрицают некоторые связи, а дают оценку этих связей с какой - то точки зрения.

О предмете А можно просто сказать, что он имеет свойство В (это будет ассерторическое суждение). Но можно сверх того уточнить, является ли эта связь А и В необходимой , или наоборот, случайной; хорошо ли, что А есть В или это плохо; доказано, что а есть В или не доказано. В результате таких уточнений мы получакм модальные суждения различных типов. Приведем другие примеры модальных суждений: «возможно, на марсе есть жизнь», «при красном свете светофора проезд транспорта запрещен».

Структура простых модальных суждений такая: М (S есть Р) или М (S не есть Р), где М обозначает модальное понятие.

Но как было уже сказано , модальными могут быть и сложные суждения. Если а ив - простые суждения, то из сложных ассерторических суждений: а в, а в, а в, а в, а= - можно получить соответствующие сложные модальные суждения:

М(а в); М(а в); М(а в); М(а в); М(а в). В каждом из пяти типов сложных модальных суждений модальное понятие М может быть заменен его разновидностями, например, из сложного ассерторического суждения «если в почву внести удобрения, то урожай повысится» можно получить такие модальные суждения: «доказано, что если в почву внести удобрения, то урожай повышается», «хорошо, что если в почву внести удобрения, то урожай повышается и др.»

Модальными простыми суждениями называют простые суждения, выражающие связь между субъектом и предикатом с помощью модальных понятий.

Модальными сложными суждениями называют сложные суждения, выражающие связь между составляющими их простыми суждениями с помощью модальных понятий.

В настоящее время современной модальной логикой изучены многие виды модальностей, и те из них которые сравнительно хорошо изучены систематизированы в следующей таблице, предложенной А.А. Ивиным.

Логические модальности	Онтологические модальности	Эпистемические модальности Знание убеждение
Логически необходимо	Онтологически необходимо	Доказуемо	Полагает (убежден)
Логически случайно	Онтологически случайно	Неразрешено (непроверяемо)	Сомневается
Логически невозможно	Онтологически невозможно	опровержено	Отвергает
Логически возможно	Онтологически возможно		Допускает

Термин «эпистемическая модальность» происходит от греческого слова «эпистем» означавшего внешний тип несомненного, достоверного знания.

Термин «деонтический» с греческого означает «обязанность». Термин «аллетический» - необходимость.

Деонтические модальности	Аксиологические модальности	Временные модальности
	абсолютные	сравнительные	Абсолютные	сравнительные
Обязательно	Хорошо	Лучше	Всегда	Раньше
Нормативно - безразлично	Аксиологически безразлично	Равноценно	Только иногда	Одновременно
Запрещено	плохо	хуже	никогда	позже
разрешено

Иногда в дополнение к трем основным модальным понятия и вводится четвертое, которое может употребляться вместо них.

Логические и онтологические модальности объединяются в общий вид -аллетические модальности. Они включают такие модальные понятия: необходимость и случайность, возможность и невозможность. Слова «необходимо», «возможно», «случайно» в обыденном языке употребляются в самых различных смыслах.

Алетические модальности обозначаются так: « А» -«необходимо А»; « А» -« А»- «случайно А; « А»- «возможно А»; « А»- «невозможно А» (знак « «- отрицание). Иногда их обозначают так:» « - «необходимо р», «Мр» - возможно р»

Формулы взаимосвязи алегичеких модальностей.

1. («если необходимо, что А, тоА») 2. («если А, то возможно, что А») 3. («необходимо, что А, тогда и только тогда, когда невозможно, что не а») 4. («возможно, что А, тогда и только тогда, когда необходимо, что не А»)

Умозаключение как форма мышления. Структура и общее правило умозаключения. Типы и виды умозаключений

Формами мышления является понятие, суждения и умозаключения. С помощью многообразных видов умозаключений мы можем получать новые знания. Построить умозаключение можно при наличии одного или нескольких истинных суждений, поставленных во взаимную связь. Возьмем пример умозаключения:

Все углероды горючи

Алмаз -углерод

Алмаз горюч

Структура всякого умозаключения включает посылки (истинные суждения), заключение и логическую связь между посылками и заключением. Логический переход от посылок к заключению называется выводом. В приведенном примере 2 первых суждения, стоящих над чертой, являются посылками; суждение: «алмаз горюч» является заключением. Для того что бы проверить истинность заключения «алмаз горюч», вовсе не нужно сжигать алмаз. Заключение о горючести алмаза с полной достоверностью можно получить с помощью умозаключения, опираясь на истинность посылок и соблюдение правил вывода.

Умозаключение- форма мышления, в которой из одного или нескольких истинных суждений на основании определенных правил вывода получается новое суждение, с необходимостью или определенной степенью вероятности следующее из них. Процесс получения заключений из посылок по правилам дедуктивных умозаключений называется выведением следствий.

Выведение следствий из данных посылок широко распространенная логическая операция.

Логическое следствие из данных посылок есть предложение, которое не может быть ложным, когда эти посылки истинны.

Пример, нам даны 3 посылки:

1) «если Иван- брат Марьи или Иван- сын Марьи, то Иван и Марья- родственники».

2) «Иван и Марья -родственники»

3) «Иван не сын Марьи». Можно ли из них вывести логическое следствие, что «Иван - брат Марьи?» многим кажется, что такое логическое заключение из данных трех посылок будет истинным. Что бы проверить это, следует составить формулу этого умозаключения. Обозначим суждение «Иван - брат Марьи» буквой а, суждение «Иван -сын Марьи» -в, и суждение «Иван и Марья - родственники»- с. Над чертой -3 данные посылки, под чертой - предполагаемое заключение:

Объединив 3 посылки в конъюнкцию и присоединив к ним посредством знака предполагаемое заключение а, получим:

Теперь составим для этой формулы таблицу.

а	в	с	В	а в	(а в) с	(а в) с с в	(а в) с с в а
И	И	И	Л	Л	И	Л	И
И	И	Л	Л	Л	И	Л	И
И	Л	И	И	И	И	И	И
И	Л	Л	И	И	Л	Л	И
Л	И	И	Л	И	И	Л	И
Л	И	Л	Л	И	Л	Л	И
Л	Л	И	И	Л	И	И	Л
Л	Л	Л	И	Л	И	Л	Л

В последней колонке формула в одном случае принимает значение «ложь», значит, она не является законом логики. Следовательно, из данных трех посылок не следует с необходимостью заключение, что «Иван - брат Марьи». Иван может быть племянником марь, или отцом Марьи, или дядей Марьи, или каким - либо другим ее родственником.

Этот пример показывает, что эффективность средств математической логики видна тогда, когда средствами, традиционной формальной логики трудно установить вытекает ли какое - либо следствие из данных посылок или нет, особенно, когда мы имеем дело с большим числом посылок.

Умозаключения делятся на дедуктивные, индуктивные и Все окуни дышат жабрами я по аналогии. Умозаключения могут быть логически необходимыми, т. е. давать истинное заключение, и вероятными ( правдоподобными), т.е. давать истинное заключение, а лишь с определенной степенью вероятности следующее из данных посылок.

Итак,

1) формами мышления являются не только понятия и сужения, но и умозаключения.

2) Структура умозаключения включает посылки, заключение и логическую связь между посылками и заключением.

3) Умозаключения делятся на дедуктивные, индуктивные и умозаключения по аналогии.

Дедуктивные умозаключения. Типы и виды Д.У. непосредственные умозаключения, их виды

Дедуктивное умозаключение (ДУ)-такое, в котором заключение необходимо следует из посылок, выражающих знания большей степени общности, и которое само является знанием меньшей степени общности.

Например, все рыбы дышат жабрами.

Все окуни - рыбы.

Все окуни дышат жабрами.

Здесь первая посылка «все рыбы дышат жабрами» является общеутвердительным суждением и выражает большую степень обобщения по сравнению с заключением, так же являющимся общеутвердительным суждением «Все окуни дышат жабрами». Мы строим умозаключение от признака, принадлежащего роду («рыба»), к его принадлежности к виду «окунь», т.е. от общего класса к его частному случаю, к подклассу.

Умозаключение дает истинное заключение, если исходные посылки истинны и соблюдены правила вывода. Правила вывода или правила преобразования суждений позволяют переходить от посылок определенного вида к заключениям также определенного вида. Так, наблюдая движение луны и солнца и делая логические выводы из этих наблюдений, люди еще в древности умели логически выводить из них достаточно точные предсказания о поступлении солнечных и лунных затмений.

Различают правила прямого вывода и правила непрямого (косвенного) вывода.

Правила прямого вывода позволяют из имеющихся истинных посылок получить истинное заключение. Правила непрямого вывода позволяют заключать о правомерности некоторых выводов из правомерности других выводов.

На основе правил прямого вывода построены дедуктивные умозаключения. Типы ДУ такие: выводы, зависящие от субъектнопредикатной структуры суждений; выводы, основанные на логических связях между суждениями.

Непосредственными умозаключениями называются ДУ, делаемые из одной посылки. К ним относятся следующие: превращение обращение, противопоставление предикату и умозаключения по «логическому квадрату»

· Превращение - вид непосредственного умозаключения, при котором изменяется качество посылки без изменения ее количества. По качеству связки категорические суждения делятся на утвердительные и отрицательные. При этом частноутвердительное суждение превращается в частноотрицательное и наоборот, а общеутвердительное суждение - в общеотрицательное и наоборот. Превращение строится двумя способами:

1) путем двойного отрицания, которое ставится перед связкой и перед предикатом: S есть Р. - S не есть не -Р.

Подлежащие - главные члены предложения - ни одно подлежащее не является не главным членом предложения;

2) отрицание можно переносить из предиката в связку.

S есть не Р. - S не есть Р.

Все галогены являются неметаллами. - ни один галоген не является металлом.

Превращению подлежат все 4 вида суждения: А, Е,I,О.

1. А-Е.

Структура: все S есть Р.- ни одно S не есть не -Р.

Все волки - хищные животные. - ни один волк не является нехищным животным.

2. Е-А.

Ни одно S не есть Р. - все S есть не -Р.

Ни один многогранник не является плоской фигурой. - все многогранники не являются неплоскими фигурами.

3. I -О

Некоторые S есть Р. - некоторые S есть не -Р. Некоторые грибы съедобны. Некоторые грибы не являются несъедобными.

4.О - I. Некоторые S не есть Р. - некоторые S есть не -Р. Некоторые члены предложения не являются главными. - некоторые члены предложения являются неглавными.

· Обращением называется такое непосредственное умозаключение, в котором в заключении субъектом является предикат, а предикатом - субъект исходного суждения, т.е. происходит перемена мест субъекта и предиката при сохранении качества суждения.

Примеры:

1. все дельфины -млекопитающие. - некоторые млекопитающие являются дельфинами.

2. все развернутые углы - углы, стороны которого составляют одну прямую. -все углы, стороны которого составляют одну прямую, являются развернутыми углами.

3. некоторые школьники являются филателистами - некоторые филателисты являются школьниками.

4. некоторые музыканты - скрипачи. - все скрипачи являются музыкантами.

Обращение бывает 2-х видов: простое или чистое (примеры 2 и3) и обращение с ограничением (примеры 1 и 4).

Обращение будет чистое, или простое, тогда когда и S, и Р исходного суждения либо оба распределены, либо оба не распределены. Обращение с ограничением бывает тогда, когда в исходном суждении субъект распределен, а предикат не распределен, или наоборот, S не распределен, а Р распределен.

· Противопоставление предикату.

Это такое непосредственное умозаключение, при котором в новом суждении субъектом является понятие, противоречащее предикату исходного суждения, а предикатом является субъект исходного суждения, вместе с этим связка меняется на противоположную.

Иными словами мы делаем т.о.:

1. вместо Р берем не Р;

2. меняем местами S и не Р:

3. связку меняем на противоположную.

Например, дано суждение: «все львы -хищные животные». В результате противопоставления предикату получим суждение: «ни одно нехищное животное не является львом».

Противопоставление предикату можно рассматривать как результат 2- х последовательных непосредственных умозаключений - сначала превращение, затем обращения превращенного суждения.

Противопоставление предикату для различных видов суждений осуществляется так:

1. А. все S есть Р.--ни одно не -Р не есть S. Все металлы электропроводны. - ни один не электропроводник не является металлом.

2. Е. ни одно S не есть Р. - некоторые не Р есть S.ни один красный мухомор не является съедобным грибом - некоторые несъедобные грибы есть красные мухоморы.

3. О. некоторые S не есть Р.- некоторые не Р есть S. Некоторые преступления не являются умышленными. -некоторые неумышленные деяния являются преступлениями.

4. I. Из частноутвердительного суждения необходимые выводы не следуют.

Задача.

Сделать превращение, обращение и противопоставление предиката для следующего суждения:

«все грибы - растения».

Это суждение вида А.

Превращение -«ни один гриб не является не растением.

Обращение (с ограничением) -некоторые растения являются грибами.

Противопоставлению предикату -ни одно не растение не есть гриб.

Все виды непосредственных умозаключений дают нам новое знание особенно умозаключение, называемое противопоставлением предикату.

· Умозаключение по логическому квадрату.

На основании отношений между суждениями А, Е, I, О можно строить достоверные непосредственные выводы.

Например, пусть дано истинное суждение А: «все тюлени -ластоногие». Из него можно сделать следующие выводы:

1) суждение Е: ни один тюлень не является ластоногим -ложное суждение.

2) Суждение I: некоторые тюлени являются ластоногими -истинное суждение

3) Суждение О: некоторые тюлени не являются ластоногими - ложное суждение

Итак, непосредственные умозаключения - дедуктивные умозаключения, делаемые из одной посылки. К ним относятся: превращение, обращение, противопоставление предикату и умозаключение по логическому квадрату.

Логические ошибки: софизмы и паралогизмы. Понятие о логическом парадоксе

Непреднамеренная ошибка, допущенная человеком в мышлении, называется паралогизмом. Преднамеренная ошибка, совершаемая с целью запугать противника и выдать ложное суждение за истинное, называется софизмом.

Софистами, называют людей, которые пытаются выдать ложь за истину путем различных ухищрений.

Математические софизмы собраны в целом ряде книг. Так, Ф.Ф. Нагибин формулирует следующие математические софизмы:

1) 5=6

2) 2*2=5

3) Все числа равны между собой и др.

Парадокс -это рассуждение, доказывающее как истинность, так и ложность некоторого суждения, иными словами, доказывающее как это суждение, так и его отрицание. Парадоксы были известны еще в древности. Примерами парадоксов является: «куча», «лысый», 2каталог всех нормальных каталогов», «мэр города», «генерал», «брадобрей».

Парадокс «куча». Разница между кучей и не кучей - не в одной песчинке. Пусть у нас есть куча (например, песка). Начинаем от нее брать каждый раз по одной песчинке, и куча остается кучей. Продолжаем этот процесс. Если 100 песчинок куча, то 99 - тоже куча и т.д. 10 песчинок- куча, 3 песчинки -куча, 1 -куча. Итак, суть парадокса в том, что постепенные количественные изменения (убавление на 1 песчинку) не приводят к качественным изменениям.

Парадокс «мэр города», состоит в следующем6 каждый мэр города живет или в своем городе, или вне его. Был издан приказ о выделении одного спец. Города, где бы жили только эти мэры, не живущие в своем городе. Где должен жить мэр этого спец. Города? Если он хочет жить в своем городе, то он не может этого сделать, т.к.. там живут только мэры, не живущие в своем городе; если же он не хочет жить в своем городе, то как и все мэры, не живущие в своих городах, он должен жить в отведенном городе, т.е. в своем. Итак, он не может жить ни в своем городе, ни вне его.

Парадокс «генерал и брадобрей» состоит: каждый солдат может сам себя брить или бриться у другого солдата. Генерал издал приказ о выделении одного спец. Солдата - брадобрея, у которого брились бы только е солдаты, которые себя не бреют. У кого должен бриться этот спец солдат -брадобрей? Итак, он не может брить себя.

Т.о, в логику входит категория времени, категория изменения: приходится рассматривать изменяющиеся объемы понятий. А рассматривание объема в процессе его изменения - это уже аспект диалектической логики.

Аргументация и ее роль в формировании убеждении. Доказательства, его структура, виды, правила и возможные ошибки

Познание отдельных предметов, их свойств происходит посредством форм чувственного познания (ощущений и восприятий). Мы видим, что этот дом еще не построен, ощущаем вкус горького лекарства и т.д. Эти истины не подлежат доказательству, они очевидны, однако во многих случаях, например, на лекции, научной работе, входе полемики и во многих других, нам приходится доказывать, обосновывать высказывания нами суждения.

Доказательство -это совокупность логических приемов обоснования истинности какого -либо суждения с помощью других истинных и связанных с ним суждений.

Доказательство связано с убеждением, но не тождественно ему: доказательства даны основываются на данных науки и общественно исторической практики, убеждения же могут быть основаны, например, на религиозной вере в догматы церкви, на предрассудках, на осведомленности людей в вопросах экономики и политики. Убедить еще не значит доказать.

Структура доказательства.

Тезис- это суждение, истинность которого надо доказать. Аргументы это те истинные суждения, которыми пользуются при доказательстве тезиса. Формат доказательства - называется способ логической связи между тезисами и аргументами.

Различаются несколько видов аргументов:

1. удостоверенные единичные факты - такого рода аргументам относятся так называемый фактический материал, т.е. статические данные о населении территории государства, выполнение плана, свидетельские показания, подписи лица на документе, научные данные, научные факты. Роль фактов в обосновании выдвинутых положении, в том числе научных, очень велика.

определение как аргументы доказательства. Определение понятий формируется в каждой науке. Правила и виды были рассмотрены в теме «понятия».

2. аксиомы и постулаты. В математике , механике, теоретической физике, математической логике и других науках кроме определений вводят аксиомы.

Аксиомы - это суждения, которые принимаются в качестве аргументов без доказательства, т.к. они уже подтверждены многовековой практикой людей.

3. раннее доказанные законы науки и теоремы как аргументы доказательства. В качестве аргументов доказательства могут выступать ранее доказанные законы физики, химии, биологии и др. научные теоремы математики. Юридические законы являются аргументами в ходе судебного доказательства.

В ходе доказательства какого- либо тезиса может использоваться не один, а несколько из перечисленных видов аргументов. И наконец, следует еще раз подчеркнуть, что критерии истинности является практика. Если практика подтвердила истинность суждения, то дальнейшее доказательство не нужно.

Итак, роль доказательства очень важна, т.к. в современном мире нам часто приходится доказывать, обосновывать высказанные нами суждения. Особенно важно доказательство в научной деятельности.