Взаимодействие электромагнитного поля с электронами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

За последние два десятилетия в физике низкоразмерных квантовых структур был сделан ряд крупных открытий. Достаточно назвать главные из них. Предсказаны и детально исследованы эффекты слабой и сильной локализации квантовых состояний в присутствии случайного потенциала. В баллистических проводниках, где рассеяние на примесях и дефектах играет малозаметную роль, обнаружено квантование проводимости. Исследованы универсальные флуктуации проводимости в проводниках, размеры которых не превышают длины сбоя фазы волновой функции. Наблюдалась кулоновская блокада туннелирования в полупроводниковых наноструктурах. Можно уверенно сказать, что открытие целочисленного и дробного квантовых эффектов Холла в двумерном электронном газе качественно изменило наши представления как о характере магнетотранспорта в конденсированных средах, так и о природе основного и возбуждённых состояний двумерной кулоновской жидкости. Несмотря на то, что все перечисленные явления наблюдаются в образцах, размеры которых существенно превышают атомные, они имеют чисто квантовую природу и не могут быть поняты в рамках классических представлений. В то же время эти размеры меньше, чем у обычных макроскопических тел, окружающих нас. Поэтому можно говорить о некоторой промежуточной области линейных масштабах, в которой уже действуют законы квантовой механики.

Раздел физики, изучающий подобные явления, получил названия мезоскопика. Свойства мезоскопических объектов во многом радикально отличаются от свойств как микроскопических, так и макроскопических тел. Например, для мезоскопических образцов нельзя ввести понятие удельного сопротивления. Электрическое сопротивление двух таких проводников, соединённых последовательно, не равно сумме их сопротивлений. Необычно ведёт себя сопротивление мезоскопических проводников при изменении их геометрических размеров. Кроме того, оно существенно зависит от положения каждого рассеивающего центра.

Исследования физических процессов в квантовых структурах способствовали не только открытиям фундаментального характера, но и стимулировали прогресс электронной инженерии. Логика развития современной полупроводниковой электроники такова, что интегральные схемы становятся всё более сложными и объединяют всё большее число элементов. До сих пор изготовителям интегральных схем удавалось увеличить плотность размещения транзисторов, диодов и других элементов за счёт уменьшения их размеров. Эксперты предсказывают, что в недалёком будущем эти размеры станут порядка несколько долей микрона. В тот момент, когда это произойдёт, описание на языке классической физики потеряет смысл и разработчики электронных приборов будут вынуждены обратиться к квантовой механике. Вот почему уже сегодня актуальны исследования полупроводниковых квантовых структур.

Интерес к изучению квантовых состояний и транспорта в немагнитных полупроводниковых структурах со спин орбитальным взаимодействием возник после того, как в 1990 году была предложена конструкция спинового полевого транзистора. В настоящее время задачи об управлении спинами носителей в полупроводниках привлекают к себе внимание не только в связи с ожидаемыми приложениями в спиновой электронике (спинтронике), но и фундаментальными физическими эффектами, такими, как спиновый эффект Холла и фотогальванический эффект.

Спин-орбитальное взаимодействие описывается гамильтонианом

где

- масса свободного электрона,

- потенциальная энергия,

- матрицы Паули:

,,.

В присутствии асимметрии инверсии(zz) для потенциальной энергии на границе в появляется SO-вклад как гамильтониан Рашбы (Э.И.Рашба, 1960): , где - константа Рашбы, . Типичные значения в GaAs: 1-5ЧeVm. , и . Если есть асимметрия в объеме, то появляется вклад в , который называется гамильтониан Дрессельхауза: , где константа Дрессельхауза, по порядку величины и (обычно). Мы будем в основном касаться гамильтониана Рашбы.

1.Взаимодействие электромагнитного поля с электронами. Правила отбора

Оптические свойства квантовых структур вызывают интерес по двум причинам: во-первых, с помощью оптических измерений можно выяснить детали энергетического спектра носителей заряда в этих структурах, а во-вторых, квантовые структуры являются основой оптоэлектронных приборов, прежде всего лазеров. Оптические эффекты в структурах с квантовыми ямами, как правило, проявляются с большей интенсивностью, чем в объёмных полупроводниках.

1.1 Вероятность перехода в поле электромагнитной волны

Под действием электромагнитного излучения электроны в квантовых ямах и сверхрешётках могут совершать переходы между подзонами размерного квантования. Для обозначения таких переходов принято использовать термин «оптические» или «излучательные» переходы. Правила, определяющие возможные квантовые переходы электрона, называются правилами отбора. Переходы, вероятность которых равна нулю, называются запрещёнными, а те, вероятность которых отлична от нуля,- разрешёнными.

Рассмотрим взаимодействие электрона с электромагнитным излучением. В присутствии электромагнитной волны гамильтониан, описывающий движение электрона в кристалле, имеет вид

,

где- векторный потенциал электромагнитной волны в калибровке, когда электрический потенциал ; - самосогласованный периодический потенциал; - заряд и масса свободного электрона соответственно. Если поле электромагнитной волны меньше атомного, то слагаемые в гамильтониане, содержащие векторный потенциал, можно рассматривать как возмущение, причём в линейном приближении по амплитуде волны слагаемым, пропорциональным , можно пренебречь, используя условие diva=0, которое приводит к коммутативности операторов и А, и пренебрегая слагаемыми, пропорциональными , исходный гамильтониан можно представить в виде

,

где - гамильтониан электрона в кристалле в отсутствие внешнего электромагнитного поля. Таким образом, взаимодействие электрона с электромагнитной волной малой интенсивности описывается оператором .

Зависимость векторного потенциала электромагнитной волны от координаты и времени имеет вид , поэтому , где - вектор электрического поля электромагнитного поля электромагнитной волны, - единичный вектор поляризации. Как правило, квазиимпульсы электрона в начальном и конечном состояниях электрона много больше импульса фотона , что нетрудно показать , используя законы сохранения энергии и квазиимпульса при оптическом переходе. Поэтому, во-первых, при оптических переходах электрон мало изменяет свой импульс, оптические переходы на диаграмме энергия-квазиимпульс вертикальны; во-вторых, при вычислении матричных элементов оператора взаимодействия электрона с полем электромагнитной волны можно пренебречь зависимостью векторного потенциала от координат.

Вероятность перехода электрона в единицу времени из начального состояния в конечное под действием электромагнитного излучения, определяемая по правилу Ферми, пропорциональна квадрату матричного элемента полного импульса, взятого между этими состояниями:

,

где - энергии электрона в начальном и конечном состояниях. Знак «-» в аргументе дельта-функции соответствует поглощению фотона, а знак «+»- испусканию.

1.2 Правила отбора для внутризонных переходов в квантовых ямах

Начнём рассмотрение правил отбора для внутризонных переходов с простейшего случая, когда движение электрона вдоль и поперёк квантовой ямы независимы. Волновую функцию электрона можно представить в виде произведения двух независимых друг от друга функций, каждая из которых описывает движение электрона в определённом направлении. Такая ситуация реализуется, если зависимость энергии от импульса квадратична (параболический закон дисперсии) и одна из главных осей эллипсоида постоянной энергии перпендикулярна гетерограницам. Типичными примерами являются: переходы между состояниями Г-долины зоны проводимости (например, в GaAs) при не очень большой разнице энергий начального и конечного состояний электрона, когда зависимостью его эффективной массы от энергии можно пренебречь; переходы между состояниями -долин в структурах , выращенных на плоскости (например, в Si); переходы между состояниями L- долины, ось вращения которой нормальна к плоскости гетероперехода (например, в Ge).

В перечисленных случаях разрешены только оптические переходы под действием компоненты электрического поля, перпендикулярной плоскости квантовой ямы. Действительно, компоненты поля, параллельные плоскости квантовой ямы, не могут изменить движение электрона поперёк неё. А состояние электрона разных подзон размерного квантования отличаются именно характером поперечного движения. Формально запрет на такие переходы связан с ортогональностью частей волновых функций разных подзон размерного квантования, зависящих только от поперечной к квантовой яме координаты.

В квантовых ямах, потенциальная энергия которых симметрична относительно отражения в плоскости, расположенной в её середине (будем называть их симметричными), кроме того запрещены переходы между состояниями подзон с номерами одинаковой чётности (например, первой и третьей подзон). Другими словами, в симметричных квантовых ямах оптические переходы возможны только между состояниями подзон разной чётности.

В зоне проводимости из-за непараболичности закона дисперсии электронов, т.е. зависимости их эффективной массы от энергии, продольное и поперечное движения электрона могут перемешиваться. Как уже отмечалось ранее, этот эффект наиболее ярко выражен в Г-долине зоны проводимости. Перемешивание продольного и поперечного движений электрона незначительно в широкозонных полупроводниках, однако оно может быть существенным в узкозонных материалах, поскольку с уменьшением запрещённой зоны возрастает непараболичность закона дисперсии электронов в зоне проводимости. Поэтому, несмотря на снятие запрета на оптические переходы под действием компонент электрического поля, параллельных плоскости квантовой ямы, вероятность таких переходов в широкозонных полупроводниках, где 1 эВ, на несколько порядков меньше, чем вероятность переходов, вызванных нормальной к плоскости квантовой ямы компонентой электрического поля. В узкозонных полупроводниках (< 0,1 эВ) вероятности указанных переходов могут быть одного порядка.

Вторая возможная причина перемешивания продольного и поперечного движений электрона в квантовой яме - анизотропия закона дисперсии электронов. Такое перемешивание происходит, например, если угол между осью симметрии эллипсоида постоянной энергии и нормалью к гетерогранице отличен от . Если отношение полуосей эллипсоида постоянной энергии не зависит от координаты (т.е. одинаково с обеих сторон гетероперехода), тогда существует простое соотношение между матричными элементами координат вдоль и поперёк квантовой ямы. Чтобы найти его, выберем направление оси z по нормали к гетерогранице, а оси x и y направим так, чтобы элементы тензора эффективных масс . Тогда, совершая масштабное преобразование, осуществляющее «изотропизацию» закона дисперсии, можно показать справедливость соотношений

Таким образом, в этом случае разрешены оптические переходы между подзонами размерного квантования для одной компоненты электрического поля, параллельной в плоскости квантовой ямы (x-компоненты), и для нормальной компоненты электрического поля.

Сформулируем теперь правила отбора для оптических переходов между подзонами размерного квантования в валентной зоне. Для простоты ограничимся случаем симметричных квантовых ям, когда для нормально падающих на гетерограницы дырок (т.е. когда импульс вдоль квантовой ямы равен 0) отсутствует перемешивание лёгкой и тяжёлой зон. Сначала рассмотрим правила отбора в ситуации, когда квазиимпульс дырки вдоль квантовой ямы равен нулю. В этом случае они зависят от плоскости, на которой выращена квантовая яма. Правила отбора для оптических переходов между подзонами размерного квантования в валентной зоне для симметричных квантовых ям, выращенных на плоскостях или , приведены в таблице 3.1, правила отбора для симметричных квантовых ям, выращенных на плоскости - в таблице 3.2. Как видно из таблиц, переходы всегда идут с изменением чётности номера подзон (в несимметричных ямах это не так). Направление оси z выбрано по нормали к плоскости квантовой ямы.

Таблица 3.1 Таблица 3.2

Зона дырок
	- - z x,y	- - x,y x,y,z	z x,y - -	x,y x,y,z - -
Зона дырок
	- - x,y,z x,y,z	- - x,y,z x,y,z	x,y,z x,y,z - -	x,y,z x,y,z - -

Примечание. Буква H обозначает зону тяжёлых дырок, L- зоны лёгких и спин-отщеплённых дырок, нижние индексы s и a обозначают чётные и нечётные номера подзон размерного квантования. В таблице приведены поляризации разрешённых при

k =0 оптических переходов.

Интересно рассмотреть закон сохранения момента импульса при оптических переходах в валентной зоне. Состояния тяжёлых дырок с нулевым квазиимпульсом в квантовых ямах, выращенных на плоскостях и , обладают проекцией полного момента (измеренного в единицах ) на ось z, равной , а лёгких и спин-отщеплённых - . Любую нормально падающую на квантовую яму электромагнитную волну можно рассматривать как суперпозицию двух циркулярно поляризованных (правой и левой) волн. Проекция момента импульса циркулярно поляризованного фотона на направление его движения (спиральность) равна . Поэтому, согласно закону сохранения момента импульса, при поглощении или испускании циркулярно поляризованного фотона, нормально падающего на квантовую яму, проекция момента импульса электрона на нормаль к квантовой яме должна измениться на . Разность проекций момента импульса тяжёлых дырок на нормаль составляет , и поэтому переходы с x-, y-поляризацией между состояниями тяжёлых дырок запрещены (см. табл. 3.1).

С увеличением квазиимпульса электрона вдоль квантовой ямы снимаются все запреты на оптические переходы. Причина этого - перемешивание состояний лёгких и тяжёлых дырок на гетерограницах. Наиболее сильное перемешивание происходит при значениях квазиволнового вектора порядка обратной ширины квантовой ямы. Именно при таких значениях наблюдаются максимальные величины вероятностей переходов, запрещённых при k=0.

1.3 Правила отбора для межзонных переходов

Прямые межзонные оптические переходы, когда начальное и конечное состояния электрона находятся в окрестности центра зоны Бриллюэна(Г-точки), используются в большинстве оптических полупроводниковых устройств, работа которых основана на межзонных переходах.

Переходы между каждой парой подзон размерного квантования, одна из которых расположена в валентной зоне, а другая - в зоне проводимости, возможны, если энергия фотона превышает некоторую минимальную пороговую величину, т.е. для переходов существует «край» поглощения. Как правило, на пороге оптические спектры поглощения имеют свои особенности.

В симметричных квантовых ямах потолок валентной зоны располагается в точке k=0, а в несимметричных смещён из этой точки. Поэтому в симметричных ямах краю соответствуют переходы между Г-точками зоны проводимости и валентной зоны. При отсутствии перемешивания на гетерограницах состояний лёгких и тяжёлых дырок с k=0 огибающие волновых функций для таких состояний имеют положительную чётность в подзонах с нечётными номерами и отрицательную в подзонах с чётными номерами. Это нетрудно понять, если заметить, что при отличные от нуля элементы эффективного гамильтониана, описывающего движение электрона в валентной зоне, пропорциональны . Благодаря этому обстоятельству, оптические переходы в симметричных квантовых ямах разрешены между подзонами размерного квантования с номерами одинаковой чётности. В бесконечно глубокой яме вид огибающей не зависит от эффективной массы электрона и из-за ортогональности огибающих волновых функций переходы разрешены только между подзонами с одинаковыми номерами.

В зоне проводимости быстроосциллирующая часть волновой функции в Г-точке имеет симметрию s-типа (орбитальный момент равен нулю). Поскольку отличны от нуля только матричные элементы оператора импульса типа , то переходы на пороге поглощения из подзон тяжёлых дырок запрещены для поляризации волны, в которой электрическое поле нормально к плоскости квантовой ямы. Этот результат имеет простую физическую интерпретацию, основанную на законе сохранения момента импульса. Действительно, проекция полного момента импульса электрона на нормаль к квантовой яме в зоне проводимости равна , а в зоне тяжёлых дырок - . Но фотон, электрическое поле которого направлено по нормали к квантовой яме, обладает нулевой проекцией момента импульса на эту нормаль. Поэтому испускание и поглощение такого фотона при переходах электрона между зонами проводимости и тяжёлых дырок запрещено законом сохранения момента импульса.

Что касается правил отбора для оптических переходов из подзон лёгких дырок, то они наиболее просты, если величина спин-орбитального расщепления валентной зоны велика по сравнению с энергией размерного квантования. В этом случае при k=0 матричный элемент оператора импульса для компоненты электрического поля, направленной по нормали к плоскости квантовой ямы, в 2 раза больше, чем для компоненты, лежащей в этой плоскости. Аналогичные правила отбора имеют место и в объёмном полупроводнике, когда импульс электрона в начальном состоянии направлен вдоль оси четвёртого порядка.

По мере увеличения энергии перехода и отхода от края из-за перемешивания состояний лёгких и тяжёлых дырок все запреты снимаются. В несимметричных квантовых ямах краю перехода соответствует , и поэтому запретов нет даже для переходов на краю.

Проекция полного момента импульса электрона на нормаль к квантовой яме в зоне проводимости полностью определяется проекцией спина. Поэтому, поглощая циркулярно поляризованный свет с энергией фотона, соответствующей краю фундаментального поглощения, электрон появляется в зоне проводимости с фиксированной ориентацией спина. Таким образом, с помощью циркулярно поляризованного света в зоне проводимости можно приготовить электроны, спин которых имеет строго определённое направление.

2.Модели расчета

2.1 Спиновый эффект Холла (с гамильтонианом Рашбы).

Собственные значения и собственные функции гамильтониана Рашбы

квантовый физический электромагнитное поле электрон

Т.к. в спиновом пространстве - матрица 22, то его собственные функции- столбцы с 2 компонентами, т.е. собственные функции есть 2-хкомпонентные спиноры. В пустом пространстве или в полупроводниках с эффективной массой m . Энергия тоже будет .

,

- как для свободного движения,

- 2-хкомпонентный спинор, всегда можно умножить на любое комплексное число, не зависящее от , и тогда .

Итак, ищем собственные значения и собственные функции задачи

=

и это равно , т.е.

, подставим в первое уравнение , получаем:

или ,

собственные значения

,

, k=, а , т.е. и

собственные функции

, .

Можно записать спинор через фазу , тогда

Запись удобна тем, что позволяет описать решение при наличии как вклада Рашбы, так и вклада Дрессельхауза:

но фаза

Исследование спектра и собственных функций гамильтониана Рашбы

, везде,

Среднее значение спина в квантовых состояниях Рашбы

, где , дается формулой ,

Имеем:

,

т.е. спины «лежат» в плоскости (как для , так и для ).

Далее,

Аналогично, ,

т.е. в состоянии .



Размещено на http://www.allbest.ru/

Концепция эффективного магнитного поля

Гамильтониан Рашбы можно переписать так (как Зеемановский член):

,

- зависимое эффективное магнитное поле,

, (3)

т.е. спины выстраиваются против поля ( =-1) или по полю (=1).

Спиновой эффект Холла.

Для зависящего от t Зеемановского члена эволюция вектора спина описывается уравнением Блоха:

,

где - «эффективное трение» другие вклады в спиновую динамику не считаем малыми.

, т.к. при приложении электрического поля имеем , т.е. .

Отсюда можно получить, что возникнет

2.2. Квантовые состояния в сверхрешётках со спин-орбитальным взаимодействием

Гамильтониан рассматриваемой системы можно записать в виде суммы двух слагаемых:

,

где в слагаемом

учтено спин-орбитальное взаимодействие Рашбы,

- периодический потенциал решетки,

- оператор импульса,

- эффективная масса,

- матрицы Паули,

- параметр Рашбы,

- орт нормали к 2D слою.

Будем моделировать периодический электростатический потенциал сверхрешётки функцией , где - период.

Вообще говоря, в гамильтониане рассматриваемой системы должны быть учтены периодические слагаемые, связанные с модуляцией параметра спин-орбитального взаимодействия электрическим полем решетки. Такая переменная часть СО взаимодействия с параметром , описывается слагаемым . Однако оценка величины напряженности электрического поля, которое можно создать в гетеропереходе с помощью металлических затворов, показывает, что основным слагаемым в исходном гамильтониане является электростатический потенциал и поэтому ниже мы пренебрежем модуляцией параметра Рашбы.

Слагаемое, определяющее спин-орбитальное взаимодействие в гамильтониане Рашбы , зависит от импульса и играет роль эффективного «магнитного» поля. В таком поле вырождение по спину снимается и собственные значения, а также собственные функции - спиноры первого ранга - определяются выражениями

,

,

где ,

- индекс ветви,

S - площадь структуры.

В присутствии периодического потенциала мы будем искать решение в виде блоховской функции, представленной в виде ряда по собственным функциям гамильтониана : . Здесь состояния задаются квазиимпульсом , определенным в зоне Бриллюэна, а также номером зоны и спиновыми индексами , - волновой вектор, - вектор обратной решетки. Двухкомпонентные спинорные функции определены в . При трансляции на период решетки по направлению обе компоненты спинора преобразуются как функции Блоха.

Подставляя в уравнение Шрёдингера, умножая его слева на функцию и выполняя интегрирование по координатам, приходим к следующему матричному уравнению для коэффициентов

где - собственные значения диагонального в этом базисе гамильтониана , . Матричный элемент периодического потенциала является комплексной функцией компонент , и определен как . Используя приведенное выше выражение для и волновые функции , найдем

,

где . Явная зависимость матричных элементов от компонент и определяется множителем в круглых скобках, равным произведению двух спиноров.

Зависимость модулей матричных элементов от компонент и определяется формулой , откуда, в частности, следует, что при матричные элементы на границах и в центре одномерной зоны Бриллюэна, т.е. при обращаются в нуль, а матричные элементы достигают максимального значения. Отметим также, что при модуль матричных элементов с разными индексами и - стремятся к нулю, а максимальны.

Типичный энергетический спектр сверхрешетки представлен на рис.1.

В расчетах использовались следующие типичные значения параметров: =1.7meV, eVcm,

- эффективная масса,

, .

В соответствии с теоремой Крамерса выполняется условие и поэтому здесь показана область с . Из рисунка следует, что в присутствии периодического потенциала вырождение по спину при не снимается как в центре, так и на границах зоны Бриллюэна. Природа этого эффекта связана с тем, что матричные элементы , как было отмечено выше, обращаются в нуль на границах зоны Бриллюэна , если . При вырождение снимается во всех точках зоны Бриллюэна. Зависимость энергии от квантового числа для вышеприведенных параметров показана на рис.1b. Здесь вырождение снимается, что связано с наличием линейных по слагаемых в , а также с взаимодействием между различными ветвями спектра (2), описываемым матричными элементами . При определенных условиях возможно пересечение ветвей спектра , отвечающих разным зонам. Такая ситуация показана на рис.1b, где пересечение ветвей спектра 1 и 2 происходит в точке А, где взаимодействие приводит к расталкиванию дисперсионных кривых (антикроссингу). В этой точке проекция спинов меняет знак.

2.3. Переходы в сверхрешётках. Матричный элемент прямых оптических переходов между зонами СО-сверхрешётки

Переход описывается матричным элементом оператора

.

=

- ортонормированность плоских волн.

2.4 Результаты

В процессе реализации программы расчёта матричного элемента прямого оптического перехода между зонами СО-сверхрешётки наблюдаем запрещённые переходы между зонами: 17-16, 13-12, 10-9, 9-8, 6-5, 5-4, 3-2, 2-1, т.к. все матричные элементы - «чистый» ноль. Также запрещёнными переходами являются переходы между зонами 26-25, 24-23, 23-22, 22-21, 19-18, 18-17, 16-15, 15-14, 14-13, 12-11, 11-10, 8-7, 7-6, 4-3, здесь практически все матричные элементы равны либо «чистому» нулю, либо числам, близким к нулю. Возможными будут переходы между зонами 29-28, 28-27, 27-26, 25-24. Матричные элементы при переходе 30-29 близки к нулю или нулевые, кроме первого элемента, который равен единице.

Список литературы

1. В.Я.Демиховский, Г.А. Вугальтер «Физика квантовых низкоразмерных структур», Москва: Логос, 2006 г.

2. В.Я.Демиховский, Д.В.Хомицкий «Квантовые состояния и спиновая поляризация двумерной электронной системы с модулированным спин-орбитальным взаимодействием», письма в ЖЭТФ.

3. Д.В.Хомицкий лекция «Спиновый эффект Холла».

Размещено на Allbest.ru