Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

• Введение
• 1. Использование и применение квантовых точек
• 2. Обзор теоретических исследований по вертикально связанным квантовым точкам в полупроводниках
• 2.1 Кулоновские корреляции и электронно-дырочная жидкость в двойных квантовых ямах
• 2.2 Модель
• 2.3 Корреляционная энергия
• 3. Теория функционала плотности. Уравнение Кона-Шэма
• 3.1 Метод расчета
• 3.2 Результаты и их обсуждение
• 4. Стационарное уравнение Шрёдингера
• 4.1 Общий случай
• 4.2 Случай трёхмерного пространства
• Заключение
• Список использованных источников
• Введение
• Несмотря на применение полупроводниковых материальных квантовых точек, в физике и технике, теоретическое исследование электронных свойств вертикально связанных квантовых точек, изучены недостаточно, в связи с чем, в настоящей курсовой работе, формируется многоэлектронная задача, для вертикально связных квантовых точек, разделенных небольшим расстоянием.
• В настоящее время, квантовые точки (КТ), являются перспективными объектами для реализации устройств с квантовой логикой [1].
• Большинство операций по обработке информации в таких устройствах основано на эффекте резонанса в квантовой среде. Резонанс (резонансное туннелирование) предполагает наличие идентичных соседних состояний. Известно, что, например, в случае идентичных квантовых ям резонансное туннелирование между ними является основным типом транспорта носителей заряда в сверхрешетках [2]. Однако в однослойном массиве КТ такую ситуацию трудно реализовать из-за дисперсии КТ по размерам и относительно больших расстояний между ними в плоскости. В многослойном массиве распределение размеров КТ по вертикали становится гораздо более предсказуемыми управляемым[3]. При образовании одного слоя, КТ являющиеся упругими включениями, создают дальнодействующие поля упругих напряжений. Таким образом, нижние слои КТ создают модуляцию упругой энергии на поверхности спейсера (области растяжения над точками). При осаждении следующего слоя, атомы мигрируют в места с меньшим расхождением , по постоянной решетки. В итоге, за счет такой вертикальной корреляции образуются колонки КТ. Как правило, размеры КТ в колонке немного увеличиваются (при одном и том же спейсере), что приводит к “красному” сдвигу в фотолюминесценции (ФЛ). Кроме того, необходимо учитывать большую вероятность туннелирования при маленьких прослойках, в КТ с более глубокими уровнями размерного квантования. Увеличение толщины барьера, наоборот, уменьшает вероятность туннелирования (экспоненциально) и соответственно приводит к “синему” сдвигу полосы ФЛ. Таким образом, в многослойных структурах возможно исследовать новые квантово-механические объекты - вертикально связанные (посредством туннелирования) квантовые точки (ВСКТ). Массивы ВСКТ проявили себя как качественно новый объект. Их рост в вертикальном направлении скоррелирован и является более управляемым. В таких структурах можно наблюдать резонансные явления, поскольку разделяющий барьер очень мал и высока вероятность туннелирования. Однако из-за наличия некоторого расхождения по размерам в направлении оси роста, идентичных состояний между соседними КТ не получается. Необходимо внешнее воздействие, чтобы привести уровни в резонанс. В данной работе внешнее электрическое поле, ориентированное вдоль колонок, рассматривается как инструмент управления резонансами между неидентичными вертикально-связанными КТ.
• В последнее время в опто и наноэлектронике находят применение вертикальные нанопроволоки или нитевидные нанокристаллы (ННК) - нанообъекты, имеющие длину в десятки раз превышающую их диаметр. Рост таких нитевидных кристаллов возможен на основе широкого круга материалов: металлов, керамик, полупроводников [4]. Полупроводниковые ННК обладают уникальными электронными и оптическими свойствами [5]. На основе ННК можно создавать светоизлучающие устройства со сверхнизким энергопотреблением, зонды для атомно-силовых микроскопов, автоэмиссионные катоды, туннельные диоды, одноэлектронные транзисторы, однофотонные излучатели [6]. На основе вертикальных ННК , созданы полевые транзисторы [7].

1. Использование и применение квантовых точек

Обычно используемые в дисплеях, также могут передавать изменения температуры в клетке.

Квантовые точки, используемые на сегодняшнем рынке - это наноразмерные полупроводники, которые изменяют цвет в зависимости от изменений температуры. Точки имеют два слоя - внутреннее ядро селенида кадмия и внешняя оболочка сульфида цинка. Так как квантовые точки биосовместимы, учёные используют их в качестве альтернативы флоуресцентным красителям, чтобы метить и отслеживать клеточные компоненты, чаще всего в пробирках.

Рисунок 1. Использование КТ для отслеживания клеточных компонентов в пробирках

Квантовые точки - что это? Квантовые точки-- наноматериал с необычайными спектральными характеристиками -- найдет применение в молекулярной медицине, биологических исследованиях и даже станет основой наноустройств будущего.

Сейчас, пользуясь преимуществом квантовых точек, можно реагировать на температуру. Хау Янг, в Принстонском Университете, его коллеги в Университете Калифорнии и в Беркли используют их в качестве массива, термометров внутри клеток. У них получилось внести точки в мышиный фибропласт (клетки соединительной ткани) и измерить температурные изменения в различных частях клетки.

Мы хотели узнать, однородно ли изменение внутриклеточной температуры.

Использование квантовых точек в качестве нанотермометра не ново, в отличие от их применения в качестве клеточных приспособлений. Джон Капобьянко из Университета Конкордия вместе с коллегами в прошлом году опубликовал работу, показывающую, что эти квантовые точки могут быть использованы в качестве нанотермометра в клетках рака шейки матки.

Как утверждал Капобьянко:Славно, что кто-то действительно взял идею нанотермометров и применил её для измерения температуры в клетке, когда применяется внешнее шоковое воздействие.

Рисунок 2. Пример измерения температуры в клетке.

Исследовательская группа Янга добавила многократное количество квантовых точек в каждый из 31 мышиного фибропласта. Когда точки вводятся в клетки, они занимают разные места, обеспечивая выборку температурных реакций по всем клеткам. Учёные затем добавили кальций, который, как известно, увеличивает клеточную температуру. Когда кальций вводится в клетки, точки, по большей части, смещаются в красный диапазон спектра света, показывая температурный рост. Но исследователи также обнаружили, что реакция точек на кальций была неоднородна на всей клетке. Некоторые точки показывали очень большое увеличение (на 8 градусов Цельсия), в то время, как остальные едва среагировали на введение кальция.

Группа учёных также снизила температуру клетки с 37 до 15 градусов Цельсия и обнаружила похожие результаты в 13 клетках, участвовавших в тестах - некоторые точки имели более значительное изменение цвета, чем остальные, показывая, что реакция на уменьшение температуры клетки неоднородна по всей клетке.

Янг, изменявший температуру с разной скоростью и на разные значения, пришёл к выводу:

Разные части клетки по-разному реагируют на изменения температуры. Для нас это означает, что разные части клетки создают тепло, чтобы побороть холод.

Молекулярный механизм, лежащий в основе разных температурных реакций в клетке - цель предстоящей работы Янга. Он и его коллеги выясняют, какие протеины, ферменты и механизмы могут быть ответственны за регулирование тепла и холода в клетке. Янг заявил, что он также верит, что температура может быть связным механизмом для клеток, и использование квантовых точек может помочь узнать об этом.

Нанотермометры имеют потенциальную роль, как в исследованиях рака, так и в его лечении, говорит Каушал Ридж, профессор Государственного Университета Аризоны, который не принимал участие в этих исследованиях. Гипертермия используется в качестве метода для уничтожения опухоли, и термометр может быть удобен.

Ридж говорит:

«Если эти исследования могут быть использованы, чтобы увидеть, насколько эффективно лечение, или узнать, какая температура может быть достигнута в разных частях клетки и спланировать лечение, это было бы полезно. »

Он добавил, что нанотермометры могут применяться, чтобы улучшить криоконсервацию тканей путём возможного определения наиболее эффективной программы заморозки или мониторинга того, как клетки реагируют на замораживающие процессы.

В текущем эксперименте исследователи не определили точное расположение точек в клетке. Группа учёных могла визуализировать точки, но не имела возможности сказать находятся ли они, к примеру, около митохондрий, или в ядрах, или же в мембране. Янг сказал, что у него есть на примете методы, которые могли бы позволить исследователям устанавливать точное положение точки в клетке.

Ридж согласился, что это может быть возможным. В его собственных исследованиях он обнаружил, что тесно связанные клеточные линии рака простаты размещают точки в разных частях клетки, и если вы можете контролировать размещение, вы сможете получить информацию о субклеточных местах.

Капобьянко рассказал, что если квантовые точки будут применяться в диагностике или лечении, то определённо нужно решать проблему токсичности. Кадмий, составляющий ядро некоторых квантовых точек, является ядом, который может быть опасен для печени, костей, почек и дыхательных путей. Оболочка точек должна нивелировать токсичность, но Капобьянко говорит, что перед клиническим использованием необходимо будет провести дополнительные исследования.

1.1 Методы получения квантовых точек

Так сложилось исторически, что с квантовыми точками человечество познакомилось намного раньше, чем с любыми другими нанообъектами. В Средние века металлические наночастицы входили в состав красок ,использующиеся для окраски витражных стекол .Однако вряд ли средневековые мастера подозревали ,что именно мельчайшие наночастицы металлов придают стеклам столь насыщенный и яркий оттенок.

Другим дошедшим до нас из древности интересным применением нанотех-нологий является способ окраски волос путем формирования в структуре волоса наночастиц черного сульфида свинца, размером около 5нм. Не исключено, что этим способом пользовалась сама Клеопатра .Любопытно, что такой способ окраски волос, несмотря на токсичность соединений свинца, вполне соответствует современным подходам, так как в состав многих современных красок для волос входит ацетат свинца, который проникая внутрь структуры волоса, преобразуется в сульфид свинца, предающий волосам насыщенный черный цвет. Рецепт, которым пользовались древние греки и египтяне, был достаточно простым .Оксид свинца смешивали с гидроксидом кальция (гашеной известью) и водой до получения пасты, затем пасту втирали в волосы. Ионы свинца вступали в реакцию с серой, содержащейся в кератине волоса, что приводило к образованию сульфида свинца. Щелочь была необходима для высвобождения серы из цистеина-аминокислоты, которая входит в состав белка кератина. Можно сказать, что древние люди овладели начальными навыками практического применения квантовых точек. Однако следует заметить, что далеко не всякая наночастица является квантовой точкой.

Уменьшение размера частицы приводит к проявлению весьма необычных свойств материала, из которого она сделана. Причиной этого являются квантово-механические эффекты, возникающие при пространственном ограничении движения носителей заряда: энергия носителей в этом случае становится дискретной. А число уровней энергии, как учит квантовая механика, зависит от размера «потенциальной ямы», высоты потенциального барьера и массы носителя заряда. Увеличение размера «ямы» ведет к росту числа уровней энергии, которые при этом становятся все ближе друг к другу, пока не сольются, и энергетический спектр не станет «сплошным». Ограничить движение носителей заряда можно по одной координате (формируя квантовые пленки), по двум координатам (квантовые проволоки или нити) или по всем трем направлениям-- это будут квантовые точки(КТ).

Полупроводниковые нанокристаллы являются промежуточными структурами между молекулярными кластерами и «сплошными» материалами. Границы между молекулярными, нанокристаллическими и сплошными материалами не определены с достаточной четкостью; однако диапазон 100 ч 10 000 атомов на частицу можно ориентировочно считать «верхним пределом» нанокристаллов. Верхний предел соответствует размерам, для которых интервал между уровнями энергии превышает энергию тепловых колебаний kT (k-- постоянная Больцмана, T -- температура), когда носители заряда становятся мобильными.

На рисунке 3 приведена схема дискретных уровней энергии в нанокристаллах. «Сплошной» полупроводник (слева) имеет валентную зону и зону проводимости, разделенные запрещенной зоной . Нанокристалл из полупроводника (справа) характеризуется дискретными уровнями энергии, подобными уровням энергии одиночного атома. В нанокристалле является функцией размера: увеличение размера нанокристалла ведет к уменьшению .

Квантовой точкой (КТ) может считаться любой кусочек проводника , ограниченный по всем трем пространственным координатам , размеры которого достаточно маленькие для того, чтобы проявление квантовых эффектов были существенными. В большинстве случаев решающим фактором для создания квантовой точки является наличие трехмерной потенциальной ямы, в которой носители заряда оказываются, заперты по всем трем пространственным координатам.



Рисунок 3-Дискретные уровни энергии в нанокристаллах

2. Обзор теоретических исследований по вертикально связанным квантовым точкам в полупроводниках

В данном пункте проведем обзор статьи А.А. Васильченко, Е.Н. Тумаева, Д.А. Ермохина "Расчеты основного состояния квазидвумерной электронно-дырочной плазмы"

Теорию функционала плотности можно легко обобщить на многокомпонентные системы. Так для двухкомпонентной системы (электроны и дырки) полная энергия запишется как

(1)

где , - кинетическая энергия носителей, - электростатическая энергия, - обменно-корреляционная энергия. Варьируя выражение (1) по плотностям и , получим два уравнения Шредингера:

(2)

где i=e,h

Здесь и далее используется экситонная система единиц: энергия измеряется в единицах , а длина в единицах, где - оптическая масса.

Таким образом, проблема сводится к решению двух одномерных нелинейных уравнений Шредингера для частиц в первой и во второй ямах, которые описываются потенциалами(z)=(z) и , где - обменно-корреляционный потенциал, а электростатический потенциал находится из уравнения Пуасcона :

(3)

с граничными условиями:

, (4)

где=- , -двумерные плотности электронов и дырок, соответственно.

Чтобы упростить вычисления, далее будем считать, что заполнен только один уровень размерного квантования. Когда заполнен только нижний уровень размерного квантования, плотности носителей задаются выражениями:

(z), (z) , (5)

Для обменно-корреляционной энергии используем приближение локальной плотности:

(6)

где ( - обменно-корреляционная энергия электронов и дырок на единицу объема.

Тогда обменно-корреляционные потенциалы имеют вид:

, . (7)

В общем случае вид выражения для неизвестен. В случае нейтральной электронно-дырочной плазмы для обменно-корреляционной энергии имеется аппроксимационная формула:

, (8)

, a=-4,8316 , b=-5,0879, c=0,0152, d=3,0426.

Для однокомпонентной системы ( ne nh =0 ) будем использовать следующее выражение:

, (9)

где - число эквивалентных долин.

В общем случае возьмем следующую аппроксимацию для:



, (10)

где и - обменно-корреляционные энергии на частицу задаются формулами (9) и (8), соответственно,

Для f (y) используется такое же выражения, как в работе :

(11)

Предполагаем, что существует равновесие между поверхностью и объемом, тогда должны выполняться условия:

, (12)

, (13)

где - среднее удаление электронов (дырок) от поверхности полупроводника, - число эквивалентных долин, e и h- квазиуровни Ферми для электронов и дырок, .

Таким образом , задавая e и h мы можем найти концентрации и для заданных значений .

Физическая причина образования второго слоя очень проста. Предположим, что первый слой является электронным, а второй дырочным. Тогда при освещении светом, когда e и , падение потенциала в электронном слое происходит на расстоянии порядка нескольких экситонных радиусов и дырки смогут находиться вблизи электронного слоя. Переэкранировка внешнего электрического поля электронами будет гаситься дырками, причем дырки совместно с электронами будут сами создавать себе потенциальную яму.

Оценим изменение полной энергии при добавлении к двумерному слою электронов двумерного слоя дырок плотности. Пусть слои находятся на расстоянии, тогда, считая, что носители образуют - слои, получаем для изменения электростатической энергии: . В кинетической энергии учитываем только энергию движения вдоль поверхности. Тогда получим для вклада кинетической энергии в : ?T. Для изменения обменно-корреляционной энергии запишем приближенное выражение:, где -средняя обменно-корреляционная энергия.

Таким образом, изменение полной энергии Et запишется в следующем виде:

Et=+4Nh2zeh+ Nh, (14)

Используя простую аппроксимацию, для и пренебрегая электростатической энергией , получаем необходимое условие для образования 2МЭДП:

, (15)

где - характерный размер волновой функции электронов, - константа, численное значение которой порядка единицы.

Из выражения (15) следует, что наиболее стабильное состояние 2МЭДП будет наблюдаться для поверхностей с большими и .

Для более строгого определения условий существования 2МЭДП необходимо численно самосогласованно решить уравнения Кона-Шэма (1)-(9). Самосогласованные вычисления сделаны для различных поверхностей кремния. На рис. 4 показаны волновые функции и эффективные потенциалы для поверхности кремния (100), причем в первом слое находятся дырки, а во втором электроны (h-e слой). Видно, что волновые функции электронов и дырок сильно перекрываются.

Для того чтобы показать возможность образования второго слоя (например, электронного) необходимо вычислить среднюю энергию связи электрона и дырки:

и волновые функции электронов и дырок для поверхности кремния (100):

=1012см-2, Ne=4*1011см-2.



Рисунок 4- Самосогласованные потенциалы

На рис. 5 показана зависимость средней энергии от электронной плотности для e-h слоя при различных. Область существования 2МЭДП находится из условия. Видно, что существует область плотностей (а значит и область для квазиуровней Ферми e и h), в которой возможно образование 2МЭДП. Убывание средней энергии связи с возрастанием плотности Ne (или) происходит в основном из-за возрастания кинетической энергии носителей вдоль поверхности полупроводника. Поэтому для поверхностей с большими эффективными продольными массами и (или) большим числом эквивалентных долин 2МЭДП может образовываться для более широкой области плотностей во втором слое. Отметим, что для поверхности (100) существует критическая концентрация , выше которой образование 2МЭДП невозможно.

На рисунке 5 приведены результаты для (111) поверхности кремния. Именно для этой поверхности имеется наибольшее число эквивалентных долин и, следовательно, кинетическая энергия носителей дает наименьший вклад в полную энергию. Сравнение рисунков 4 и 5 показывает, что средняя энергия связи электрона и дырки существенно больше для поверхности кремния (111)

Интересная особенность возникает в зависимости суммы квазиуровней Ферми электронов и дырок от концентрации носителей во втором слое (рис.).

Рисунок 5- Зависимость средней энергии связи электронов и дырок от концентрации дырок в кремнии (111)

Рисунок 6- Зависимость суммы квазиуровней Ферми от концентрации дырок во втором слое для eh-слоя на (111) поверхности кремния.

При концентрациях сумма e+h увеличивается с возрастанием . Такая зависимость связана с тем, что при низких концентрациях главную роль играет обменно-корреляционное взаимодействие. Монотонное возрастание суммы квазиуровней Ферми с увеличением концентрации во втором слое может привести к пространственной неустойчивости во втором слое носителей.

Условие устойчивости равновесия между поверхностью и объемом запишется в следующем виде:

(16)

где e+h, - число электронно-дырочных пар в объеме полупроводника, и - флуктуации плотности во втором слое и объеме полупроводника, соответственно.

При полной постоянной концентрации носителей величины и имеют противоположные знаки, поэтому при различных знаках у производных в выражении (16) состояние системы всегда будет устойчивым. При одинаковых знаках производных состояние может быть неустойчивым, поэтому в этом случае второй слой должен разбиваться на области с плотностью , при которой условие (16) выполняется. Очевидно, в этом случае возможно разбиение второго слоя на капли, которые могут не перекрываться друг с другом. При таком разбиении второй слой будет диэлектриком, и проводимость по второму слою будет отсутствовать, что подтверждается результатами эксперимента.

В работе найдено, что присм-2 проводимость поверхностных пар не наблюдается. В этой работе исчезновение проводимости объясняется существованием фазового перехода плазма-жидкость, т. е. образованием объемных e-h капель, связанных со слоем поверхностного заряда.

В представленной здесь модели этот эффект объясняется разбиением на двумерные капли, которое происходит при . Расхождение экспериментального и теоретического значения, по-видимому, связано с уменьшением роли обменно-корреляционного взаимодействия в нашей модели. В случае, если взять в формуле (10) f(y)=1, тогда критическое значение плотности , ниже которой отсутствует проводимость, составляет приблизительно 21012см-2.

Из рис. 6 также видно, что 2МЭДП может существовать только при нахождении квазиуровней Ферми электронов и дырок в достаточно узкой полосе. Как следует из результатов, представленных на рис. 6, величины квазиуровней Ферми практически не имеют общих областей при различных . Это значит, что для данной интенсивности внешнего излучения 2МЭДП может существовать только в узком диапазоне величины , что противоречит результатам эксперимента. Это противоречие снимается, если в теории увеличить роль обменно-корреляционного взаимодействия. В частности , расчеты, выполненные с f(y)=1 (обменно-корреляционная энергия задается формулой (9), показали, что области существования 2МЭДП с различными сильно перекрываются.

Кроме полученных выше эффектов, на поверхности полупроводника возможно образование многослойной системы, т.е. системы состоящей из чередующихся слоев электронов и дырок. Отметим также, что 2МЭДП может образоваться на поверхности полупроводника при.

2.1 Кулоновские корреляции и электронно-дырочная жидкость в двойных квантовых ямах.

В. С. Бабиченко(a), И. Я. Полищук(bc)

(a) Российский научный центр “Курчатовский институт”, г. Москва

(b) Московский физико-технический институт (государственный университет)

(c) Max Planck Institute for the Physics of Complex Systems.

Показано, что многочастичные кулоновские корреляции в двойных квантовых ямах с пространственно разделенными электронами и дырками приводят к образованию вырожденной электронно-дырочной жидкости со средним расстоянием между частицами, меньшим размера изолированного экситона. Это состояние оказывается энергетически более выгодным, чем газ экситонов. Результаты получены в предположении, что в системе имеется много различных сортов электронов и дырок, что характерно, в частности, для многодолинных полупроводников. Обсуждается связь с экспериментами, в которых наблюдались люминесцирующие области в таких системах.

В последнее время резко возрос интерес к исследованию двойных квантовых ям (ДКЯ) в связи с возможностью экспериментальной реализации

ДКЯ, в которых электроны и дырки расположены в пространственно разделенных областях, туннелирование между которыми является исчезающее малым. Исследование пространственно разделенных электронов и дырок в ДКЯ было инициировано тем, что в таких системах возможно образование связанных состояний электрона и дырки (экситонов), с большим временем жизни . Это время на несколько порядков больше, чем время жизни экситонов в обычных трехмерных полупроводниках, что способствует возможности наблюдения их бозе-конденсации. Дальнейшие исследования таких систем показали, что их фазовая диаграмма может быть довольно сложной. В настоящей работе, вычисляется вклад кулоновских корреляций в энергию основного состояния многокомпонентной вырожденной электронно-дырочной плазмы в ДКЯ. В рассматриваемой модели ДКЯ предполагается, что электроны и дырки пространственно разделены. При этом электроны движутся в одном двумерном слое, а дырки -в другом, расположенном на расстоянии l от первого слоя. Рассматривается случай, когда электронно-дырочная плазма является многокомпонентной. При этом имеется н различных сортов электронов и такое же количество сортов дырок, причем н ? 1. При достаточно малой плотности системы, электроны и дырки образуют связанные состояния (экситоны). При достаточно низкой температуре система может рассматриваться как вырожденный бозе-газ. Однако с увеличением плотности электронно-дырочной плазмы n, когда среднее расстояние между частицами n?1/2 становится меньше или порядка радиуса изолированного экситона Rex , связанные состояния электронов и дырок разрушаются и система трансформируется в вырожденную сильно корре-лированную плазму. Впервые вычисление корреляционной энергии многокомпонентной вырожденной электронно-дырочной плазмы в обычных трехмерных многодолинных полупроводниках с числом долин н ? 1, основанное на отборе диаграмм по параметру 1/н, было проведено в работе .

В данной работе показано, что многочастичные кулоновские корреляции приводят к существованию отрицательного минимума энергии основного состояния вырожденной электронно-дырочной плазмы в ДКЯ как функции плотности n. При этом минимум имеет место при такой плотности neq, при которой среднее расстояние между частицами ?1/2 является величиной, меньшей размера экситона, neq ?1/2 < Rex. Оказывается, что указанный минимум лежит ниже энергии основного состояния экситонного газа, так что энергия системы е eq в расчете на одну частицу есть отрицательная величина, причем |еeq| имеет значение, большее величины энергии связи экситона |еex | поэтому системе энергетически не выгодно находиться в состоянии с малой плотностью n ? neq, при которой она представляет собой газ экситонов. В результате система оказывается в состоянии, которое представляет собой электронно-дырочную жидкость. При этом если полное число частиц таково, что плотность n > neq , то система является однородной, а если n < neq , то система распадается на капли жидкой фазы. Следует отметить, что образующаяся электронно-дырочная жидкость обладает сильными электронно-дырочными корреляциями вблизи поверхности Ферми. Характерный радиус таких корреляций оказывается больше среднего расстояния между частицами. Следовательно, данные корреляции не могут быть связаны с наличием бозе-частиц, каковыми являются экситоны.

2.2 Модель

Для описания многочастичных эффектов в пространственно разделенной электронно-дырочной плазме в ДКЯ предполагается, что электроны расположены в одном бесконечно тонком двумерном слое, а дырки - в другом. Ниже используется система единиц, в которой эффективный заряд электрона (дырки) e/v к0 = 1 (где к0 - статическая диэлектрическая постоянная среды), постоянная Планка = 1, а эффективная масса электрона m = 1. При этом для простоты предполагается, что она равна эффективной массе дырки. Мы рассматриваем случай многокомпонентной электронно-дырочной плазмы. Число н сортов электронов (дырок) считается большой величиной (н ? 1). В этом случае импульс Ферми и энергия Ферми для электронов и дырок одинаковы и равны , где n - концентрация электронов (дырок). Температура системы предполагается малой по сравнению с энергией Ферми (T ? еF). Таким образом, электронно-дырочная плазма является вырожденной. Гамильтониан системы может быть записан в виде H = H0 + U, где H0 - кинетическая энергия, а U -кулоновское взаимодействие.

2.3 Корреляционная энергия

В данной работе учет многочастичных корреляций сводится к вычислению собственно-энергетической части как суммы диаграмм, главных по параметру 1/н ? 1. Это означает , что при отборе диаграмм учитываются только те из них, которые в каждом порядке теории возмущений по кулоновскому взаимодействию максимальны по параметру 1/н.Каждая фермионная петля вносит в диаграмму вклад, пропорциональный большому параметру н. Поэтому в каждом порядке теории возмущений по взаимодействию мы оставляем только диаграммы, которые содержат максимальное число таких петель. Такой отбор диаграмм, по существу, является 1/н-разложением и приводит к главной последовательности диаграмм, формально совпадающей с последовательностью RPA-диаграмм. Отбор диаграмм по параметру 1/н ?1 приводит к системе самосогласованных уравнений .

В общем случае К. э. представляет собой разность энергии основного состояния системы ферми-частиц и её значения, определённого в приближении Хартри - Фока Согласно Паули принципу, два электрона с одинаковым направлением спина не могут находиться в одной ячейке фазового пространства, что эквивалентно отталкиванию между ними. Это приводит к тому, что средняя кинетическая энергия электронного газа, даже при нулевой температуре, отлична от нуля и в случае газа большой плотности даёт основной вклад в энергию системы. Принцип Паули приводит также к корреляции во взаимном расположении электронов с параллельными спинами, к-рой соответствует обменная энергия. Вклад этого типа корреляции в энергию системы можно учесть с помощью теории возмущения в её первом приближении. Кроме того, существует корреляция электронов с противоположно направленными спинами вследствие кулоновского отталкивания между ними, она обусловливает свой специфич. вклад в энергию системы - т. н. К. э. Этот квантовомеханический эффект можно приписать существованию в системе "корреляционные дырки" (корреляц. разрежения), в отличие от "фермиевской дырки", обусловленной принципом Паули.

Корреляционную энергию нельзя учесть в рамках обычной теории возмущений: второе приближение для энергии электронного газа приводит к логарифмически расходящимся выражениям, т. к. влияние кулоновского взаимодействия, вследствие него дальнодействия, нельзя считать малым. Расходимость остаётся и в более высоких приближениях. Для вычисления второго и высших приближений для энергии электронного газа, т. е. для вычисления К. э., необходимо пользоваться усовершенствованной формой теории возмущений.

К. э. электронного газа, по Ю. Вигнеру (Е. Wigner, 1938), определяется формулой , где - средняя кинетическая энергия электронного газа при Т=0К, рассчитанная на один электрон в первом приближении теории возмущений:

=)Ry

[здесь PF- ферми-импульс электронов, (ср. расстояние между электронами в единицах боровского радиуса, эВ (ридберг)];.-ср.энергия кулоновского взаимодействия в электронном газе на один электрон:

Положит, заряд ионов (если рассматривают газ свободных электронов в металле) предполагается равномерно распределённым по объёму, т. е. влияние крис-таллич. решётки не учитывается.

Для случая малой плотности газа электронов Вигнер принял, что электроны образуют в пространстве решётку, н получил след. разложение для К. э.:

где U1 = -0,88.

Для электронного газа большой плотности ( Вигнер вычислил К. э. вариац. методом. Интерполируя между этими двумя пределами, Вигнер нашёл

Случай большой плотности может быть исследован более строго. Суммирование главных, дающих наибольшую степень расходимости, членов теории возмущений при ( приводит к разложению



Первый логарифмический член разложения, был определён Маке (Macke, 1950) на основе теории возмущений, а затем получен Д. Бомом и Д. Пайнсом (D. Bohm, D. Pines, 1953) методом коллективных переменных. Пост. член С= - 0,096 был вычислен М. Гелл-Маном и К. Бракнером (М. Gell-Mann, К. Brueckner, 1957) методом суммирования Фейнмана диаграмм, ими же была оценена величина третьего и четвёртого членов разложения. К. э. была также вычислена Ф. Нозьером (Ph. Nozieres) и Д. Пайнсом в 1958 методом коллективных переменных.

Для реальных металлов плотности электронного газа соответствуют значениям в интервале т. е. промежуточным плотностям. Для оценки К. э. щелочных металлов можно применить модель свободного электронного газа, без учёта кристаллической решётки.

Пренебрежение Н. э. приводит к неверной оценке роли корреляций электронов с параллельными спинами (поскольку при этом совершенно не учитывается корреляция электронов с антипараллельными спинами). Без учёта К. э. при очень малых плотностях оказывается возможным ферромагнетизм электронного газа, учёт же К. э. делает его невозможным.

3. Теория функционала плотности. Уравнение Кона-Шэма.

Идея Кона и Шэма состоит в замене гамильтониана сложной систем на систему, для которой функционал плотности может быть вычислен в явном виде. Отметим, что этот пункт является самым слабым местом в теории, поскольку выполнить такие вычисления не всегда возможно.

Сначала мы обсудим ситуацию, когда основной интерес вызывает основное состояние. Это ситуация наиболее прозрачна для понимания. Затем будет показано что, фактически, и спектр возбуждений может быть выражен через электронную плотность, относящуюся к основному состоянию.

Подход Кона-Шэма основывается на двух предположениях:

1) Точная электронная плотность основного состояния может быть

заменена на плотность свободных частиц вспомогательной системы.

2) Вспомогательный гамильтониан выбирается так, что он имеет обычную кинетическую энергию и эффективный локальный потенциал, который ответственен за кулоновское взаимодействие, корреляцию и обмен.

Уравнение Кона-Шэма применяется для многоэлектронных задач(2-х и более), в задачах одноэлектронных, решение связанно с уравнением Шреденгера. Если одноэлектронная задача, то обменная и корреляционная энергия не существует, так как по определению эти виды энергии связанны минимум с двумя электронами. Таким образом, в данном случае подход не используется, в связи с тем, что 2-х электронную задачу можно решить либо точн , либо приближенно. Если электрона три и больше, то возможен подход уравнения функционала плотности, который учитывает обменные и корреляционные эффекты.

Теория Кона-Шэма (метод функционала плотности) лежит в основе современных расчетов электронных свойств конденсированных систем. Достигнутые в этом направлении успехи систематизированы во многих статьях и монографиях, которые не всегда доступны для обучающихся.

Основное положение метода функционала плотности (Density functional theory) основываются на том факте, что важнейшие свойства системы взаимодействующих частиц могут быть выражены с помощью функционала электронной плотности n® . Эта скалярная функция трех переменных (точки наблюдения) определяет, в принципе, всю информацию об основном состоянии и спектре возбуждений. Существование такого функционала для многоэлектронной системы, находящейся при нулевой температуре, впервые было доказано в работе Кона и Хоэнберг . В работе Мермина доказательство теоремы типа Кона и Хоэнберга распространено на системы при произвольной температуре. Однако в этих работах не содержалось конкретного способа построения такого функционала. Практический способ построения функционала плотности приведен в работе Кона и Шэма (the Kohn-Sham ansatz). После этого появилось огромное число публикаций, в который выполнено построение функционала плотности и на его основе выполнены расчеты конкретных физических систем. Для более углубленного изучения метода функционала плотности следует обратиться к монографиям и обзорным статьям.

Численно решена система уравнений Кона-Шэма для двумерных электронов в квантовой точке с большим числом электронов (до 140 электронов). Найдены новые серии магических чисел для полного углового момента электронов в квантовой точке в сильном магнитном поле. Показано, что в магнитном поле при низких средних плотностях электронов учет обменного взаимодействия приводит к локализации на примеси двух электронов, а электронная плотность имеет пики и впадины с периодом .

Начало использованию DFT методов в вычислительной химии положило внедрение в расчетную схему орбиталей, предложенное Коном и Шэмом. Основная идея теории Кона-Шэма состоит в разделении функционала кинетической энергии на две части, первая вычисляется точно с использованием формально построенных орбиталей, отвечающих системе невзаимодействующих электронов TS, вторая представляет собой поправочный член - коррекцию (correction).

В настоящее время одним из самых мощных методов учета многочастичного взаимодействия является теория функционала плотности (ТФП). В данной работе исследуются электронные свойства двумерных квантовых точек в перпендикулярном магнитном поле с помощью ТФП. Ожидается, что подобные системы в будущем найдут ряд практических применений, таких как логические наноустройства и переключатели.

3.1 Метод расчета

В дальнейшем будем использовать атомную систему единиц, в которой энергия выражается в единицах , а длина в единицах , где -- эффективная масса электрона, k -- диэлектрическая проницаемость. Все вычисления будут проведены для КТ на основе GaAs, для которого k=12,4 и -- масса свободного электрона).

Согласно ТФП полная энергия многоэлектронной системы во внешнем потенциале есть однозначный функционал плотности электронов n(r)

(3.1)

где , -- плотность электронов с данным направлением спина, r=(x,y), -- кинетическая энергия невзаимодействующих электронов в магнитном поле напряженности В, которое задается векторным потенциалом .

Второе слагаемое в выражении (3.1) связано с внешним взаимодействием и в двумерном случае задается выражением

, (3.2) где , (3.2)

Внешний потенциал создается примесью с зарядом z0 и положительно заряженным фоном плотности n+. Для КТ с N электронами величина R находится из условия электронейтральности . Во многих работах удерживающий потенциал от положительно заряженного фона (первое слагаемое в формуле (3.2)) заменяется параболическим потенциалом , равным . Действительно, при малых r первое слагаемое в выражении (3.2) имеет квадратичную зависимость от r, при этом

, (3.3)

Кулоновская энергия имеет следующий вид

, (3.4)

, (3.5)

Четвертое слагаемое в выражении (3.1) определяет зеемановскую энергию

, (3.6)

где g -- фактор Ланде, -- магнетон Бора.

Трудность ТФП состоит в том, что вид обменно-корреляционной энергии Exc [n] в общем случае неизвестен. На практике используют различные приближения для обменно-корреляционной энергии, и поэтому точность результатов обычно составляет больше нескольких процентов. В дальнейшем нами учитывается только обменная энергия и для нее используется приближение локальной плотности (ПЛП)

, (3.7)

где -- обменная энергия на один электрон для однородного электронного газа, которая для нижнего уровня Ландау имеет следующий вид

, (3.8)

здесь L -- магнитная длина, -- плотность m-го электрона со спином .

Следует остановиться подробнее на формуле (3.7). В ПЛП компенсация самодействия электронов обменной и кулоновской энергии оказывается неполной. Когда число электронов конечно и мало, необходимо исключить самодействие электронов в обменной и кулоновской энергии раздельно, что и сделано в выражении (3.7).

Для GaAs величина g -фактора мала ( , поэтому вклад зеемановской энергии значительно меньше, чем кулоновской и кинетической энергии, поэтому в выражении (3.1) величиной пренебрегаем.

Вычисления будут проводиться для магнитных полей, при которых занят только нижний уровень Ландау. Варьируя энергию (3.1) и учитывая круговую симметрию, получаем уравнения Кона-Шэма

, (3.9)

с эффективным одночастичным потенциалом

(r)=(r)-, (3.10)

где m -- угловой момент электрона,

, ,

.

3.2 Результаты и их обсуждение

Нелинейная система уравнений Кона-Шэма решалась численно с помощью метода итераций. Итерационный процесс продолжался пока собственные значения для всех m величина на итерации и (k+1)ой итерации не удовлетворяли условию , где для разных задач величина изменялось в пределах от до . Проведено сравнение полученных результатов с точными результатами .Различие между результатами, полученными с использованием ТФП, и точными результатами составило менее 5 процентов, и были получены те же магические числа, как и в точных вычислениях. Видно, что величина энергии, вычисленная с помощью ТФП, приблизительно на 13% больше точной величины, а положения минимумов энергии совпадают. Отметим, что учет корреляционной энергии уменьшает полную энергию в ТФП.

Как правило, метод теории функционала плотности, используется совместно с формализмом Кона -- Шэма, в рамках которого трудноразрешимая задача об описании нескольких взаимодействующих электронов в статическом внешнем поле (атомных ядер) сводится к более простой задаче о независимых электронах, которые движутся в некотором эффективном потенциале. Этот эффективный потенциал включает в себя статический потенциал атомных ядер, а также учитывает кулоновские эффекты, в частности, обменное взаимодействие и электронную корреляцию.

Описание двух последних взаимодействий и представляет собой основную сложность метода теории функционала плотности в формулировке Кона -- Шэма. Простейшим приближением здесь является приближение локальной плотности, основанное на точном расчёте обменной энергии для пространственно однородного электронного газа, который может быть выполнен в рамках модели Томаса -- Ферми и из которого можно получить также и корреляционную энергию электронного газа.

Метод теории функционала плотности широко применяется для расчётов в физике твёрдого тела с 1970-х годов. В ряде случаев даже использование простого приближения локальной плотности дает удовлетворительные результаты, соответствующие экспериментальным данным, причём вычислительная сложность метода невысока относительно других подходов к проблеме многих частиц в квантовой механике. Тем не менее, долгое время метод был недостаточно точен для расчётов в области квантовой химии, пока в 1990-х годах не произошёл заметный сдвиг в описании обменного и корреляционного взаимодействий. В настоящее время метод теории функционала плотности является главным подходом в обеих областях. Впрочем, несмотря на прогресс в теории, все ещё имеются проблемы в приложении метода к описанию межмолекулярных сил, в особенности Ван-дер-Ваальсовых сил и дисперсионного взаимодействия, а также в расчётах ширины запрещённой зоны в полупроводниках.

Теория функционала плотности является строгой многоэлектронной теорией, в которой система описывается не волновой функцией, а функцией электронной плотности, включающей вклад всех электронов [3-5]. При выводе уравнений Кона-Шэма (КШ), являющихся аналогом уравнений Хартри-Фока делается следующее допущение. Предполагается, что для любой реальной системы с потенциалом и плотностью существует такая воображаемая «невзаимодействующая» система (т.е. система, в которой отсутствует межэлектронное взаимодействие) с некоторым одноэлектронным потенциалом, электронная плотность которой совпадает с точной электронной плотностью реальной системы . Для такой системы точное решение многоэлектронного уравнения Шредингера представляется слэтеровским детерминантом Ц(), состоящим из одноэлектронных орбиталей , плотность выражается как

, (3.2.1)

а одноэлектронные орбитали получаются как решение одночастичного уравнения Шредингера:

().

(3.2.2)

Доказывается, что если такой потенциал существует, то он единственный.

Для невзаимодействующей системы функционал энергии имеет следующий вид:

(3.2.3)

(3.2.4)

Для реальной взаимодействующей системы имеем:

,

, (3.2.5)

где величина получила название обменно-корреляционного функционала.

В теории Кона-Шэма уравнение имеет следующий вид:

 (3.2.6)

()=,

где - обменно-корреляционный потенциал.

Точный вид обменно-корреляционного функционала неизвестен, но из разных физических соображений было предложено много разных вариантов. Если выражен в виде: , то можно получить для матричного элемента ( следующее выражение:

. (3.2.7)

Это выражение уже может быть непосредственно использовано при формировании матрицы КШ в представлении базисных АО.

Обменно-корреляционные функционалы.

Различают локальные (если есть зависимость только от r) и нелокальные (градиентные, если зависят также и от ) обменно-корреляционные функционалы.

Наиболее распространенные локальные функционалы: D30, VWN, хартри-фоковский.

- D30 (Dirac 1930 г., другое название: Slater)

, (3.2.8)

- WVN (Vasko, Wilk, Nussair, 1980). Результат получен численным решением задачи в модели электронного газа. Формула сложная, поэтому здесь не приводится.

- HF (хартри-фоковский обменный функционал.) Формула может быть легко выведена из обычных уравнений Хартри-Фока.

Нелокальные функционалы: B88, LYP, PW91.

- B88(Becke 1988 г.)

, (3.2.9)

.

где, b=0.0042, здесь и ниже.

- LYP (Lee, Yang, Parr, 1988 г.)

=-,

(3.2.10)

,

где,

a = 0.04918, b = 0.132, c = 0.2533, d = 0.349.

- PW91 (Perdew 1991 г.)

. (3.2.11)

.

В результате комбинирования рассмотренных выше обменных и корреляционных функционалов получаются следующие наиболее популярные обменно-корреляционные функционалы:

1) BLYP:

, (3.2.12)

2) BP:

=, (3.2.13)

3) LSDA:

=+ , (3.2.14)

а также «гибридные», т.е. те, которые содержат вклад .

4) B3P:

, (3.2.15)

где a0 = 0.2, ax= 0.72, ac= 0.81.

5) B3LYP:

(1-(1-, (3.2.16)

где aо, ax, ac - те же, что и для B3P. На сегодняшний день B3LYP- наиболее популярный функционал.

Основные особенности реализации и применения.

Реализация очень похожа на ХФ, но требуется представление для r: либо специальный базисный набор, либо трехмерная сетка. В последнее время склоняются именно к трехмерной сетке. В этом случае в любой точке

Сложность стандартного алгоритма (с негибридным функционалом) составляет ~O(N3). Если воспользоваться быстрым затуханием базисных функций, то в ряде случаев удается получить O(N2) и даже O(NlogN). Этот вопрос ниже будет рассмотрен подробнее. В случае гибридного функционала никаких преимуществ по времени вычисления перед ХФ нет. Работает медленнее (иногда в разы, иногда в десятки раз), чем ХФ из-за дополнительной работы.

Основной недостаток - невозможность систематического уточнения результата. Метод - невариационный в буквальном смысле этого слова. Однако, он является вариационным в рамках того функционала плотности, который используется. В случае ХФ есть КВ, дающее хотя и трудоемкую, но все-таки возможность улучшения результатов. В данном случае получаемый результат рассматривается как окончательный, т.к. он включает и обмен, и корреляции. По этой причине использовать после этого КВ или MPn абсолютно бессмысленно. Интересно, что в некоторых программах такая возможность не заблокирована. По тем же причинам, имеются значительные трудности применения DFT к возбужденным состояниям .

Достоинства. Возможность получения хороших по точности результатов при разумных затратах. Относительно слабая зависимость от базиса, возможность получения приемлемых результатов уже с малыми базисами.

4. Стационарное уравнение Шрёдингера

4.1 Общий случай.

В квантовой физике вводится комплекснозначная функция , описывающая чистое состояние объекта, которая называется волновой функцией. В наиболее распространенной копенгагенской интерпретации эта функция связана с вероятностью обнаружения объекта в одном из чистых состояний (квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности). Поведение гамильтоновой системы в чистом состоянии полностью описывается с помощью волновой функции.

Отказавшись от описания движения частицы с помощью траекторий, получаемых из законов динамики, и определив вместо этого волновую функцию, необходимо ввести в рассмотрение уравнение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения в частных физических задачах. Таким уравнением является уравнение Шрёдингера.

Пусть волновая функция задана в n-мерном конфигурационном пространстве, тогда в каждой точке с координатами ()(), в определенный момент времени t она будет иметь вид . В таком случае уравнение Шрёдингера запишется в виде:

где , h -- постоянная Планка; m -- масса частицы,

-- внешняя по отношению к частице потенциальная энергия в точке в момент времени t,-- оператор Лапласа (или лапласиан), эквивалентен квадрату оператора набла и в n-мерной системе координат имеет вид:

Форма уравнения Шрёдингера показывает, что относительно времени его решение должно быть простым, поскольку время входит в это уравнение лишь через первую производную в правой части. Действительно, частное решение для специального случая, когда не является функцией времени, можно записать в виде:

, (4.3)

где функция должна удовлетворять уравнению:

которое получается из уравнения Шрёдингера (4.1) при подстановке в него, указанной выше формулы для (4.3). Заметим, что это уравнение вообще не содержит времени; в связи с этим оно называется стационарным уравнением Шрёдингера (уравнение Шрёдингера, не содержащее времени).

Выражение (4.3) является лишь частным решением зависящего от времени уравнения Шрёдингера (4.1), общее решение представляет собой линейную комбинацию всех частных решений вида (4.3). Зависимость функции ) от времени проста, но зависимость её от координаты не всегда имеет элементарный вид, так как уравнение (4.4) при одном выборе вида потенциальной функции совершенно отличается от того же уравнения при другом выборе этой функции. В действительности, уравнение (4.4) может быть решено аналитически лишь для небольшого числа частных типов функции.

Важное значение имеет интерпретация величины E в уравнении (4.3). Она производится следующим путём: временнамя зависимость функции) в уравнении (4.3) имеет экспоненциальный характер, причём коэффициент при t в показателе экспоненты выбран так, что правая часть уравнения (4.4) содержит просто постоянный множитель E. В левой же части уравнения (4.4) функция умножается на потенциальную энергию. Следовательно, из соображений размерности вытекает, что величина E должна иметь размерность энергии. Единственной величиной с размерностью энергии, которая постоянна в механике, является полная (сохраняющаяся) энергия системы; таким образом, можно предполагать, что E представляет собой полную энергию. Согласно физической интерпретации уравнения Шрёдингера, E действительно является полной энергией частицы при движении, описываемом функцией.