Важной характеристикой любой электронной системы наряду с ее энергетическим спектром является плотность состояний . Мы начнем данный раздел с нахождения для двумерной электронной системы с энергетическим спектром, равным

,

где и - компоненты импульса в плоскости слоя.

Для этого предварительно вычислим вспомогательную функцию -- полное число состояний в интервале энергий от 0 до Е.

В квантовых точках, где энергетический спектр носит чисто дискретный характер, увеличивается на единицу каждый раз, когда сравнивается с каким-либо квантовым уровнем. Если, как это часто бывает в точках, имеющих симметричную форму, уровни энергии являются вырожденными, то величина скачка равна кратности вырождения данного уровня. При этом описывается с помощью так называемой дельта-функции Дирака , которая равна нулю при , а при обращается в бесконечность так, что интеграл при любом интервале интегрирования, содержащем точку . Плотность состояний

представляет собой совокупность бесконечно узких и высоких пиков, схематично показанных на рис. 4. [5. с. 62-65]

Рис. 4. Зависимость плотности электронных состояний от энергии в квантовых точках.

Более подробный вывод формулы для расчёта плотности состояния можно найти в [5. с. 62-67].

1.4 Перспективы использования квантовых точек в устройствах и приборах

Неослабевающий интерес к квантовым точкам вызван не только тем, что они обладают уникальными физическими свойствами. Кроме этого, квантовые точки являются чрезвычайно перспективными объектами в смысле практических приложений. На их основе уже создано достаточно большое число различных электронных и оптоэлектронных устройств и приборов, примером которых могут служить лазеры и фотоприёмники [3. с.182].

Самым распространённым типом полупроводникового лазера является лазер на двойной гетероструктуре, где активная область представляет собой тонкий слой узкозонного полупроводника между двумя широкозонными. Основное влияние на свойства лазеров оказывает изменение плотности состояний, происходящее под влиянием размерного квантования. В квантовых точках плотность состояний имеет - образный вид, и в результате отсутствуют состояния, которые не принимают участия в усилении оптического излучения, но содержат электроны. Это уменьшает потери энергии и как следствие уменьшает пороговый ток. Лазеры могут содержать одну или (для увеличения оптического усиления) несколько плоскостей, заполненных квантовыми точками. Используются также вертикально связанные точки. Согласно теоретическим оценкам, диодные лазеры с активной средой из квантовых точек должны обладать значительно лучшими свойствами по сравнению с лазерами на квантовых ямах, а именно: существенно большим коэффициентом усиления, меньшей пороговой плотностью тока, полной невосприимчивостью к температуре решётки, лучшими динамическими характеристиками и большими возможностями для контроля за энергией кванта излучения [5. с.120-121].

Рис.5. Одноэлектронный транзистор в структуре с двумерным электронным газом (а) и его схематическое изображение (б).

Квантовые точки служат рабочим элементом в одноэлектронных транзисторах, используемых для построения процессов и оперативной памяти компьютеров [3. с.182]. На рис.5(а) представлен один из вариантов одноэлектронного транзистора в структуре с двумерным электронным газом. При отрицательном напряжении на затворах и вблизи них образуется область, обеднённая носителями заряда, в результате в центре структуры создаётся проводящий остаток очень малых размеров (квантовая точка), с помощью туннельного эффекта связанный с резервуарами истока и стока. Связь квантовой точки с основным затвором транзисторной структуры является чисто ёмкостной - расстояние между ними достаточно велико, чтобы исключть вероятность туннельных переходов. На рис.5(б) схематически изображена структура одноэлектронного транзистора. Затвор используют для изменения электрохимического потенциала электронов в центральном электроде с помощью наведённого квазизаряда . В отличие от заряда, связанного с туннелированием электронов от источника к стоку через квантовую точку, этот заряд может изменяться непрерывно, так как это поляризационный заряд [5. с.138-139].

В настоящее время одноэлектронные транзисторы работают только при низких температурах, хотя в ряде структур одноэлектронные эффекты наблюдаются и при комнатной температуре. Для создания приборов, надёжно работающих при комнатной температуре, необходимо решить проблемы, связанные с уменьшением размеров квантовых точек и уменьшением ёмкости затвора. Работы, направленные на оптимизацию структуры одноэлектронных транзисторов, интенсивно проводятся во многих лабораториях мира. Такие транзисторы открывают широкие перспективы одноэлектронной цифровой логики, в которой бит информации может быть представлен только лишь одним электроном. Кроме того, одноэлектронные транзисторы имеют очень высокое быстродействие - по оценкам, до нескольких сотен терагерц при чрезвычайно малой потребляемой мощности. Одноэлектроника является одной из самый перспективных и быстро развивающихся областей наноэлектроники [5. с.141].

Одной из наиболее активно развивающихся областей применения полупроводниковых квантовых точек является использование коллоидных квантовых точек (полупроводниковые нанокристаллы в органических и водных растворах) в качестве люминесцентных меток для визуализации структуры биологических объектов разного типа и для сверхчувствительного детектирования биохимических реакций, которые крайне важны в молекулярной и клеточной биологии, медицинской диагностике и терапии. Люминесцентная метка представляет собой люминофор, связанный с молекулой-линковщиком (мишенью). Метки должны быть растворимыми в воде, иметь большой коэффициент поглощения, обладать высоким квантовым выходом люминесценции в узкой спектральной полосе. Последнее особенно важно для регистрации многоцветных изображений, когда различные мишени в клетке помечены разными метками. В качестве люминофоров меток обычно используются органические красители. Их недостатками являются низкая устойчивость к фотообесцвечиванию, не позволяющая проводить долговременные измерения, необходимость использования нескольких источников света для возбуждения различных красителей, а также большая ширина и асимметрия полос люминесценции, затрудняющие анализ многоцветных изображений[3. с.260].

Возможность практического использования квантовых точек в различных областях человеческой деятельности основана, прежде всего, на размерной зависимости их физических свойств. Вследствие этой зависимости, варьируя лишь размеры квантовых точек, можно получить такие их параметры, которые важны для практики. Есть все основания полагать, что со временем прикладное значение квантовых точек будет возрастать [3. с.262].

квантовый спектр электронный полупроводник

Начнём со спектроскопии поглощения света, с помощью которой был обнаружен эффект размерного квантования в полупроводниковых нанокристаллах. Предположим, что образец представляет собой квантовые точки из полупроводника с кубической симметрией, внедрённые в диэлектрическую матрицу, например, стекло. Тогда нанокристаллы в этой матрице имеют почти сферическую форму, и для описания их электронной подсистемы можно воспользоваться моделью квантовой точки с бесконечно высокими потенциальными барьерами для электронов, дырок и экситонов. Пусть на образец падает электромагнитная волна, энергия фотонов которой попадает в область межзонных переходов в нанокристаллах (см. рис.6), а её интенсивность (I) не слишком высока. Однофотонные межзонные переходы будут приводить к поглощению света квантовыми точками. Для описания этого процесса применим простейшую двухзонную модель полупроводника. Как известно из курса квантовой механики, вероятность перехода в единицу времени между начальным и конечным состояниями дискретного спектра электронной подсистемы с поглощением фотона в первом порядке теории возмущений определяется следующим выражением:

(2.1.1)

где - матричный элемент электрон-фотонного взаимодействия, вычисленный с использованием полных волновых функций. Если полупроводниковая квантовая точка находится в режиме сильного конфайнмента, то получим

(2.1.2)

где - диэлектрическая проницаемость материала квантовой точки на частоте света, - приведённая масса электрона и дырки. В режиме слабого конфайнмента скорость генерации экситонов в нанокристалле равна

(2.1.3)

где (2.1.4)

Рис.6. Схема межзонных электронных переходов в квантовой точке в режиме сильного и слабого конфайнмента, иллюстрирующая процесс однофотонного поглощения.

- энергии уровней неподвижного объёмного экситона, M - масса экситона. Каждый член в суммах (2.1.2) и (2.1.3) описывает отдельный однофотонный переход. Строго говоря, оптические переходы обладают конечной спектральной шириной , которая определяется временем жизни электрона, дырок и экситонов. Поэтому закон сохранения энергии при оптических переходах, выражаемый функциями в (2.1.2) и (2.1.3), выполняется лишь с точностью до величины порядка . Чтобы учесть это обстоятельство, необходимо заменить функции соответствующими лоренцианами

(2.1.5)

Зная вероятность однофотонного перехода в единицу времени, легко получить коэффициент поглощения света ансамблем идентичных квантовых точек с объёмной концентрацией . Для этого (2.1.2) и (2.1.3) нужно умножить на энергию поглощаемого фотона и , а также на . В результате получаем

(2.1.6)

(2.1.7)

Из (2.1.6) и (2.1.7) следует, что спектр (зависимость К от частоты света) однофотонного межзонного поглощения ансамблем идентичных квантовых точек представляет собой набор линий с полушириной на высоте, равной для (2.1.6) и для (2.1.7). Каждая линия в наборе соответствует однофотонному переходу, разрешённому правилами отбора. Следовательно, при однофотонном поглощении квантовыми точками в режиме сильного конфайнмента рождаются электрон и дырка с одинаковыми квантовыми числами. При поглощении света квантовыми точками в режиме слабого конфайнмента возникают экситоны с нулевым угловым моментом. Низкоэнергетический край поглощения квантовых точек сдвинут в сторону высоких энергий по отношению к краю поглощения в объёмных материалах на величину для режима сильного конфайнмента и на величину для режима слабого конфайнмента. Из (2.1.6) видно, что при прочих равных условиях амплитуда линий в спектре поглощения квантовыми точками в режиме сильного конфайнмента возрастает с увеличением углового момента электронов и дырок на . В случае квантовых точек в режиме слабого конфайнмента (2.1.7) спектр поглощения формируется главным образом самым низкоэнергетичеким переходом , поскольку амплитуды линий, соответствующих высокоэнергетическим переходам, убывают с ростом экситонных квантовых чисел как . Кроме того, из (2.1.7) следует, что амплитуда спектра поглощения экситонами пропорциональна объёму квантовой точки [3. c. 204-207].

Рис. 7. Спектры однофотонного поглощения нанокристаллов CuCl с различными средними радиусами. (1), (2) и нм (3)

Более подробный вывод формулы для расчёта коэффициента поглощения можно найти в [6].

Чтобы понять, насколько изложенное выше теоретическое описание однофотонного поглощения квантовыми точками соответствует реальности и выяснить, какая информация об электронной структуре нанокристаллов может быть получена с помощью спектроскопии такого типа, кратко обсудим экспериментальные данные, опубликованные в работе. Прежде всего, следует отметить, что прямое измерение спектра поглощения одиночной квантовой точки невозможно из-за ее малого размера. Следовательно, необходимо использовать образцы, содержащие большое число квантовых точек. Так как существующие в настоящее время технологии не позволяют изготовить совершенно идентичные нанокристаллы, то в образце будут присутствовать квантовые точки с различными размерами. В зависимости от технологии изготовления распределение нанокристаллов по размерам может иметь различный вид, описываемый например, функциями Гаусса или Лифшица - Слезова. Эти распределения характеризуются средним размером квантовых точек , который может быть определен методом малоуглового рентгеновского рассеяния. На рис. 7. приведены спектры однофотонного поглощения нанокристаллов в стеклянной матрице, изготовленных из кубического полупроводника CuCl. Измерения проводились при температуре T = 4.2 К для образцов, содержащих ансамбли квантовых точек со средними радиусами 3.1, 2.9 и 2.0 нм. Поскольку боровский радиус экситона в CuCl равен 0.7 нм, то можно считать, что нанокристаллы во всех трех образцах находятся в режиме слабого конфайнмента. Кроме того, верхняя валентная зона и зона проводимости в CuCl - простые (вырождены только по спину) и, следовательно, для описания спектров поглощения можно было бы, в принципе, использовать выражение (2.1.7). Однако из рис. 7. видно, что наблюдаемые в спектрах линии крайне широкие и асимметричные. Это обстоятельство объясняется тем, что ансамбли квантовых точек в образцах характеризуются широким несимметричным распределением по размерам. Действительно, нанокристаллы разных размеров обладают различными энергиями однофотонных переходов

(2.1.8)

При изменении частоты свет будет поглощаться теми квантовыми точками, для которых удовлетворяется уравнение (2.1.8), и полный спектр поглощения представляет собой суперпозицию линий (2.1.7) от нанокристаллов различных размеров. Отсюда следует, что форма экспериментально наблюдаемых линий качественно воспроизводит размерное распределение квантовых точек, а ширина линий определяется шириной этого распределения. Этот эффект, называемый неоднородным уширением оптических спектров (переходов), имеет место в режиме слабого и сильного конфайнмента. Его можно учесть при теоретическом описании коэффициентов поглощения, если провести усреднение выражений (2.1.6) и (2.1.7) с соответствующей функцией распределения квантовых точек по размерам :

. (2.1.9)

Таким образом, спектральное положение максимумов линий поглощения соответствует однофотонным переходам в нанокристаллах с радиусами, близкими к , и может быть использовано для экспериментального определения среднего радиуса квантовых точек [3. c.207-208]

2.2 Фотолюминесценция структур с квантовыми точками