Мощность переменного тока

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Мощность переменного тока

1. Мощность, поглощаемая активным сопротивлением

Если цепь имеет только активное сопротивление, то вся энергия целиком превращается в тепло.

Мгновенная мощность, поглощаемая активным сопротивлением, равна произведению мгновенного значения напряжения на концах цепи

на силу тока

,

т.е.

Мгновенная мощность, поглощаемая активным сопротивлением не может иметь отрицательных значений.

Рис. 1

Найдем среднее значение мощности за период.

Учтем, что

,

так как . Таким образом среднее значение мощности за период будет

.

Так как , то можно записать

.

Через эффективные значения тока и напряжения :

.

В электротехнике принято силу тока и напряжение выражать через их эффективные значения. Активная мощность измеряется ваттметром.

Надо отметить, что энергия, поступающая в активное сопротивление, обратно в цепь не возвращается. Активным сопротивлением является не только резистор. Активным сопротивлением обладает, к примеру, электрический двигатель переменного тока, передающая антенна и др.

2. Действующее значение переменного тока

При измерении постоянных токов значения токов формально сравнивались между собой по количеству переносимого ими электричества за один и тот же промежуток времени.

Сравнивать переменные токи между собой по количеству переносимого им электричества невозможно, так как направления токов периодически изменяются.

Амперметр постоянного тока, включенный в цепь периодического переменного тока, покажет среднее арифметическое из всех мгновенных значений тока за период:

При синусоидальных токах независимо от величины амплитуды синусоиды среднее арифметическое значение тока за период равно нулю.

В радиотехнической практике в качестве величин, характеризующих синусоидальные токи, часто используют амплитудные значения этих токов.

Однако в общем случае амплитудное значение количественной характеристикой переменного тока служить не может, так как понятие «амплитуда» при несинусоидальном тока теряет смысл.

В качестве количественной характеристики переменного тока выбрана величина, не зависящая ни от направления тока, ни от изменений этого направления. Такой величиной является действующее значение переменного тока.

Действующим значением переменного тока называется среднее квадратичное значение из всех его мгновенных значений за период:

Так как мгновенные значения тока входят в это выражение во второй степени, изменения направления тока не могут повлиять на значение всего выражения.

Найдем действующее значение синусоидального тока:

Тогда

Надо отметить, что интеграл, вычисленный в пределах целого периода любой тригонометрической функции, равен нулю.

Таким же путём можно показать, что и действующее значение синусоидального напряжения

в корень из двух меньше его амплитудного значения

Используемые в лабораториях амперметры и вольтметры измеряют действующие значения токов и напряжений.

Выше было показано, что среднее значение мощности переменного тока за период определяется действующими значениями тока и напряжения.

3. Мощность и энергия, поступающие в индуктивность

При переменном токе магнитный поток, создаваемый индуктивностью, с течением времени изменяется по величине и направлению. Мгновенная энергия магнитного поля индуктивности:

При косинусоидальном переменном токе это выражение приобретает вид:



Рис. 2

Таким образом, энергия запасаемая индуктивностью, также изменяется периодически с течением времени, однако с удвоенной частотой по сравнению с частотой тока (см. рисунок). Мгновенное значение энергии не может быть отрицательным, так как индуктивность может обладать запасом энергии или не обладать им независимо от направления магнитного поля. Ось симметрии кривой энергии поднята над осью абсцисс на величину . Энергия магнитного поля равна нулю в тот момент, когда , и максимальна в тот момент, когда .

Мгновенная мощность, поступающая в индуктивность, или скорость изменения энергии магнитного поля, создаваемого этой индуктивностью:

где ;

Таким образом, мгновенная мощность представляет собой синусоиду с частотой, удвоенной по сравнению с частотой тока.

Среднее значение мощности, поступающей в индуктивность за период, равно нулю (P_{L cp} = 0) . В течение четверти периода возрастания тока от нуля до индуктивность запасает энергию, забирая её у источника питания. Мощность, поступающая в катушку в течение всего этого промежутка времени, положительна. За время спадания тока, т.е. в течение следующей четверти периода, энергия магнитного поля индуктивности уменьшается до нуля. Мощность в течение этого промежутка времени отрицательна - индуктивность возвращает запасенную энергию источнику.

4. Энергия и мощность, поступающие в ёмкость

При изменении напряжения между обкладками конденсатора изменяется и электрическое поле. Энергия электрического поля конденсатора в любой момент времени определяется выражением:

,

.

Таким образом, энергия, запасаемая ёмкостью, также изменяется с течением времени, однако с частотой, удвоенной по сравнению с частотой напряжения или тока. Ось симметрии кривой энергии электрического поля ёмкости поднята над осью абсцисс на величину . Мгновенное значение энергии электрического поля равно нулю в тот момент, когда напряжение на ёмкости равно нулю, и достигает наибольшего значения, когда напряжение на ёмкости достигает амплитудного значения.

Мгновенная мощность, поступающая в ёмкость, определяется так же, как и в случае индуктивности. Пусть напряжение задано:

,

тогда ток через ёмкость будет:

.

Мгновенная мощность:

где .

Когда запас энергии электрического поля ёмкости увеличивается, мгновенная мощность положительна. Когда запас энергии электрического поля ёмкости убывает, т.е. когда ёмкость возвращает энергию источнику, мгновенная мощность отрицательна. Средняя мощность, поступающая в ёмкость за период, равно нулю.

5. Мощность переменного тока, поступающая в линейную цепь

Пусть к линейной электрической цепи, содержащей активное сопротивление , индуктивность , емкость , приложено напряжение

,

и ток в этой цепи будет:

.

Мгновенная мощность или скорость поступления электромагнитной энергии в цепь в любой момент времени равна произведению мгновенных значений напряжения и тока на входе цепи:

.

После преобразования произведения косинусов мгновенная мощность будет

.

Среднее значение мгновенной мощности, поглощаемой электрической цепью за период, или активная мощность:

,

откуда после интегрирования, подстановки пределов и преобразования получается, что второй интеграл обращается в ноль, и тогда среднее значение мгновенной мощности будет

.

Произведение действующих значений называется полной мощностью:

.

Для измерения активной мощности пользуются ваттметром.

Полная же мощность измеряется с помощью вольтметра и амперметра.

При исследовании и расчетах электрических цепей переменного тока вводится величина, называемая реактивной мощностью. Под реактивной мощностью понимается выражение:

.

Из выражений , , следует, что

, ; .

При индуктивном характере цепи, т.е. при , реактивная мощность положительна, а при емкостном, т.е. при , она отрицательна.

Для цепи, содержащей последовательные соединения , , , выражениям мощности можно придать другой вид:

,

,

,

где активное сопротивление - , реактивное сопротивление - , полное сопротивление - .

Проанализируем выражение мгновенной мощности

.

Это уравнение содержит постоянную составляющую и переменную . Вторая составляющая говорит о том, что мгновенная мощность, поступающая в цепь, представляет собой периодическую функцию времени, изменяющуюся с частотой, удвоенной по сравнению с частотой тока или напряжения, и эта мощность может приобретать то положительное, то отрицательное значения. Во время положительных значений мощности энергия переносится от источника к приемнику. Частично эта энергия превращается в тепло в активном сопротивлении и частично идет на увеличение общего запаса электромагнитной энергии полей, создаваемых реактивными элементами цепи. При этом, если индуктивность и емкость соединены последовательно, индуктивность запасает энергию в той четверти периода, когда емкость отдает энергию. Когда же реактивные элементы цепи возвращают энергию источнику, мощность отрицательна. Так как часть энергии, поступающей в цепь, преобразуется в тепло и теряется цепью, энергия, возвращаемая источнику за период, меньше энергии, забираемой у него в течение того же времени. Поэтому площадь, ограниченная огибающей положительных значений мощности и осью абсцисс, больше площади, ограниченной огибающей отрицательных значений мощности и той же осью. Разность этих площадей в масштабе энергии равна энергии, теряемой в активном сопротивлении.



Рис.6

Мгновенная мощность равна нулю в те моменты, когда или равны нулю. Она положительна, когда и одного знака, и отрицательна, когда знаки и различны.

Мы ввели ранее, что среднее значение мгновенной мощности или активная мощность

.

Эта формула показывает, что в общем случае выделяемая в цепи мощность зависит не только от силы тока и напряжения, но еще и от сдвига фаз между током и напряжением. Отношение активной мощности к полной мощности называется коэффициентом мощности

.

При выделяемая в цепи мощность будет максимальной. Следовательно, для повышения мощности, отдаваемой переменным током в цепь, необходимо добиваться возможно большего значения коэффициента мощности путем включения в цепь таких индуктивных и емкостных нагрузок, которые уменьшают угол сдвига фаз между током и напряжением.

Увеличение коэффициента мощности электрических сетей («борьба за ») является одной из важнейших задач в области электроэнергетики.

Чем больше коэффициент мощности, тем ближе средняя мощность к полной. При работа будет совершаться относительно малым током, а при для производства той же работы при том же напряжении генератора понадобится значительно больший ток. При этом генератор может оказаться незагруженным по мощности, но перегруженным по току. При снижается ток, а следовательно и потери энергии в линиях электропередач. Поэтому рациональное использование электрических генераторов и линий передачи электрической энергии возможно только при высоком приемной цепи.

Задача 1

Рис. 3

Найти соотношение между максимальным, средним и эффективным токами в случае переменного тока, график которого показан на рисунке 3.

Решение

Проанализируем этот график. Отметим на оси времени период Т и Т/2.



Рис. 4

Видно, что рост тока от нуля до I₀ идет в течение времени . Падение тока от I₀ до 0 в течение времени от до .

Закон изменения тока в течение времени будет:

I = kt,

где k = tgб =

Количество тепла, выделяемое на сопротивлении R за время dt:

С другой стороны среднее значение количества тепла будет за время через эффективное значение тока:

.

Приравнивая :

получим эффективное значение тока:

.

Для нахождения среднего значение тока нужно взять интеграл для промежутка по правилу нахождения среднего значения:

Рассмотрим теперь участок «пилы», на котором ток спадает от I₀ до нуля за время от до .

Составим уравнение тока на этом участке как функцию времени. Продлим этот участок прямой до пересечения с осью токов и обозначим точку пересечения I_у . Из подобия треугольников можно составить пропорцию:

, где .

Из пропорции получаем:

.

Рис. 5

Тогда уравнение прямой для выбранного участка тока будет:

,

где

.

Найдем для выбранного участка :



Найдем теперь для выбранного участка «пилы» эффективное значение тока I_e.

Количество тепла, выделяемое на сопротивлении R за время от до будет:

С другой стороны надо учесть, что эффективный ток - это такой ток, при протекании которого через это же сопротивление R выделится такое же количество тепла за то же время , т.е.

Приравняем:



откуда получим:

Таким образом, для обоих участков «пилы» получим, что:

,

Задача 2.

Найти соотношение между максимальным, средним и эффективным токами в случае переменного тока, график которого показан на рисунке 7.

Рис. 7

Решение

Проанализируем этот график. Отметим на оси времени период Т и Т/2.



Рис. 8

Видно, что рост тока от нуля до I₀ идет в течение времени . Падение тока от I₀ до 0 в течение времени от до .

Закон изменения тока в течение времени будет:

I = kt,

где k = tgб =

Количество тепла, выделяемое на сопротивлении R за время dt:

С другой стороны среднее значение количества тепла будет за время через эффективное значение тока:

.

Приравнивая :

получим эффективное значение тока:

.

Для нахождения среднего значение тока нужно взять интеграл для промежутка по правилу нахождения среднего значения:

Рассмотрим теперь участок «пилы», на котором ток спадает от I₀ до нуля за время от до .

Составим уравнение тока на этом участке как функцию времени. Продлим этот участок прямой до пересечения с осью токов и обозначим точку пересечения I_у . Из подобия треугольников можно составить пропорцию:



Рис. 8

, где .

Из пропорции получаем:

.

Тогда уравнение прямой для выбранного участка тока будет:

,

где

.

Найдем для выбранного участка :



Найдем теперь для выбранного участка «пилы» эффективное значение тока I_e.

Количество тепла, выделяемое на сопротивлении R за время от до будет:

С другой стороны надо учесть, что эффективный ток - это такой ток, при протекании которого через это же сопротивление R выделится такое же количество тепла за то же время , т.е.

Приравняем:

откуда получим:

Таким образом, для обоих участков «пилы» получим, что:

,

Задача 3.

Цепь, состоящая из последовательно соединенных конденсатора и катушки, подключена к сети. Изменив емкость конденсатора, добились увеличения выделяемой тепловой мощности в катушке в раза. На сколько процентов изменилось при этом значение ?

Решение

Электрическая схема имеет вид:

Рис. 9

 - активное сопротивление катушки индуктивности.

Активная мощность, выделяемая на сопротивлении катушки в первом случае

,

где - угол сдвига фаз между током и напряжением, поданным на цепочку , когда емкость равна .

После изменения емкости:

,

где - угол сдвига фаз, когда емкость равна .

По закону Ома для этой цепи ток будет

; .

Отношение мощностей

.

С другой стороны нам известно, что сдвиг фаз между током и напряжением будет:

; .

Учитывая это, получим

;

Но и связаны следующим соотношением

; .

Тогда

.

Относительное изменение :

.

Что и требовалось найти.

Задача 4.

Цепь, состоящую из последовательно соединенных безиндуктивного сопротивления и катушки с неизвестным активным сопротивлением, подключили к сети с действующим напряжением U. Найти тепловую мощность, выделяемую на катушке, если действующие напряжения на сопротивлении и катушке равны соответственно и .

Решение

Электрическая схема имеет вид:

Рис. 10

Нарисуем векторную диаграмму, учитывая, что ток на всех участках цепи одинаков, значит его примем за базисный вектор. По фазе с током совпадает напряжение на сопротивлении и напряжение на - . Напряжение на опережает ток на . Складывая векторно напряжения и , найдем полное напряжение катушки - . Угол между векторами и есть . Складывая вектора и , найдем напряжение на всей цепи .

Рис. 11

Искомая мощность:

;

ток найдем, учитывая, что на активном сопротивлении .

найдем из треугольника напряжений : .

Применим теорему косинусов для суммы векторов

.

Отсюда

.

Тогда

.

Задача 5.

Катушка и безиндуктивное сопротивление подключены параллельно к сети переменного напряжения. Найти тепловую мощность, выделяемую в катушке, если из сети потребляется ток I, а через катушку и сопротивление текут токи соответственно и .

Решение

Электрическая схема имеет вид:



Рис. 12

Начертим векторную диаграмму, принимая за базисный вектор тока , с которым по фазе совпадает напряжение на активном сопротивлении катушки. Напряжение на опережает ток на . Складывая векторно и , получим полное напряжение , которое в свою очередь равно напряжению на сопротивлении , а с этим напряжением по фазе совпадает ток , идущий через активное сопротивление .

Рис. 13

Складывая векторно токи и , получим полный ток :

.

Искомая мощность равна

.

Из треугольника напряжений имеем

.

Из .

Напряжение найдем из закона Ома для участка цепи с :

.

Тогда

.

мощность ток индуктивность энергия

Список литературы

1. Алиев И.И. Электротехника и электрооборудование: Справочник: Учебное пособие для вузов / И.И. Алиев. - М.: Высш. шк., 2010. - 1199 c.

2. Аполлонский С.М. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле: Учебное пособие / С.М. Аполлонский. - СПб.: Лань, 2012. - 592 c.

3. Башарин С.А. Теоретические основы электротехники: Теория электрических цепей и электромагнитного поля: Учебное пособие для студ. высш. учеб. заведений / С.А. Башарин, В.В. Федоров. - М.: ИЦ Академия, 2010. - 368 c.

4. Белов Н.В. Электротехника и основы электроники: Учебное пособие / Н.В. Белов, Ю.С. Волков. - СПб.: Лань, 2012. - 432 c.

5. Бессонов, Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: Учебник для бакалавров / Л.А. Бессонов. - М.: Юрайт, 2013. - 701 c.

6. Борисов Ю.М. Электротехника / Ю.М. Борисов, Д.Н. Липатов, Ю.Н. Зорин. - М.: Энергоатомиздат, 1985.

7. Буртаев Ю.В. Теоретические основы электротехники: Учебник / Ю.В. Буртаев, П.Н. Овсянников; Под ред. М.Ю. Зайчик. - М.: ЛИБРОКОМ, 2013. - 552 c.

8. Бутырин П.А. Электротехника: Учебник для начального проф. образования / П.А. Бутырин, О.В. Толчеев, Ф.Н. Шакирзянов. - М.: ИЦ Академия, 2012. - 272 c.

9. Гальперин М.В. Электротехника и электроника: Учебник / М.В. Гальперин. - М.: Форум, НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 480 c.

10. Данилов И.А. Общая электротехника: Учебное пособие для бакалавров / И.А. Данилов. - М.: Юрайт, ИД Юрайт, 2013. - 673 c.

11. Ермуратский П.В. Электротехника и электроника / П.В. Ермуратский, Г.П. Лычкина, Ю.Б. Минкин. - М.: ДМК Пресс, 2013. - 416 c.

12. Жаворонков М.А. Электротехника и электроника: Учебное пособие для студ. высш. проф. образования / М.А. Жаворонков, А.В. Кузин. - М.: ИЦ Академия, 2013. - 400 c.

13. Иньков Ю.М. Электротехника и электроника: Учебник для студентов учреждений среднего профессионального образования / Б.И. Петленко, Ю.М. Иньков, А.В. Крашенинников. - М.: ИЦ Академия, 2013. - 368 c.

Размещено на Allbest.ru