Резисторные цепи

Изобразим эту схему в виде резисторного квадрата.

Рисунок 6. Резисторный квадрат 2

Сопротивление этих схем останется прежним и в том случае, если схема цепи потеряет геометрическую симметрию (геометрическая деформация схемы).

Сопротивление этих схем одинаково, несмотря на то, что вторая содержит диагональ из низкоомной проволоки (изменение числа элементов схемы).

Это позволяет говорить о новом виде симметрии, электрической симметрии.

Под симметрией общего вида мы будем понимать свойство объекта сохранять некоторые свои характеристики под воздействием некоторых возмущений.

Определим условия, при которых резисторная цепь обладает электрической симметрией. Рассмотрим цепь, представленную на Рисунке? И содержащую резисторы разного сопротивления.

Рисунок 7

Через диагональ AB ток не течет, если напряжение, приложенное к диагонали равно нулю.

Напряжения U2 и U1 будут равны, если выполняется такая пропорция

,

а наш проволочный четырехугольник будет обладать электрической симметрией: включение в диагональ AB резистора с любым сопротивлением не изменяет общего сопротивления цепи.

Смешанные соединения

Все остальные соединения можно считать смешанными. Среди таких схем также можно найти геометрическую и/или электрическую симметрию. Например, проволочный куб, резисторная правильная пирамида.

Найдем общее сопротивление проволочного куба с одинаковыми сопротивлениями ребер относительно вершин, расположенных на главной диагонали. Воспользовавшись геометрической и электрической симметрией. Из геометрической симметрии следует, что потенциалы вершин A,B,C и D,E,F равны. Объединяем эти тройки узлов (Проволочный куб 1).

Рисунок 8. Проволочный куб 1

Получаем привычную для нас схему.

Рисунок 9

Рассчитываем общее сопротивление куба, ранее рассмотренными методами.

Аналогично рассмотрим пирамиду, в основании которой лежит правильный шестиугольник.

Рисунок 10. Резисторная пирамида 1

На данном Рисунке 10 представлена модель такой резисторной пирамиды.

Рисунок 11. Резисторная пирамида 2

Проведем ось симметрии через точки G и K, разделив для этого два резистора пополам.

Рисунок 12. Резисторная пирамида 3

На основании электрической симметрии потенциалы в точках A и C, F и D, G,H и K, равны, и они могут быть объединены.

Рисунок 13. Резисторная пирамида 4

Используя данную схему, можно рассчитать общее сопротивление пирамиды. В виду симметричность схемы можно рассмотреть только одну ее часть.

; ; ;

Нарисовать схему из тетрадки и доказать ее электрическую симметричность.

Трансатлантический кабель

Есть элементы электрической цепи, электрические свойства которых нельзя представить цепью с одним сопротивлением. Одним из таких объектов является Трансатлантический кабель, представляющий собой два изолированных медных провода протяженностью 3000 км, проложенных по дну Атлантического океана между Британией и Америкой.

Задача. Чему равна сила тока, потребляемого от источника напряжение 1 вольт Трансатлантическим кабелем, разомкнутым на конце.

Для решения этой задачи необходимо знать входное сопротивление Трансатлантического кабеля. Для нахождения этого сопротивления составим модель кабеля.

Модель электрических свойств такого кабеля состоит из моделей его отдельных частей. Моделью маленького отрезка провода будем считать его сопротивление . А моделью изолятора вокруг этого малого отрезка - R. Модель кусочка кабеля будет состоять из двух отрезков провода и кусочка изолятора. На Рисунке 13 представлена модель всего Трансатлантического кабеля. Чем короче мы выбираем отрезок, тем модель будет точнее. В идеале нужно взять бесконечное множество очень коротких отрезков. Если сопротивление двух проводов мы обозначим как Rлинии, то тогда r = Rлинии/n, где n - число участков, а значит один участок провода -. А тогда если сопротивление всего изолятора будет Rизолятора, то сопротивление

На данном рисунке представлена модель Трансатлантического кабеля.

Рисунок 14. Трансатлантический кабель 1

Упростим эту модель, заменив каждую пару на r.

Рисунок 15. Трансатлантический кабель 2

Построим расчет входного сопротивления кабеля (Rвхода) на том, что оно не изменится, если к кабелю добавить еще одно звено, так как таких звеньев бесконечно много.

Расчетная схема выглядит так.

Рисунок 16. Трансатлантический кабель 3

Входное сопротивление этой схемы остается прежним.

;

;

Перейдем обратно к замене r и R на rлинии и Rизолятора соответственно, но обозначим rлинии как rr, а Rизолятора как RR.

;.

Таким образом, мы получили, что общее сопротивление Трансатлантического кабеля есть среднее геометрическое сопротивления линии и сопротивления изолятора.

Выводы

резисторный цепь электрический симметрия

1. В работе на целом ряде примеров показано конкретное практическое применение простейших цепей.

2. Рассмотрены свойства простейших электрических цепей с применением базовых терминов математики, таких как, арифметическая и геометрическая прогрессия, арифметическое, гармоническое и геометрическое средние.

3. Особое внимание было уделено понятию симметрии. При решении задачи о Трансатлантическом кабеле был рассмотрен новый вид геометрической симметрии - трансляционная симметрия.

4. Введено понятие электрической симметрии. Отмечены ее особенности и полезность при решении наших задач.

5. В дальнейшем предполагается дополнить список базовых терминов понятиями аликвотные дроби, цепная дробь, алгоритм Евклида, второй замечательный предел, показательная функция.

Список литературы

1. Жеребцов И. П. Электрические и магнитные цепи. Основы электротехники. - 2-е изд., перераб. и доп. - Л.: Энергоатомиздат. Ленинградское отделение, 1987. - 256 с.: ил.

2. Тарасов Л. В. Симметрия в окружающем мире. Учебное пособие для школьников - М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»» Издательство «Мир и Образование», 2005. - 256с.: ил.

3. Сергеев И. Н., Олехник С. Н., Гашков С. В. Примени математику. - М.: Наука. Гл. ред. Физ. - мат. лит., 1989. - 240 с.

4. Гиэдинг П., Хоньек Д., Райли К. Двести интригующих физических задач. Перевод с англ. - М.: Бюро Квантум, Техносфера, 2005. - 272 с. (Библиотечка «Квант», Вып. 90)

5. Наумчик В. Н. Физика. Решение задач повышенной сложности. Мн.: «Мисанта», 2003. - 320 с.

6. Бакунов М. И., Бирогов С. Б. Олимпиадные задачи по физике. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. - 154 с.

7. Задачи московских физических олимпиад. / Под ред. С. С. Кротова. - М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит., 1988. - 192 с. (Библиотечка «Квант», Вып. 60)

8. Слинкина Т.А., Чернышова Л. И. Задачи физических олимпиад: Учеб. Пособие для абитуриентов и студентов. - Красноярск : САА, 1994. - 42 с.

Размещено на Allbest.ru