Отрицательное преломление света на границах раздела сред

61

Курсовая работа

на тему

«Отрицательное преломление света на границах раздела сред»

Оглавление

1 Введение

2. Природа отрицательного преломления света: исторические заметки

3. Уравнения Максвелла и пространственная дисперсия

4. Поляритоны с отрицательной групповой скоростью

5. Магнитная восприимчивость на оптических частотах

6. Другие интересные эффекты

7. Заключение

8.Список литературы

1. Введение

Отрицательное преломление света на границах раздела сред является естественным следствием того, что групповая скорость волн в одной из сред отрицательна. В данной курсовой работе кратко прослеживается история возникновения такой интерпретации этого явления. Рассматривается несколько физических систем, в которых нормальные электромагнитные волны (поляритоны) могут иметь отрицательную групповую скорость, в частности, в области оптических частот. Эти системы исследуются при учете пространственной дисперсии. При таком рассмотрении используется диэлектрический тензор еij(щ, k), который определяет полный электромагнитный отклик, создаваемый электромагнитной волной с частотой щ и волновым вектором k. Поляритоны с отрицательной групповой скоростью как в естественных, так и в искусственных материалах образуются в тех случаях, когда пространственная дисперсия достаточно сильна. Приводятся соответствующие примеры объемных и поверхностных волн как в гиротропных, так и в негиротропных средах. Обсуждается также соотношение между упомянутым подходом, использующим обобщенный тензор диэлектрической восприимчивости еij(щ, k), и более известным, но более ограниченным описанием, основанном на использовании диэлектрической проницаемости и магнитной восприимчивости м(щ).

В данной работе явление отрицательного преломления света обсуждается в терминах дисперсии м(к) поляритонов - нормальных электромагнитных волн, распространяющихся в среде в области резонансов. Мы будем рассматривать макроскопически однородную и изотропную среду с пренебрежимо малой диссипацией: в этом случае не возникает дополнительных осложнений и физика рассматриваемых явлений особенно прозрачна. Иными словами, мы рассматриваем тела размером порядка или больше длины волны в среде л. В изотропной среде частота волны со зависит только от модуля волнового вектора к = |к|, а значит, групповая скорость волнового пакета

направлена либо по к, либо по -к в зависимости от знака dм(k)/dk. Как было отмечено Л.И. Мандельштамом [1 -3], второй из этих случаев, случай "отрицательной групповой скорости", dм(k)/dk<0, связан с явлением отрицательного преломления. Английский оптик Артур Шустер в книге [4] также упоминал о такой возможности. Однако он рассматривал область аномальной дисперсии в окрестности резонанса, где определение групповой скорости в виде (1) неприменимо.

Хорошо известно (см., например, [3,5- 7]), что в среде с малой диссипацией скорость распространения энергии совпадает с групповой скоростью, так что вектор потока энергии S (в случае электромагнитных волн называемый вектором Пойнтинга) есть произведение

где U - усредненная по времени плотность энергии. В состоянии термодинамического равновесия U > О, следовательно, для волн с отрицательной групповой скоростью вектор потока энергии S направлен в сторону, противоположную волновому вектору к. Отрицательное преломление света и все необычные свойства материалов с отрицательным преломлением - естественные следствия такой связи между S и к. Мы будем рассматривать отрицательное преломление только электромагнитных волн, однако Мандельштамом было ясно показано (см. раздел 2.1), что отрицательное преломление - это общее свойство волн любой природы с отрицательной групповой скоростью.

Мы обсудим некоторые физические системы, в которых могут существовать поляритоны с отрицательной групповой скоростью и в которых, следовательно, можно пытаться реализовать отрицательное преломление (в том числе и в оптической области частот). Существование поляритонов с отрицательной групповой скоростью оказывается возможным для сред с достаточно сильной пространственной дисперсией диэлектрических свойств [7-9]. Наличие пространственной дисперсии означает существование нелокального диэлектрического отклика и выражается в зависимости обобщенного диэлектрического тензора е>(м,к) от волнового вектора к [6, 7].

Далее будет показано, что подход, основанный на учете пространственной дисперсии, содержит в себе как частный случай более известный подход, обычно используемый для описания отрицательного преломления света в среде с одновременно отрицательными диэлектрической проницаемостью, е(щ)<0, и магнитной восприимчивостью, м(щ)<0. В связи с такими средами обычно упоминается работа Веселаго [10], хотя в действительности значительно раньше этот случай впервые обсуждался в работе Сивухина [11], а затем в статьях Пафомова [12, 13]. В частности, в этих работах содержится замечание об отрицательной групповой скорости в такой среде. Ветвь с отрицательной групповой скоростью ясно видна на рис. 1. На рисунке 1а изображен закон дисперсии щ(k) поперечных поляритонов, определяемый хорошо известным уравнением

где n(щ) - коэффициент преломления, при модельном выражении для диэлектрической проницаемости



Рис. 1.

Дисперсия щ(к) поперечных поляритонов в материале, описываемом модельной магнитной восприимчивостью (5) и диэлектрической проницаемостью, задаваемой (а) уравнением (4) и (б) уравнением (6) при специальном выборе характерных частот. Поляритонные ветви с отрицательной групповой скоростью указаны стрелками. Заметим, что рисунок (как и все другие в данном обзоре) выполнен не в масштабе: параметры подбирались с единственной целью - как можно яснее показать качественную сторону явления, имеющем резонансную структуру, и

Одна из трех поляритонных ветвей, изображенных на рис. 1а, очевидно, обладает отрицательной групповой скоростью, поскольку частота поляритона со убывает с возрастанием волнового вектора k (эта ветвь указана стрелкой). Разумеется, ветвь с отрицательной групповой скоростью находится как раз в той области частот, где е(щ) (4) и µ(щ) (5) одновременно отрицательны. На рисунке 1 параметры подобраны таким образом, чтобы значения частоты и полюса (щ), и нуля (щ_т2) магнитной восприимчивости попадали в щель хорошо известного продольно-поперечного (щ_г щ) расщепления, возникающего вследствие резонанса диэлектрической проницаемости. Конечно, возможно и другое расположение этих частот.

На рисунке 16 изображена дисперсия поляритонов при том же выражении (5) для µ(щ), но модельный вид диэлектрической проницаемости задается неравенством (4), а выражением

соответствующим часто обсуждаемому случаю металлических систем, в которых отсутствует резонанс щ_±, а щ совпадает с плазменной частотой щ_р. Одна из двух поляритонных ветвей имеет отрицательную групповую скорость.

2. Природа отрицательного преломления света: исторические заметки

2.1 Л.И. Мандельштам и отрицательное преломление света

Недавнее наблюдение отрицательного преломления в области микроволн [14] и теоретическое предсказание возможности так называемой идеальной ("perfect") фокусировки света [15] привело к повышенному интересу к материалам с отрицательным преломлением. На эту тему опубликовано множество статей в научных и популярных журналах и даже в газетах. Причем очень часто отправным пунктом в развитии исследований отрицательного преломления света считается упоминавшаяся выше работа Веселаго 1968 года [10]. В действительности, как уже отмечалось во введении, история отрицательного преломления света началась значительно раньше - глубокое понимание сути этого явления было достигнуто Л.И. Мандельштамом по меньшей мере в 1940 г., а в статье Веселаго просто отсутствовали ссылки на ранее проведенные исследования.

Основоположник выдающейся Московской физической школы (см., например, [16]) Л.И. Мандельштам прочитал в Московском государственном университете несколько неформальных циклов лекций. Эти лекции, начавшиеся в 1930 г., продолжались многие годы. На лекциях, которые славились глубоким проникновением в суть обсуждаемого предмета, рассматривались многие важные и тонкие вопросы оптики, теории относительности и квантовой механики. Их посещали не только студенты, но и многие уважаемые профессора. Благодаря записям, сделанным сотрудниками Мандельштама СМ. Рытовым и М.А. Леонтовичем, эти лекции сохранились и вошли в Полное собрание трудов Мандельштама, а значительно позже были опубликованы отдельно [3].

На одной из лекций 1944 года Мандельштам дал детальный анализ отрицательного преломления, происходящего на плоской границе раздела двух сред, в одной из которых могут распространяться волны с отрицательной групповой скоростью. Ниже мы приводим отрывок из лекции Мандельштама. После обсуждения условий, при которых групповая скорость представляет собой скорость распространения энергии, Мандельштам продолжает:

"Пусть все эти условия выполнены, и, следовательно, энергия перемещается с групповой скоростью. Но мы знаем, что групповая скорость может быть отрицательна. Это означает, что группа (и энергия) движется в сторону, противоположную направлению распространения фазы волны. Возможны ли такие случаи в действительности?

В 1904 г. Лэмб придумал некоторые искусственные механические модели одномерных "сред", в которых групповая скорость может быть отрицательной. Сам он, по-видимому, не считал, что приведенные им примеры могут иметь физические применения. Но, как оказывается, существуют и вполне реальные среды, в которых для некоторых областей частот фазовая и групповая скорости действительно направлены навстречу друг другу. Это получается в так называемых "оптических" ветвях акустического спектра кристаллической решетки, рассмотренных М. Борном. Возможность подобного явления позволяет с несколько иной точки зрения подойти и к таким, казалось бы, хорошо известным вещам, как отражение и преломление плоской волны на плоскости раздела между двумя непоглощаю-щими средами. Протекание этого явления, при разборе которого о групповой скорости обычно вообще не упоминают, существенно зависит от ее знака.

Действительно, в чем заключается идея вывода формул Френеля?

Рассматривают плоскую синусоидальную волну, падающую под углом ц, на плоскость раздела у = 0,

и наряду с ней еще две волны - отраженную и преломленную

На плоскости у = 0 эти волны должны удовлетворять так называемым граничным условиям. Для упругих тел это условие непрерывности напряжений и смещений по обе стороны от границы. В электромагнитной задаче на плоскости раздела должны быть непрерывны тангенциальные составляющие напряженностей и нормальная составляющая индукций. Легко показать, что с одной только отраженной волной (или только с преломленной) этим граничным условиям удовлетворить нельзя. Наоборот, при наличии обеих волн условия всегда могут быть выполнены. Отсюда, между прочим, вовсе не следует, что должны быть только три волны, а не больше: граничные условия допускают наличие еще одной, четвертой волны, идущей под углом я - <р_ъ во второй среде. Обычно молча принимают, что этой волны нет, т.е. постулируют, что во второй среде распространяется только одна волна.

Из граничных условий тотчас же следует закон отражения и закон преломления

Однако последнее равенство удовлетворяется как при угле ?ц₁ так и при угле р - ц₁ Волна во второй среде, соответствующая ц₁ распространяется по направлению от границы раздела (рис. 2, слева). Волна же, соответствующая р - ц₁ распространяется по направлению к границе раздела (рис. 2, справа). Считается само собой понятным, что второй волны быть не может, так как свет падает из первой среды на вторую, а значит, во второй среде энергия должна оттекать от границы раздела. Но причем здесь энергия? Ведь направление распространения волны определяется ее фазовой Если же имеем случай отрицательной группоскоростью, энергия же перемещается с групповой скоростью. Здесь допускается, таким образом, логический скачок, которого не чувствуют лишь потому, что привыкли к совпадению направлений распространения энергии и фазы. Если такое совпадение имеет

место, т.е. если групповая скорость положительна, то тогда все получается правильно.

Рис. 2. Отражение и преломление падающей плоской волны. (Рисунок из лекций Мандельштама [1, 3].)

вой скорости - случай, как я уже говорил, вполне реальный, - то все меняется. Требуя по-прежнему, чтобы энергия во второй среде оттекала от границы раздела, мы приходим тогда к тому, что фаза должна набегать на эту границу и, следовательно, направление распространения преломленной волны будет составлять с нормалью угол р - ц₁ [как показано на рисунке 2 справа]. Как ни непривычно такое построение, но, конечно, ничего удивительного в нем нет, ибо фазовая скорость еще ничего не говорит о направлении потока энергии".

Эти замечания, сделанные Мандельштамом более шестидесяти лет назад, в действительности объясняют физическую причину возникновения отрицательного преломления и его природу. Поучительно, что, говоря о природе отрицательного преломления, Мандельштам оперирует терминами "волновой вектор", "групповая скорость" и "принцип причинности", а не термином "отрицательный коэффициент преломления", так популярным сегодня. Из принципа причинности следует, что в среде, находящейся в термодинамическом равновесии, интенсивность волны, распространяющейся от границы раздела, должна уменьшаться. Это правило определяет знак мнимой части коэффициента преломления, а следовательно, и знак его действительной части, поскольку они взаимосвязаны и определяются знаком в следующем из (3) уравнении n(щ) = е(щ)µ(щ).

Установленная Мандельштамом связь между отрицательным преломлением и отрицательной групповой скоростью ясно показывает, что отрицательное преломление возможно для волн любой природы, а также указывает на возможность отыскания подходящих для наблюдения отрицательного преломления материалов на основе изучения дисперсии щ(k) тех волн, которые могут в них распространяться. Краткий обзор истории вопроса об отрицательной групповой скорости можно найти также в недавней работе [17], где эта история прослеживается вплоть до таких ранних работ, как работы Лэмба [18] и фон Лауэ [19].

Тот факт, что понятие групповой скорости чрезвычайно важно в оптике кристаллов, подробно обсуждается в монографии [7]. Отрицательное преломление, возникающее на границе раздела с гиротропной средой, рассматривается уже в первом издании этой книги 1966 года и сопровождается так хорошо известным теперь рис. 2 (см. [7, с. 264]).

2.2 Излучение Черенкова

В тех средах, в которых распространяются волны с отрицательной групповой скоростью, излучение Черенкова имеет ряд особенностей. Эти особенности также уже давно известны. Из теории излучения Черенкова (см., например, [6]) легко получить, учитывая знак групповой скорости, "необычное" направление распространения излучения. Пусть заряженная частица движется в прозрачной среде вдоль оси х со скоростью v. В результате среда может излучать электромагнитные волны с частотой щ и волновым вектором к, такими, что щ = k_xv. С другой стороны, волновой вектор и частота связаны соотношением k = nщ/c, где n= е- коэффициент преломления. Поскольку k > k_x, должно выполняться соотношение v > v_ph = с/n(щ), т.е. излучение волн с частотой со возможно, если скорость частицы превышает фазовую скорость v_{ph .}

Рис. 3. Иллюстрация к направлению излучения Черенкова в среде с положительной (а) и отрицательной (б) групповой скоростью.

Здесь v - направление скорости частицы, к - направление волнового вектора излучения, a S - направление вектора Пойнтинга. Вектор S направлен вдоль групповой скорости v_g и определяет действительное направление излучения.

Если обозначить через и угол между направлением движения частицы и волновым вектором излучения к, то легко видеть, что

Приведем цитату из [6]: "...излучение каждой частоты происходит вперед по направлению движения частицы и распределяется по поверхности конуса с углом раствора в, определяемым формулой (7)".

Из логики приведенного вывода ясно, что заключение о направлении излучения основано на неявном предположении о том, что отвечающая волновому вектору к групповая скорость v_g положительна, а значит, направлена по к - ситуация, показанная на рис. За. Если же групповая скорость, наоборот, отрицательна, т.е. v_g направлена в сторону, противоположную к, то направление излучения (поток энергии S) будет иметь противоположную ориентацию. В этом случае направление излучения образует тупой угол с направлением движения частицы, что впервые было отмечено Пафомовым [13]. На рисунке 36 изображено излучение Черенкова, направленное назад. Излучение распределено по поверхности конуса с тем же углом раствора.

В дальнейшем будет показано, что волны с отрицательной групповой скоростью могут возникать в кристаллах благодаря наличию пространственной дисперсии. В монографии [7, с. 405,406] обсуждаются различные случаи проявления пространственной дисперсии в излучении Черенкова. Особенно интересные эффекты как в гиротропных [7, 20], так и в негиротропных [7] средах возникают в окрестности экситонных резонансов: при возрастании скорости движущейся частицы направление конуса Черенкова изменяется от направления излучения вперед до направления излучения назад.

Интересно также влияние, оказываемое отрицательной групповой скоростью на переходное излучение заряженной частицы, проходящей через границу между двумя средами с разными диэлектрическими проницае-мостями. Важная роль знака групповой скорости для переходного излучения и особенности "обратного" эффекта Доплера впервые были изучены в работах Франка [21], Барсукова [22] и Пафомова [12].

3. Уравнения Максвелла и пространственная дисперсия

3.1 Тензор диэлектрической проницаемости

Макроскопические уравнения Максвелла составляют основу электродинамики сплошных сред [6]. Они выводятся усреднением "микроскопических" электромагнитных полей, зарядов и плотностей тока и должны дополняться так называемыми материальными уравнениями - связями между усредненными полями. Материальные уравнения определяются откликом среды на электромагнитное поле. Следуя Ландау и Лифшицу [6] (см. также [7, 23]), представляется более правильным и удобным использовать подход, основанный на учете пространственной дисперсии, в котором рассматриваются только три макроскопических поля: Е, D, В, а четвертое поле, Н, полагается равным В. В рамках этого подхода результат усреднения всех микроскопических токов включается в определение поля D. Макроскопические уравнения Максвелла для монохроматических плоских волн принимают вид

а связь между компонентами полей D и Е (материальное уравнение) выражается как

В уравнении (9) обобщенный диэлектрический тензор е(щ,к) зависит от волнового вектора к. Это означает, что учтена пространственная дисперсия, т.е. тот факт, что индукция электрического поля D в данной точке пространства зависит не только от электрического поля Е в этой точке (что соответствовало бы локальному отклику), но также и от электрического поля в некоторой ее окрестности (нелокальный отклик). По существу, тензор е(щ,к) описывает и электрический, и магнитный отклики среды (второй из них - при естественном учете пространственных производных поля Е). Пространственная дисперсия появляется как добавление к более привычной временной, или частотной, дисперсии, выражающейся в зависимости диэлектрического тензора от щ. Обычно эффекты, связанные с пространственной дисперсией, являются гораздо более слабыми, чем эффекты, связанные с временной дисперсией, но первые могут приводить к качественно новым явлениям, таким, например, как гиротропия или возникновение добавочных электромагнитных волн. Рассмотрение пространственной дисперсии упрощается, если соответствующий параметр ка ~ а/л мал (здесь а - характерный микроскопический размер или длина свободного пробега заряженных частиц). Малость параметра ка позволяет во многих случаях учитывать только первые члены (линейные и/или квадратичные) в разложении тензора е(щ,к) по степеням компонент волнового вектора к [6, 7]:

Разные тензоры, стоящие в разложениях (10) и (11), отражают свойства симметрии рассматриваемой системы и удовлетворяют принципу симметрии кинетических коэффициентов Онсагера. В частности, в системе, обладающей центром инверсии, вторые члены разложения (т.е. пропорциональные первой степени к,) исчезают.

Поскольку из уравнений Максвелла (8) сразу следует, что



уравнения (12) и (9), взятые вместе, определяют уравнения дисперсии щ(к) электромагнитных волн в среде.

Усредненную по времени плотность энергии и вектор Пойнтинга в обсуждаемом (E,D, В)-подходе можно найти, рассматривая волновые пакеты [6, 7]. Указанные величины задаются соответственно выражениями

Соотношения (13) и (14) в отсутствие диссипации удовлетворяют закону сохранения энергии. Наличие дополнительного (второго) слагаемого в уравнении (14) [24,25] -результат учета пространственной дисперсии. Этот член играет определяющую роль в появлении волн с отрицательной групповой скоростью.

В дальнейшем мы приведем краткое сравнительное обсуждение (см. раздел 3.2) обоих подходов: (E,D,B)-подхода, учитывающего пространственную дисперсию, и так называемого "симметричного" подхода, основанного на рассмотрении всех четырех полей, Е, D, В, Н. Тем не менее мы отсылаем читателя к книге [26], обзорам [27-29] и недавней статье [8], в которых можно найти обсуждение различных точек зрения, другие аргументы и подробности.

3.2 Изотропная среда с центром инверсии

Если принимается во внимание пространственная дисперсия, то диэлектрический отклик определяется тензорной величиной даже для изотропной системы, поскольку вектор к определяет выделенное направление. Следовательно, для изотропной среды, обладающей центром инверсии (негиротропная среда), общий вид диэлектрического тензора есть [6]

где поперечная е(щ, к) и продольная е (щ,к) диэлектрические проницаемости зависят только от модуля волнового вектора к и задают полное описание свойств среды. В соответствии с уравнениями (12) и (9) закон дисперсии щ(к) поперечных (Е _ к) поляритонов можно найти из

а уравнение

определяет дисперсию продольных (Е || к, D = 0, В = 0) волн.

Симметричный подход, в котором используются зависящие только от частоты диэлектрическая проницаемость е(со) и магнитная восприимчивость µ(щ), соответствует пределу к -+ 0 в подходе, основанном на учете пространственной дисперсии [6]:



Легко видеть, что, если в дисперсионном уравнении для поперечных поляритонов (16) положить

то (16) становится тождественным уравнению (3), полученному при описании в терминах е(щ) и µ(щ), где к²с²/щ² = n² = е(щ)µ(щ). Уже одно это ясно показывает более широкие возможности подхода, основанного на учете пространственной дисперсии, так как он позволяет изучать различные эффекты, связанные с пространственной дисперсией, с точностью даже большей той точности, которая определяется учетом только членов oc/k² в тензоре е_L{щ,k), тогда как е(щ) и µ(щ)-подход позволяет учесть только указанные в (20) (и то не все) члены. Более того, даже при учете только членов порядка к² применение подхода, основанного на учете пространственной дисперсии, имеет качественные преимущества. Действительно, в рассматриваемой изотропной системе входящий в уравнение (10) тензор отклика a_ijlm в общем случае задается двумя независимыми параметрами. Эти параметры (а и Ь) могут быть выбраны, например, так, чтобы выполнялось равенство

где е_ril обозначает антисимметричный единичный тензор третьего ранга. Запись (21) симметрична и по первой (if), и по второй (1т) паре индексов, вследствие чего продольная и поперечная диэлектрические проницаемости могут быть представлены в виде



Из уравнений (10) и (21) следует, что соответствующее материальное уравнение (9) запишется как

Из уравнений (22) и (23) ясно, что параметр Ъ(оо) определяет, грубо говоря, меру пространственной дисперсии, обусловленной "магнитным откликом" системы: параметр b(щ) связан с магнитной восприимчивостью (см. уравнение (19)) соотношением

В свою очередь, параметр а(щ) определяет меру пространственной дисперсии, связанной с "электрическим откликом". Наличие параметра а(щ) и его зависимость от со невозможно учесть в рамках описания в терминах е(щ) и µ(щ). Оба этих отклика схожим образом влияют на дисперсию поперечных поляритонов (уравнения (22) и (16)), но дисперсия продольных волн зависит только от электрического отклика (уравнения (22) и (17)). Необходимо особо отметить, что поляритоны с отрицательной групповой скоростью и, следовательно, отрицательное преломление могут возникать в системах с µ(щ) = 1 (т.е. с b(щ) = 0), если коэффициент отклика а(щ) обладает соответствующей зависимостью от частоты.

3.3 Связь с микроскопическим описанием

Диэлектрический тензор е_ij(щ,к) описывает отклик среды на электромагнитное возмущение с произвольными частотами щ и волновыми векторами к. Этот тензор имеет определенные, хорошо известные аналитические свойства и в принципе может быть получен специальными методами из микроскопического описания элементарных возбуждений среды (см., например, работы [7, 23, 30-32], в которых обсуждаются многие важные аспекты этого вопроса). Например, для возмущенного основного состояния системы N заряженных частиц с зарядом е и массой т в объеме V диэлектрический тензор определяется следующим микроскопическим выражением [7]:

Входящие в выражение (24) векторы Мⁿ(к) суть матричные элементы возмущения, записанные в декартовых координатах:

где r^а - радиус-вектор а-й частицы. Здесь |0> обозначает волновую функцию основного состояния, а \n - невозмущенные волновые функции разных возбужденных состояний. Эти состояния нулевого приближения, которые мы будем называть жситонами ("механическими экситонами", пользуясь терминологией [7]), следует вычислять без учета макроскопического электромагнитного поля.

Полезно проследить микроскопическое происхождение выражений типа (20) и (22) в изотропной системе с центром инверсии. Для простейшей модели независимых атомов или молекул в соответствии с уравнением (24) диэлектрическая проницаемость е(щ) определяется элементами Мⁿ(к = 0) (более точные модели рассматриваются в [33, 34]):

и, следовательно, в нее вносят вклад только электрические дипольно-разрешенные переходы (называемые также Е1-переходами). Обозначая соответствующие частоты переходов через щ_еn, получаем из уравнения (24):

где "силы осцилляторов". Вблизи какой-либо одной резонансной частоты щ_± уравнение (27) приобретает такую структуру:

Член к² в уравнении (20) имеет совсем другое происхождение: он возникает вследствие электрических дипольно-запрещенных переходов. В молекулярной картине такие запрещенные (forbidden) переходы становятся возможными благодаря последующим членам разложения exp (ikr^a) в уравнении (25), и их неисчезающий вклад в Mf(k) есть

Магнитные дипольные переходы (Ml-переходы) происходят за счет антисимметричной комбинации



Эта комбинация должна стоять между <n| и |0> в уравнении (29). На самом деле там стоит другая комбинация, отличающаяся от (30) выражением

Как хорошо известно, комбинация (31) приводит к электрическим квадрупольным переходам. Различие между магнитными дипольными и электрическими квадрупольными переходами отражено в симметрии тензора Х определенного в уравнении (29): для первых он антисимметричен, а для вторых симметричен . Вклад в тензор <a_iJlm (21), который дают и Е2 -переходы, и Ml-переходы, имеет вид

Заметим, что магнитные дипольные комбинации Х^n(m)* Х^n(m) входящие в уравнение (32), действительно вносят вклад только в коэффициент магнитного отклика b(щ) из уравнения (21). С другой стороны, электрические квадрупольные комбинации типа Х^n(q)* Х^n(q) дают вклад в оба коэффициента отклика, а(щ) и b(щ), определенных в уравнении (21). Примеры этому можно найти, например, в [7] (общее обсуждение электрической квадрупольной поляризации в макроскопической электродинамике см. в [35]).

Уравнение (32) ясно показывает, что магнитные дипольные и электрические квадрупольные переходы могут привести к вкладам одного и того же типа в поперечную диэлектрическую проницаемость щ_±(щ,к). Учет такого вклада от одного изолированного резонанса с частотой щ приведет к замене уравнения (28) следующим уравнением:



где Ff определяет силу перехода. Свойства среды, вытекающие из уравнения (33), определяются относительной ролью обоих резонансов, один из которых - дипольно-разрешенный, а другой - запрещенный. В результате могут появиться поляритоны с отрицательной групповой скоростью (см. рис. 1). С помощью уравнений (4), (5) и (20) легко убедиться в том, что частота щ_f, при которой магнитная восприимчивость ц(со) равна нулю, соответствует частоте щ запрещенного перехода

Из приведенного вывода видно, что сила запрещенного перехода в атомных или молекулярных материалах в общем случае гораздо слабее, чем сила дипольно-разрешенного перехода:

где а - характерная атомная или молекулярная длина, v - характерная скорость электрона. В связи с этим напомним, что F_e/e_h определяет на рис. 1 величину расщепления щ - щ_L, a F_f = F_m - ширину зоны поляритонас отрицательной групповой скоростью.

3.4. Однородная система без центра инверсии

Если в среде не существует центра инверсии (гиротропные среды), то пространственная дисперсия проявляется уже в членах первого порядка малости по волновому вектору к, так как тензоры л_ijl и б_ijl в разложениях (10) и (11) не исчезают. Легко составить представление об интересных свойствах дисперсии поляритонов в такой среде, даже если ограничиться только линейными по к членами [7, 36]. В изотропной системе тензоры общего вида л_ijl и б_ijl, сводятся к единичному антисимметричному тензору и разложение принимает вид

Как будет обсуждаться в разделах 4.2 и 4.3, уравнение (35) целесообразно применять вблизи продольной частоты й),: Ј(й>ц) = 0, а уравнение (36) - вблизи резонансной частоты _±.

Полезно выяснить микроскопический смысл тензора диэлектрической проницаемости, записанного в виде (35) и (36). Хорошо известно (см. [32-34]), что, например, для набора независимых гиротропных молекул оптическая активность возникает вследствие переходов в состояния n> с не равными нулю матричными элементами обоих типов (как (26), так и (29)). В самом деле, такие переходы, приводящие к появлению линейных по к, членов в уравнении (35), соответствуют наличию в тензоре л_ijl (10) комбинаций вида

Микроскопический смысл функции б(щ), входящей в уравнение (36), обсуждается в разделе 4.2.

4. Поляритоны с отрицательной групповой скоростью

Как уже отмечалось в разделе 3.1, второй член в выражении (14) для вектора Пойнтинга S явным образом показывает, как пространственная дисперсия может "обратить" направление распространения энергии по отношению к волновому вектору к. В самом деле, первое слагаемое в (14) в изотропной среде есть вектор, направленный по к. Для того чтобы групповая скорость оказалась отрицательной, второе слагаемое должно быть направлено по -к и превосходить первое по величине. Для этого, в частности, требуется, чтобы пространственная дисперсия dе_L(щ,k)/dk являлась достаточно сильной. Этот случай и осуществляется в среде, характеризуемой уравнением (33), с отрицательными е(щ) и µ(щ) при частотах ниже запрещенной частоты щ_f. В разделах 4.1-4.3 мы обсудим несколько других случаев, когда существенная пространственная дисперсия диэлектрической проницаемости приводит к возникновению поляритонов с отрицательной групповой скоростью.

4.1 Экситоны с отрицательной эффективной массой в негиротропных средах

В 1957 г. Пекаром [37] впервые было отмечено, что пространственная дисперсия диэлектрической проницаемости вблизи экситонного резонанса может привести к появлению дополнительной распространяющейся световой (экситон-поляритонной) волны. Такая возможность связана с тем, что экситонное возбуждение в среде может перемещаться (например от одной молекулы к другой) и его энергия зависит от волнового вектора к. Рассмотрим выражение (28) для поперечной диэлектрической проницаемости, определяемой откликом, соответствующим изолированному электрическому дипольно-разрешенному экситонному переходу с частотой щ_L. Матричные элементы (25) "отбирают" только экситонные состояния \n> с импульсом (квазиимпульсом) nк, а значит, энергии щ_п - те энергии, которые соответствуют этому импульсу. В приближении эффективной массы дисперсия энергииэкситона имеет вид

Соответственно, поперечная диэлектрическая функция выражается как

что для неподвижных экситонов (М_ехс = оо) совпадает с уравнением (28). Конечно, сила осциллятора F_e тоже может зависеть от к, но мы ограничимся более сильным эффектом, связанным с резонансным знаменателем в уравнении (39). Кстати, заметим, что пространственную дисперсию, например, такого вида, как в уравнении (39), нельзя учесть с помощью е(щ)-µ(щ)-описания. Из уравнений (16) и (39) легко найти дисперсию поперечных поляритонов, примеры которой приведены на рис. 4.

Рисунок 4 показывает, что в некоторой области частот щ для каждой частоты действительно могут найтись два значения волнового вектора к, соответствующие двум поперечным поляритонным ветвям с одной и той же поляризацией. Та из них, которая имеет больший волновой вектор (обозначенный как к₂), и есть предсказанная Пекаром дополнительная волна.



Рис. 4. Дисперсия двух поперечных поляритонных ветвей и продольной волны в системе с дисперсией экситона (38): (а) эффективная масса экситона положительна, М_еxc > 0; (б) отрицательная эффективная масса, М_еxс < 0.

Наиболее убедительные эксперименты были проведены в полупроводниках вблизи резонанса, отвечающего экситону Ваннье-Мотта (см. обсуждение и ссылки на литературу в [7]). Принципиальное значение для знака групповой скорости имеет знак эффективной массы экситона. Обычно эффективная масса экситона Ваннье-Мотта положительна: М_ехс = т_е + m_h >0, где т_е и m_h -соответственно эффективные массы электронов и дырок. Такая ситуация изображена на рис. 4а. Очевидно, что добавочная волна в этом случае имеет положительную групповую скорость.

Однако в органических кристаллах радиус экситонов Френкеля обычно мал. В такой ситуации резонансное взаимодействие между молекулами сильно зависит от их ориентации, что приводит к тому, что эффективная масса экситона, вообще говоря, может быть отрицательной или иметь разные знаки для разных направлений. Случай отрицательной эффективной массы показан на рис. 46. Ясно видно, что для некоторого интервала частот щ добавочная поперечная поляритонная волна (волна с волновым вектором к₂) имеет отрицательную групповую скорость. Именно эта поперечная волна будет испытывать отрицательное преломление.

На рисунке 4 также показана дисперсия продольных волн, определяемая уравнением (17). Для определенности мы положили е(щ,k)=е_L{щ,k). Волновой вектор продольной волны обозначен через к_г. Если М_ехс < 0, то продольные волны в этом приближении также имеют отрицательную групповую скорость. В общем случае все три волны (две поперечных и одна продольная) можно возбудить в среде с помощью падающей волны, имеющей соответствующую частоту. Для того чтобы решить задачу об отражении и прохождении волн в этом случае, следует ввести так называемые дополнительные граничные условия (ДГУ), поскольку, очевидно, обычно используемых граничных условий Максвелла будет недостаточно для нахождения амплитуд всех возбужденных волн. Явный вид ДГУ зависит от микроскопической природы экситонов. Для молекулярных кристаллов этот вопрос подробно обсуждается в [7].

В недавней работе [38] проведено численное моделирование отражения и прохождения света через плоскую пластину, сделанную из материала, в котором экситоны имеют отрицательную эффективную массу, М_ехс < О (рис. 46). Эти расчеты убедительно показали, что благодаря отрицательному преломлению волн с отрицательной групповой скоростью такая пластина действительно приводит к фокусировке излучения. Результаты численного моделирования [38] также указывают на то, что для экспериментальной реализации такой системы необходим кристалл с большой силой осциллятора экситонного перехода и достаточно слабой диссипацией добавочных поляритонов при частотах ниже частоты экситонного резонанса.

4.2 Гиротропные системы вблизи экситонных переходов

Гиротропные системы хорошо известны благодаря явлениям оптической активности и циркулярного (кругового) дихроизма. Вполне естественно было бы ожидать, что в определенных частотных диапазонах щ в этих системах также могут распространяться поляритоны с отрицательной групповой скоростью. Мы начнем обсуждение, рассматривая частоты в окрестности экситонного резонанса щ_L. Добавочные волны в этой области частот в гиротропных кристаллах были рассмотрены Гинзбургом [36]. Поскольку частота перехода соответствует полюсу диэлектрической проницаемости, в этой области удобнее использовать разложение (36) для обратного диэлектрического тензора. Функция, обратная диэлектрической проницаемости, обращается в нуль при частоте, равной частоте перехода. Отсюда ясно, что качественно важно использовать следующий, зависящий от пространственной дисперсии член этого разложения.

Уравнение (36) соответствует материальному уравнению

связывающему поля Е и D, где параметр S(щ) определяет "силу" гиротропии. Соотношение (40) совместно с волновым уравнением для поперечных волн приводят к уравнению

нетривиальные решения которого описывают поперечные поляритоны в рассматриваемой системе. Известно, что эти решения соответствуют волнам с круговой поляризацие. Дисперсия поляритона со(к) определяется из условия обращения в нуль детерми-нантауравнения (41):

или, для волн с различной круговой поляризацией,



Рис. 5. Дисперсия поперечных поляритонов в гиротропной среде. Обратите внимание на различие в диапазоне частот (и волновых векторов) на рис. а и б. На рисунке а показана область частот вблизи со_± и ниже нее; окрестность частоты со» находится много выше и не помещается на рисунке. На рисунке б показана область частот вблизи щ и выше нее; окрестность частоты щ_± находится много ниже и не помещается на рисунке. Точки пересечения пунктирных линий с дисперсионными кривыми отвечают допустимым значениям волнового вектора к для волн с данной частотой щ. На обоих рисунках видны поляритоны с отрицательной групповой скоростью.

Уравнение(42) является уравнением третьего порядка по к²(щ), что приводит при заданной щ к наличию трех волн, которые в некоторых областях спектра могут распространяться в среде. Рисунок 5а иллюстрирует дисперсию поперечных поляритонов, получающуюся из уравнения (42а) при использовании модельной диэлектрической функции е(щ), заданной уравнением (28), и постоянной б(щ) = б [36].

Легко убедиться в том, что, как и для сред с центром инверсии (см. раздел 4.1), возникающая в обсуждаемом случае дисперсия поляритонов обусловлена специфической зависимостью энергии экситона от волнового вектора к [7, 39]. Для того чтобы убедиться в справедливости сказанного, рассмотрим область частот вблизи резонанса щ_L, в которой обратную диэлектрическую проницаемость можно приближенно представить в виде линейной функции

Далее перейдем в уравнении (42а) к пределу с -+ оо (т.е. не будем учитывать запаздывающее взаимодействие между зарядами), тогда

Таким образом, "микроскопическое" происхождение соотношения (42) обусловлено наличием в законе дисперсии экситона линейного по к слагаемого, имеющего разные знаки для экситонов с разной поляризацией.

Линейное поведение (44) представляет собой первые члены в разложении энергии экситона по степеням к в гиротропной среде с параметром гиротропии 5. Впервые линейная зависимость частоты дипольно-активных возбуждений от волнового вектора наблюдались экспериментально в спектрах комбинационного рассеяния на оптических фононах, распространяющихся вдоль оптической оси кристалла кварца [40].

Как ясно видно из рис. 5а, добавочная волна с волновым вектором к₃, отвечающая нижней поляритонной ветви, имеет отрицательную групповую скорость.

Кроме того, на той же частоте щ существуют еще две волны с волновыми векторами к₁ и к₂. Для экспериментальной реализации отрицательного преломления волн с волновым вектором к₃ нужны материалы с как можно большей силой осциллятора экситонного перехода, большой вращательной способностью и достаточно слабой диссипацией волн при частотах ниже резонансной.

4.3 Гиротропные среды в окрестности частоты продольных колебаний

Отрицательное преломление микроволн в искусственной гиротропной среде недавно было рассмотрено с использованием параметров е(щ) и µ()щ в работе Пендри [41] для окрестности продольной частоты щ . Наше рассмотрение ведется с применением подхода, основанного на последовательном учете пространственной дисперсии, что позволяет выйти за рамки области низких частот. За деталями мы отсылаем читателя к работе [46].

Поскольку продольная частота соответствует нулю диэлектрической проницаемости е(щ), в этом случае удобно воспользоваться разложением (35) для диэлектрического тензора. Обращение диэлектрической проницаемости в нуль, е(щ)= 0, показывает, что следующий член в разложении, учитывающий пространственную дисперсию, качественно важен. Из определения диэлектрической проницаемости (28) видно, что

таким образом, е(щ) в окрестности щ ведет себя как линейная функциящ:

Уравнение (35) в изотропной среде имеет вид

где величину гиротропии определяет параметр л (щ). Используя уравнение (12), находим, что поля поперечних поляритонов удовлетворяют уравнению

Нетривиальными решениями уравнения (47) являются волны с круговой поляризацией, закон дисперсии которых можно найти из уравнения

где знаки плюс и минус отвечают волнам с разной круговой поляризацией. На рисунке 56 показана дисперсия поперечных поляритонов для частот вблизи щ и выше щ. Кривые получены из уравнения (48) с использованием модельной диэлектрической проницаемости е(щ) (28).

Легко качественно понять характер поляритонного спектра, изображенного на рис. 56, если подставить выражение (45) в дисперсионное уравнение (48). Тогда сразу же получаем дисперсионные кривые для поляритонов в виде "смещенных парабол":

где л = л(щ). Из уравнения (49) и рис. 56 видно, что для каждой частоты щ, при которой волны могут распространяться, существуют решения двух видов. Обозначим соответствующие им волновые векторы через к₁ и к₂, пусть к₁ ? к₂. Для частот со > со» волны, отвечающие к_г и к₂, принадлежат ветвям с разной поляризацией , а при щ < щ - одной и той же ветви, щ_(k). Эта ветвь имеет минимум со_{к_тт) = со» - А (соответствующий самой низкой из частот, при кото-рых в среде могут распространяться волны. Глубина этого минимума

существенно зависит не только от щ ил,но и от А. Очевидно, что ветвь щ_(к < к_тт) (k1-волны) при со < со» имеет отрицательную групповую скорость, поскольку у этой ветви частота уменьшается с возрастанием волнового вектора к_х. Все другие ветви спектра (49) имеют обычные - положительные - групповые скорости. При минимальной возможной частотегрупповые скорости обеих волн становятся равными нулю.

Интересно отметить, что, как и в случае, показанном на рис. 1, волны с отрицательной групповой скоростью в случае, соответствующем рис. 56, возникают в том частотном диапазоне, в котором электромагнитных волн не было бы в отсутствие магнитного резонанса. В гиротропной среде отрицательной групповой скоростью обладают волны только с одной из двух поляризаций, а волны с другой поляризацией имеют обычную - положительную - групповую скорость.

Поскольку фазовые скорости волн с правой и левой поляризациями различны, плоскость поляризации линейно поляризованного света будет вращаться. Полезно отметить, что из уравнения (48) следует точное соотношение между значениями волновых векторов к₂ и к₁ при одной и той же частоте щ> щ для произвольных зависимостей е(щ) и л(щ) от щ:

а соответствующее ему уравнение для частот щ<щ дает значение суммы этих векторов при одном и том же значении частоты:



Уравнения (51) и (52) приводят к одному и тому же значению для вращательной способности:

при частотах и выше, и ниже а,,, (см. [46]). Измеряя р (вращение плоскости поляризации на единицу длины прохождения луча), можно таким образом получить информацию о параметре гиротропии л(щ).

Диссипация может сильно осложнить практическую реализацию условий для наблюдения отрицательного преломления. Приведем количественную иллюстрацию к рассматриваемому нами сейчас случаю гиротропной среды в окрестности продольной частоты. Совершенно ясно, что показанная на рис. 56 дисперсия волн имеет физический смысл, только если для частот, близких к со», глубина минимума А (50) достаточно велика по сравнению с диссипативной шириной Г поперечных электромагнитных волн. Как показано нами в работе [46] на нескольких примерах, это ограничение приводит к весьма жестким требованиям, накладываемым на "допустимые" значения гиротропии и диссипации.

В работе [46] показано, что при экспериментальном решении вопроса о том, подходит ли гиротропный материал для наблюдения отрицательного преломления, может оказаться полезным обычное зеркальное отражение: интересная область частот вокруг щ должна непосредственно проявляться в свойствах спектра отражения линейно поляризованного падающего света.

4.4 Поверхностные поляритоны

Волны с отрицательной групповой скоростью могут возникать и при распространении поверхностных волн. В качестве примера рассмотрим поверхностные поляритоны вблизи резонанса с колебаниями поверхностного переходного слоя. Известно, что поверхностный переходный слой (например тонкая пленка на подложке) может коренным образом изменить дисперсию поверхностных поляритонов, если они находятся в резонансе с колебательными или электронными возбуждениями слоя [47]. Переходный слой, подобранный правильным образом, может привести к тому, что дисперсионные кривые поверхностных поляритонов будут иметь участки с отрицательной групповой скоростью.

Рассмотрим систему, состоящую из тонкой пленки толщиной d>> а (а - постоянная решетки) с диэлектрической проницаемостью е(щ), которая помещена между двумя полубесконечными средами с диэлектрическими проницаемостями е₁(щ) > 0 и е₂(щ) < 0 соответственно. В этой системе в определенном интервале частот существуют поверхностные поляритоны, и их дисперсионная кривая щ(к) определяется уравнением [47]