Экспериментально было установлено, что тепловое излучение черного тела имеет сплошной спектр. Схематические графики спектров для различных температур представлены на рисунке

Из приведенных рисунков следует:

Так как rщ и rл. не пропорциональны друг другу, а связаны соотношением

rщ = rл,

и их максимумы находятся в разных частях спектра, то:

для каждой температуры существует максимум испускательной способности , который с увеличением температуры смещается в область бо'льших частот излучения (т.е. в область меньших длин волн);

т. к. энергетическая светимость черного тела

равна площади под графиком rщ0 (щ), то R0 увеличивается с повышением температуры (т.е. энергетическая светимость возрастает по мере нагревания черного тела).

Очень важная для характеристики теплового излучения величина - спектральная плотность энергетической светимости черного тела (испускательная способность), долгое время не могла быть вычислена теоретически, т. к. рассматривалась как классическая величина.

Рэлей и Джинс (1900 г) попытались обосновать экспериментальные зависимости с помощью классической статистической физики. Рэлей подошел к изучению спектральных закономерностей излучения черного тела с позиций статистической физики, а не термодинамики, как это делалось ранее. Он рассматривал равновесное излучение черного тела в замкнутой полости с отражающими стенками как совокупность пространственных электромагнитных стоячих волн. При этом колебания с различными частотами совершаются независимо друг от друга, и каждой частоте соответствует своя колебательная степень свободы. Рэлей применил к тепловому излучению закон классической статистической физики равномерного распределения энергии по степеням свободы, согласно которому на каждую степень свободы приходится энергия, равная kT. В частности, он предположил, что на каждое электромагнитное колебание в среднем приходится энергия, равная двум половинкам kT (одна - на электрическую, другая - на магнитную составляющую энергии волны). Таким образом, Рэлей и Джинс, считая среднюю энергию излучающего атомного осциллятора равной kТ, вывели формулу для спектральной плотности светимости черного тела:

(1)

Однако эта формула согласуется с экспериментами только в области малых частот и при высоких температурах. Для больших частот она явно неверна. Энергетическая светимость черного тела с учетом формулы Рэлея - Джинса

Невозможность обоснования законов излучения черного тела с помощью классической теоретической физики получило название "ультрафиолетовой катастрофы" (УФ - диапазону соответствуют малые длины волн л и высокие частоты щ).

Теоретическое определение было получено М. Планком (1900 г), который отказался от установившегося положения классической физики о том, что энергия физической системы меняется непрерывно. Планк ввел понятие квантования излучения (поглощения) и сформулировал знаменитую гипотезу Планка: тела излучают (и поглощают) энергию не непрерывно, а дискретными порциями (квантами)

E = hн = hщщ = 2рн

h = 6,62·10-34 Дж·с - постоянная Планка; h = 1,054·10-34 Дж·с.

Представляя излучающее тело как совокупность гармонических атомов - осцилляторов, каждый их которых излучает квант энергии hн (hщ), Планк получил выражение для средней энергии осциллятора:

,

подставив которое в формулу Рэлея - Джинса, получим

.

Выражения для и , которые называют формулой Планка, блестяще согласуются с экспериментальными зависимостями. Используя соотношение между rн и rл и формулу Рэлея - Джинса, получим формулу Планка для .

Так как

dRн = dRл,, ал = , т.е. dл= - dн = - dн, то: и.

Подставляя формулу Рэлея - Джинса для , получаем:

,

.

Формула Планка переходит в формулу Рэлея - Джинса (1) при

hн = hщ << kT,

когда энергия излучаемого кванта много меньше энергии теплового движения. Действительно,

Теперь вычислим энергетическую светимость R0:

где введена безразмерная переменная

Интеграл, тогда

где у - постоянная Стефана - Больцмана: у = 5,7·10-8 Вт/м2К4.

Таким образом, мы получили закон Стефана - Больцмана для энергетической светимости черного тела, который гласит: энергетическая светимость черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры.

Стефан получил эту зависимость на основе экспериментов (1879 г), а Больцман, применив методы классической термодинамики, вывел ее теоретически (1884 г). Согласно этому закону энергетическая светимость черного тела является определенной величиной, и не равна бесконечности, как в случае использования формулы Рэлея - Джинса.

Так как энергетическая светимость серых тел RC = aC·R0 для серых тел закон Стефана - Больцмана приобретает вид: RC = aC·у·Т4, где аС - коэффициент поглощения, не зависящий от л (или щ), но зависящий от температуры. Вернемся к экспериментальным графикам спектральных плотностей энергетической светимости черного тела и . Из них следует еще один закон теплового излучения черного тела. Используя формулу Планка для величин и , из условий:

можно определить значения щm и лm, соответствующие максимумам

и . Действительно, так как

,

.

Введем переменную , тогда условие максимума будет иметь вид: . Это трансцендентное уравнение решается методом последовательных приближений и дает значение х = 4,965, откуда

.

Соотношения лm = b/T инm/T = щm/2рT = b1 (b = 2,9·10-3 м·К - постоянная Вина) выражают закон смещения Вина (1893 г):

длина волны, соответствующая максимальной спектральной плотности энергетической светимости черного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре.

Или: частота, соответствующая максимальной спектральной плотности энергетической светимости черного тела, прямо пропорциональна его термодинамической температуре.

Из закона Вина непосредственно следует, что при понижении температуры тела максимум энергии его излучения смещается в область больших длин волн. Становится понятным, почему при уменьшении температуры светящихся тел белое свечение становится желтым, затем - красным, а после этого вообще становится невидимым. Это происходит из-за того, что в спектре начинает преобладать длинноволновое излучение.

Таким образом, первая квантово-механическая гипотеза Планка о квантованности излучения (поглощения) и последующий вывод формулы для спектральной плотности энергетической светимости черного тела позволили получить теоретическое обоснование экспериментально наблюдавшихся законов излучения черного тела.

Развитие квантовой теории Эйнштейном

Открытие радиоактивных превращений и возникновение представлений об огромных запасах внутриатомной энергии было одним из существенных моментов начавшейся революции в физике. Столь же существенным было возникновение теории относительности, новых представлений о пространстве, времени, массе, о связи массы и энергии. Гораздо менее заметными и очень медленно сказывающимися были I идеи Планка о квантах энергии Сам создатель этой идеи, хотя и использовал свою формулу для определения таких атомных констант, как число Авогадро и заряд электрона, не слишком верил в кванты и полагал, что их как-то удастся ввести в русло представлений электромагнитной теории света.

Впервые обратил внимание на идею квантов и развил ее Альберт Эйнштейн в опубликованной в 1905 г. статье «Об одной эвристической точке зрения, касающейся возникновения и превращения света». В самом начале статьи Эйнштейн подчеркивал противоположность представлений физики о структуре материи и структуре света. «Согласно теории Максвелла, -- писал Эйнштейн,-- во всех электромагнитных, а значит, и световых явлениях энергию следует считать величиной, непрерывно распределенной в пространстве, тогда как энергия весомого тела, по современным физическим представлениям, складывается из энергий атомов и электронов. Энергия весомого тела не может быть раздроблена на сколь угодно большое число произвольно малых частей, тогда как энергия пучка света, испущенного точечным источником, по максвелловской (или вообще по любой волновой) теории света, непрерывно распределяется по все возрастающему объему».

Однако Эйнштейн полагает, что «теория света, оперирующая непрерывными пространственными функциями, приведет к противоречию с опытом, когда ее будут применять к явлениям возникновения и превращения света». По мнению Эйнштейна, явления «черного излучения», фотолюминесценции, фотоэффекта и другие, связанные с возникновением и превращением света, «лучше объясняются предположением, что энергия света распределяется по пространству дискретно».

Согласно сделанному им в этой статье предположению «энергия пучка света, вышедшего из каждой точки, не распределяется непрерывно во все возрастающем объеме, а складывается из конечного числа локализованных в пространстве неделимых квантов энергии, поглощаемых или возникающих только целиком».

Так Эйнштейн вернулся к ньютоновским представлениям о неделимых световых частицах, «поглощаемых или возникающих только целиком».

Но это возвращение произошло на новом, высшем уровне, когда оптика прочно усвоила волновые представления и не собиралась, да и не могла от них отказаться. В. И. Ленин сравнивал развитие науки с движением по спирали. Эйнштейн начал в теории света новый виток спирали.

Эйнштейн начинает с рассмотрения одной трудности в теории излучения черного тела. Если представить, что электромагнитные осцилляторы, которыми являются молекулы тела, подчиняются законам классической статистики Максвелла -- Больцмана, то каждый такой осциллятор в среднем будет обладать энергией:

где R -- постоянная Клапейрона, N -- число Авогадро. Используя соотношение Планка между средней энергией осциллятора и объемной плотностью энергии, находящейся с ним в равновесном излучении:

где Eн -- средняя энергия осциллятора частоты v, L -- скорость света, с -- объемная плотность энергии излучения, Эйнштейн пишет равенство:

Из него он находит объемную плотность энергии:

«Это соотношение, -- пишет Эйнштейн, -- найденное при условии динамического равновесия, не только противоречит опыту, но и утверждает, что в нашей картине не может быть и речи о каком-либо однозначном распределении энергии между эфиром и веществом». В самом деле, суммарная энергия излучения оказывается бесконечной:

К аналогичному выводу в том же, 1905 г. пришли независимо друг от друга Рэлей и Джине. Классическая статистика приводит к закону излучения, резко противоположному опыту. Эта трудность получила название «ультрафиолетовая катастрофа».

Эйнштейн указывает, что формула Планка:

переходит для больших длин волн и больших плотностей излучения в найденную им формулу:

Эйнштейн подчеркивает, что значение числа Авогадро совпадает со значением, найденным другим способом. Обращаясь далее к закону Вина, хорошо оправдывающегося для больших значений н/T, Эйнштейн получает выражение энтропии излучения:

«Это равенство показывает, что энтропия монохроматического излучения достаточно малой плотности зависит от объема так же, как энтропия идеального газа или разбавленного раствора».

Переписав это выражение в виде:

и сравнивая его с законом Больцмана:

S-S0= (R/N) lnW,

Эйнштейн находит выражение вероятности того, что энергия излучения в объеме V0 сосредоточится в части объема V:

Эйнштейн интерпретирует эту формулу следующим образом: «Монохроматическое излучение малой плотности (в пределах области применимости закона излучения Вина) в смысле теории теплоты ведет себя так, как будто оно состоит из независимых друг от друга квантов энергии величиной Rвн/N». Заметим, что величина в в современных обозначениях равна в=h/k, где k = R/N, и, таким образом, энергия кванта (Rвн/N)=hн

Эйнштейн применяет свою теорию к явлению люминесценции и не только дает объснение правила Стокса, согласно которому частота люминесценции v2 меньше или равна частоте возбуждающего излучения v1 ( v2 < v1), но и указывает на возможные причины отступления от него.

Особенно важное значение имеет объяснение Эйнштейном фотоэффекта. Квант энергии света, поглощаясь электроном, сообщает ему кинетическую энергию (R/N) вн - P, где Р - работа выхода электрона. При наличии задерживающего потенциала Я, препятствующего электрону покидать освещаемую поверхность, выполняется равенство:

П = (R/N) вн - P.

Такова знаменитая теория фотоэффекта, давшая простое и непринужденное объяснение этого явления, остававшегося загадкой для волновой теории.

Наблюдения, сделанные Ленардом в 1902 г., как указывал Эйнштейн в своей статье, не противоречили его теории. В самом деле, скорости фотоэлектронов не зависели от интенсивности световых лучей, а число их было пропорционально интенсивности. Что же касается зависимости энергии фотоэлектронов от частоты, то она была исследована лишь в 1912 г. Ричардсоном, Комптоном и в 1916 г. Милликеном. Последние классические эксперименты наряду с измерениями Милликеном элементарного заряда были удостоены Нобелевской премии.

К идее квантов Эйнштейна привел закон Вина, справедливый в области коротких волн. Ему казалось, как он писал год спустя, что «теория излучения Планка в известном смысле противостоит моей работе». Однако тщательный анализ закона Планка привел Эйнштейна к выводу, что формула Планка основана на гипотезе квантов. Этот вывод составляет содержание работы Эйнштейна 1906 г. «К теории возникновения и поглощения света». Здесь Эйнштейн показал, что в основе теории Планка лежит следующее утверждение: «Энергия элементарного резонатора может принимать только целочисленные значения, кратные величине (R/N) вн, энергия резонатора при поглощении и испускании меняется скачком, а именно на целочисленное значение, кратное величине (R/N) bv ».

Эйнштейн увидел кванты впервые именно там, где квантовая природа света выражена особенно отчетливо: в явлении фотоэффекта. Квантовый характер излучения для него был очевиден только в коротковолновой области спектра, в области применимости закона Вина. Лишь через год он понял, что кванты являются фундаментом закона Планка. Каприз исторического развития науки выразился в том, что кванты появились в физике там, где их труднее всего было увидеть, -- в законе черного излучения. Эйнштейн шел к квантовой теории естественным путем и сразу понял необходимость введения квантовых представлений в теорию света. Для него сомнений Планка и других физиков, считавших гипотезу квантов временной, не существовало. Он ясно видел, что возникновение и поглощение света описывается квантовыми законами.

В работе 1906 г. Эйнштейн устанавливает количественные соотношения между рядом напряжений Вольта и пороговой частотой фотоэффекта. Это соотношение выражается формулой:

U=(R/A) вн

и для контактной разности потенциалов двух металлов, выраженной в вольтах, Эйнштейн получает следующее значение:

«В этой формуле, -- пишет Эйнштейн, -- содержится следующее, по крайней мере в общем и целом, справедливое утверждение: чем более электроположительным является металл, тем меньше низшая частота света, вызывающая фотоэффект».

В следующем, 1907 г. Эйнштейн применил идею квантов к теории теплоемкости. Теорема равномерного распределения энергии по степеням свободы в теории теплоемкости твердого тела приводит к закону Дюлонга и Пти, который Эйнштейн записывает в виде с = 3Rn, или с = 5,94n, где п -- число атомов в молекуле. Эта формула не дает зависимости теплоемкости от температуры и не дает правильного значения теплоемкости для углерода (алмаза), бора и кремния. Эйнштейн, предположив, что молекула твердого тела является квантовым осциллятором со средней энергией

получил для удельной теплоемкости грамм-эквивалента выражение:

Таким образом, теплоемкость является функцией температуры. Она удовлетворяет закону Дюлонга и Пти только при комнатной температуре, при приближении к абсолютному нулю теплоемкость падает.

Этот вывод был экспериментально подтвержден работами Нернста и его учеников, в результате которых Нернст пришел к своему тепловому закону, названному третьим началом термодинамики. Вместе с тем оказалось, что основная предпосылка Эйнштейна о монохроматичности колебаний осциллятора неверна, и сам Эйнштейн, а также Дебай, Борн и Карман уточнили квантовую теорию теплоемкости. Но основное положение работы Эйнштейна, что энергия элементарного образования может принимать только значения 0, (R/N)вн, 2(R/N)вн и т. д., т. е. энергия квантуется, осталось незыблемым. Эйнштейну принадлежит заслуга расширения идеи квантов на новые области, что показало ее фундаментальное значение в физике. В этом заключалась вторая важная черта научной революции в физическом миропонимании, не сразу принятая и осознанная физиками.

Литература

ь Кноль М., Эйхмейер И. Техническая электроника, т. 1. Физические основы электроники. Вакуумная техника.--М.: Энергия, 2001.

ь Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике.--М., Наука, 1978 -- 944 с.

ь Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика.--М.: Наука, 1999 -- 752 с.

ь Зи С. Физика полупроводниковых приборов. В 2-х кн.--М.: Мир, 2004.

Размещено на Allbest.ru