,

, . Если наименьшее позитивное значение оператора известно и , то

.

Если для известна оценка , и выполняется неравенство , тогда имеет место оценка: .

Доказательство теоремы 5 вполне аналогично доказательству теоремы 4.

Следствие (к теореме 5). Если в условиях теоремы 5 предположить, что оператор также неразложим, спектральный радиус оператора известен и , тогда верна оценка:

.

Теорема 6. Пусть воспроизводящий и нормальный конус, и линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть - неразложим. Если для некоторого выполняется неравенство

,

где , и , то верна оценка:

.

Доказательство.

Аналогично тому, как это было сделано в теореме 1, приходим к неравенству

, (5)

из которого следует, что . Действительно, предположив противное, т.е. предположив, что , и усилив неравенство (5), получим

,

что противоречит условию. Остается принять, что . Усиливая неравенство (5), получим , откуда следует

.

Теорема доказана.

Эти результаты были описаны в работах ([26], [29]). Важным моментом доказанных теорем является то, что телесность конуса не предполагается.

Глава III.

Интегральные операторы в пространствах Лебега и Лоренца

§1. Пространства Лебега и Лоренца

Введем понятие группы преобразований [5]. Пусть есть два преобразования f и g. G называется группой, если для любых f и g, таких, что выполняются следующие условия:

1. ;

2. (I - единичное преобразование, );

3. (-обратное преобразование).

Очевидно, преобразования вида образуют группу. Для любых преобразований группы Лоренца скалярное произведение двух векторов является инвариантом. Если X и - тензоры, то инвариантом группы Лоренца будет

.

Так же инвариантом группы Лоренца является ранг тензора.

Еще одно очевидное свойство любого преобразования группы Лоренца: .

Рассмотрим положительно определенные формы. Докажем следующую теорему.

Теорема 1. Пусть

, (1)

Для x_i из области R, определенной соотношениями

(2)

Тогда для

(3)

Доказательство.

Применим метод квазилинеаризации, покажем, что

, (4)

где S(z) - область, определенная соотношениями

(5)

Применяя неравенство Гельдера, получаем

(6)

Минимум последнего выражения как функции от в силу условий (2) и (5) достигается в точке, где

,

и равен . Отсюда следует представление (4). Из этого представления следует теорема 1. Приведенное доказательство принадлежит Беллману [5].

Лебеговские функциональные пространства

Пусть , Лебеговским функциональным пространством называется совокупность всех вещественнозначных (соответственно - комплекснозначных) измеримых по Лебегу функций (соответственно - ) [14], таких, что интегрируема на X, т.е.

Число

называется нормой функции f в пространстве L_p(X). Для компактного метрического пространства X размерность Лебега определяется как наименьшее целое число n, обладающее тем свойством, что при любом существует конечное открытое покрытие X, имеющее кратность.

При этом:

· покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр;

· кратностью конечного покрытия пространства X называется такое наибольшее целое число k, что существует точка пространства X, содержащаяся в k элементах данного покрытия.

Наиболее важными свойствами лебеговских пространств являются следующие [17], [23]:

1). (Неравенство Гельдера). Пусть p>1, q>1, 1/p+1/q=1 и , . Тогда , и выполнено неравенство , т. е. .

2). (Неравенство Минковского). Если и , то ,и имеет место неравенство , т. е. .

Приступая к доказательству неравенства Минковского, заметим, что при p=1 оно очевидно. Если p>1, то можем написать

.

Найдем положительное число q из условия 1/p+1/q=1 и применим неравенство Гельдера к каждому из интегралов, стоящих в правой части последней формулы. Тогда

.

Последнее равенство здесь написано в силу того, что q(p-1)=p.

Разделив начальный и конечный члены полученного неравенства на

и учтя, что 1-1/q=1/p, получим

,

что и завершает доказательство неравенства Минковского.

Следующее свойство лебеговских функциональных пространств существенно опирается на неравенство Минковского:

3). Для любого пространство L_p(X) с введенной выше нормой является линейным нормированным пространством.

Для доказательства заметим, что если , то для любого числа функция лежит в L_p(X) (что очевидно), и f+g лежит в L_p(X) (в соответствии с неравенством Минковского). Неотрицательность нормы очевидна. Условие только при f=0 выполняется, в силу принятого в теории интеграла Лебега соглашения, что функция f равна нулю на множестве X , если и только если f(x)=0 для почти всех . Неравенство треугольника для нормы выполняется в силу неравенства Минковского. Положительная однородность нормы видна непосредственно из определения (2).

Конструкция интеграла Лебега ценна не столько тем, что она позволяет расширить класс интегрируемых функций по сравнению с интегралом Римана (известны еще более общие конструкции интеграла), сколько тем, что интеграл Лебега обладает наиболее естественными и удобными свойствами. Одно из них, принимаемое нами без доказательства, таково:

4). (Полнота лебеговских пространств). Для любого линейное нормированное пространство L_p(X) является полным, другими словами - всякая фундаментальная последовательность функций из L_p(X) сходится к некоторой функции из L_p(X) , т.е., если и для каждого существует номер n_o такой, что для всех выполняется неравенство , то существует функция такая, что при .

5). (Плотность бесконечно дифференцируемых функций в L_p(X)). Для любого множество бесконечно дифференцируемых функций плотно в L_p(X), иными словами - для любой функции и любого найдется функция такая, что .

6). (Сепарабельность лебеговских пространств). Для любого пространство L_p(X) сепарабельно, иначе говоря, в L_p(X) существует счетное плотное множество функций.

§2. Условия ограниченности интегрального оператора в

пространствах Лоренца

Пусть

(7)

- интегральный оператор в пространстве . Вычисление или получение оценок нормы оператора Т является важной и сложной задачей теории операторов [19]. Так, если Т(x,y) - симметричное ядро, то норма интегрального оператора в совпадает с его спектральным радиусом, который, в свою очередь, в приложениях связан с резонансными явлениями описываемых объектов. В связи с этим, нужно не только вычислять, но и как-то «управлять» нормой оператора.

Рассмотрим достаточные условия ограниченности интегрального оператора (7), действующего из пространства в . Обозначим через функцию множеств

.

Имеет место

Лемма 1. ([19]) Пусть - пространство Лоренца, М - множество всех компактов из области G. Тогда

~.

Теорема 2. Пусть , , , . Функция T(x,y) такова, что конечно одно из выражений

(8)

. (9)

Тогда соответствующий интегральный оператор Т ограничен из в , и

(10)

Если же или , то, соответственно,

~, . (11)

Доказательство.

Пусть . Из леммы следует

~

.

Применим неравенство Гельдера для пространств Лоренца и лемму 1:

~

~.

Пусть теперь . Из теоремы И. Стейна и Г. Вейса [28] следует, что

? .

Воспользуемся леммой 1, получим

?.

Но при

??.

Таким образом, верно

. (12)

Докажем теперь неравенство

. (13)

Пусть . Из определения нормы интегрального оператора, неравенства Гельдера и леммы 1 при следует

.

При , следовательно, оценка (13) в этом случае следует из (12).

Докажем вторую часть теоремы. Пусть , , тогда

.

Таким образом, из леммы 1 следует,

.

Если теперь , то, так же используя лемму 1, получим

~.

Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть . Если

(14)

то интегральный оператор Т ограничен из в и

,

причем в случае условие (14) является необходимым.

Доказательство.

Пусть е - произвольный фиксированный компакт положительной меры, - соответственно невозрастающие перестановки f(x) и . Пусть ,

.

Тогда

.

Воспользуемся представлением

.

Применим неравенство Гёльдера с показателями :

.

Последовательно применяя замену , неравенство Минковского и замену , получим

.

Во внутреннем интеграле оценим

,

получим

.

При , т.е. , необходимость условия (14) следует из теоремы 2.

§ 3. Обобщенное неравенство Юнга - О'Нейла

Следствие (обобщенное неравенство Юнга - О'Нейла). Пусть , , тогда

.

Доказательство.

Достаточно доказать неравенство

.

Имеем:

,

.

Следствие доказано.

Пусть Q- единичный куб в . Для интегрального оператора

определим функцию

(15)

Тогда согласно теоремам 2 и 3 имеет место соотношение

. (16)

Оценки, приведенные в этом соотношении, точны относительно параметров p и q. Так, для произвольного найдется , что

и

.

Действительно, из (16)

.

Второе неравенство доказывается аналогично.

В соотношении (16) функция непосредственно зависит от ядра интегрального оператора Т. Функционалы же, действующие на функцию , зависят лишь от параметров p и q.

Замечание: Если рассматривать пространства и как пространства Лоренца и , то в трехпараметрических пространствах Лоренца , получаем соотношения с точностью до вторых параметров:

,

где и - монотонные функционалы, зависящие только от параметров p и q, функция определена равенством (15).

Таким образом, решение экстремальных задач для нормы оператора Т, имеет смысл заменить на исследование этих задач для функции . Во множестве интегральных операторов введем отношение частичного порядка.

Определение. Будем считать, что , если имеет место одно из следующих условий:

,

.

Интегральные операторы T и T^* равны относительно введенного отношения порядка, т.е. и . Этот факт согласуется с соотношением .

Заключение

Результаты выпускной квалификационной работы представляют собой развитие теории операторов, функционального анализа. В работе рассматриваются различные виды интегральных уравнений, приведены наиболее значимые результаты, касающиеся оценок спектральных радиусов интегральных операторов.

Сформулированы и доказаны замечания и следствия к теоремам об оценках спектральных радиусов линейных положительных операторов, коммутирующих с линейным положительным оператором в пространстве с воспроизводящим нормальным конусом.

Приведены примеры, иллюстрирующие приведенные в работе оценки спектральных радиусов интегральных операторов.

Рассмотрены оценки нормы интегрального оператора в пространствах Лебега и Лоренца, сформулировано замечание к теореме для трехпараметрического пространства Лоренца. На основе этих результатов во множестве интегральных операторов вводится отношение частичного порядка, относительно которого можно решать экстремальные задачи для нормы оператора общего вида, не вычисляя саму норму.

Литература

1. Fenyц S. , Stolle H.W. Theorie und Praxis der linearen Integralgleihungen. I - Berlin: Dtsch. Verl., 1982. - 328 s.

2. Fenyц S. , Stolle H.W. Theorie und Praxis der linearen Integralgleihungen. I. - Berlin: Dtsch. Verl., 1983. - 376 s.

3. Банах С. Теория линейных операций.- М.: Наука, 2001.- 272 с.

4. Бахтин И.А., Красносельский М.А., Стеценко В.Я. О непрерывности линейных положительных операторов// Сиб. мат. журн. - 1962. - Т.3. №1. - С.157-160.

5. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства.- М: Комкнига, 2007. - 280 с.

6. Беллман Р. Процессы регулирования с адаптацией. Физматгиз, М., 1964

7. Боголюбов Н.Н., Крейн С.Г. О позитивных вполне непрерывных операторах// Труды института математики АН СССР. - 1948 - Т.9, №1 - С.3-95.

8. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. - М.: Физматгиз, 1961. - 399 с.

9. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Наука, 1967.- 415 с.

10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М: Физматлит, 2004. - 576с.

11. Гробова Т.А. // Оценки спектрального радиуса интегрального оператораСтаврополь: Изд. СГУ, Вестник СГУ, выпуск 28, 2001. - с. 12-16.

12. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. - М.: Издательство иностранная литература, 2004. - 895c.

13. Есаян А.Р., Стеценко В.Я. Оценки спектра интегральных операторов и бесконечных матриц// Доклады АН СССР. - 1964. - т.157, №2.

14. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. - М.: BHV-Санкт-Петербург, Невский Диалект, 2004. - 814 с.

15. Канторович Л.В., Вулих Б.З. Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. - М.: Физматгиз, 1959. - 684с.

16. Колатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. - М.: Мир, 1969. - 447с.

17. Колмогоров А.Н., Фомин С.И. Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Физматлит, 2004.- 572 с.

18. Костенко Т.А. Оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора// Понтрягинские чтения -IX. Тезисы докладов. - Воронеж: ВГУ, 1998. - С.107.

19. Костюченко А.Г., Нурсултанов Е.Д. Об интегральных операторах в -пространствах//Фундаментальная и прикладная математика, 1999, том 5, №2, с.475-491.

20. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. - М.: Мир, 1988. - 394с.

21. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. - М: Наука, 1989. - 456с.

22. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев В.И. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов. - М: Наука, 1985. - 256 с.

23. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. - М: Наука, 1965. - 520 с.

24. Наймарк М.А. Спектральная теория дифференциальных операторов. - М.: Наука, 1969. - 311 с.

25. Рисс Ф., Надь Б.С. Лекции по функциональному анализу. - М.: Мир, 1979. - 500 с.

26. Семилетов В. А. К теории операторных уравнений с линейными и нелинейными неразложимыми операторами: Дис... к-та физ.-мат. наук. Ростов - на - Дону, 2004, 119 с.

27. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том V. - М.: Наука, 1974. - 354 с.

28. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. - М.: Мир, 1974.

29. Стеценко В.Я., Галкина В.А. Элементы теории полуупорядоченных пространств. Приближенное решение операторных уравнений. - Ставрополь: Изд-во СГУ, 1998. - 168 c.

30. Функциональный анализ. Под ред. Крейна С.Г. - М.: Наука, 1972. - 544 с.