Спектральные характеристики

Понятия теории линейных операторов. Дискретный (точечный), непрерывный и остаточный спектр. Основные свойства резольвенты. Связь резольвенты с остаточным, точечным и непрерывными частями спектра оператора. Применение спектральной теории в электронике.

Рубрика Физика и энергетика
Вид реферат
Язык русский
Дата добавления 18.05.2010
Размер файла 133,5 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Спектральные характеристики

Демидов Р.А., ФТФ, 2105

Введение

В первой части работы я поставил себе цель описать линейные операторы в целом, а также подробно рассказать о важной характеристике спектра операторов - спектральном радиусе.

В этой части работы я подробнее остановлюсь на не менее важной характеристике спектров - резольвенте, и расскажу о связи этой характеристики с подвидами спектра оператора - с остаточным, точечным и непрерывными его частями. Вначале, опять же, необходимо остановиться на некоторых основных определениях и понятиях теории линейных операторов. Итак:

- Пусть A - оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве E. Спектром оператора называется множество всех его собственных значений.

- Квадратную матрицу n?n можно рассматривать как линейный оператор в n-мерном пространстве, что позволяет перенести на матрицы «операторные» термины. В таком случае говорят о спектре матрицы.

- Пусть A - оператор, действующий в банаховом пространстве E над полем k. Число ? называется регулярным для оператора A, если оператор R(?) = (A ? ?I)-1, называемый резольвентой оператора A, определён на всём E и непрерывен.

- Множество регулярных значений оператора A называется резольвентным множеством этого оператора, а дополнение резольвентного множества - спектром этого оператора.

- Максимум модулей точек спектра оператора A называется спектральным радиусом этого оператора и обозначается через r(A). При этом выполняется равенство:

Это равенство может быть принято за определение спектрального радиуса,приусловии существования данного предела.

Теперь рассмотрим состав самого спектра. Он неоднороден, и состоит из следующих частей:

- дискретный (точечный) спектр - множество всех собственных значений оператора A - только точечный спектр присутствует в конечномерном случае;

- непрерывный спектр - множество значений ?, при которых резольвента (A - ?I)-1 определена на всюду плотном множестве в E, но не является непрерывной;

- остаточный спектр - множество точек спектра, не входящих ни в дискретную, ни в непрерывную части.

Таким образом, мы видим, что спектр оператора состоит из 3-х больших частей, принципиально различных.

Свойства резольвенты

Теорема 1: ограничен. Тогда является регулярной точкой.

Доказательство. . Пусть. Тогда .

- банахово, , причем он ограничен:

Резольвента существует и ограничена. Чтд.

Теорема 2: не принадлежит точечному спектру осуществляет биекцию на .

Доказательство.

р Если построена биекция, то не существует , за исключением тривиальной.

р Если - точка точечного спектра, то , что противоречит биективности .

Теорема 3: (Тождество Гильберта)

Доказательство.

,,

,верно => Чтд.

Следствия:

1) - коммутативность резольвенты.

2) (т.к. непрерывна по в точке ), т.е. она бесконечно дифференцируема (аналитическая функция).

Итак, - аналитическая оператор-функция на множестве регулярных точек (резольвентном множестве). - разложение в ряд Лорана (имеет место при , но, возможно, и в большей области).

Упражнение: (Примеры вычисления спектрального радиуса)

,

.

Возьмем.Тогда

Таким образом . Эта оценка достижима при , т.е. ,и rc(A)=1.

Теорема 4: всякая к.ч , есть регулярная точка самосопряженного оператора A.

Доказательство.

] регулярная точка, значит не собственное значение и . Проверим ограниченность .

ограничен, и его можно распространить на с сохранением нормы оператора, так как не собственое значение. Если при этом не замкнуто, то не замкнут. При этом линейный оператор, обратный к замкнутому, а также сопряженный к нему, замкнут => самосопряженный оператор замкнут.

Спектральная теория в электронике

Полезнейшим приложением спектральной теории в физике является теория спектров электрических сигналов. Суть теории состоит в том, что любой сигнал на входе линейной цепи возможно представить совокупностью гармонических колебаний, или тестовых сигналов, заданной частоты, вопрос такого разложения состоит в нахождении амплитуд результирующих колебаний. Последние вычисляются определенным образом.

Классическое преобразование Фурье представляет из себя линейный оператор.

Спектральная теория здесь работает следующим образом - для периодических входных сигналов для нахождения соответствующих амплитуд используется интегральное преобразование - дискретный Фурье- образ:

в котором разложение начинается с частоты следования wк. В данном случае очевидно, что, раз выходной сигнал представляется суммой бесконечного ряда, то мы имеем дело с точечным спектром сигнала, поскольку он дискретен. Следовательно, любое периодическое колебание можно рассматривать как сигнал с дискретным спектром, поскольку непрерывным спектром он не обладает. Однако, если же взять непериодический сигнал, например, единичный прямоугольный импульс, то вводится понятия прямого и обратного преобразований Фурье:

,

где S(w) - спектральная плотность сигнала s(t).

Соответственно, S(w) - непрерывная по w функция, и в данном.

Заключение

В работе не ставилась цель охватить весь курс спектральной теории и спектрвльных характеристик, а ставилась цель изучить основные спектральные характеристики линейных операторов, и обрисовать применение этих понятий. Опять же, класс Фурье преобразований включает в себя намного больший объем, чем тот, о котором упомянуто в работе, они используются в теории алгоритмов при кодировке и сжатии информации в цифровом формате изображений JPEG, в вейвлет - преобразованиях. Новое поколение функциональной электроники содержит на элементарном уровне элементы, способные производить непрерывные преобразования Фурье и Лапласа, что намного ускоряет работу электронных устройств.

В общем и целом, наряду с первой частью работа дает представление о б основных спектральных характеристиках линейных операторов и их применении в различных областях математики, информатики и физики.

Список литературы

1. Лекции по математической физике, Попов И.Ю., СПбГУ ИТМО, кафедра высшей математики.

2. Элементы теории функций и функционального анализа, А.Н. Колмогоров и С.В. Фомин.

3. Теория цепей и сигналов, Новиков Ю.Н.

4. Свободная энциклопедия Википедия.

5. Сжатие данных, изображения и звука, Д. Сэломон.


Подобные документы

  • Основы теории линейных операторов, необходимые для освоения методов решения операторных уравнений. Понятие спектра для интегрального оператора. Понятие неразложимости. Спектральный радиус интегрального оператора для операторных уравнений с операторами.

    дипломная работа [498,3 K], добавлен 07.08.2008

  • Оптический диапазон спектра. Теоретические основы оптических методов НК. Световые колебания. Классификация оптических методов НК. Дискретный спектр излучения газов и жидкостей. Непрерывный спектр собственного излучения твёрдых тел с разной температурой.

    реферат [355,1 K], добавлен 15.01.2009

  • Оптические свойства полупроводников. Механизмы поглощения света и его виды. Методы определения коэффициента поглощения. Пример расчета спектральной зависимости коэффициента поглощения селективно поглощающего покрытия в видимой и ИК части спектра.

    реферат [1,2 M], добавлен 01.12.2010

  • Изображение на спектральной диаграмме спектра периодического процесса с заданными значениями амплитуды и частоты. Фазовый спектр периодического импульсного процесса. Спектральная плотность одиночного прямоугольного импульса. Анализ спектра суммы сигналов.

    контрольная работа [412,7 K], добавлен 11.07.2013

  • Электромагнитные волны, воспринимаемые человеческим глазом. Спектр видимого излучения. Основные спектральные цвета. Открытие ультрафиолетового и инфракрасного излучений. Характеристики границ видимого излучения. Диапазон длин волн спектральных цветов.

    презентация [143,3 K], добавлен 05.09.2013

  • Принципы преобразований Фурье, основные правила и значение данного процесса. Особенности применения соответствующих рядов в современной электронике. Анализ примеров решения задач. Комплексы напряжения и тока, их применение в показательную форму.

    презентация [304,5 K], добавлен 22.03.2015

  • Вычисление напряжения на выходе цепи U2 (t), спектра сигнала на входе и на выходе цепи. Связь между импульсной характеристикой и передаточной функцией цепи. Дискретизация входного сигнала и импульсной характеристики. Синтез схемы дискретной цепи.

    курсовая работа [380,2 K], добавлен 13.02.2012

  • Электронное строение атомов переходных элементов. Физические свойства редкоземельных металлов, их применение. Решение уравнения Шредингера для кристалла. Современные методы расчета зонной структуры. Расчет электрона энергетического спектра неодима.

    дипломная работа [1000,2 K], добавлен 27.08.2012

  • Квантово-механическая система: теории представлений волновой функции (амплитудой вероятности). Обозначения Дирака: вектор состояния в n-мерном гильбертовом пространстве. Преобразование операторов от одного представления к другому, эрмитовы матрицы.

    реферат [150,1 K], добавлен 31.03.2011

  • Основные понятия и определения систем передачи дискретных сообщений. Сигнальные созвездия при АФМ и квадратурная АМ. Спектральные характеристики сигналов с АФМ. Модулятор и демодулятор сигналов, помехоустойчивость когерентного приема сигналов с АФМ.

    дипломная работа [1,9 M], добавлен 09.07.2013

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.