Расчет электрических цепей при импульсном воздействии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВАЯ РАБОТА

Расчет электрических цепей при импульсном воздействии

Введение

Цель курсовой работы состоит в систематизации и закреплении знаний, полученных студентами при изучении классического, операторного и спектрального методов расчета процессов в линейных электрических цепях а также теоретических основ анализа дискретных сигналов и линейных дискретных систем.

1. Техническое задание

Задание на курсовую работу содержит схему анализируемой цепи и входной сигнал в виде одиночного импульса, параметры которого указаны на рисунке 1.1 и 1.2. Все резисторы имеют сопротивление R=1 Ком, емкость конденсатора C=1 мкФ.

Рисунок 1.1. Анализируемая схема

Рисунок 1.2. Входной Сигнал

дискретный цепь сигнал импульсный

В процессе выполнения работы необходимо получить следующие результаты:

- Рассчитать и построить график напряжения на выходе цепи U2 (t);

- вычислить передаточную функцию цепи H(jщ), спектральную плотность сигнала на входе и выходе цепи, построить соответствующие графики;

- используя импульсную характеристику цепи, получить выражение для передаточной функции;

- провести дискретизацию входного сигнала и импульсной характеристики цепи, вычислить отсчеты дискретного сигнала на выходе и построить графики спектра дискретизированного сигнала и АЧХ дискретизированной цепи;

- по отсчетам входного сигнала вычислить его спектральную плотность;

- составить схему дискретной цепи, выполнив Z - преобразование дискретизированной импульсной характериситики;

- определить передаточную функцию цепи, корректирующей искажения дискретного сигнала, вносимые сконструированной дискретной цепью, рассчитать дискретный сигнал на выходе корректора.

2. Спектральный анализ

2.1 Вычисление напряжения на выходе цепи U2 (t)

На вход цепи, изображенной на рис. 2.1 подается импульсный сигнал U₁(t), приведенный на рис. 1.2. Вычисляется переходная характеристика цепи, как реакция на входное воздействие в виде единичной функции 1 (t). Численно она равна напряжению на выходе цепи g(t) = U₂(t)=Uпр+A, где Uпр - принужденная составляющая напряжения, постоянная A=U2 (0+) - Uпр, ф - обратная величина операторного сопротивления p, ф=RэквC, Rэкв - эквивалентное сопротивление цепи относительно конденсатора.

Рисунок 2.1. Анализируемая схема

В момент коммутации при t0 находим U2 (0+), считая, что сопротивление конденсатора равным нулю, и в схеме заменяем проводом.

Рисунок 2.2. Анализируемая схема в момент коммутации

По второму закону Кирхгофа находим ток Y показанный на рис 2.2. , отсюда , из рис. 2.2 видим что U2 (0+)=YR, тогда =0,5В.

В принужденном режиме при t>?, находим Uпр, при этом сопротивление конденсатора равняется к бесконечности, поэтому заменяем на схеме разрывом.

Рисунок 2.3. Анализируемая схема в принужденном режиме

Как видно из рис. 2.3 токи равны нулю, и по второму закону Кирхгофа U2=Uпр=E=1В.

Находим ф=RэквC, рис 2.1 для этого находим Rэкв=, получаем ф=0,00067 сек, чтобы удобно было при расчете в дальнейшем находим операторное сопротивление p=, p=1492,5 и, в конце концов переходная характеристика цепи равна g(t)=1-0,5 (1)

Весь отрезок времени 0?t<? разбивается на три интервала рис 1.2. Границы интервалов приходятся на моменты времени t0=0, t1=2 мс, t2=4 мс. Значения функции входного сигнала U1 (t) и его производной на каждом из интервалов:

На интервале времени 0?t<t1, U1 (0)=5В, U(t)=5В, U(t)'=0, В/C;

на интервале времени t1?t<t2, U1 (t1)=5В, U1 (t)=2500t, В, U(t)'=2500, В/C;

на интервале t2?t<? в момент времени t2, напряжение меняется скачком от 10 до 0, В, U1 (t2)=-10В, а в пределах самого интервала U1 (t)=0В, U1 (t)'=0.

Реакция пассивной цепи на заданное воздействие определяется при помощи интеграла Дюамеля (см. рис 1.2):

Интервал (0; t1), где t1=2 мс

(В) (2)

интервал (t1; t2), где t2=4 мс

(В) (3)

Интервал (t2; ?)

(В) (4)

С помощью программы DML вычисляются значения U2 (t). Результаты значения показаны в таблице 1 и по ним построен график U2 (t) на рис. 2.4

Таблица 2.1 - Значения выходного напряжения от времени (U2 (t)), вычисленные с помощью интеграла Дюамеля

t, мс	0	0,4	0,8	1,2	1,6	2,0	2,4	2,8	3,2
U2, В	2,5	3,624	4,242	4,583	4,77	4,874	5,543	6,342	7,217
t, мс	3,6	4,0	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0	7,0	8,0
U2, В	8,133	9,074	4,074	1,932	0,916	0,434	0,206	0,046	0,01

Рисунок 2.4 График зависимости выходного сигнала от времени.

Здесь на участке времени 0?t<t1 мс, показан график функции U2 (t) полученной по формуле (2), на участке t1?t<t2 мс, показан график функции U2 (t) полученной по формуле (3), на участке t2?t<? мс, показан график функции полученной по формуле (4).

Для проверки правильности нахождения интеграла Дюамеля подставляем t в формулы, полученные выше (2), (3), (4) и сверяем с результатами, полученными компьютерным путем:

(в момент времени t=0)

(в момент времени t1=2 мс)

(в момент времени t1=2 мс)

(в момент времени t2=4 мс)

(в момент времени t2=4 мс)

(в момент времени t=6 мс)

Результаты, полученные компьютерным путем и расчетом, практически сходятся, поэтому можно делать вывод о том, что расчет правильный.

2.2 Вычисление спектра сигнала на входе и на выходе цепи

Для нахождения спектральной плотности входного сигнала функция U1 (t) представляется в виде суммы четырех «простых» функций, изображенных на рис. 2.5.

Рисунок 2.5 - Представление входного сигнала U1 (t) в виде суммы четырех функций времени

f1 (t)=0, при t<0 мс,

f1 (t)=5 при t?0 мс f1 (t) > изображение (5)

f2 (t)=0, при t<2 мс,

f2 (t)=2500 (t-2*10), при t?2 мс f3 (t) > изображение (6)

f3 (t)=0, при t<4 мс,

f3 (t)=-10, при t?4 мс f3 (t)>изображение (7)

f4 (t)=0, при t<4 мс,

f4 (t)=-2500 (t-4*10), при t?4 мс f4 (t)>изображение (8)

Изображение входного сигнала записывается как сумма изображений «простых» функций.

(9)

Заменяя в формуле (9) p>jщ, получаем спектральную плотность входного сигнала

(10)

По формуле Эйлера находим e=cosx-jsinx и подставляем в формулу (10), получаем

(11)

Обозначим действительную часть как , а мнимую, как и получим амплитудную характеристику спектральной плотности входного сигнала

(12)

Далее находим фазовую характеристику, которая равна:

(13)

Передаточная функция по напряжению цепи, изображенной на рис. 1 равна

(14)

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) этой цепи

(15)

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) имеет вид

(16)

Амплитудная характеристика спектральной плотности сигнала на выходе цепи записывается в виде,

 (17)

Фазо-частотная характеристика имеет вид

. (18)

Вычисление модулей и аргументов спектральных плотностей на входе и на выходе цепи, а также АЧХ и ФЧХ ее производится с помощью программы «FREAN».

Результаты расчетов приведены в таблице 2, а графики функций, построенные по этим данным - на рисунках 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 2.10, 2.11.

Таблица 2.2 - Результаты расчетов формул (12), (13), (15), (16), (17), (18), в зависимости от частоты

f, кГц	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8
U1 (щ), мВс	25	18,68	5,881	6,191	6,04	1,593	3,669	2,042	2,063
, град	0	82,955	188,8	19,61	117,3	269,3	67,9	172,9	14,39
H(щ)	1	0,942	0,831	0,736	0,669	0,624	0,594	0,573	0,558
, град	0	-10,9	-17,2	-19,4	-19,2	-18,2	-16,8	-15,5	-14,2
U2 (щ), мВс	25	17,603	4,888	4.554	4,039	0,994	2,178	1,17	1,151
, град	0	72,055	171,1	0,25	98,05	251,1	51,07	157,4	0,165
f, кГц	0,9	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7
U1 (щ), мВс	2,606	0,797	2,032	1,237	1,232	1,662	0,531	1,404	0,888
, град	115,3	268,54	66,54	170,5	12,76	114,5	267,5	65,88	169,3
H(щ)	0,547	0,539	0,533	0,528	0,524	0,521	0,518	0,516	0,514
, град	-13,1	-12,11	-11,2	-10,4	-9,77	-9,16	-8,62	-8,14	-7,7
U2 (щ), мВс	1,426	0,429	1,083	0,653	0,645	0,866	0,275	0,725	0,457
, град	102,2	256,43	55,31	160,0	2,993	105,3	259,2	57,74	161,6
f, кГц	1,8	1,9	2,0	2,1	2,2	2,3	2,4	2,5	2,6
U1 (щ), мВс	0,876	1,211	0,399	1,073	0,694	0,679	0,965	0,319	0,876
, град	11,83	113,97	267,1	65,423	168,6	11,16	113,6	266,4	65,04
H(щ)	0,513	0,512	0,51	0,509	0,59	0,508	0,507	0,507	0,506
, град	-7,31	-6,95	-6,63	-6,33	-6,06	-5,81	-5,57	-5,36	-5,17
U2 (щ), мВс	0,449	0,624	0,203	0,547	0,353	0,345	0,49	0,162	0,439
, град	4,524	167,02	260,5	59,1	162,5	5,348	108	261	59,89
f, кГц	2,7	2,8	2,9	3,0	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5
U1 (щ), мВс	0,57	0,553	0,798	0,266	0,728	0,484	0,466	0,68	0,228
, град	168	10,597	113,2	265,62	64,71	167,5	10,11	112,9	264,9
H(щ)	0,506	0,505	0,505	0,505	0,504	0,504	0,504	0,504	0,503
, град	-4,98	-4,809	-4,65	-4,49	-4,36	-4,22	-4,1	-3,98	-3,87
U2 (щ), мВс	0,288	0,28	0,403	0,134	0,367	0,244	0,235	0,343	0,115
, град	163	5,79	108,58	261,12	60,35	163,3	6,007	108,9	261,0

Рисунок 2.6 - Спектр входного сигнала. Зависимость U1 (f). Формула (12)



Рисунок 2.7 - Спектр входного сигнала. Зависимость . Формула (13)

Рисунок 2.8 - График АЧХ анализируемой схемы (рис. 1.1). Зависимость H(f). Формула (15)

Рисунок 2.9 - График ФЧХ анализируемой схемы (рис. 1.1). Зависимость Формула (16).



Рисунок 2.10 - Спектр выходного сигнала. Зависимость U2 (f). Формула (17)

Рисунок 2.11 - Спектр выходного сигнала. Зависимость Формула (18)

При выполнении этого пункта в основном использовал действия над комплексными числами, основываясь в знании математического анализа. Главную трудность вызывала расчет при получении формулы спектральной плотности на входе U1 (щ), и при этом использовал формулу Эйлера. А так же научился вычислить модули и аргументы спектральных плотностей на входе и выходе цепи, а так же АЧХ и ФЧХ с помощью программы «FREAN».

2.3 Связь между импульсной характеристикой и передаточной функцией цепи

Временные и частотные характеристики цепи связаны между собой формулами преобразования Фурье. По найденной в п. 2.1. переходной характеристике, формуле (1), вычисляется импульсная характеристика цепи (рис. 1.1).

(19)

Выражение h(t) подставляется в формулу прямого одностороннего преобразования Фурье и, после вычисления интеграла, получаем H(jщ).

(20)

Результат вычислений совпадает с формулой H(jщ), полученной в п. 2.2, формула (14). Это позволяет делать расчет в дальнейшем.

3. Временной анализ

3.1 Дискретизация входного сигнала и импульсной характеристики

Среди значений U1 (щ), приведенных в таблице 2.2, определяется максимум модуля спектральной плотности U1max=25 мВ?с. Далее находим частоту, после которой значения U1 (щ) не превышает уровень 0,1*U1max=2,5 мВ*с. Согласно данным таблицы 2.2 я выбрал частоту f=2,5 кГц. Это частота принимается за верхнюю границу спектра входного сигнала, и частота дискретизации берется равной fд=5 кГц. Соответственно период дискретзации T=0,2 мс.

По графику, изображенному на рис. 1.2, определяем значения дискретных отсчетов входного сигнала U₁(n) для t моментов дискретизации. Аналогичным образом вычисляем значения дискретных отсчетов импульсной характеристики цепи H(n) на интервале времени 0?t?t2.

Таблица 3.1 - Дискретные значения функции входного сигнала и импульсной характеристики

t, мс	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0	1,2	1,4	1,6
n	0	1	2	3	4	5	6	7	8
U1 (n)	5	5	5	5	5	5	5	5	5
H(n)	0,5	0,15	0,1	0,069	0,047	0,032	0,021	0,015	0,01
t, мс	1,8	2,0	2,2	2,4	2,6	2,8	3,0	3,2	3,4
n	9	10	11	12	13	14	15	16	17
U1 (n)	5	5	5,5	6	6,5	7	7,5	8	8,5
H(n)	0,0067	0,0045	0,003	0,002	0,0014	0,001	0,00064	0,00044	0,0003
t, мс	3,6	3,8	4,0
n	18	19	20
U1 (n)	9	9,5	5
H(n)	0,0002	0,00014	9,3*10

Дискретные значения импульсной характеристики вычисляются по формуле (19)

, где T=0,0002 с; n=0,1,2…, 20 (21)

Функция U1 (t) при t=t2=4 мс изменяется скачком от значения +10 В до 0 В. При записи массива U1 (n) для t=t2=4 мс берется среднее арифметическое этих значений U1 (20)=5 В.

По данным таблицы 3.1 построим график зависимости U1 (n) и H(n).

Рисунок 3.1 - Значение дискретного сигнала на входе цепи

Рисунок 3.2 - Значение дискретных отсчетов импульсной характеристики цепи H(n)

Дискретные значения на выходе цепи вычисляются для первых 8 отсчетов с помощью формулы дискретной свертки.

(22)

По данным формулы (22) построим таблицу 3.2.

Таблица 3.2 - Дискретный сигнал на выходе цепи

n	0	1	2	3	4	5	6	7
t, мс	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0	1,2	1,4
U2 (n), В	2,5	3,25	3,75	4,095	4,33	4,49	4,595	4,67
n	8	9	10	11	12	13	14	15
t, мс	1,6	1,8	2,0	2,2	2,4	2,6	2,8	3,0
U2 (n), В	4,72	4,83	4,874	5,187	5,54	5,93	6,342	6,773
n	16	17	18	19	20
t, мс	3,2	3,4	3,6	3,8	4,0
U2 (n), В	7,217	7,671	8,133	8,601	4,074

Сопоставление результатов расчета для первых 8 отсчетов с данными формулы (22) показывает, что различие в значениях U2 (t), вычисленные с помощью интеграла Дюамеля и путем дискретизации сигнала и импульсной характеристики отличаются на несколько десятых, что является допустимым отклонением при данных начальных параметрах, поэтому таблицу 3.2 продолжаем с помощью программы DML.

По данным таблицы 3.2 построим график зависимости U2 (n).



Рисунок 3.3 - Дискретный сигнал на выходе цепи.

При выполнении этого пункта, графики построил с помощью программы Microsoft Excel. Использовал формулы (21) и (22).

3.2 Спектральные характеристики дискретизированного сигнала

Спектральные характеристики дискретизированного сигнала U₁(n) могут быть вычислены на любой частоте, однако для сокращения объема расчетов целесообразно ограничиться 4 значениями частоты.

Спектральная плотность дискретизированного сигнала U1 (n) на любой частоте может быть вычислена по формуле:

(23)

(24)

1) f1=0 Гц, щ1=0 , T=0,2 мс;

;

2) f2=0,625 кГц, щ2==3925 ;

;

3) f3=1,250 кГц, щ3==7850 ;

;

4) f4=2,5 кГц, щ4==15700 ;

1,045 мВ?с.

Таблица 3.3 - Спектральная плотность дискретизированного сигнала

f, кГц	0	0,625	1,250	2,5
U1, мВ?с	25	1,839	1,263	1,045

По данным таблицы построим график зависимости U1 (f).

Рисунок 3.4 - График спектральной плотности дискретизированного сигнала

Сравнив полученные результаты с результатами расчета плотности входного сигнала на данных частотах, полученные в пункте 2.2, можно сделать вывод, что они отличается незначительно на всех частотах, поэтому график спектральной плотности будет аналогичен графику спектральной плотности входного сигнала. Чтобы получить более точный график следует взять больше расчетных частот.

3.3 Синтез схемы дискретной цепи

Z - преобразование импульсной характеристики цепи. Дискретные значения, которого H(n) приведены в формуле (21) записывается в виде

 (25)

Преобразуем H(Z) под общую дробь

(26)

Отсюда a0=0,5, a1=-0,185, b1=0,67 из формулы передаточной функции

(27)

Схема дисккретной цепи, реализующая это соотношение имеет вид:

a0=0,5, a1=-0,185, b1=0,67

- Z - преобразование блока памяти с задержкой на один период дискретизации

Рисунок 3.5 - Z - преобразование схемы дискретной цепи.

После приведения схемы к каноническому виду она примет вид.



Рисунок 3.6 - Схема дискретной цепи

Коэффициенты передачи масштабных усилителей a₀, b₁ те же, что и в предыдущей схеме. T - элемент памяти с задержкой на один период дискретизации.

Компенсация искажений сигнала, вносимых заданной цепью может быть выполнена с помощью корректора, подключаемого к входу или выходу цепи. При этом передаточная функция всей схемы должна быть постоянной величиной, не зависящей от частоты.

Реализация пассивной схемы корректора в аналоговой форме даже для простейших цепей технически сложная и в большинстве случаев невыполнимая задача, так как требуется создать схему, матрица A - параметров которой обратна матрице A - параметров исходной цепи.

Значительно проще проблема коррекции искажений решается при обработке дискретизированного сигнала. В этом случае Z - преобразование передаточной функции корректора H'(Z) находится как величина, обратная H(Z) исходной цепи, вычисленной по формуле (26).

(28)

отсюда a0=2; a1=-1,34; b1=0,37

Схема дискретной цепи, реализующая это соотношение, имеет вид:



Рисунок 3.7 - Z - преобразование передаточной функции корректора H'(Z) исходной цепи

3.4 Передаточная функция корректирующей цепи

Отсчеты импульсной характеристики корректора находятся путем деления полинома числителя H'(Z) на его знаменатель и перехода от Z - преобразования к функции дискретного времени H'(n).

(29)

где числа после стрелки означают n.

Дискретные значения сигнала на выходе корректора вычисляются с помощью формулы дискретной свертки.

(30)

Таким образом, подставляя значения в формулу (30) находим другие дискретные значения до U2'(6).

Полученный результат практически совпадает со значениями дискретных отсчетов входного U1 (n), приведенными в таблице 3.1.

По результатам вычислений формул (29) и (30) составляем таблицу.

Таблица 3.4 - Дискретные значения импульсной характеристики корректора и сигнала на его выходе

n	0	1	2	3	4	5	6
t, мс	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0	1,2
H'(n)	2	-0,6	-0,222	-0,08214	-0,03	-0,0111	-0,0041
U2'(n)	5	5	4,995	5,0135	5,0285	5,04	5,04

По результатам таблицы 3.4 построим график H'(n).

Рисунок 3.8 - График дискретных значений импульсной характеристики

Аналитическое выражение передаточной импульсной характеристики цепи H(jщ):

(31)

Напишем АЧХ:

(32)

Аналитическое выражение передаточной функции корректирующей цепи H'(щ):

(33)

Напишем АЧХ:

(34)

По результатам формул (32) и (34) построим таблицу значений АЧХ.

Таблица 3.5 - Значения АЧХ корректирующей цепи

f, кГц	0	1	2	3	4	5	6	7	8
H(щ)	0,9545	0,468	0,414	0,414	0,468	0,9545	0,468	0,414	0,414
H'(щ)	1,047	2,13	2,416	2,416	2,136	1,047	2,133	2,415	2,416

По результатам таблицы 3.5 построим график АЧХ корректирующей цепи H(f) и H'(f).

Рисунок 3.9 - График АЧХ корректирующей цепи H(f)

Рисунок 3.10 - График АЧХ корректирующей цепи H'(f)

Аналитическое выражение передаточной функции корректирующей цепи H(jщ) и амплитудно-частотной характеристики ее H'(щ) сравнили с формулами (14) и (15), сопставляя частоты, пришли к выводу, что на некоторых частотах они совпадают, что приведет к правильности расчета.

Заключение

При выполнении курсового проекта мной были получены следующие результаты:

1. значения напряжений на выходе цепи при расчете интегралом Дюамеля и при помощи дискретизации сигналов практически совпадают

2. значение спектральной плотности входного сигнала на определенной частоте совпадает, с небольшой погрешностью, со значениями, вычисленными используя суммирование дискретного входного сигнала

3. дискретные отсчеты входного сигнала равны дискретным значениям сигнала на выходе корректора, применяемого для компенсации искажений сигнала, вносимых заданной цепью.

Таким образом, существует ряд методов расчета цепей, применение которых дает одни и те же результаты. Эти методы позволяют рассчитать необходимые параметры цепи и сигнала, а также решать ряд задач, связанных с процессами в электрических цепях.

Список литературы

1. Бакалов В.П. Воробиенко П.П. Крук Б.И. «Теория электрических цепей». М.: Радио и связь, 1998

2. Шебес М.Р. Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей. М.: Высшая школа, 1990

3. Тихобаев В.Г. Расчет электрических цепей при импульсном воздействии (методические указания к курсовой работе). Новосибирск: СибГУТИ, 2001

Размещено на Allbest.ru