Электричество и магнетизм, изучение свойств ферромагнетиков

29

Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

Саратовский государственный технический университет

Одобрено редакционно-издательским советом

СГТУ

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ ФЕРРОМАГНЕТИКОВ

Методические указания к лабораторным работам по физике

для студентов всех специальностей.

Саратов 2008

Введение

Настоящие методические указания состоят из описания шести лабораторных работ по курсу электричества и магнетизма:

1. Моделирование электростатического поля.

2. RLC - контур.

3. Индуктивность.

4. Термоэлектродвижущая сила.

5. Изучение свойств ферромагнетиков.

6. Эффект Холла.

В методических указаниях принята традиционная компоновка подобных описаний, состоящая из разделов: основные понятия, методика эксперимента, порядок выполнения работы, обработка результатов эксперимента.

Для подготовки к лабораторным работам необходимо использовать лекционный и учебный материал.

Большое внимание уделяется обработке результатов экспериментов.

Методические указания составлены таким образом, что преподаватели и студенты имеют возможности вносить в каждую работу модификации заданий и их интерпретации к семинарским и лекционным курсам.

Лабораторная работа 1

Термоэлектродвижущая сила

Цель работы: Изучение контактных явлений в металлах и термоэлектрических методов измерения температуры, снятие зависимости термоэлектродвижущей силы от разности температур холодного и горячего спаев, градуировка термопары, определение постоянной термопары и концентрации электронов.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

Экспериментально доказано, что в металлах, имеются свободные электроны, способные перемещаться по металлу Такая система свободных электронов в кристаллической решетке называется электронным газом. Свободными электроны в металле можно считать лишь относительно. Вблизи границы металла на электроны действует электрическая сила, удерживающая их внутри металла. Чтобы преодолеть эту силу, электрон должен совершить определенную работу. Для удобства количественного описания процесса удобно ввести понятие "потенциальный ящик". Можно полагать, что электроны внутри металла имеют определенную отрицательную энергию, которая резко возрастает и обращается в нуль на границе металла

Электрон в металле имеет, таким образом, кинетическую и потенциальную энергию . Полная энергия при

отрицательна. Глубина "потенциального ящика" (т.е. величина ) определяется параметрами металла и свойствами поверхности, а кинетическая энергия -температурой и уровнем Ферми.

Для того, чтобы вырвать электрон из металла, ему необходимо

сообщить энергию , достаточную для преодоления потенциального барьера.

С увеличением температуры энергия электронов повышается. Однако даже при температурах, близких к температуре плавления, глубина потенциального ящика остается практически неизменной, так что энергию, которую нужно сообщить электрону для вырывания его из металла, можно определить по той же формуле, что и при Т=0.

Рис.2.1"Потенциальный ящик" электронов внутри металла. Кинетическая энергия электронов отсчитывается от "дна" потенциального ящика.

Вследствие теплового движения электроны проводимости могут выходить из металла в окружающее пространство. В результате вылета электронов из металла вблизи поверхности проводника образуется двойной электрический слой толщиной в несколько межатомных расстояний. Металл оказывается заряженным положительно, а вылетающие электроны образуют отрицательно заряженное "облако". Между металлом и электронным облаком возникает разность потенциалов . Для различных металлов колеблется от 1 до 10 В и зависит как от химической природы металла, так и от состояния его поверхности.

Электрон, выходя из металла, совершает работу против сил притяжения со стороны положительно заряженного проводника и против сил отталкивания со стороны ранее вылетевших электронов. Эта работа совершается за счет уменьшения кинетической энергии электронов и называется работой выхода электрона из данного металла. Работа выхода

связана с разностью потенциалов

(2.1)

где -величина заряда электрона.

При соприкосновении двух проводников электроны вследствие теплового движения переходят из одного проводника в другой. Если соприкасающиеся проводники различны или если их температуры в разных точках неодинаковы, то оба потока диффузии электронов неодинаковы и один из проводников заряжается положительно, а другой отрицательно. Поэтому в пограничном слое между проводниками появляется электрическое поле, уравновешивающее разность диффузных потоков. Опыт показывает, что в контакте двух различных проводников наблюдаются тепловые явления при протекании электрического тока (в зависимости от направления тока происходит либо нагревание, либо охлаждение контакта) Это явление получило название явления Пельтье.

Наличие тепла Пельтье означает, что кинетическая энергия электронов при переходе из одного проводника в другой изменяется. Если она увеличивается, то спай нагревается, если же она уменьшается, то спай охлаждается. Это значит, что между обоими проводниками имеется некоторая разность потенциалов, которая не зависит от тока и существует даже в его отсутствии. Она получила название внутренней контактной разности потенциалов.

Возникновение внутренней контактной разности объясняется следующим образом. Рассмотрим два различных металла 1 и 2 (рис.2.2), находящихся при одной и той же температуре, и предположим, что мы привели их в соприкосновение. Электроны проводимости вследствие теплового движения будут переходить из проводника 1 в проводник 2 и обратно. Так как концентрация электронов в обоих металлах различна, то и диффузионные потоки электронов будут неодинаковыми. Положим, что концентрация электронов в металле 1 больше концентрации в металле 2.

W 1 2

X

Рис.2.2 Контакт двух различных проводников и распределение потенциальной энергии электронов.

Положим, что концентрация электронов в металле 1 больше концентрации в металле 2. Тогда поток диффузии электронов из металла 1 будет больше потока диффузии в обратном направлении и металл 1 будет заряжаться положительно, а металл 2 - отрицательно. В результате этого между металлами возникнет разность потенциалов и появится электрическое поле, которое вызовет дополнительное движение электронов (переносное, или дрейфовое, движение) в обратном направлении - от металла 2 к металлу 1, поэтому общее количество электронов, переходящих от 1 к 2, будет уменьшаться, а идущих в противоположном направлении - увеличиваться. При некоторой внутренней контактной разности потенциалов между металлами установится равновесие и потенциалы металлов не будут уже изменяться. Эта разность потенциалов и является внутренней контактной разностью потенциалов обоих металлов.

Отметим, что вследствие большой тепловой скорости электронов обмен электронами происходит весьма быстро и равновесие устанавливается уже в ничтожные доли секунды.

Согласно закону Ома плотность тока внутри металла равна . Так как в равновесии , то и электрическое поле в любой точке в толще металлов равно нулю. Это значит, что электрическое поле существует только в тонком пограничном слое между обоими проводниками, на котором сосредоточена и вся контактная разность потенциалов.

Полученные результаты можно наглядно представить с помощью энергетической диаграммы. Будем откладывать по вертикальной оси потенциальную энергию электрона внутри металла, равную ( - заряд электрона, -значение потенциала), а по горизонтальной оси - перемещение вдоль металла. Тогда получится распределение энергии, изображенное на рис.2.2

Так как в отсутствии тока потенциал внутри металла одинаков, то и энергия постоянна в разных точках одного и того же металла. Однако ее значение в обоих металлах различно и меньше в металле 1, заряженном положительно, нежели в проводнике 2 (так как заряд электрона . Разность энергий электрона в обоих проводниках равна

Вычислим теперь величину внутренней контактной разности потенциалов.

В классической электронной теории задача о равновесии электронов в двух соприкасающихся проводниках не отличается от задачи о равновесии атомарного газа, находящегося в поле тяжести. Из молекулярной физики известно, что концентрация атомов газа на высоте связана с концентрацией у поверхности земли формулой:

где -масса атома, g - ускорение поля тяжести, и -постоянная Больцмана, - абсолютная температура, которая предполагается одинаковой во всем газе. Здесь есть разность потенциальных энергий атома газа на высоте и у поверхности земли. В случае двух соприкасающихся металлов и поэтому , где и - концентрации электронов в обоих металлах. Отсюда

(2.2)

Полученная формула показывает, что чем больше различие в концентрациях электронов и, тем больше и внутренняя контактная разность.

Возникновение внешняя контактной разности потенциалов объясняется следующим образом. Рассмотрим, какое электрическое состояние установится у свободных концов дух соприкасающихся металлов. Пусть, сначала два различных металла 1 и 2 разобщены друг с другом. В этом случае потенциальная энергия электрона в различных точках пространства изображается кривыми рис.2.3а. При построении этого графика энергия покоящегося электрона в вакууме (вне металла) принята равной нулю. Так как оба металла не заряжены, то электрического поля между ними нет и энергия электрона в пространстве между металлами остается постоянной. Она постоянна и внутри металлов (точнее, постоянно ее среднее значение), но имеет другую, меньшую величину. Каждый кусок металла на этом графике характеризуется потенциальным ящиком.

В классической теории глубина потенциальной ямы равна термоэлектронной работе выхода электрона из металла А.

Приведем теперь в соприкосновение оба куска металла. Тогда в контактном слое вследствие диффузии электронов установится скачок потенциала Uвнутренний, равный внутренней контактной разности потенциалов. и между днищами обеих потенциальных ящиков будет малое энергетическое расстояние eU (рис.2.3). Но так как глубины потенциальных ящиков различны. то их внешние края окажутся на разных высотах. Это значит, что между двумя любыми точками А и Б, находящимися вне металлов, но расположенными в непосредственной близости от их поверхностей, возникает разность потенциалов.

1 2 1 2

A Б

Рис.2.3 Возникновение внешней контактной разности потенциалов.

Она получила название внешней контактной разности. потенциалов обоих металлов. Между обоими соприкасающимися металлами во внешнем пространстве появится электрическое поле, а на поверхности металлов возникнут электрические заряды (рис.2.3). Из рис.2.3 видно, что контактная разность потенциалов равна

(2.3)

где знак + или - следует выбирать в зависимости от знака внутренней контактной разности.

Оценка показывает, что мало и имеет порядок в. Напротив, работы выхода измеряются несколькими вольтами и такой же порядок имеет их разность для различных пар металлов. Поэтому с достаточной точностью можно считать:

(2.4)

т.е. контактная разность потенциалов двух металлов равна разности их работ выхода. Квантовая теория металлов показывает. что формула (2.4) верна совершенно точно.

Рассмотрим теперь цепь, состоящую не из двух, а из нескольких металлов 1, 2, 3, 4 (рис.2.5). Если бы мы ее разрезали по aa, то между свободными концами металлов 1 и 2 была бы контактная разность

Аналогично между разрезами аа и 66 была бы разность потенциалов

а у последней пары металлов

1

++

- -

2

Рис.2.4 При соприкосновении двух различных металлов во вешнем пространстве появляется электрическое поле, а на поверхности металлов возникают заряды



а 2 1

3 4

в

Рис.2.5 При соединении нескольких проводников 1,2,3,4 электрическое поле определяется только крайними проводниками1 и 4.

Так как в плоскостях аа. бб и т.д. соприкасаются одинаковые металлы, то дополнительные разности потенциалов здесь не возникают; поэтому контактная разность всей цепи равна

(2.5)

т.е. такая же, как в отсутствии промежуточных металлов 2 и 3. Контактная разность определяется только крайними металлами цепи.

Если имеется замкнутая цепь, составленная из разных металлов или вообще из электронных проводников (проводников первого класса), то внешняя контактная разность вообще не возникает и остаются только внутренние контактные разности и т.д.

Сумма этих скачков потенциала равна

(2.6)

Следовательно, и электродвижущая сила цепи, составленной из каких угодно проводников первого класса, но заходящихся при одинаковой температуре, равна нулю. Такой же результат получается и в квантовой теории металлов.

Составим замкнутую цепь из двух разнородных металлов и будем поддерживать температуры контактов и (спаев) различными температурами и (рис.2.6) В этом случае в цепи возникает электродвижущая сила, которая называется термоэлектродвижущей силой. а сама цепь называется термопарой или термоэлементом.

Контактные разности потенциалов в спаях и различны по величине вследствие различной температуры спаев. Подсчитаем электродвижущую силу, пользуясь формулой :

(2.7)

Постоянная для двух данных металлов величина

(2.8)

называется постоянной термопары или удельной термо-э. д. с. Удельная термо-э. д. с. равна термоэлектродвижущей силе, возникающей в цепи при разности температур спаев в один кельвин. Формулу (2.7) можно записать в виде:

(2.9)

откуда видно, что термо-э. д. с., пропорциональна разности температур спаев. Удельная термо-э. д. с. - не строго постоянная величина и несколько зависит от температуры.

Благодаря возникающей термо-э. д. с., в термопаре возникает ток. Для его поддержания необходимо обеспечить разность температур спаев, то есть к горячему спаю подводить тепло, а холодный спай поддерживать при одной и той же температуре. В этом случае происходит преобразование тепловой энергии в электрическую.

Методика эксперимента

П. нагрев. - охлаждение 1 2 3

Горячие спаи

Рис.2.6

В установке используют термопарный термометр, состоящий из батареи М последовательно соединенных холодных и горячих спаев двух разнородных металлов (рис.2.6). Горячие 1 спаи помещены в сосуд с водой 3, нагреваемый элементом 4. Температура воды регистрируется термометром 5. Холодные спаи 2 помещены в сосуд с водой 6 при комнатной температуре, регистрируемой термометром 7. Так как горячие и холодные спаи одинаковы то по формуле (2.7) для последовательного соединения спаев перепишется так:

где - постоянная термопары.

При включении нагревателя температура горячих спаев увеличивается и по цепи с милливольтметром потечет ток. В процессе измерения регистрируется линейная зависимость () термоэлектродвижущей силы от разности температур горячего и холодного спаев. Как следует из (2.9) тангенс угла наклона прямой к оси абцисс равен постоянной термопары , то есть

(2.10), откуда (2.11)

Обработка результатов эксперимента

1. Построить зависимость термоэлектродвижущей силы от разности температур горячего и холодного спаев, провести через точки прямую

2. По формуле () найти отношение концентрации электронов в металлах спая термопары.

РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТЕЙ.

1. Вычисление постоянной термопары по зависимости и случайной погрешности осуществляется по методу наименьших квадратов (см). При этом уравнение линейной регрессии имеет вид:

где - угловой коэффициент наклона прямой, проходящей через начало координат. Этот коэффициент находится по формуле:

, здесь

Погрешность определения углового коэффициента находится из соотношения:

Приборная погрешность определения складывается из систематических погрешностей измерения термоэдс и температуры и на основании зависимости вычисляется по формуле:

где - класс точности вольтметра, - относительная погрешность измерения температуры. Величина определяется по цене деления амперметра, пересчитанной в градусах.

Суммирование систематической и случайной погрешностей осуществляется по формуле () и дает:

Рабочая формула для расчета отношения концентрации носителей:

Расчет погрешности осуществляется как расчет погрешности косвенного измерения (), в результате чего получается формула:

Вопросы для самопроверки

Что такое работа выхода электронов из металла?

Что такое внутренняя и внешняя контактные разности потенциалов?

В каком случае возникает термо-э. д. с. и отчего она зависит?

Что такое удельная термоэ. д. с.?

Выведите формулу для определения удельной термоэ. д. с.

В чем заключается градуировка термопары?

Выведите формулу для определения погрешности в измерении?

Лабораторная работа 2

Индуктивность

Цель работы: изучение закона электромагнитной индукции, расчет индуктивности короткого соленоида; проверка закона Ома для цепи постоянного и переменного тока с индуктивностью и активным сопротивлением; экспериментальное определение индуктивности короткого соленоида и магнитной проницаемости сердечника.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

1. При любом изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную проводящим контуром, между точками 1 и 2 проводника возникает электродвижущая сила индукции, численно равная скорости изменения магнитного потока (закон Фарадея):

(3.1)

Рис.3.1

Из уравнения (3.1) следует, что поток магнитной индукции может изменяться как при движении контура в стационарном магнитном поле, так и за счет изменения индукции магнитного поля во времени. Знак минус выражает правило Ленца: ток в контуре имеет всегда такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшего этот ток.

В отсутствии внешнего магнитного поля электрический ток: текущий в контуре: создает вокруг себя магнитное поле: индукция которого по закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна току в контуре. Если в контуре протекает переменный ток, то сцепленный с ним магнитный поток будет изменяться во времени и между точками 1 и 2 возникает э. д. с. индукции. Данное явление называется самоиндукцией. Магнитный поток при самоиндукции пропорционален току в контуре

(3.2)

так что закон Фарадея можно записать в следующей форме:

(3.3)

Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура и зависит только от его геометрических размеров. Индуктивность определяется из закона Био-Савара-Лапласа в результате интегрирования по длине проводящего контура l с учетом выражения (3.2) для потока магнитной индукции:

, (3.4)

где Гн/м - магнитная проницаемость вакуума, - радиус-вектор: проведенный из элемента контура в элемент поверхности S, ограниченной данным контуром, индекс "n" означает проекцию векторного произведения на нормаль к поверхности.

2. Получим формулу для расчета индуктивности короткого соленоида, длина которого l соизмерима с его радиусом (рис.3.2).

Рис.3.2

Индукция магнитного поля в точке 0 на оси соленоида, создаваемая участком намотки пропорциональна числу витков на данной длине:

, (3.5)

где - индукция, создаваемая одним витком, - число витков на единице длины. В соответствии с законом Био-Савара-Лапласа ток, протекающий в элементе проводящего контура, создает в точке 0 индукцию

(3.6)

Интегрируя уравнение (3.6) по длине витка, получаем выражение для индукции магнитного поля, создаваемую одним витком:

(3.7)

В результате интегрирования уравнения (3.5) по всем значениям в интервале от до - и замены переменных , получаем следующее выражение для индукции магнитного поля на оси соленоида:

(3.8)

При вычислении индукции магнитного поля реального соленоида необходимо учитывать не только зависимость от , но и неоднородность поля по сечению соленоида. Для расчета индуктивности короткого соленоида, магнитная индукция которого зависит от его сечения, можно использовать приближенную формулу:

(3.9)

Для длинного соленоида (>>) формула (3.9) существенно упрощается и имеет следующий вид:

(3.10)

Индуктивность катушки, заполненной магнетиком с магнитной проницаемостью, рассчитывается по формулам:

(3.11)

(3.12)

3. Определим величину переменного тока в цепи, состоящей из катушки индуктивности с активным сопротивлением , подключенной к источнику переменного напряжения .

Рис.3.3

В соответствии с формулами (4.11) и (4.12) этот ток изменяется по закону

(3.13)

Амплитуда тока и фаза определяются амплитудой, параметрами цепи , и частотой :

(3.14)

Из (3.14) следует, что ток в цепи отстает по фазе от приложенного напряжения на угол , который зависит от параметров цепи и частоты:

, (3.15), где

- полное электрическое сопротивление цепи.

Зависимость амплитуды тока от выражает закон Ома для цепи переменного тока. Если =0, то по цепи течет постоянный ток, для которого

(3.16)

Методика эксперимента

Экспериментальная установка состоит из двух источников постоянного и переменного токов: регулировка которых осуществляется потенциометром . Измерения токов и осуществляется амперметром .

Рис.3.4

Вольтметр измеряет напряжение на катушке индуктивности.

В установке предусмотрены элементы, позволяющие измерять одним и тем же прибором характеристики переменного и постоянного тока.

Порядок выполнения работы

1. В положении переключателя "" осуществить проверку закона Ома для цепи постоянного тока. При различных положениях ручки потенциометра зарегистрировать ток и напряжение на активном сопротивлении катушки.

2. Снять зависимость тока в цепи переменного тока от напряжения на катушке в положении "" переключателя.

3. Аналогичные измерения в п.2 провести для катушки со стальным сердечником, который ввинчивается в катушку индуктивности на правой панели прибора.

Обработка результатов эксперимента

1. На основании результатов измерений определить величину активного сопротивления , используя метод наименьших квадратов для линеаризации функции :

, (3.17), где (3.18)

где N - число измерений и .

2. Используя метод наименьших квадратов, аналогичным образом определить :

(3.19)

3. Вычислить индуктивность катушки без сердечника:

(3.20)

4. Вычисления п. п.1-3 повторить для катушки с сердечником и найти .

5. Определить магнитную проницаемость сердечника, используя формулу:

(3.21)

6. Рассчитать индуктивность катушки по формуле (3.11), используя известные геометрические размеры соленоида. Сравнить теоретические и экспериментальные результаты.

Расчет погрешностей

1. Расчет погрешности определения активного сопротивления катушки.

Вычисление активного сопротивления катушки r_L и случайной составляющей по имеющейся зависимости Напряжения U от тока I осуществляется с помощью метода наименьших квадратов. При этом уравнение линейной регрессии имеет вид , где A - угловой коэффициент наклона прямой, проходящей через начало координат. Этот коэффициент находиться по формуле (II.8), где x_i=I_i, y_i=U_i, A=r_L.

Погрешность определения углового коэффициента A находится из соотношения (II.9).

Здесь необходимо также учесть приборные погрешности определения активного сопротивления по формуле:

где - класс точности амперметра, - класс точности вольтметра.

Суммирование случайной и систематической погрешности осуществляется по формуле (II.10):

2. Расчет погрешности определения полного сопротивления катушки.

Вычисление z и по имеющейся зависимости амплитудного значения напряжения U_m от амплитудного значения силы тока I_m в цепи осуществляется аналогично тому, как это делалось в случае постоянного тока, с помощью метода наименьших квадратов по формулам (II.8), (II.9), где x_i=I_mi, y_i=U_mi, A=Z. Учет приборной погрешности

позволяет определить полную погрешность, что дает:

3. Определение индуктивности и погрешности индуктивности катушки.

Формула для определения индуктивности:

Абсолютная погрешность определяется как погрешность косвенного измерения, что дает:

Вопросы для самопроверки

Определите зависимость индукции магнитного поля в произвольной точке пространства от тока, протекающего по проводнику.

В чем заключаются отличия э. д. с. индукции от э. д. с. самоиндукции?

Как зависит э. д. с. самоиндукции от геометрических размеров контура с током?

Вычислите индуктивность бесконечного соленоида.

Как определяется полное сопротивление индуктивности при переменном токе?

Получите формулу для определения индукции магнитного поля в коротком соленоиде.

В каком порядке производятся теоретические и экспериментальные исследования?

Лабораторная работа 3.

RLC - КОНТУР

Цель работы: изучение электромагнитных колебаний в последовательном RLC - контуре; исследование затухающих колебаний; снятие резонансных кривых; определение добротности полосы пропускания, резонансной частоты и декремента затухания; сравнение теоретических и экспериментальных кривых.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Рис.4.1

Конденсатор C, катушка индуктивности L и активное сопротивление R, соединенные последовательно, образуют колебательный RLC - контур. Электрические колебания в контуре возбуждаются в результате периодического обмена между энергией электрического поля конденсатора и энергией магнитного поля катушки индуктивности , где q и C - заряд и емкость конденсатора, - ток в контуре, L - индуктивность катушки. В результате протекания тока в контуре на активном сопротивлении R выделяется тепловая энергия, приводящая к потере энергии электрических колебаний. Заряд, сосредоточенный на обкладках конденсатора в начальный момент времени t₀=0, уменьшается с течением времени и создает ток в контуре, изменяющийся во времени. Величину тока, протекающего в цепи при разряде, можно определить из закона Ома для неоднородного участка контура:

(4.1)

Сила тока равна скорости изменения заряда, так что (4.1) эквивалентно дифференциальному уравнению второго порядка

, (4.2)

где введены обозначения: ,

Решение уравнения (4.2) представим в виде линейной комбинации

, (4.3)

₁, ₂ - корни характеристического уравнения .

Из приведенной зависимости следует, что при выполнении неравенства , заряд быстро затухает во времени и колебания в контуре отсутствуют. Такой процесс называется апериодическим. Колебания в контуре существуют только при выполнении условия . Применяя формулу Эйлера для комплексных величин, заменим выражение (4.3) на сумму гармонических функций:

(4.4)

где , - собственная частота затухающих колебаний в контуре. Заряд q принимает только вещественное значение, так что величины A и B могут быть только сопряженными комплексными числами. Результирующую зависимость заряда от времени t можно определить в виде:

, (4.5)

где q₀ и - произвольные постоянные, имеющие смысл амплитуды колебаний в момент времени t=0, - начальная фаза.

Отношение характеризует быстроту уменьшения амплитуды колебаний и называется коэффициентом затухания. При =0 уравнение (4.2) описывает незатухающие колебания в контуре, причем определяет частоту собственных колебаний. Графики зависимости заряда от времени при различных значениях коэффициента затухания, представлены на рис.4.2

а) , б) , в)

Рис.4.2

В соответствии с видом функции (4.5), изменение заряда во времени можно рассматривать как гармоническое колебание частоты ₁ с амплитудой, изменяющейся по закону . Отношение амплитуд в моменты времени, отличающиеся друг от друга на величину периода T, называется декрементом затухания, а его логарифм - логарифмическим декрементом затухания и обозначается символом :

(4.6)

Логарифмический декремент затухания характеризует колебательную систему и имеет определенный физический смысл. За время , в течение которого амплитуды a (t) уменьшается в e раз, система совершает колебаний. Из условия следует, что , так что логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, совершаемых за время, в течение которого амплитуда уменьшается в e раз.

Для характеристики колебательной системы часто используют величину

, (4.7)

которую называют добротностью колебательной системы.

Периодическая во времени внешняя э. д. с., включенная в последовательный контур, создает в нем вынужденные колебания.

Суммируя напряжение с э.д.с. самоиндукции, получаем из (4.1) уравнение для определения заряда:

(4.8)

Общее решение уравнения (4.8) равно сумме общего решения однородного уравнения при ₀=0 и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения определяется формулой (4.5) и затухает с ростом времени. Частное решение уравнения (4.8) найдем методом комплексных амплитуд. В соответствии с данным методом, представим уравнение в виде реальной части комплексного уравнения

, (4.9)

решение которого имеет вид:

, (4.10)

где .

Производная по времени от реальной части Y позволяет получить гармоническую зависимость тока в цепи от времени t:

, (4.11)

где , , (4.12)

Из последних уравнений следует, что ток отстает по фазе от приложенной внешней э. д. с. на угол , причем амплитуда тока достигает максимального значения при условии равенства частоты собственных колебаний в контуре ₀ частоте внешней э. д. с. В этом случае ток колеблется в фазе с приложенной э. д. с. Указанное условие называется резонансом напряжений. Резонансные кривые зависимости амплитуды тока от частоты внешней э. д. с. представлены на рис.4.3а и характеризуются полосой пропускания контура при токе . Связь между добротностью Q и полосой пропускания устанавливается соотношением:

(4.13)

Из уравнения (4.13) и графиков зависимости амплитуды тока от частоты следует, что с ростом сопротивления контура (активного R) добротность колебательной системы уменьшается. Рис.4.3б иллюстрирует зависимость тангенса угла от частоты.

а) б)

Рис.4.3

Методика эксперимента

Рис.4.4

Экспериментальная установка содержит последовательный RLC - контур, изменение элементов которого осуществляется переключателями П1 и П2. Режим работы задается переключателем П3: в положении "ПЕР" - исследуются периодические затухающие и незатухающие колебания; в положении "АПЕР" - апериодический процесс. Подключение внешних источников э. д. с. - генератора синусоидальных колебаний Г1 и генератора импульсов Г2 осуществляется кабелями через разъемы, расположенные на передней панели блока. Возможно использование одного генератора с двумя каналами выхода синусоидальных и импульсных колебаний.

В качестве регистрирующего прибора используется осциллограф, подключенный кабелем к разъему "ОСЦ" на передней панели блока. Градуировка вертикальной развертки осциллографа осуществляется с учетом активного сопротивления нагрузки на его входе , i=1,2,3. Калибровочное напряжение с соответствующего выхода осциллографа U_k или от внешнего генератора Г1 подается на вход и определяется масштаб вертикальной оси, равной отношению амплитуды сигнала к числу делений U_k/Y_k (В/дел). Пересчет этого масштаба в величину отношения тока i₀ в цепи к числу делений y сигнала (А/дел) осуществляется по формуле:

(4.14)

Калибровка горизонтальной оси времени осуществляется аналогичным образом: импульс определенной длительности с выхода генератора Г2 подается на вход осциллографа, регулировкой длительности развертки находится стабильная картина, определяется длительность импульса в делениях масштабной сетки x_k и по ней определяется масштаб горизонтальной развертки:

(4.15)

В отдельных моделях осциллографов соответствующие масштабы указаны на делителях вертикального и горизонтального отклонения, так что операции калибровки осей не производятся. Суммарное активное сопротивление контура зависит от положения переключателя П2:

(4.16)

Из формулы (4.12) следует, что при резонансе для двух значений активных сопротивлений контура выполняется закон Ома:

из которого получает формулу для расчета активного сопротивления индуктивности:

, (4.17)

Порядок выполнения работы

I. Экспериментальное исследование вынужденных колебаний.

Включить все электронные блоки установки, откалибровать вертикальную и горизонтальную развертки осциллографа или выбрать соответствующий масштаб с помощью делителей.

Подключить кабелем к установке генератор синусоидальных колебаний Г1, задать напряжение на его входе и при дальнейших измерениях его не менять.

Переключатель П3 поставить в положение "ПЕР", задать переключателем П1 величину C₁, а переключателем П2 - значение сопротивления нагрузки R₁. Изменяя частоту колебаний верньером генератора, снять зависимость U на входе осциллографа в делениях масштабной сетки от частоты .

Изменить переключателем П2 сопротивление R₁ на R₁+R₂ и проделать измерение п.3.

Изменить переключателем П2 сопротивление на R₁+R₂+R₃ и проделать измерение п.3.

Аналогичные измерения п.3, 4, 5 можно проделать в положении переключателя П1 - "C₂".

II. Исследование затухающих колебаний.

Подключить генератор импульсных колебаний Г2 и задать длительность, амплитуду и период повторения импульсов, переключателем на панели генератора.

Делителем горизонтальной развертки добиться устойчивой картины затухающих колебаний.

В положении переключателей П3 "ПЕР", П1 - "C₁", для значения активного сопротивления, устанавливаемого переключателем П2, измерить амплитуду затухающих колебаний в делениях вертикальной масштабной сетки через период для 10 периодов и длительность одного периода в делениях горизонтальной масштабной сетки.

Изменить переключателем П2 сопротивление R₁ на R₁+R₂ и проделать измерение п.3.

Изменить переключателем П2 сопротивление на R₁+R₂+R₃ и проделать измерение п.3.

Аналогичные измерения п.3, 4, 5 можно проделать в положении переключателя П1 - "C₂".

III. Апериодический процесс.

Для наблюдения апериодического процесса переключатель П1 установить в среднее положение "0", а переключатель П3 - в положение "АПЕР".

Переключателем П2 задать значение сопротивления нагрузки R₁ и скопировать на кальку кривую с экрана осциллографа.

Переключателем П2 изменить сопротивление на R₁+R₂ и проделать те же измерения, что и в п.1.

Переключателем П2 изменить сопротивление на R₁+R₂+R₃ и выполнить задание п.1.

Обработка результатов эксперимента

1. По формуле (4.14) определить масштабы вертикальной сетки осциллографа для различных сопротивлений нагрузки, пересчитать зависимости, полученные в п.3,4,5 с учетом этого масштаба и построить резонансные кривые контура.

2. По резонансным кривым определить:

а) резонансную частоту _рез;

б) полосу пропускания на высоте для различных значений сопротивлений нагрузки;

в) для различных сопротивлений нагрузки определить добротность контура по формуле:

(4.18)

г) по формуле (4.17) вычислить величину активного сопротивления индуктивности;

д) по формуле (4.16) вычислить полное активное сопротивление контура;

е) построить зависимость добротности контура от величины ее обратного активного сопротивления . Провести через точки прямую линию и найти тангенс угла ее наклона к оси ;

ж) по формуле , рассчитать значение и сравнить с экспериментальной величиной, определенной в разделе 2е;

з) проверить закон Ома при резонансе, для чего по резонансным кривым построить зависимость ;

и) провести через полученные точки прямую, параллельную оси абсцисс, и найти амплитудное значение внешней э. д. с.

3. Используя полученные данные по формуле (4.12), рассчитать теоретические резонансные кривые и сравнить с полученными экспериментальными данными (п.1 раздел "обработка результатов").

4. По формулам (4.14) и (4.15) определить масштабы вертикальной и горизонтальной сеток осциллографа для различных сопротивлений нагрузки и построить кривые затухания по результатам раздела II п.3,4,5.

5. По кривым затухания определить:

а) период и частоту затухающих колебаний для различных сопротивлений нагрузки;

б) по формуле

(4.19)

по известным значениям параметров контура рассчитать период затухающих колебаний и сравнить с экспериментальными значениями;

в) по формуле

(4.20)

рассчитать несколько значений логарифмического декремента затухания для различных сопротивлений контура и найти среднее значение для каждого значения R;

г) по формуле

(4.21)

рассчитать зависимость постоянной затухания от сопротивления контура и построить эту зависимость; через точки провести прямую и найти тангенс угла ее наклона к оси R;

д) по формуле рассчитать значение и сравнить с экспериментальной величиной, определенной в разделе 5г.

6. Для каждой кривой затухания, полученной в разделе III по формулам

, (4.22)

рассчитать значения и и сравнить с экспериментальными данными. Выявить случаи, когда . Объяснить характер кривых.

Расчет погрешностей

1. Рабочая формула для расчета добротности RLC-контура:

(4.18)

Здесь при расчетах следует учесть, что погрешность определения резонансной частоты _рез и полосы пропускания () следует считать равной суммарной приборной погрешности установки частоты генератора и погрешности определения амплитуды осциллографом, равной в нормальных условиях эксплуатации _осц= 5%, так что

, (4.23)

где , - значение частоты в Гц, устанавливаемое на лимбе генератора. На основании (4.13) по методике расчета косвенных погрешностей получим следующую формулу для Q:

,,

Расчет Q и Q проводится для каждого значения сопротивления нагрузки.

2. Рабочие формулы для расчета активного активного сопротивления катушки индуктивности:

,

Расчет погрешности осуществляется на основании формулы (4.17) и методики расчета погрешности косвенного измерения, в результате чего получаем:

, (4.24)

где - погрешность измерения амплитуды осциллографом в нормальных условиях эксплуатации.

Зависимость (4.24) получена при условии, что номиналы сопротивлений R₁ и R₂ заданы точно. Поэтому погрешность определения суммарного сопротивления контура, вычисляемого по формуле: , равна погрешности , т.е. R=r_L, а погрешность обратного сопротивления

.

3. Вычисление постоянной A в зависимости добротности контура от величины обратного сопротивления контура осуществляется методом наименьших квадратов для случая, когда прямая проходит через начало координат, используя формулу (II.8), где , .

Рабочая формула:

Погрешность определения углового коэффициента A находится из соотношения (II.9).

4. Рабочая формула для проверки закона Ома при резонансе:

, (4.25)

Вычисление погрешности определения среднего значения э. д. с. осуществляется по методике расчета случайной погрешности, используя формулы (II.1) - (II.3), где , .

5. Погрешность определения периода затухающих колебаний складывается из случайной погрешности T_сл многократного измерения по кривым затухания и систематической погрешности определения времени по осциллографу, равной в нормальных условиях работы . Поэтому результирующая погрешность, рассчитанная по методике определения полной погрешности:

(4.26)

Величина T_сл рассчитывается по методике определения случайной погрешности прямых многократных измерений с использованием формул (II.1) - (II.3), где , .

6. Вычисление среднего значения логарифмического декремента затухания и погрешности его определения осуществляется по методике определения случайной погрешности, используя формулы (II.1) - (II.3), где , , а вычисляется по формуле:

7. Рабочая формула для определения постоянной затухания

(4.29)

На основании (4.29) по методике определения погрешности косвенного измерения получим:

,

Расчет погрешности и среднего производится для каждого значения R.

8. Рабочие формулы для расчета углового коэффициента А в зависимости коэффициента затухания от величины сопротивления контура R:

.

Вычисление А и А осуществляется методом наименьших квадратов по формулам (II.4) - (II.7), где , .

Вопросы для самопроверки

Какими физическими процессами можно описать электрические колебания, возникающие в контуре?

Сформулируйте уравнения затухающих и вынужденных колебаний в контуре.

Как определить разность фаз между током в контуре и внешней э. д. с.?

Что такое векторная диаграмма напряжений и токов? Какой вид она имеет при вынужденных колебаниях в RLC - контуре?

Определите резонансные частоты тока и напряжения на емкости при резонансе.

Сформулируйте понятия логарифмического декремента затухания и добротности контура. Как связаны данные величины между собой?

Перечислите последовательность обработки результатов эксперимента и порядок выполнения работы.

Лабораторная работа 4

Эффект Холла

Цель работы: изучение эффекта Холла в полупроводнике; исследование зависимости э. д. с. Холла от напряженности внешнего магнитного поля (градуировка датчика Холла); определение постоянной Холла, концентрации и подвижности носителей заряда в полупроводнике; исследование распределения магнитного поля по оси короткого соленоида; сравнение с теоретической зависимостью.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

Эффектом Холла называется явление возникновения поперечной разности потенциалов в металле или полупроводнике между точками на прямой, перпендикулярной вектору индукции магнитного поля и направлению вектора плотности тока . Поперечная разность потенциалов обусловлена магнитной составляющей силы Лоренца, действующей на движущийся со скоростью заряд:

(6.1)

Рассмотрим действие магнитного поля на полупроводник по которому течет ток. Пусть полупроводник имеет форму параллелепипеда сечением и длиной a. Электрическое поле направим вдоль оси x, магнитное поле вдоль оси y.

а) б)

Рис 6.1

При включении электрического поля в полупроводнике протекает ток с плотностью

(6.2)

где - коэффициент электропроводности.

Под действием электрического поля носители заряда получают скорость направленного движения - дрейфовую скорость - против поля для электронов (Рис.6.1 а) и по полю для дырок (Рис.6.1 б). При включении магнитного поля на электроны и дырки действует сила , определяемая выражением (6.1), перпендикулярная и . Из уравнения движения носителей заряда следует, что за время между двумя соударениями электроны и дырки приобретают скорость

(6.3)

С учетом (6.3), получаем для силы F выражение

, (6.4)

из которого следует, что сила Лоренца не зависит от знака носителей заряда и действует в направлении перпендикулярном и (6.4).

В результате действия силы отрицательные заряды отклоняются к верхней грани, а на нижней появляется их недостаток - положительный заряд (Рис.6.1 а). Аналогично осуществляется перераспределение положительных зарядов (Рис.6.1 б). Противоположные грани образца заряжаются и возникает электрическое поле. Это поле носит название поля Холла. Направление поля Холла зависит от знака носителей заряда. До наложения на образец магнитного поля эквипотенциальные поверхности представляли плоскости, перпендикулярные вектору . Величина будет расти до тех пор, пока поперечное поле не скомпенсирует силу Лоренца (6.4). После этого носители заряда будут двигаться как бы под действием одного поля , и траектория движения будет представлять собой прямую линию вдоль оси x. Суммарное электрическое поле будет повернуто на некоторый угол относительно оси x или y.

Таким образом в ограниченном полупроводнике или металле поворачивается вектор электрического поля и между и возникает угол , называемый углом Холла. Эквипотенциальные поверхности при этом повернуты на угол относительно их первоначального положения, поэтому в точках, лежащих в одной плоскости, перпендикулярной появляется разность потенциалов , которая называется холловской разностью потенциалов.

Холл экспериментально определил, что зависит от плотности тока, индукции магнитного поля и свойств образца. Свойства образца определяются некоторой величиной R, называемой коэффициентом Холла. Четыре величины , , и R связаны эмпирическим соотношением:

(6.5)

Коэффициент Холла или постоянная Холла определяется из условия равенства сил:

(6.6)

Из (6.6) следует, что

, (6.7)

где - подвижность носителей заряда.

В соответствии с (6.5), напряженность поля Холла можно определить в виде:

. (6.8)

Сопоставляя (6.7) и (6.8) видим, что

, (6.9)

где n - концентрация носителей заряда в единице объема. Из (6.9) следует, что постоянная Холла обратно пропорциональна концентрации носителей заряда и ее знак совпадает со знаком носителей заряда. Поле Холла (6.8) приводит к появлению э. д. с. Холла V_x, которая с учетом выражения (6.9) и геометрических размеров имеет вид:

, (6.10)

где - ток через датчик.

В реальном кристалле полупроводника носители рассеиваются на примесях и колебаниях решетки. Учет данных процессов для полупроводников с собственной а) и примесной б) проводимостью приводит к следующему выражению для R:

а) , б) , (6.11)

где e - заряд электрона, , - подвижности электронов и дырок, n и p - их концентрации. Знак постоянной Холла позволяет определить тип преимущественной проводимости полупроводника.

Методика эксперимента

Установка содержит механическую систему перемещения датчика Холла вдоль оси соленоида с фиксацией его положения, блок питания БП-1 соленоида, стрелочный прибор для регистрации тока соленоида и электронную схему измерения тока датчика Холла и холловскую э. д. с. (Рис.6.2). При определении э. д. с. Холла следует учесть сопутствующие эффекту Холла гальваномагнитные, термомагнитный и другие эффекты, которые являются четными по полю, то есть не зависят от направления вектора индукции B. Данное обстоятельство используется для их исключения - холловскую э. д. с. измеряют при двух направлениях магнитного поля, изменяя его направление переключателем П1.

Рис.6.2

При прямом направлении поля B⁺ напряжение между холловскими контактами , при обратном , что после вычитания дает:

, (6.12)

то есть V_доб, обусловленное четными эффектами исключено.

Из формулы (6.10) следует, что зависимость э. д. с. Холла от индукции магнитного поля V_x (B) имеет линейный характер. Поэтому тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс, вдоль которой ориентирована индукция поля, определим в следующем виде:

(6.13)

Равенство (6.13) позволяет вычислить постоянную Холла:

(6.14)

В реальных кристаллах постоянная Холла зависит от концентрации по закону, определяемому соотношением (6.11а), из которого можно определить с учетом (6.14) концентрацию носителей заряда в единице объема:

. (6.15)

В положении переключателя "ПРОВ" определяется удельное электрическое сопротивление кристалла датчика по измеренному падению напряжения V к величине тока i:

(6.16)

Так как плотность тока , где - подвижность носителей тока и , то

(6.17)

Порядок выполнения работы

Эксперимент осуществляется в следующей последовательности. В положении переключателя П1 - "0" и П2 - "ПРОВОД" снять зависимость тока через датчик Холла от разности потенциалов. Изменение напряжения осуществляется потенциометром R. Переключатель "П2" перевести в положение "V_x". Потенциометром R задать ток через датчик и измерить э. д. с. Холла при изменении магнитного поля соленоида в прямом и обратном направлении. Изменение знака поля осуществляется переключателем "Н ^- 0-Н⁺". Для этого датчик поместить в любую точку на оси соленоида (обычно в центре), для которой известна зависимость индукции поля от тока через соленоид, регулируемого потенциометром R_c.Э. д. с. Холла найти в результате двух измерений по формуле (6.12). Измерения повторяются несколько раз при других значениях тока через датчик Холла. Далее снять распределение поля по оси соленоида в положении переключателя П2 - "V_x".

Обработка результатов эксперимента

1. Определение удельного сопротивления датчика.

Построить зависимость разности потенциалов V от тока i через датчик Холла по экспериментальным точкам по методу наименьших квадратов:

, (6.18), где , (6.19)

i_n и V_n - измеренные значения тока и разности потенциалов в положении переключателя П1 - "0", N - число измерений. Удельное сопротивление датчика определяется по формуле: