Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Решение скалярного и векторного волновых уравнений в круговой цилиндрической системе координат

2. Дифракция упругих волн на круговом отверстии

2.1 Плоская волна расширения

2.2 Плоская волна сдвига

3. Реализация на ЭВМ

Заключение

Список литературы

Приложение

ВВЕДЕНИЕ

Развитие различных областей техники и создание новых конструкций, работающих при динамических нагрузках, разработка новых композитных материалов и внедрение их при создании новых инженерных сооружений, современные задачи геофизики и сейсмологии, а так же ряд других тенденций научно-технического характера способствовали повышения актуальности проблем динамики деформируемых тел.

К числу наиболее сложных и актуальных с точки зрения приложений проблем динамики деформируемых тел относится проблема дифракции упругих волн на различного типа неоднородностях. В то же время задачи дифракции упругих волн на неоднородностях входят в состав классических задач динамики деформируемых тел, а их решение требует привлечения сложного математического аппарата.

Задача дифракции упругих волн на круговом отверстии является одним из простейших видов описанных видов задач.

1. Решение скалярного и векторного волновых уравнений в круговой цилиндрической системе координат

Ниже приведены решения скалярных и векторных волновых уравнений для установившихся волновых движений в цилиндрической системе координат, в которой допустимо разделение переменных и которые используются в последующем при изучении дифракционного процесса. Даны основные свойства используемых специальных функций. Рассмотрим решение скалярного и векторного волновых уравнений в круговой цилиндрической системе координат ( r, , x₃ ). Скалярное уравнение для установившихся волн имеет вид

(1.1)

.	(1.2)

Решая это уравнение методом разделения переменных, получаем его однозначное частное решение

	(1.3)

где h - постоянная разделения.

В решении (1.3) через b_n обозначена одна из цилиндрических функций: I_n - функция Бесселя I рода; N_n - функция Неймана; H_n⁽¹⁾⁽²⁾ = I_n iN_n - функция Ханкеля I и II рода. Если волновое число мнимое, то в решение входят модифицированные функции Бесселя I_n или функции Макдональда K_n. Суммируя частные решения (1.3) и учитывая линейность уравнения (1.2), приходи к общему решению уравнения



,	(1.4)

В котором A_n(h) - произвольная величина, зависящая от постоянной разделения. Когда периодично по оси Ox₃, то решение (1.4) принимает вид

В двумерном случае, когда = ( r, ), уравнение (1.2) представляется в виде

,	(1.5)

Где A_n - произвольные постоянные.

При использовании цилиндрической функции I_n получаем регулярные на оси Ox₃ решения (1.4), (1.5). В случае бесконечной двумерной области для получения единственности решения уравнения (1.1) необходимо выполнение условий излучения

;

.

В случае векторного уравнения



	(1.6)

векторное поле можно представить в виде суммы трех векторных полей

	(1.7)

в которой L - продольная часть вектора , M и N - косательная и нормальная части вектора к поверхности x₃ = const. При этом

	(1.8)
	(1.9)
	(1.10)

Из соотношений (1.6) - (1.10) следует, что векторное поле определяется через три скалярные функции ₁, ₂, ₃, каждая из которых удовлетворяет скалярному волновому уравнению

.

Остановимся кратко на свойствах цилиндрических функций b_n, входящих в решение (1.4), (1.5). Они удовлетворяют рекуррентным соотношениям

;

;

,

.

При n для | z | << | n | имеют место асимптотики

;

,

а также

; .	(1.11)

Выражения (1.11) справедливы также при любом фиксированном n 0, когда z 0.

Если n = 0, то

;

.

Для функции Бесселя I_n(z) при любых порядках n 0 и аргументах выполняется неравенство

.

Функция Ханкеля для x > 0 с увеличением индекса n монотонно возрастает по модулю

.

Для функций Макдональда K_n(x) справедливо неравенство

из которого следует, что

Для функции Ханкеля при x >> n справедливы асимптотические представления

;

.

В случае, когда зависимость от времени задается множителем , условиям излучения ( со знаком минус ) удовлетворяют решения (1.4), (1.5) с H_n(1), и они представляют волну, уходящую на бесконечность.

Пусть имеются две различные полярные системы координат (r_q, _q) и (r_k, _k), у которых полярные оси одинаково направлены. Координаты O_k в q-й системе будут R_kq, _kq, так что выполняется равенство

.

Тогда теоремы сложения имеют вид



; .	(1.12)

Формулу (1.12) дают возможность преобразовать решение волнового уравнения из одной системы координат в другую.

Приведем для определения перемещений и напряжений через и в трехмерном случае

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;	(1.13)

Если упругое тело находится в условиях плоской деформации, то напряженно-деформированное состояние определяется по формулам

; ; ;	(1.13')

2. Дифракция упругих волн на круговом отверстии

В данном разделе изложены результаты исследования напряженно-деформированного состояния в окрестности кругового отверстия. Рассматриваются установившиеся волновые движения упругого тела. В качестве действующих нагрузок рассмотрены плоские волны расширения и сдвига. Исследования ведутся в рамках плоской задачи теории упругости ( плоская деформация, обобщенное плоское напряженное состояние ). Переход от уравнений плоской деформации к уравнениям обобщенного плоского напряженного состояния осуществляется посредствам замены постоянной Ламме и на величины

,

.

Отметим, что в случае обобщенного плоского напряженного состояния компоненты упругого перемещения принимаются не зависящими от координаты пластины по толщине. Это означает, что уравнения обобщенного плоского напряженного состояния не содержат форм колебаний пластины по толщине, и, следовательно, рассматриваемые частоты, должны быть значительно ниже, чем частоты таких колебаний. Наиболее низкие круговые частоты колебаний растяжения по толщине и колебаний среза по толщине определяются формулами

;

,

где h - толщина пластины, - плотность материала. Кроме того в следствии опущения сложных побочных видов колебаний требуется, что бы длина волны была велика по сравнению с толщиной пластины.

2.1 Плоская волна расширения

Плоская гармоническая волна расширения с круговой частотой движется в безграничной тонкой упругой пластине с круговым отверстием. Встречаясь с его поверхностью, падающая волна порождает отраженные волны расширения и сдвига. Совокупное волновое поле создает напряженно-деформированное состояние окрестности отверстия. Для его определения требуется найти решение уравнения Гельмгольца

	(2.1)

при граничных условиях на поверхности отверстия

	(2.2)
	(2.3)

На бесконечности должны выполняться условия излучения для потенциалов отраженных волн. Здесь ₀ и - волновые потенциалы волн расширения и сдвига; - компоненты напряженного сотояния в падающей волне; - компоненты напряженного сотояния, обусловленного отраженными волнами; R - радиус отверстия; - двумерный оператор Лапласа;



- скорости распространения волн расширения и сдвига в бесконечной тонкой упругой пластине. Смещения и напряжения выражаются через потенциалы и формулами (1.13').

рис. 2.1.

Волновой потенциал плоской волны расширения имеет вид (рис. 2.1):

	(2.4)

Здесь - волновое число; - круговая частота; - длина волны.

Выражение (2.4) можно представить в полярных координатах отверстия r, посредствам ряда



	(2.5)

где I_n - функция Бесселя.

Общее решение волновых уравнений (2.1), представляющее отраженные волны ( их потенциалы удовлетворяют условиям излучения при r ), имеет вид

Здесь A_n, B_n - неопределенные коэффициенты; H_n⁽¹⁾ - функция Ханкеля первого рода.

Постоянные A_n, B_n - вычисляются из граничных условий (2.2). Суммарное волновое поле в пластине определяется потенциалами . Выражения для напряжений и смещений имеют вид

;
;
;
;
;

Здесь

,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.

На контуре отверстия _rr = _r = 0 и является главным напряжением,

,	(2.6)

где

,

.

Выражение (2.6) дает возможность исследовать напряжение для длинных и коротких волн. Если длина падающей волны очень велика, то a 0, a 0.

Цилиндрические функции Ханкеля при малых значения аргумента имеют следующие математические представления:

.

Тогда в формулах (2.6)

,

,

Следовательно при очень больших длинах волн

.

Полученное выражение соответствует решению статической задачи. Отметим, что волновой потенциал падающей волны (2.4) обусловливает двухосное начальное напряженное состояние.

Короткие волны можно рассматривать, устремляя к бесконечности нормализованное волновое число a. Можно убедиться, что при a . Физически это вполне объяснимо, так как, когда радиус отверстия становится неограниченно большим по сравнению с длиной волны, граница отверстия приближается к плоской. В этом случае падающая волна отражается нормально, давая нулевые напряжения на поверхности.

Конкретные вычисления проводятся на базе суммирования ряда (2.6). Для напряжения получаем выражение

,

Действительная часть R дает напряжение при t = 0; в этот момент в точке напряжение в падающей волне достигает максимума. Мнимая часть I дает напряжение при , где - период колебаний в падающей волне; в этот момент напряжения, возбужденные падающей волной, равны нулю при . Абсолютное значение есть максимальное главное напряжение; - фазовый угол.

Для приведенных ниже результатов в рассмотренном диапазоне частот достаточно удержания 16 членов ряда (2.6) для достижения точности 10^-5.

Рис. 2.2.

Рис. 2.3.



Рис. 2.4.

Рис. 2.5.

На рис. (2.2.) - (2.4.) показана зависимость динамического напряжения ( здесь ₀ = - ²A - амплитуда напряжения _xx в падающей волне ) на контуре отверстия от волнового числа a для значений коэффициента Пуассона v = 0,15; 0.45 при t = 0 (a) и (б). Графики построены для трех точек: = 0 (рис. 2); (рис. 3); (рис. 4).

Если рассматривать начальное напряженное состояние в виде



;

И сложить его с напряженным состоянием, обусловленным падающей волной (2.5), получим суммарное начальное напряженное состояние, которое при сводится к статическому одноосному состоянию

;

Следовательно отношение есть динамический коэффициент концентрации напряжений для одноосного начального напряженного состояния. На рис. 2.5. показана его зависимость от волнового числа a. Как видно из рисунка, наибольшее значение коэффициента концентрации напряжений достигается примерно при a = 0,25 и его абсолютное значение равно примерно 3,30. Отношение максимального динамического коэффициента к статическому составляет примерно 1,10.

Приведенные результаты получены для бегущей волны (2.5). Если к волне (2.4) добавить волну той же амплитуды и длины, но движущуюся в противоположном направлении, то пластина будет возбуждаться стоячими волнами вида

, .	(2.7)

Чтобы определить напряжение в пластине, разложим ⁰ из (2.7) в ряд, содержащий только действительную часть (2.5) или четные n. Тогда напряжение определяется уравнением (2.6), в котором n принимает четные значения. При напряжения, обусловленные стоячими волнами, будут такими же как и показано на рис. 2.2.

2.2 Плоская волна сдвига

Плоская гармоническая волна сдвига движется в направлении оси Ox. Встречая на своем пути круговое отверстие в пластине (см. рис. 1), падающая волна порождает отраженные волны расширения и сдвига. Их совокупность обуславливает напряженно-деформированное состояние пластины.

Предполагается, что пластина находится в обобщенном плоском напряженном состоянии. Потенциал плавающей волны сдвига имеет вид

,	(2.8)

где A - амплитуда волны; - круговая частота; - волновое число сдвиговых волн. При прохождении волны (2.8) частицы среды испытывают перемещение в плоскости пластины в направлении, перпендикулярном направлению распространения заданной волны. Требуется найти решение уравнения Гельмгольца (2.1) при граничных условиях на контуре свободного отверстия радиуса a

	(2.9)

и условиях излучения на бесконечности. Волновой потенциал падающей волны (2.8) может быть представлен в полярных координатах полости

Общее решение уравнений (2.1) с учетом условий излучения имеет вид

Произвольные постоянные A_n, B_n определяются из граничных условий (2.9). В результате, неравное нулю на контуре отверстия нормальное напряжение выражается следующей формулой

	(2.10)

Где

.

Смещения u и v имеют вид

,

Если устремить a к нулю и воспользоваться асимптотикой цилиндрических функций для малых значений аргумента, нетрудно убедиться в том, что с ростом длины волны решение (2.10) приближается к статическому решению для пластинки в состоянии чистого сдвига с напряжением .

Рис. 2.6.

Рис. 2.7.



Рис. 2.8.

Числовые результаты получены суммированием ряда (2.10) с прекращением вычислений по достижению точности 10^-4. На рис. 2.6. показано распределение напряжения по поверхности отверстия для a = 0,1; 1,0; 1,5 при v = 0,25. Следует отметить, что при a = 0,1 распределение напряжений почти такое же, как и в статическом случае, тогда как при более высоких волновых числах распределение напряжений значительно отличается от статического случая. Напряжение здесь и на последующих рисунках отнесено к ₀ и таким образом является динамическим коэффициентом концентрации напряжений.

На рис. 2.7., 2.8. показано изменение в зависимости от волнового числа и коэффициента для двух точек полости и . Из рис. 7 видно, что при значении волнового числа порядка 0.50 динамическое напряжение превышает статическое значение примерно на 20%.

3. Реализация на ЭВМ

Программный модуль вычисляет напряжения, в случае плоской волны расширения. Для расчетов используются формулы

;
;
;

Здесь

,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,

Программный модуль позволяет находить значения напряжения в любой точке пластины, в произвольный момент времени t, для указанных характеристик плоской волны расширения и указанного радиуса кругового отверстия.

Текст программного модуля приведен в приложении 1, результаты работы - в приложении 2.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

уравнение волновой поле деформированный

В курсовой работе были рассмотрены уравнения, описывающие совокупное волновое поле, создающее напряженно-деформированное состояние в окрестности кругового отверстия на безграничной тонкой упругой пластине. Решение этих уравнений с краевыми условиями дает возможность выразить потенциалы, напряженности и смещения для плоских волн расширения и сдвига в виде бесконечного ряда, используя цилиндрические функции Бесселя и Ханкеля.

Список литературы

1. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М. Дифракция упругих волн. К., Наук. думка, 1978. - 308 с.

2. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. В 2-х т. Т. 1. М., Изд-во иностр. лит., 1958. - 930 с.

3. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. В 2-х т. Т. 2. М., Изд-во иностр. лит., 1960. - 886 с.

4. Джонс Р., Стюарт Я. Программируем на Си. М.:Компьютер, ЮНИТИ, 1994. - 236 с.

Приложение 1

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

#include <math.h>

#include <complex.h>

#define eps 0.00001

#define steps 10

#define Pi 3.14

double alpha,beta, mu, omega, A,R;

double G(int n)

{

double g=1;

for(int i=1;i<n;i++)

g*=i;

return g;

}

double I(int n, double x)

{

double res=0, add=100;

int m=0;

do

{

add=(pow(-1, m)*pow(x/2,(2*m)+n))/(G(m+1)*G(m+n+1));

res+=add;

m++;

}

while (fabs(add)>eps);

return res;

}

complex H(int n, double x)

{

complex res(0,0);

res = sqrt(2/(Pi*x))*

exp(complex(0,(x-((double)(n+1))*(Pi/4))));

return res;

}

complex D(double n, double r)

{

return complex((n*n + n - 0.5*beta*beta*r*r)*I(n, alpha*r)

- (alpha*r)*I(n-1,alpha*r),0);

}

complex E(double n, double r)

{

return complex(n*(n+1)*I(n, alpha*r) - n*alpha*r*I(n+1,alpha*r),0);

}

complex F(double n, double r)

{

return complex(-(n*n+n-alpha*alpha*r*r+0.5*beta*beta*r*r)*I(n,alpha*r)-alpha*r*I(n-1,alpha*r),0);

}

complex Dm(double n, double r)

{

return (n*n + n - 0.5*beta*beta*r*r)*H(n, alpha*r)

- (alpha*r)*H(n-1,alpha*r);

}

complex e(double n, double r)

{

return n*(n+1)*H(n, alpha*r) - n*alpha*r*H(n+1,alpha*r);

}

complex Fm(double n, double r)

{

return -(n*n+n-alpha*alpha*r*r+0.5*beta*beta*r*r)*H(n,alpha*r)-alpha*r*H(n-1,alpha*r);

}

complex K(double n, double r)

{

return -n*(n+1)*H(n,beta*r)+n*beta*r*H(n-1,beta*r);

}

complex Km(double n, double r)

{

return -(n*n+n-0.5*beta*beta*r*r)*H(n, beta*r)+beta*r*H(n-1,beta*r);

}

complex det2(complex a[4])

{

return (a[0]*a[3])-(a[1]*a[2]);

}

complex det3(complex a[9])

{

complex t[4];

complex res(0,0);

t[0]=a[4];

t[1]=a[5];

t[2]=a[7];

t[3]=a[8];

res+=a[0]*det2(t);

t[0]=a[3];

t[1]=a[5];

t[2]=a[6];

t[3]=a[8];

res-=a[1]*det2(t);

t[0]=a[3];

t[1]=a[4];

t[2]=a[6];

t[3]=a[7];

res+=a[2]*det2(t);

return res;

}

complex det(double n, double r)

{

complex t[4];

t[0]=D(n,r);

t[1]=K(n,r);

t[2]=e(n,r);

t[3]=Km(n,r);

return det2(t);

}

complex detrr(double n, double r)

{

complex t[9];

t[0]=Dm(n,r);

t[1]=D(n,r);

t[2]=K(n,r);

t[3]=Dm(n,r);

t[4]=D(n,r);

t[5]=K(n,r);

t[6]=E(n,r);

t[7]=e(n,r);

t[8]=Km(n,r);

return det2(t);

}

complex detrt(double n, double r)

{

complex t[9];

t[0]=E(n,r);

t[1]=e(n,r);

t[2]=Km(n,r);

t[3]=Dm(n,r);

t[4]=D(n,r);

t[5]=K(n,r);

t[6]=E(n,r);

t[7]=e(n,r);

t[8]=Km(n,r);

return det2(t);

}

complex dettt(double n, double r)

{

complex t[9];

t[0]=F(n,r);

t[1]=Fm(n,r);

t[2]=-K(n,r);

t[3]=D(n,r);

t[4]=D(n,r);

t[5]=K(n,r);

t[6]=E(n,r);

t[7]=e(n,r);

t[8]=Km(n,r);

return det2(t);

}

double en(int n)

{

if (n==0)

return 1;

else

return 2;

}

complex drr(double r, double teta, double t)

{

complex res=0, add=100, prev=0;

int n=0;

do

{

add=((2*mu*A)/(r*r))*en(n)*pow(complex(0,1),n)*(detrr(n,R)/det(n,R))*cos(teta*n)*exp(complex(0,(-omega)*t));

res+=add;

n++;

}

while (n<steps);

return res;

}

complex drt(double r, double teta, double t)

{

complex res=0, add=100, prev=0;

int n=0;

do

{

add=((2*mu*A)/(r*r))*en(n)*pow(complex(0,1),n)*(detrt(n,R)/det(n,R))*cos(teta*n)*exp(complex(0,(-omega)*t));

res+=add;

n++;

}

while (n<steps);

return res;

}

complex dtt(double r, double teta, double t)

{

complex res=0, add=100, prev=0;

int n=0;

do

{

add=((2*mu*A)/(r*r))*en(n)*pow(complex(0,1),n)*(dettt(n,R)/det(n,R))*cos(teta*n)*exp(complex(0,(-omega)*t));

res+=add;

n++;

}

while (n<steps);

return res;

}

void main()

{

clrscr();

double h = 0.1, rho = 100000, c1 = 2, c2 = 1;

A=2;

R=1;

omega = 0.1;

alpha = omega/c1;

beta = omega/c2;

mu = (omega * (h/(2*Pi)))*(omega * (h/(2*Pi)))*rho;

for (int r=1;r<3;r++)

{

for (int t=0;t<3;t++)

{

printf("--------------- t=%d r=%d ---------------\n",t,r);

printf(" d_r_r = %10.7f %10.7fi\n", real(drr(r,Pi,t)), imag(drr(r,Pi,t)));

printf(" d_r_teta = %10.7f %10.7fi\n", real(drt(r,Pi,t)), imag(drt(r,Pi,t)));

printf("d_teta_teta = %10.7f %10.7fi\n", real(dtt(r,Pi,t)), imag(dtt(r,Pi,t)));

}

}

}

Приложение 2

--------------- t=0 r=1 ---------------

d_r_r = -0.2862360 -2.8618209i

d_r_teta = 0.0084582 -2.0247672i

d_teta_teta = -7.7657672 -1.5775293i

--------------- t=1 r=1 ---------------

d_r_r = -0.5705114 -2.8189478i

d_r_teta = -0.1937235 -2.0154963i

d_teta_teta = -7.8844609 -0.7943651i

--------------- t=2 r=1 ---------------

d_r_r = -0.8490864 -2.7479087i

d_r_teta = -0.3939695 -1.9860871i

d_teta_teta = -7.9243756 -0.0032640i

--------------- t=0 r=2 ---------------

d_r_r = -0.0715590 -0.7154552i

d_r_teta = 0.0021146 -0.5061918i

d_teta_teta = -1.9414418 -0.3943823i

--------------- t=1 r=2 ---------------

d_r_r = -0.1426278 -0.7047370i

d_r_teta = -0.0484309 -0.5038741i

d_teta_teta = -1.9711152 -0.1985913i

--------------- t=2 r=2 ---------------

d_r_r = -0.2122716 -0.6869772i

d_r_teta = -0.0984924 -0.4965218i

d_teta_teta = -1.9810939 -0.0008160i

Размещено на Allbest.ru