Задача Кирша. Концентрация напряжений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

17

Содержание

1. Задача Кирша. Актуальность решения

2. Теоретическое решение задачи Кирша

2.1 Плоская задача теории упругости

2.2 Решение Задачи Кирша

2.3 Концентрации напряжений

3. Реальные и численные испытания

3.1 Поляризационно-оптический метод

3.2 Тензометрический метод

3.3 МКЭ

4. Выводы. Соответствие теории практике

5. Применение на практике

6. Список литературы

1. Задача Кирша. Актуальность решения

Один из важнейших предметов исследования теории разрушения - поведение полей напряжений в окрестности концентраторов дефектов и неоднородностей среды, полостей и включений. Широкое практическое приложение имеют задачи о концентрации напряжений возле пор и отверстий в конструкциях и материалах, нередко их можно свести к плоским задачам об упругой плоскости с отверстиями К таким задачам можно отнести, например, задачи о туннелях, скважинах, перфорированных пластинах. В последнее время все больший интерес вызывают материалы, содержащие мезостругауры пор ("сверхрешетки"), как природные (цеолиты), так и возникающие при различных процессах обработки, таких как радиационное облучение, травление, и др. В электронике все более популярными, прежде всего, из-за их уникальных свойств, становятся фотонные кристаллы и пористый кремний Под воздействием механических нагрузок, градиентов температур, в них могут возникать дефекты, трещины, что негативно сказывается на характеристиках материала.

2. Теоретическое решение задачи Кирша

2.1 Плоская задача теории упругости

В плоской задаче теории упругости рассматриваются три случая упругого равновесия тела, имеющих большое значение для практики: плоская деформация, плоское напряженное состояние и обобщенное плоское напряженное состояние. Деформация тел называется плоской, если вектор перемещения любой точки параллелен некоторой плоскости, называемой плоскостью деформации, и не зависит от расстояния рассматриваемой точки до этой плоскости. Напряженное состояние пластинки называется плоским, если вектор напряжения на площадках, параллельных основаниям, равен нулю по всему ее объему. Теперь допустим, что пластинка высотой 1h нагружена по боковой поверхности внешними силами, параллельными основаниям и симметрично распределенными относительно средней плоскости; основания пластинки примем свободными от внешних сил. Крометого, будем считать, что составляющая массовой силы, перпендикулярная средней плоскости пластинки, равна нулю, а две другие составляющие распределены симметрично относительно средней плоскости пластинки. Возникающее в такой пластинке напряженное состояние называется обобщенным плоским напряженным состоянием.[3]

2.2 Решение задачи Кирша

Если сплошная, без отверстия, пластина испытывает равномерное растяжение напряжением pв направлении оси x, то ее напряженное состояние описывается компонентами напряжений:

; ; .

Если в пластине проделано малое круглое отверстие радиусом a, то распределение напряжений вблизи этого отверстия изменится; однако в соответствии с принципом Сен-Венана, этим изменением можно пренебречь на расстояниях, достаточно больших по сравнению с радиусом отверстия. Искажение напряженного состояния малым концентратором напряжений носит местный характер, искажение локализуется вблизи концентратора.

Напряжениям в сплошной пластине соответствует функция напряжений Эри . (Проверим ; ; )

В полярных координатах функция напряжений имеет вид

Рассмотрим часть пластинки внутри концентрической окружности радиуса b, большего по сравнению с a. Напряжения на окружности радиуса b будут по существу теми же, что и в пластине без отверстия, и могут быть определены формулами

;

(2.1)

Эти усилия, действующие на внешнюю часть кольца, имеющего внутренний радиус и внешний радиус , определяют распределение напряжений внутри кольца, которое можно рассматривать состоящим из двух частей. Первая часть вызвана постоянной компонентой нормальных усилий. Напряжения, которые она вызывает, можно определить с помощью выражений решения задачи Ламе. Другая часть, вызванная нормальными силами , вместе с касательными усилиями создает напряжения, которые можно найти из функции напряжений вида .

Подставляя это выражение в уравнение совместности

приходим к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению для определения

Это линейное уравнение типа уравнения Эйлера. Его общее решение имеет вид

Отсюда получаем функцию напряжений

,

а соответствующие компоненты напряжений

(2.2)

Постоянные интегрирования определяются из условий на внешней границе (2.1) и из условия отсутствия внешних усилий на краю отверстия. Эти условия дают:

;

Решая эту систему для неограниченно большой пластинки , получаем:

.

Подставляя значения постоянных интегрирования в уравнения (3.2) и добавляя напряжения, вызванные равномерным растяжением интенсивности , действующим на внешней границе, и определяемые из уравнений, находим

(2.3)

Это решение известно под именем Кирша (G.Kirsch).[3]

2.3 Концентрации напряжений

Если радиус очень велик, напряжения и приближаются к значениям, даваемым уравнениями (3.1). На краю отверстия () имеем:

.

Напряжение достигает максимального значения при или , т.е. на концах mи m₁ диаметра, перпендикулярного к направлению растяжения (рис.2.1). В этих точках . Это напряжение втрое больше номинального, т. е. напряжения, которое имело бы место в случае отсутствия отверстия-концентратора напряжений, и равного приложенному к краям пластинки внешнему напряжению.

В точках края отверстия, где и равно 0 и р, получаем . Таким образом, в окружном направлении в этих точках действует сжимающее напряжение.

Для поперечного сечения пластинки, проходящего через центр отверстия и перпендикулярного оси x, угол и равен , поэтому на основании (2.3)

.

Ясно, что влияние отверстия носит локальный характер. С увеличением с напряжение приближается к значению p. Распределение этих напряжений показано на рис.2.1 заштрихованной областью. Локальный характер распределения напряжений вокруг отверстия оправдывает применимость решения (2.3), полученного для бесконечно большой пластинки, к пластине конечной ширины. Если ширина пластины не меньше 4-х диаметров отверстия, ошибка вычисления по формуле(2.3) не превышает 6%.

Имея решение (3.2) для растяжения или сжатия в одном направлении, с помощью наложения легко получить решение для растяжения или сжатия в двух перпендикулярных направлениях. Если в двух перпендикулярных направлениях (xи y) действуют растягивающие напряжения, равные , то на границе отверстия возникают растягивающие напряжения . Если в направлении x действует растягивающее напряжение , а в направлении y - сжимающее напряжение , имеем случай чистого сдвига. Согласно (2.3) кольцевое напряжение на границе отверстия равно

При , т.е. в точках m и m₁, находим, что . При , т.е. в точках nи n₁, имеем . Следовательно, при чистом сдвиге для достаточно большой пластинки максимальное кольцевое напряжение на границе отверстия в 4 раза превышает номинальное или приложенное напряжение чистого сдвига.

Высокая концентрация напряжений на краю отверстия представляет большой практический интерес. Уменьшения концентрации напряжений вокруг отверстия можно достичь, например, добавлением буртика или подкрепляющего кольца.

Случай круглого отверстия вблизи прямолинейной границы полубесконечной пластинки при действии растягивающих напряжений, параллельных границе, исследовал Джеффри (1921г). Уточнение результата позднее (1957г) проведено Миндлиным. Напряжения на контуре отверстия в точке n, ближайшей к краю, когда отрезок mn мал по сравнению с nk, становятся очень большими в сравнении с невозмущенным растягивающим напряжением. [4]

Различают теоретический коэф. К. н., определяемый методами классич. теории упругости [ф-лы (1), (3)], и техн. коэф. К. н., учитывающий структуру и пластич. свойства материала. Коэф. К. н. зависит гл. обр. от радиуса кривизны поверхности концентратора в окрестности точки с наиб.напряжением; при неогранич. уменьшении радиуса кривизны теоретич. коэф. К. н. неограниченно возрастает, что не подтверждается экспериментально. Поэтому при малых r величина a_sусловная, т. к. в зоне К. н. перемещения не являются малыми, и присравнимых с величиной кристалла (для кристаллич. материалов) теряет силу основное допущение теории упругости - гипотеза идеальной сплошности среды. Эксперименты по определению предела выносливости образцов с выточками показывают, что существует предельное значение р для выточек, после уменьшения к-рого не наблюдается уменьшения предела выносливости образца. Так, для мягкой стали таким радиусом будет мм, для алюминия 0,1-0,15 мм. Техн. коэф. К. н. определяется экспериментально и всегда остаётся ограниченным.[5]

3. Реальные и численные испытания

3.1 Поляризационно-оптический метод

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

17

Исследования напряжений (метод фотоупругости) - экспериментальный метод исследования напряжённо-деформиров. состояния элементов машин и конструкций на прозрачных моделях из оптически чувствит. материалов. Метод основан наискусств, врем, двулучепреломлении - свойстве большинства прозрачных изотропных материалов (стекла, целлулоида, желатина, пластмасс) под действием нагрузки становиться оптически анизотропным.[2]

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

17

Рис. 1. Расчетная схема растяжения полосы

Определим коэффициент запаса усталостной прочности пластины, выполненной из стали 45, имеющей размеры: мм; мм; мм. Состояние поверхности отверстия соответствует тонкой обточке. Пластина подвергается центральному растяжению. Сила меняется от 0 до кН. Материал пластины имеет следующие характеристики: предел прочности при растяжении МПа; предел текучести МПа; предел выносливости при растяжении МПа. Коэффициент зависит от значения и при МПа принимается равным 0,05.

Для определения коэффициента необходимо найти значения и F. Для их определения использован метод фотоупругости. Была изготовлена модель исследуемой пластины из эпоксидного компаунда в масштабе 1:1, исследованы напряжения в ней при растяжении усилием 1,6 кН. Получена картина изохром, представленная на рис. 2.

На рис. 3. показана эпюра напряжений (в порядках изохром), действующих на контуре отверстия, полученная на основе анализа рис. 2.

С использованием картины изохром разделены напряжения в точках сечения I-I исследуемого объекта [2]. Эпюры разделенных напряжений приведены на рис. 4.

Рис. 3. Эпюра напряжений на контуре отверстия Рис. 4. Эпюра разделенных напряжений

В ослабленном сечении полосы в области, прилегающей к отверстию, наблюдается концентрация напряжений. Максимальный порядок полосы в этой области составляет 9,5, а цена изохромы для модели - 3,86 МПа. Отсюда получаем значение максимальных напряжений в месте концентрации МПа. Номинальные напряжения в ослабленном сечении определяются зависимостью , где ? площадь ослабленного сечения, . Номинальные напряжения равны 17,4 МПа.

Тогда коэффициент концентрации, согласно формуле (4), составляет 2,1. При соотношении d/B = 0,38 по справочнику [3] его значение равно 2,15. Таким образом, погрешность в определении теоретического коэффициента концентрации напряжений составила 2,3 %.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

17

Первым главным напряжением является напряжение . Тангенс угла наклона касательной к эпюре (в нашем случае ) в точке А, расположенной на контуре отверстия, равен искомому градиенту напряжений (рис. 5). Градиент напряжений равен 18,9 МПа/мм, тогда относительный градиент напряжений равен 0,52 мм^-1.[5]

3.2 Тензометрический метод

Тензометрический датчик (тензодатчик)-- это специальное оборудование для измерения деформации конструкции под воздействием какой-то силы (сила тяжести, сила давления). Это основной элемент весоизмерительного оборудования. Есть много видов тензометрических датчиков: оптоволоконный, тензорезистивный, оптико-поляризационный, механический (считывающий показания с линейной шкалы).[2]

3.3 МКЭ

Метод конечных элементов (МКЭ) является сеточным методом, предназначенным для решения задач микроуровня, для которого модель объекта задаётся системой дифференциальных уравнений в частных производных с заданными краевыми условиями.МКЭ основывается на методе взвешенных невязок, суть которого заключается в следующем: подбирается функция, удовлетворяющая дифференциальным уравнениям и краевым условиям, но подбирается не произвольно, поскольку такой подбор вряд ли возможен уже в двумерном пространстве, а с использованием специальных методов.[1]

4. Выводы. Соответствие теории практике

В самом общем случае при решении подобных задач рассматривается бесконечная пластина. Однако на практике приходится иметь дело с пластинами конечной ширины. Поэтому встает естественный вопрос о том, в каких случаях (соблюдая определенную степень точности) решения, полученные для бесконечных областей, можно применять для конечных областей и каково должно быть соотношение между диаметром отверстия и шириной подвергающейся деформированию пластины. Согласно исследованиям Г.Н. Савина, если ограничиться точностью до 6%, то решения, полученные для неограниченных областей, можно применять к пластинам конечных размеров, если диаметр отверстия (центрально расположенного) не менее чем в пять раз меньше ширины пластины.[7]

5. Применение на практике

Задача Кирша очень актуальна. Она применяется почти во всех областях. В машиностроении, геологии, строительстве. Широкое практическое приложение имеют задачи о концентрации напряжений возле пор и отверстий в конструкциях и материалах, нередко их можно свести к плоским задачам об упругой плоскости с отверстиями. К таким задачам можно отнести, например, задачи о туннелях, скважинах, перфорированных пластинах.

6. Список литературы

поле напряжение задача кирша

1. Астафьев В.И., Радаев Ю.Н., Степанова Л.В. Нелинейная механика разрушения. - Самара: Издательство ”Самарский университет”, 2001. - 562 c.

2. Биргера И.А., Шорра Б.Ф., Иосилевича Г.Б. «Расчет на прочность деталей машин» (М., Машиностроение, 1993

3. Демидов С.П. Теория упругости, М., Высшая школа, 1979

4. http://femto.com.ua/articles/part_1/1756.htmlФизическая энциклопедия

5. Ю.К. Басов, И.В. Грицишен. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ по дисциплине «ДИАГНОСТИКА И ИСПЫТАНИЕ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ»

6.Савин Г.Н. Механика деформируемых тел

Размещено на Allbest