Расчет напряжений деформаций в изотропном теле по заданному тензору напряжений

9

КУРСОВАЯ работа

Расчет напряжений деформаций в изотропном теле по заданному тензору напряжений

1. Исходные данные

1. Задан следующий тензор напряжений:

МПа.

2. Направляющие косинусы площадки, по которой нужно вычислить напряжения, равны:

.

1.1 Определение инвариантов напряженного состояния

1.2 Определение главных напряжений

Подставляя численные значения инвариантов тензора напряжений из(1), получаем:

Кубические уравнения общего вида могут иметь комплексные корни, уравнения для определения главных напряжений и главных деформаций всегда имеют три действительных корня. Решать их можно по-разному.

1. Можно сначала определить подбором один из корней уравнения, а затем разложить левую часть уравнения (2) на два сомножителя: линейный двучлен и квадратный трехчлен. После этого из решения квадратного уравнения определяются два оставшиеся корня.

2. Существует и аналитический способ решения, для этого используются формулы Кардано.

Воспользуемся вторым способом.

Пусть задано кубическое уравнения:

(3)

После подстановки

(4)

получим кубичное уравнение (приведенное):

(5)

Здесь и вычисляются по формулам:

(6)

Формулы Кардано для случая уравнения с тремя действительными корнями имеют вид:

(7)

(8)

Далее с помощью подстановки(4) в (3) находим корни исходного уравнения.

Решим наше уравнение (2):

(9)

Подстановка (4) с новыми обозначениями получает вид:

. (10)

Здесь изменен знак второго слагаемого подстановки потому, что.

Подставляя (10) в (9) получим уравнение аналогичное (5):

(11)

Здесь коэффициенты и вычисляются по формулам (6):

Далее по формулам (7) находим:

По формулам (8) находим корни уравнения (5):

Учитывая (10), находим корни исходного уравнения (9), являющимися главными напряжениями:

 (12)

В соответствии с правилом индексации главных напряжений введены обозначения: - алгебраически максимальное напряжение; - алгебраически среднее (минимаксное) напряжение; - алгебраически минимальное напряжение.

Величины и вычислялись с точностью до третьего знака после запятой для того, чтобы в дальнейшем при решении систем уравнений, в которых от зависят величины коэффициентов, избежать возможных больших погрешностей, если встретятся малые разности больших величин.

Тензор напряжений в главных осях имеет вид:

.

1.3 Определение положения главных осей тензора напряжений

Здесь первая строка матрицы представляет направляющие косинусы главной оси, по которой действует напряжение ; вторая строка - направляющие косинусы главной оси, по которой действует напряжение ; третья строка - направляющие косинусы главной оси, по которой действует напряжение . Все направляющие косинусы задаются в исходной (старой) системе координат, показанной на рис. 1

Направляющие косинусы главных осей находятся из системы уравнений:

(14)

при условии

(15)

Здесь - направляющие косинусы главной оси тензора напряжений, вдоль которой действует напряжение .

В теории упругости (1) доказывается, что определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных () системы уравнений (13), равен нулю. Следовательно, три уравнения в (13) являются линейно зависимые: одно уравнение (любое) является следствием двух других. Поэтому для определения направляющих косинусов любой главной оси нужно одно из уравнений удалить (любое) и к двум оставшимся добавить уравнение (14). Решив полученную систему трех уравнений с тремя неизвестными, найдем направляющие косинусы , соответствующие главному напряжению . Положение оставшихся двух осей находят аналогично.

Нужно иметь в виду, что каждый из направляющих косинусов получается с двумя знаками. Знаки соответствуют повороту осей по часовой стрелке или против часовой стрелки. При этом главные оси занимают одно и то же положение, но направлены в противоположные стороны.

При определении положения главных осей нужно оставить одну систему знаков, конкретизировав при этом направления осей.

1.3.1 Вычисление направляющих косинусов

Для определения направляющих косинусов , соответствующих оси, вдоль которой действует напряжение , подставим в (14) и (15) ; при этом из (14) возьмем первые два уравнения (можно взять любые два):

(16)

Сначала найдем отношения между направляющими косинусами; для этого систему уравнений приведем к виду:

(17)

Решая подсистему, состоящую из первых двух уравнений, получим:

. (18)

Подставляя эти выражения в третье уравнение (17), найдем:

, (19)

откуда

.

На этом этапе решения задачи можно у выбрать любой знак. Примем . Подставляя это значение в (18), получим:

. (20)

Углы, которые составляет первая главная ось тензора напряжений с исходными осями координат, находятся вычислением функции от :

.

Вычисление

Подставляя в (14) и (15) и используя те же два уравнения из (14) (можно и другие), получим:

(21)

Решая эту систему уравнений в той же последовательности, как и в п. 3.2.1, получим:

.

Здесь по-прежнему знак у принят положительным, а знаки остальных направляющих косинусов определились решением подсистемы из первых двух уравнений (21).

Углы, которые составляет вторая главная ось с исходными осями координат, пока вычислять не будем. Может оказаться, что определитель матрицы направляющих косинусов будет равен -1, что соответствует левой системе координат. Для тог, чтобы получить правую систему координат, нужно будет у одной из осей поменять знаки направляющих косинусов.

1.3.2 Вычисление

Подставляя в (14) и (15) и используя те же уравнения, получим:

(22)

Решая эту систему, получим:

.

Соответствующие углы равны:

.

1.4 Проверка правильности вычисления главных напряжений и положения главных осей тензора напряжений

.

Так как определитель получился равным 1, то система координат - правая. Поэтому знаки направляющих косинусов остаются без изменения.

.

Соответствующие углы будут равны:

.

1.5 Вычисление максимальных касательных напряжений, полного, нормального и касательного напряжений по заданной площадке

Вычисление полного, нормального и касательного напряжений по площадке с заданными направляющими косинусами

Направляющие косинусы нормали к заданной площадке равны:

Проекции полного напряжения, действующего на заданной площадке, на координатные оси найдем по формулам:

(24)

Полное напряжение на этой площадке найдем по формуле:

.

Нормальное напряжение по этой площадке определим, спроектировав координатные составляющие на нормаль к площадке:

.

Касательное напряжение на этой площадке найдем по теореме Пифагора (см. рис. 2):

.

Рис. 2. Полное нормальное и касательное напряжения, действующие по заданной площадке