Дифракционная структура изображения. Критерии качества оптического изображения

Предельная разрешающая способность по Релею

Разрешающая способность определяет способность оптической системы изображать раздельно два близко расположенных точечных предмета.

Предельная разрешающая способность - это минимальное расстояние _R между двумя точками, при котором их изображение отличимо от изображения одной точки.

Критерий Релея гласит, что при провале в распределении интенсивности в изображении двух близких точек в 20% точки будут восприниматься как раздельные. Для этого необходимо, чтобы центральный максимум в изображении одной точки приходился бы на первый минимум в изображении другой (рис. 5). Для оптических систем при отсутствии аберраций канонических единиц.

Рисунок 5 - Разрешение по Релею.

Разрешение по Релею удовлетворительно характеризует качество изображения астрономических телескопов, спектральных приборов, для которых предметами являются близко расположенные точки или линии, а также визуальных приборов (предназначенных для работы с глазом).

Разрешающая способность по Фуко

Критерий Фуко применяется для оценки качества изображения оптических систем, передающих объекты сложной структуры. Разрешающая способность R определяется как максимальная пространственная частота периодического тест-объекта, состоящего из черно-белых штрихов (миры Фуко), в изображении которого еще различимы штрихи. Разрешающую способность обычно определяют для миры единичного (абсолютного) контраста по графику ЧКХ оптической системы (рис. 6). Разрешающая способность R определяется для заданного контраста (обычно для контраста k=0.2).

Рисунок 6 - Разрешающая способность по Фуко

Предельная разрешающая способность R₀ для оптических систем определяется размерами зрачка, длиной волны и аберрациями.

Влияние аберраций на ФРТ и ОПФ

Влияние малых аберраций (волновая аберрация составляет доли длин волн) на ФРТ проявляется в том, что часть энергии из центрального максимума переходит в кольца. В результате в центральном максимуме остается около 60-70% вместо 84%, при этом размеры центрального максимума сохраняются, а интенсивность в центре уменьшается (рис. 7).

Рисунок 7 - Влияние аберраций на ФРТ.

Аберрации разных типов по-разному влияют на вид пятна рассеяния (картину Эри). В случае симметричных аберраций (расфокусировка, сферическая) сохраняется радиальная симметрия пятна (рис. 8а). В случае несимметричных аберраций (кома, астигматизм) симметрия пятна нарушается (рис. 8б, рис. 8в).

Рисунок 8 - Картины Эри для аберраций различных типов

Число Штреля

Поскольку при малых аберрациях часть энергии из центрального максимума перекачивается в кольца, уменьшается интенсивность в центральном максимуме. Обозначим значение ФРТ в ее максимуме при отсутствии аберраций h₀(0), а при наличии аберраций h(0) (рис. 9).

Рисунок 9 - Число Штреля.

Число Штреля (критерий Штреля, Strehl ratio) показывает влияние аберраций на ФРТ:

. (8)

Значение числа Штреля находится в пределах , энергия в кольца перекачивается в таком же соотношении. Если - оптическая система безаберрационная, если - система практически безаберрационная, поскольку уменьшение центрального максимума на 20% почти незаметно.

Критерий Релея для малых аберраций

Критерий или допуск Релея заключается в том, что если величина волновой аберрации (при условии что в системе присутствует только сферическая аберрация) не превосходит /4 (рис. 10), то число Штреля . Отсюда Релей распространил свой критерий и на другие типы аберраций.

Рисунок 10 - Величина волновой аберрации.

Релеевский допуск на остаточные аберрации:

. (9)

Однако расчеты показывают, что не для всех типов аберраций это справедливо. Кроме того, для более строгого анализа нужно проверить на сколько изменится число Штреля при или . Релеевский допуск точного ответа на этот вопрос не дает.

Формула Марешаля. Допуск Марешаля для малых аберраций

Французский оптик Марешаль получил свое аналитическое выражение и свой допуск в виде среднеквадратичного по зрачку значения волновой аберрации. Критерий Марешаля более универсальный, чем допуск Релея, он подходит для любых типов аберраций.

Рассмотрим вывод формулы Марешаля. Функция рассеяния точки:

. (10)

Значение ФРТ в ее центральном максимуме:

. (11)

Воспользовавшись выражением для зрачковой функции, получим:

. (12)

В случае малых аберраций , следовательно . Тогда при разложении функции в ряд, можно оставить только три члена, а остальные отбросить , отсюда:

. (13)

Тогда можно записать приближенное выражение для ФРТ:

. (14)

Введем обозначение для среднего значения волновой аберрации по зрачку:

(15)

и среднего квадрата волновой аберрации:

. (16)

Тогда выражение (9.48) запишется в виде:

. (17)

Модуль комплексного числа вычисляется как сумма квадратов вещественной и мнимой частей , следовательно:

. (18)

Значение ФРТ в максимуме при отсутствии аберраций определяется выражением:

. (19)

Тогда формула Марешаля:

. (20)

Величина называется дисперсией волновой аберрации по зрачку (дисперсия - это разность среднего квадрата и квадрата среднего значения):

. (21)

Формула Марешаля показывает, что важна не сама волновая аберрация, а ее изменение (деформация волнового фронта) по зрачку.

Средний квадрат деформации волнового фронта - это квадратный корень из дисперсии:

. (22)

Формула Марешаля дает возможность приблизительно оценить число Штреля, если известен средний квадрат деформации волнового фронта:

. (23)

Если , то, следовательно, , а допуск Марешаля на средний квадрат деформации волнового фронта:

. (24)

Марешалевский допуск на остаточные аберрации справедлив для любых типов аберраций малой величины.

Влияние аберраций на ОПФ. Геометрически-ограниченные и дифракционно-ограниченные оптические системы

При наличии аберраций ОПФ оптической системы становится меньше, чем ОПФ безаберрационной системы. На графике ЧКХ можно показать, как аберрации влияют на форму кривой контраста (рис.11). Кривые ЧКХ в присутствии аберраций могут иметь сложную форму, но они никогда не превышают кривую безаберрационной ЧКХ.

Рисунок 11 - Влияние аберраций на ЧКХ.

Дифракционно-ограниченные оптические системы имеют рабочий интервал частот, превышающий половину от предельной, то есть >1 (рис.11). Качество изображения в таких системах определяется в основном явлениями дифракции и непосредственно зависит от отношения апертуры к длине волны A/. Остаточные аберрации должны оцениваться по критерию Марешаля. К дифракционно-ограниченным системам относятся, в частности, измерительные системы, проекционные оптические системы для микроэлектроники и системы, работающие с глазом.

К геометрически-ограниченным относятся оптические системы, рабочий интервал частот для которых не превосходит =0.5 в канонических частотах (рис. 11). Качество изображения таких систем определяется картиной поперечных аберраций и непосредственно не зависит от длины волны и апертуры. Степень коррекции геометрически-ограниченных систем оценивается поперечными аберрациями. К таким системам относятся, в частности, кино-, фото- и телевизионные объективы.