Принцип действия МИП основан на явлении возникновения самостоятельного разряда во взаимноперпендикулярных постоянных электрическом и магнитном полях.

Как видно из рисунка 1 МИП представляет собой двухэлектродную цилиндрическую систему, состоящую из анода и катода. Между ними создается электрическое поле с напряженностью Е 10⁵ В/м. Вдоль оси прибора магнитной системой создается постоянное магнитное поле напряженностью Н510⁴А/м.

Рис.1 Модель МИП.

Механизм возникновения самостоятельного разряда следующий. Электрон, появившийся в анодно-катодном промежутке, под действием электрического поля начинает двигаться к аноду по удлиненной из-за воздействия магнитного поля траектории. Из-за удлинения траектории повышается вероятность соударения электронов с молекулами разреженного газа и, следовательно, их ионизации. Обладая значительной кинетической энергией, положительные ионы при столкновении с катодом выбивают из его поверхности вторичные электроны, которые, двигаясь к аноду, также участвуют в ионизации газа. Ток положительных ионов на катод и ток электронов на анод в сумме численно равны величине тока в измерительной цепи. В результате ионизации газа возникает самостоятельный электрический разряд, ток которого в достаточно широком диапазоне имеет линейную зависимость от плотности газовой среды.

Диапазон давлений, при которых используются МИП, от 10^-3 до 10^-12 мм рт. ст. в значительной степени перекрывает требования по диапазону измерения на КА. Высокая эффективность преобразования, определяемая по степени ионизации разреженной газовой среды, которая в 100 раз превышает аналогичный показатель измерителей, использующих термоэлектронный метод ионизации, отсутствие накальных элементов или других внешних источников ионизации, отсутствие прецизионных элементов и деталей определяют высокие эксплуатационные характеристики МИП. Они устойчивы к внешним воздействиям, надежны, просты в эксплуатации, допускают длительную непрерывную работу. Благодаря этим характеристикам, и обеспечивается возможность их применения на КА.

При анализе результатов, полученных в результате натурных экспериментов (на Земле), закономерно возникает вопрос об их соответствии реальным параметрам разреженного газа, окружающего КА. Действительно, полученные результаты измерений соответствуют величине тока, протекающего в измерительной цепи МИП, который в свою очередь пропорционален концентрации разреженного газа внутри МИП. С другой стороны при градуировке МИП в наземных условиях концентрация разреженного газа внутри МИП принимается равной концентрации газа в рабочей камере, в которую он помещен, и его градуировочная характеристика определяет зависимость тока МИП от статического давления разреженного газа в рабочей камере.

В общем случае результаты измерений в натурных условиях не могут быть однозначно интерпретированы как плотность разреженного газа в зоне измерения МИП. Необходимо введение поправок, учитывающих отличие реальных условий проведения измерения от условий при наземной градуировке. К этим отличиям могут быть отнесены:

- наличие направленных потоков разреженного газа, обусловленных как движением КА по орбите, так и собственным газовыделением систем ОК, причем указанные потоки являются свободномолекулярными, то есть частота столкновений молекул в объеме, соизмеримом с размерами МИП, пренебрежимо мала (для азота при T = 300 K и давлении 10^-4 мм рт. ст. длина свободного пробега составляет 0,5 м при максимальном размере анодно-катодного промежутка МИП не более 0,05 м);

- различием температур набегающего потока и МИП.

Для введения поправок необходимо проведение в наземных условиях дополнительных испытаний с воспроизведением условий реального космического полета, что в полном объеме невозможно, как в силу технических и организационных трудностей, так и из-за отсутствия достоверных данных о реальных условиях (проведение натурных экспериментов и ставит задачу изучения этих условий).

Эффективным методом решения подобных задач является метод математического моделирования реальных условий с учетом известных физических процессов, протекающих при воздействии разреженного газа на МИП в натурных условиях, и их сравнение с результатами наземной отработки, натурных экспериментов и информацией о параметрах разреженного газа, полученной из других источников.

Первым шагом по этому пути является моделирование аэродинамического взаимодействия свободномолекулярных потоков нейтрального газа с конструктивными элементами МИП. Целью моделирования является определение распределения концентрации разреженного газа внутри МИП при различных параметрах набегающего потока. В качестве нейтрального газа при моделировании используется молекулярный азот.

Исходные данные для моделирования формируются из данных, содержащихся в рабочем файле, и данных, которые считываются рабочей программой из файла исходных данных.

Величины R, T, T_m, l, r_A, ps, ks, а также r₀₁, r₀₂, необходимые для расчета as₁, as₂, вводятся как константы рабочей программы, остальные - через файл исходных данных. Информация в файле исходных данных записываются в одну или несколько строк, а в каждой строке в следующем порядке:

n - количество испытаний;

r₁ - внутренний радиус расчетного объема, отнесенный к радиусу

исследуемого объема;

r₂ - внешний радиус расчетного объема, отнесенный к радиусу

исследуемого объема;

V₀ - направленная скорость молекул, влетающих в исследуемый объем;

ас - коэффициент аккомодации энергии молекул;

ugol_x (_v) - угол между направлением вектора направленной скорости влетающих молекул и осью Х;

ugol_у (_v) - угол между проекцией вектора направленной скорости влетающих молекул на плоскость YZ и осью Y;

m1 - метка, завершающая строку исходных данных.

Запись в файле исходных данных имеет следующий вид:

10000 0.3 1.0 8000 0.95 0 90 0

..

..

10000 0.3 1.0 8000 0.8 0 90 1

В случае m1=0 после цикла расчета с исходными данными, записанными в рассматриваемой строке, программа снова обращается к файлу исходных данных и считывает следующую строку исходных данных.

Расчет производится снова, но уже с другими исходными данными. Обновление исходных данных для моделирования проводится до ввода строки, в которой m1=1. Подобная запись исходных данных позволяет проводить целую серию расчетных экспериментов с различными исходными данными, не запуская каждый раз программу заново. Из величин, входящих в выражение (18) для расчета распределения относительной концентрации молекул (N_pk0) внутри исследуемого объема, значения n, r₁, r₂, l, ps, ks являются исходными данными для моделирования, as рассчитывается до начала цикла испытаний на основании исходных данных о размерах и коэффициентах прозрачности торцевых стенок исследуемого объема, а величины V_xср0, t_pk определяются в процессе моделирования. Так как входные отверстия в переднем и заднем торцах одинаковы, то их коэффициенты прозрачности определяются следующим выражением:

.

Для упрощения вычислений в программе вводится коэффициент g:

Таким образом, выражение (18) может быть представлено в виде:

. (19)

Кроме as ещё ряд величин рассчитывается до начала испытаний. Направленная и тепловая скорости молекул нормируются на скорость, соответствующую температуре стенок исследуемого объема:

(20)

Проекции вектора направленной нормированной скорости W0 на координатные оси X,Y,Z с учетом углов влета, в соответствии с (9) определяются следующим образом:

,

, (21)

.

1.1.9 Генерация вектора скорости молекулы и координат точки влета

Основные принципы моделирования вектора скорости молекул набегающего потока изложены в пункте 1.1.3 Проекции вектора направленной скорости постоянны и одинаковы для всех молекул набегающего потока и определяются по формуле (21).

Модуль температурной составляющей скорости VT представляет собой случайную величину, распределенную по закону Максвелла.

Максвелловское распределение задается следующим образом:

а) При помощи генератора случайных чисел задается значение вектора тепловой скорости V_T в диапазоне от 0 до 5 (скорость V_T нормирована относительно скорости молекулы, имеющей температуру стенок исследуемого объема).

б) В соответствии с законом Максвелла рассчитывается вероятность y того, что тепловая скорость молекулы будет иметь значение V_T:

y = V_T²exp (1-V_T²).

в) При помощи генератора случайных чисел выбирается произвольное значение вероятности y₀ в диапазоне (0,1). Если y 0, то заданное значение вектора скорости V_T используется для дальнейших расчетов. Если y₀>y, процедура выбора V_T повторяется.

Таким образом, скорости V_T, вероятность появления которых в соответствии с распределением Максвелла мала (y<<1) будут встречаться в последовательности реже, чем скорости, для которых (y 1).

Проекции вектора температурной скорости V_T на оси X,Y,Z определяются следующим образом:

а) С помощью генератора случайных чисел определяется величина в диапазоне (-1,1), которая является косинусом угла между направлением вектора тепловой скорости и положительным направлением оси Х. Выражение:

vx_T = V_T (22)

определяет значение проекции вектора скорости на ось Х.

б) Проекция вектора температурной скорости на плоскость YZ определяется выражением:

vyz_T = V_T sin (arccos ()).

Учитывая тригонометрическую формулу sin² + cos²= 1, получаем:

(23)

В плоскости YZ направление вектора скорости равновероятно и определяется случайным углом , который откладывается от положительного направ-ления оси Y. Угол выбирается при помощи генератора случайных чисел в диапазоне (0,2). Выражения для проекций вектора скорости на оси Y и Z имеют вид:

vy_T = vyz_T cos (),

vz_T = vyz_T sin () (24)

Описанный метод задания проекций вектора тепловой скорости обеспечивает его равновероятное распределение в выбранной системе координат.

Итоговые проекции вектора скорости на координатные оси X, Y, Z

в соответствии с (9) представляют собой суммы соответствующих проекций векторов направленной и тепловой скоростей:

vx = vx_T + vx00,vy = vy_T + vy00, (25)

vz = vz_T + vz00.

При каждом i-ом испытании необходимо задать точку влета молекулы в исследуемый объем, то есть координаты начала движения молекулы.

Как было описано выше, отверстия в исследуемом объеме, через которые осуществляется влет и вылет молекул, представляют собой полукольца с радиусами r₀₂ (внешний) и r₀₁ (внутренний), расположенные в нижней части переднего и в верхней части заднего торцов.

Торец, через который влетает i-ая молекула, определяет проекция вектора скорости vx. В случае vx>0 молекула влетает через отверстие в переднем торце (х₁ = 0), в случае vx<0 - через отверстие в заднем торце (х₁ = l). Для расчета V_xср0 - проекции на ось X средней скорости влета молекул в объем W, отнормированной по V_ст0, рассчитывается сумма проекций на ось X скоростей влета молекул в объем W: vn: = vn + abs (vx).

Координаты y₁, z₁ точек, в которых молекулы влетают в исследуемый объем, должны быть равномерно распределены по площади входных отверстий. Учитывая это, координаты точки влета i - ой молекулы в исследуемый объем выбираются следующим образом:

а) С помощью генератора случайных чисел определяется пара координат:

координата z₁ в диапазоне от - 1 до 1;

координата y₁ в диапазоне от - 1 до 0 для (х₁ = 0) или в диапазоне от 0 до 1 для (х₁ =l).

б) Анализируется выполнение условия нахождения выбранной пары координат внутри полукольца отверстия.:

r₀₂² > y₁² + z₁² > r₀₁². (26)

Это говорит о том, что выбранная пара находится внутри полукольца отверстия. Если условие (26) не выполняются, то генерируется новая пара чисел.

Таким образом, при большом количестве испытаний (n) координаты точек влета молекул равномерно "засеивают" площади входных отверстий.

Расчет траектории движения молекулы включает в себя расчет времен пересечения молекулой границ расчетных объемов W_pk и определение координаты конечной точки прямолинейного участка траектории молекулы в исследуемом объеме W.

Для расчета требуемых времен и координат используются следующие начальные условия движения:

- начальная точка прямолинейной траектории движения молекулы с координатами x₁, y₁, z₁, которая может быть либо точкой влета молекулы в иссле-дуемый объем, либо конечной точкой предыдущей прямолинейной траектории движения молекулы (то есть точкой отражения);

- проекции вектора скорости молекулы, задаваемые либо при влете молекулы в исследуемый объем, либо при отражении молекулы от стенок объема.

Прямолинейная траектория движения молекулы описывается уравнением движения:

. (27)

Времена и координаты пересечения траектории с поверхностью рассчитываются путем решения системы из проекций на плоскость YZ и ось Х уравнения движения молекулы (27) и уравнения, описывающего пересекаемую поверхность.

Теперь рассмотрим процедуру поиска решения для случаев пересечения траектории движения молекулы с боковыми поверхностями цилиндров с радиусами rA, r₁, r₂, r₀. Для этого рассмотрим движение молекулы в плоскости YZ. Проекцией боковой поверхности цилиндра на плоскость YZ является окружность, и следовательно, в общем случае система уравнений может быть записана следующим образом:

(28)

,

где r - радиус соответствующей окружности. Решая систему (28), получаем:

(y₁+vyT) ²+ (z₁+vzT) ²=r² (29)

Решив это уравнение относительно Т, получаем:

(30)

или:

(31)

где _max и _min - времена пересечения молекулой боковой поверхности цилиндра радиуса r.

Если значения _max и _min - комплексные числа, то траектория движения молекулы не пересекает рассматриваемую поверхность; положительные значения _max и _min означают, что молекула движется извне по направлению к рассматриваемой поверхности; отрицательные значения _max и _min означают, что молекула находится вне рассматриваемого цилиндра и удаляется от него; если _max >0, а _min <0, то начальная точка движения находится внутри рассматриваемого цилиндра.

Времена пересечения траектории движения молекулы с поверхностями торцов цилиндра определяются по проекции траектории движения молекулы на ось Х.

Координатами торцов по оси X являются: х = 0 (для переднего торца) и

х = l (для заднего торца), тогда времена пересечения траектории движения молекулы с торцами ₀и ₁ определяются выражениями:

. (32)

Для нахождения конечной точки прямолинейной траектории движения молекулы необходимо из времен _max (r0), _min (rA), ₀ и ₁ выбрать наименьшее положительное время - _кон. И тогда:

x₂ = vx _кон + x₁

y₂ = vy _кон + y₁ (33)

z₂ = vz _кон + z₁.

По результатам выбора _кон определяется поверхность, на которую попадает молекула. При этом задаются значения переменных Mх и My, определяющих эту поверхность: если молекула попадает на передний торец (_кон = ₀), то Mх = 1, если на задний (_кон = ₁), то Mх = - 1; для боковой поверхности и анода - Mх = 2, причем при попадании молекулы на боковую стенку исследуемого объема (_кон =_{max (r0))} - My = 1, а при попадании молекулы на анод (_кон = _{min (rA))} - My = - 1.

Для определения начального и конечного времени нахождения молекулы в расчетном объеме, ограниченном радиусами r₁ и r₂ и длиной l, необходимо рассчитать вещественные времена _{max (r2), min (r2), max (r1)} и _{min (r1)} и время _кон.

Значение T_min - начального времени нахождения молекулы в расчетном объеме определяется местоположением начальной точки, знаком величин _{max (r1,r2), min (r1,r2),} а также условием не превышения значениями _{max (r1,r2)} или _{min (r1,r2)} времени _кон. Так:

- если r₁²<y₁²+z₁²<r₂², то T_min=0;

- если y₁²+ z₁²>r₂² и 0< _{min (r2)} < _кон, то T_min=_{min (r2);}

- если _{min (rА)} <0 или мнимое, 0<_{max (r1)} <_кон, то T_min=_{max (r1).}

Значение T_max - конечного времени нахождения молекулы в расчетном объеме - определяется из значений _кон, _{min (r1)} < _кон, _{max (r2)} < _кон. Так:

- если значение _{min (rA) -} мнимое, а _{max (r1,r2) -} реальное и 0<_{min (r1)} < _{max (r1)} < _кон, то траектория молекулы пересекает расчетный объем дважды; в этом случае выби-раются две пары значений T_min, T_max;

- если _{min (r2)} мнимое или >_кон, то это означает, что молекула не попадает в расчетным объем на данном прямолинейном участке траектории.

Результатом описанной процедуры является одна или две пары значений времен влета T_min и вылета T_max для расчетного объема - в случае, если молекула в него попадает на данном прямолинейном участке траектории, а также координаты конечной точки прямолинейного участка движения x₂, y₂, z₂ и значения

параметров Mx и My, определяющие поверхность, на которую попадает молекула.

Расчет времен пребывания молекулы в частном объеме необходим для расчета относительного распределения концентраций молекул внутри цилиндра. Как показано в разделе 2, расчетный объем поделен на 2 ks ps частных объемов W_pk, времена нахождения молекулы в которых, есть разность времен влета и вылета.

Координаты влета и вылета молекул из частного объема и соответствующие им времена рассчитываются путем решения системы из проекций на плоскость YZ и ось Х уравнения движения молекулы (27) и уравнений поверхностей, образующих частный объем. Времена влета и вылета из частного объема должны быть в пределах начального и конечного времени нахождения молекулы в расчетном объеме.

Рассмотрим процедуру нахождения координат и времен пересечения траектории с образующими частный объем W_pk плоскостями. В проекции на плоскость YZ частный объем представляется в виде кольцевого сектора, внешняя и внутренняя дуги которого - части окружностей, соответствующие границам расчетного объема. Координаты пересечения траектории движения молекулы с радиальными границами кольцевого сектора рассчитываются из системы уравнений движения и образующей сектора, описываемой выражением:

ysin - zcos = 0, (34)

где - угол между осью Y и радиальной границей сектора.

В общем виде система уравнений может быть записана следующим обра-зом:

y vz - z vy = vz y₁ - vy z₁

(35)

y sin - z cos = 0

Решением системы уравнений являются координаты:

(36)

при условии, что:

,

т.к. рассматриваем только положительную часть радиальной границы сектора.

Время пересечения траекторией боковой поверхности частного объема рассчитывается из выражения:

. (37)

Так как расчетный объем поделен в плоскости YZ на четное число секторов, то будем для секторов k_R [1,ks] (правая половина проекции) отсчитывать углы от 0 до , а для секторов kL [ks+1,2ks] (левая половина) - углы [0,-] с интервалом /ks. Тогда из выражения (37) получаем:

, (38)

,

где k₀ [0,ks].

Зная значения _R и _L можно рассчитать времена пересечения траектории движения молекулы со всеми радиальными границами секторов. Времена пересечения траектории движения с плоскостями, разделяющими расчетный объем на ps равных долей по оси Х, рассчитываются из выражений:

, (39)

где х - координата плоскостей, являющихся границами долей, на которые разбит расчетный объем вдоль оси Х.

Координата х принимает значения: (p0 l) /ps; p₀ [0,ps].

Определение значений времен нахождения молекулы в частном объеме производится следующим образом:

а) Задается пара значений p₀ и p₀+1. Для них рассчитываются времена и ₊₁. Далее:

- если хотя бы одно из них больше T_min и меньше T_max, или одно из них больше T_max, а другое меньше T_mшт, то из времен , _+1,T_min, T_max выбираются времена влета t0 и вылета t00 из долевого объема - объема, ограниченного поверхностями цилиндров с r1, r2 и плоскостями х'= (p₀l) /ps и х"= ( (p₀+1) l) /ps;

а) если оба значения и ₊₁ меньше T_min или больше T_max, то берется следующая пара значений p₀ и p₀₊₁, и расчет повторяется.

б) Для пары значений k₀ и k₀₊₁ рассчитываются времена _R и _{R+1, L} и _L+1 - как времена пересечения радиальных границ секторов k_R и k_L=2 ks+1-k_R. Из времен t0 и t00 и времен _R, _{R+1, L} и _L+1 выбираются времена влета и вылета для частных объемов в случае, когда хотя бы одно из времен _R, _R+1, _L и _L+1 лежит в пределах от t0 до t00, или же времена t0 и t00 лежат в пределах от _L,R до _L+1,_R+1. Время нахождения молекулы в объеме Wpk, как разница времен влета и вылета, прибавляется к содержимому ячейки nk [k,p] и записывается в ячейку nk [k,p] матрицы времен. Расчет происходит в цикле от k₀=0 до k₀=ks-1 - когда будут рассчитаны времена _{L,R L+1,R+1} для секторов k_R=ks и k_L=ks+1.

в) Задается следующая пара значений p₀и p₀₊₁, вплоть до значений p₀=ps-1 и p0=ps.

Описанный механизм расчета и выбора повторяется для каждого прямолинейного участка траектории молекулы, и, суммируя времена для большого количества испытаний, получаем необходимые статистические данные для расчета распределения концентраций молекул в расчетном объеме.

i-тое испытание заканчивается, когда молекула вылетает из исследуемого объема, то есть когда координата конечной точки прямолинейного участка траектории оказывается в области отверстия.

После расчета каждой конечной точки траектории при движении молекулы от стенки к стенке осуществляется проверка координаты y₂ моле-кулы. При этом также анализируется переменная Mx, которой присвоены различные значения в зависимости от вида поверхности, на которую попала молекула. При Mx=1, что соответствует переднему торцу, при y₂<0 и выполнении условия (26) молекула считается вылетевшей в отверстие на переднем торце; при Mx=-1, что соответствует заднему торцу, y2>0 и выполнении условия (26) молекула считается вылетевшей в отверстие на заднем торце.

После того, как i-тая молекула покидает исследуемый объем, начинается i+1ое испытание.

При столкновении молекулы, движущейся в исследуемом объеме, со стенкой происходит ее отражение. При этом меняется как модуль вектора скорости VV, так и направление ее движения, а следовательно и проекции скорости движения молекулы на оси X, Y, Z. Основные теоретические положения процесса отражения изложены в р.4.

Исходными данными для формирования вектора скорости служат координаты конечной точки прямолинейного участка траектории молекулы (в случае, если эта точка не находится в области отверстия), а также значение модуля вектора скорости до столкновения.

Модуль вектора отраженной скорости в соответствии с (12) определяется из выражения:

(40)

где V_T - величина скорости, соответствующая температуре стенки, выбранная из распределения Максвелла.

После расчета модуля скорости, определяются его проекции на координатные оси XYZ. При этом проекции рассчитываются так, чтобы соблюдался диффузный закон отражения молекул от поверхности.

Для удобства моделирования распределения сформированной величины вектора скорости по проекциям вводится условная система координат X₀Y₀Z₀, ориентированная в пространстве таким образом, что плоскость Y₀Z₀ - касательная к поверхности в точке отражения, а ось X₀ направлена по нормали к этой поверхности. Началом координат в новой системе является точка отражения.

Проекции вектора скорости VV на оси координат X₀Y₀Z₀ определяются выражениями:

vx₀=VVcos;

vyz₀=VVsin;

vy₀=vyz₀cos; (41)

vz₀=vyz₀sin,

где - угол, который моделируется в соответствии с распределением вероятности P () по закону косинуса и задает отклонение вектора скорости от нормали к поверхности отражения в диапазоне [0,/2];

- угол между осью Y₀ и проекцией вектора отраженной скорости на плоскость Y₀Z₀, выбираемый при помощи генератора случайных чисел в диапазоне [0,2].

Интенсивность рассеяния молекул в направлении пропорциональна cos, следовательно:

, (42)

где d - телесный угол рассеяния;

dS - площадь рассеяния.

В свою очередь:

dS = 2 r₀ sin r₀ d = 2 r₀² sin d, тогда:

Полученную функцию отнормируем:

P () = m P₀ (), где P₀ () = 1, тогда:

r₀²

Таким образом, нормированная функция распределения P₀ ():

(43)

В соответствии с выведенным соотношением угол выбирается с использованием генератора случайных чисел по методу аналогичному методу, примененному при моделировании распределения Максвелла (см. п.7.2.1.).

После определения проекций вектора скорости в системе координат X₀Y₀Z₀ необходимо вернуться в исходную систему координат XYZ.

В случае отражения молекулы от торцов исследуемого объема эта процедура не представляет сложности, поскольку при отражении от переднего торца системы координат XYZ и X₀Y₀Z₀ совпадают, и, следовательно:

vx = vx₀,vy = vy₀,vz = vz_{0. (}44)

При отражении молекулы от заднего торца координатные оси Y и Y₀ совпадают, а Х и Х₀, Z и Z₀ взаимно противоположны, таким образом:

vx = - vx₀, vy = vy₀, vz = - vz_{0. (}45)

При отражении молекулы от боковой поверхности исследуемого объема и от анода для определения значения проекции вектора скорости на оси Y и Z, необходимо определить угол между осью Y и проекцией вектора скорости отраженной молекулы на плоскость YZ. Для этого необходимо совместить начала координат систем XYZ и X₀Y₀Z₀, то есть перенести точку отражения в центр координат плоскости YZ (рис.7). При отражении молекулы от верхней части боковой стенки исследуемого объема (y₂>0) или нижней части анода (y₂<0) угол составит:

= 1 + - 3.

Рис.7 Перенос координат относительно центра

При отражении молекулы от боковой стенки при y₂<0 или от анода при y₂>0: