Пусть на некоторый произвольный объем W воздействует свободномолекулярный поток, причем количество молекул, влетающих в объем в единицу времени, равен Kv (рис. 1.2).

Рис. 1.2 Произвольный объем со свободномолекулярным потоком

Необходимо определить количество Kw и среднюю концентрацию молекул Nw в объеме W.

При взаимодействии свободномолекулярного потока с объемом имеют место два следующих процесса:

- увеличение числа молекул в объеме со скоростью Kv;

- уменьшение числа молекул в объеме со скоростью Kw, где: - коэффициент, показывающий какая часть молекул вылетает из объема в единицу времени.

Тогда можно записать:

, (1)

где t - время.

Решая это дифференциальное уравнение при начальных условиях: t=0, Kw=0, получим :

(2)

В установившемся режиме, при t :

(3)

Выясним физический смысл коэффициента . Для этого рассмотрим решение уравнения (1) при отсутствии внешнего потока (Kv=0)

и начальных условиях t=0, Kw = Kw0. Тогда:

Kw = Kw0 exp(- t) (4)

При t : Kw 0, то есть все молекулы вылетают из объема W. Среднее время нахождения молекулы в объеме W может быть определено следующим образом:

(5)

Тогда выражения для определения Kw и Nw могут быть записаны:

Kw = Kv Tw и

(6)

Внутри объема W распределение концентрации молекул (Nj) может быть определено следующим образом:

, (7)

где Wj - часть объема W, задаваемая параметром j (либо совокупностью параметров), которые определяют размеры объема Wj и его положение в объеме W (W= Wj);

Tj - среднее время нахождения молекул в объеме Wj (Tw= Tj).

Таким образом, средняя концентрация молекул (Nj) в объеме, задаваемом параметром j либо совокупностью параметров и входящем в объем W, определяется величиной объема (Wj), средним временем нахождения молекулы в объеме (Tj) и количеством молекул, влетающих в объем (W) в единицу времени.

Задача определения распределения молекул разреженного газа в объеме W может быть решена путем математического моделирования с использованием вероятностного численного метода (метода Монте-Карло).

Для этого необходимо:

- задать параметры, определяющие представление объема W как совокупности объемов Wj;

- смоделировать входной поток молекул разреженного газа, который в частном случае может быть представлен в виде направленного потока молекул разреженного газа, имеющих кроме того тепловую составляющую скорости, и определить величину Kv для заданных параметров потока и объема W;

- смоделировать движение молекул внутри объема W, определить время нахождения каждой молекулы в составных частях объема Wj и рассчитать Tj - среднее время нахождения молекул в объеме Wj.

- в соответствии с выражением (7) рассчитать распределение концентрации молекул (Nj) внутри объема W.

Моделирование объема

При моделировании объема W ограничимся рассмотрением круглого прямоугольного цилиндра, определяемого радиусом R0 и высотой L, у которого боковые стенки для молекул газа непроницаемы, а проницаемость основания может быть задана тем или иным образом. Размеры цилиндра при этом таковы, что потоки разреженного газа, воздействующие на цилиндр являются свободномолекулярными. В общем случае внутри этого цилиндра расположен второй цилиндр с радиусом RA < R0, непроницаемый для молекул газа и ограничивающий размеры объема W, в котором моделируется движение молекул. Этот цилиндр является анодом датчика. Такая модель объема W близка к реальной геометрии МИП.

Прямоугольную систему координат будем размещать в центре основания цилиндра так, чтобы ось X была направлена вдоль оси симметрии (рис.1.3).

Рис. 1.3 Модель МИП относительно осей координат

Объем W будем представлять в виде совокупности объемов Wpk, для которых:

- 1 p ps, где ps - количество равных частей (долей), на которые делится объем W вдоль оси X; при этом индексу 1 соответствует часть объема, включающая начало координат, нарастание индекса в обозначении соответствует увеличению величины x;

- 1 k 2 ks, где 2ks - количество равных цилиндрических секторов, на которые объем W делится радиусами, проведенными из начала координат, в плоскости YZ; при этом отсчет секторов ведется по часовой стрелке вокруг положительного направления оси X (нумерация секторов ведется от положительного направления оси Y);

Для нахождения распределения концентрации разреженного газа в объеме W в направлении радиуса оснований цилиндра введем R1 и R2 - заданные радиусы (R0 > R2 > R1 > RA), ограничивающие объем, в котором рассчитывается концентрация молекул, частью цилиндрического сектора частный объем с основанием в виде кольцевого сектора с радиусами R1 и R2. Они представлены на рисунке 1.4.

Рис. 1.4 Вид боковых поверхностей с заданными радиусами

Частный объем рассчитывается по следующей формуле:

, (8)

где r1 = R1/R0, r2 = R2/R0, l = L/R0 - относительные геометрические размеры, отнесенные к радиусу R0.

Влет молекул в объем W и вылет из него происходят через торцевые стенки, которые в общем случае могут иметь зоны прозрачности и непрозрачности. Зоны прозрачности помимо геометрических размеров могут характеризоваться коэффициентом прозрачности (fs), причем 0 fs (y,z) 1. Принимаем, что непрозрачной части торцевой стенки соответствует fs(y,z) = 0, а полностью прозрачной части соответствует fs(y,z) = 1.

Кроме указанных геометрических характеристик объем W характеризуется абсолютной температурой стенок - Т, от которых происходит отражение молекул разряженного газа.

Моделирование набегающего потока

При моделировании набегающего потока определяется вектор скорости молекул, влетающих в объем W. Рассмотрим случай, когда набегающий поток может быть представлен в виде направленного потока молекул разреженного газа с заданной величиной скорости (V0) и углами относительно системы координат XYZ: v (угол между вектором скорости V0 и осью X) и v (угол между проекцией вектора скорости V0 на плоскость YZ и осью Y), которые кроме того имеют случайную составляющую скорости, определяемую абсолютной температурой разреженного газа Tm. Тогда вектор скорости молекулы набегающего потока может быть представлен:

Модуль наиболее вероятной скорости (VT0) может быть определен следующим образом:

, (10)

где RT 590 м2(с2град)-соответствует молекулярному азоту;

T и T - углы, определяющие направление VT и представляющие собой случайные величины, распределенные по равномерному закону (0 T и 0 T <2. )

В общем случае Vx может быть как больше, так и меньше 0. Первому случаю соответствует влет молекул в объем W через переднюю торцевую стенку (x = 0), а второму - через заднюю (x = l). При этом набегающий поток может быть рассмотрен как сумма двух аддитивных потоков, направленных навстречу друг другу.

Формирование набегающего потока в соответствии с выражением (9) позволяет смоделировать практически все виды реально существующих потоков нейтральных молекул. Действительно:

- при V0 >> VT0 и v 0 (Vxv >> VxT) моделируется воздействие разреженной земной атмосферы для высот полета КА на МИП, ось X которого совпадает с направлением движения КА;

- при V0 >> VT0 и v =/2 (Vxv = VxT) моделируется воздействие разреженной земной атмосферы для высот полета КА на МИП, ось X которого перпендикулярна направлению движения КА;

- при V0=0 моделируется воздействие на МИП стационарной составляющей собственной внешней атмосферы КА;

- при Tm=0 и V00 моделируется воздействие на МИП потоков собственных газовыделений систем КА (возможно дополнительное моделирование параметров указанных потоков).

Моделирование движения молекулы внутри объема

Движение молекулы внутри датчика рассматриваем как совокупность прямолинейных траекторий, первая из которых начинается с точки влета молекулы в объем, а последняя завершается вылетом молекулы из объема W. При этом, началом прямолинейной траектории может быть как точка влета молекулы в объем, так и конечная точка предыдущей прямолинейной траектории (точка отражения молекулы от внутренней поверхности), а концом - либо точка попадания молекулы на внутреннюю поверхность объема, либо точка вылета из объема.

- расчет траектории движения молекулы;

- анализ условий вылета молекулы;

- формирование вектора скорости при отражении.

Исходными данными для расчета траектории движения молекулы являются координаты начала движения и проекции вектора скорости молекулы на оси координат X,Y,Z. Целью расчета является определение координат точки пересечения молекулой внутренней поверхности объема.

Анализ условий вылета молекулы заключается в сравнении координат точки пересечения молекулой внутренней поверхности объема с координатами зон прозрачности и непрозрачности и принятии решения либо о вылете молекулы из объема, либо об ее отражении от внутренней поверхности объема.

Для определения вектора скорости молекулы, отраженной от внутренней поверхности объема, необходимо смоделировать механизм ее взаимодействия с внутренней поверхностью.

В общем случае можно ожидать следующие виды взаимодействий молекулы с поверхностью: адсорбция на поверхности, ионизация молекулы при отражении, отражение нейтральной молекулы. Ограничимся моделированием отражения нейтральной молекулы от шероховатой (в микромасштабе) поверхности, считая первые два вида взаимодействия в моделируемых условиях маловероятными. В результате моделирования должны быть определены модуль вектора скорости отраженной молекулы и его проекции на оси координат.

При отражении молекулы от твердой поверхности происходит обмен энергией между молекулой и поверхностью. При этом, доля энергии, передаваемая молекулой или приобретаемая ею при столкновении с поверхностью, определяется характером взаимодействия и свойствами поверхности.

Величиной, характеризующей тип взаимодействия и свойства поверхности (механические и химические) твердого тела, является коэффициент аккомодации энергии молекулы, определяемый выражением [1,с.215]:

, (11)

где Ei - энергия падающей молекулы;

Er - энергия отраженной молекулы;

E - энергия, соответствующая температуре поверхности T.

Так как

,

то для модулей скоростей можно записать:

, (12)

где Vr - модуль скорости отраженных молекул;

Vi- модуль скорости падающих молекул;

V - модуль скорости молекул, имеющих температуру равную температуре поверхности.

Выражение (12) справедливо для статистически усредненных значений модулей скоростей, что и должно быть обеспечено для совокупности моделируемых отражений.

Величина коэффициента аккомодации ac для условий, сходных с условиями, при которых проводится моделирование, составляет от 0.5 до 1 [2, с.95].

Значения проекций вектора скорости отраженной молекулы определяются принятым для моделирования законом рассеяния молекулы от внутренней поверхности объема. Крайними случаями рассеяния являются зеркальное отражение и диффузное рассеяние, подобное отражению света от шероховатой белой поверхности [2, с.85].

В общем случае, сумму этих видов отражений описывает зеркально-диффузная функция распределения [3, п.1.7], [1, п.5.4]. Однако, из результатов экспериментов, представленных в [2, с.89] следует, что для полированных металлических поверхностей при всех углах падения довольно точно соблюдается рассеяние по диффузному закону, не учитывающему зеркальную составляющую отражения. При этом отраженные молекулы рассеиваются в пределе полусферы таким образом, что интенсивность потока отраженных молекул в телесном угле d пропорциональна косинусу между нормалью к поверхности, от которой происходит отражение (ось X0) и направлением рассеяния и не зависит от угла падения (рис.1.5).

Рис.1.5 Интенсивность потока отраженных молекул в телесном угле d

Закон диффузного рассеяния (или закон косинуса), как функция распределения интенсивности потока отраженных молекул, был принят при моделировании отражения молекул от внутренних поверхностей объема.

Распределение концентрации молекул внутри объема

Количество молекул, влетающих в объем в единицу времени, может быть рассчитано следующим образом:

Kv= Kv1 + Kv2 = Nv Vxср1 Sэкв1 + (1 -) NvVxср2 Sэкв2,

где Kv1 и Kv2 - количество молекул, влетающих в объем через переднюю и заднюю стенки, соответственно;

Nv - концентрация набегающего потока;

0 = n1/n 1 - коэффициент, равный отношению n1 - количества молекул, влетевших в объем через переднюю стенку (Vx > 0), к n - общему количеству молекул (общему количеству испытаний);

Vxср1 =(1/n1) Vxi1 - средняя скорость влета молекул в объем W через переднюю стенку за n1 испытаний;

Vxср2 = (1/n2) Vxi2- средняя скорость влета молекул в бъем W через заднюю стенку за n2= n - n1 испытаний.

,

где Sэкв1 - эквивалентная площадь влета молекул через переднюю стенку,

,

где Sэкв2 - эквивалентная площадь влета молекул через заднюю стенку.

Если Sэкв1 = Sэкв2 = Sэкв, то выражение (7) может быть записано:

Тогда относительное распределение концентрации молекул:

, (14)

где

средняя скорость влета молекул в объем.

Из выражения (14) следует, что распределение концентрации молекул в объеме W не зависит от концентрации набегающего потока, разумеется, если сохраняются условия, при которых поток является свободномолекулярным.

Пусть размеры зон прозрачности: S1 - для передней стенки, S2 - для задней стенки и коэффициенты прозрачности, соответственно, fs1 и fs2 равны между собой. Тогда эквивалентная площадь влета:

Sэкв= S fs = q R02fs = R02 as, (15)

где S = S1 = S2, fs = fs1 = fs2;

q = S/ R02- относительный размер зоны прозрачности передней и задней стенок;

as = q fs - интегральный коэффициент прозрачности для передней и задней стенок (при fs = 1 as = q).

Среднее время нахождения молекул в объеме Wpk может быть рассчитано по следующей формуле:

(16)

где dpk - расстояние, которое в i-ом испытании молекула пролетает в объеме Wpk;

Vpk - скорость пролета объема Wpk в i-ом испытании;

n - число испытаний.

Подставляя в выражение (13) значения Vxср, Sэкв, получаем:

Kv = Nv Vxср r02 as (17)

Подставляя в выражение (14) значения Vxср, Sэкв, Tpk, Wpk, получаем:

Или:

(18)

где Vxср0 = Vxср/Vст0 - средняя скорость влета молекул в объем W, отнормированная по Vст0;

суммарное время нахождения молекул в объеме за n испытаний, пронормированное по R0/Vст0;

модуль наиболее вероятной скорости молекулы, имеющей температуру стенок объема W.

Выражение (18) описывает основную расчетную формулу моделирования аэродинамического взаимодействия набегающего потока с МИП и определяет аналитическую зависимость между относительным распределением концентрации молекул разреженного газа в объеме W с одной стороны и исходными данными и результатами моделирования с другой.

Алгоритм моделирования.

На рисунке 1.6 представлен алгоритм объединяющий локальные задачи в единую систему моделирования аэродинамического взаимодействия свободномолекулярного потока с объемом.

Рис. 1.6 Алгоритм моделирования

Таким образом моделирование включает:

а) формирование исходных данных. Исходными данными для моделирования являются: R, T, Tm, l, r1, r2, rA, V0, v, v, n, ps, ks, as1 ,as2 ,ac.

б) проведение n независимых испытаний. В каждом испытании в соответствии с исходными данными генерируется вектор скорости молекулы и координаты точки влета молекулы в объем W, рассчитывается траектория движения молекулы от точки влета до границы объема и определяются времена нахождения молекулы в объемах Wpk с учетом r1, r2 и координаты новой точки пересечения траектории движения молекулы с границей объема, а так же анализируются условия вылета молекулы из объема. Если условия вылета не выполняются, то моделируется отражение молекулы с учетом коэффициента аккомодации ac и вновь рассчитывается траектория ее движения до новой точки на границе объема; так повторяется до тех пор, пока условия вылета молекулы из объема W не будут выполнены, причем для каждой траектории определяются времена нахождения молекулы в объемах Wpk с учетом r1, r2 и координаты новой точки пересечения траектории движения молекулы с границей объема.

в) по результатам n испытаний подсчитывается tpk - суммарное время нахождения n молекул в каждом из объемов Wpk, при расчете которого используются расстояния, отнормированные по величине R0 и скорости, отнормированные по величине Vст0 и Vxср0 - средняя скорость влета n молекул в объем W, отнормированная по Vст0.

г) В соответствии с выражением (18), с учетом исходных данных и результатов моделирования рассчитываются Npk0, что и является целью моделирования аэродинамического взаимодействия набегающего потока с МИП.

Описание алгоритма моделирования.