Эффект поля в микроэлектронике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

На тему: Эффект поля в микроэлектронике

Оглавление

Введение

1. Основы физики полупроводников

1.1 Элементарные сведения о полупроводниках

1.2 Основы зонной теории полупроводников

1.3 Квазиимпульс и эффективная масса носителей заряда

1.4 Статистика электронов и дырок в полупроводниках

2. Контакт электронного и дырочного полупроводников

3. Структуры металл - диэлектрик - полупроводник

4. МДП-транзисторы

5. Энергонезависимые элементы памяти

Литература

Введение

Эффектом поля в полупроводниках называется модуляция поверхностной электропроводности полупроводника внешним электрическим полем. Для наблюдения эффекта поля необходимо создать внешнее поле, для чего используется структура металл - диэлектрик - полупроводник (МДП-структура). Для понимания процессов, происходящих в приповерхностной области пространственного заряда (ОПЗ) полупроводника, необходимо рассмотреть основные свойства полупроводников и свойства МДП-структур на их основе.

1. Основы физики полупроводников

Физика полупроводниковых устройств, естественно, определяется физическими свойствами самих полупроводниковых материалов. Ниже рассмотрены основные необходимые для понимания работы полупроводниковых устройств свойства полупроводниковых материалов на примере наиболее используемых в полупроводниковой электронике материалов кремний, германий и арсенид галлия.

1.1 Элементарные сведения о полупроводниках

Наиболее просто полупроводники можно классифицировать по величине удельного сопротивления: удельное сопротивление полупроводников больше, чем у металлов, но меньше, чем у диэлектриков. Однако удельное сопротивление не может служить в качестве однозначного критерия для классификации полупроводников хотя бы по той причине, что при переходе от одного класса веществ к другому значения удельного сопротивления перекрываются. Более четким критерием могут служить температурные зависимости удельного сопротивления. У химически чистых металлов удельное сопротивление с ростом температуры увеличивается пропорционально абсолютной температуре Т, т.е.

, (1)

где с₀ - удельное сопротивление данного металла при 0⁰С; б - термический коэффициент сопротивления, равный 1/273; Т₀ = 273. Для полупроводников характер температурной зависимости удельного сопротивления иной. Для некоторого интервала температур эта зависимость имеет вид:

, (2)

где в и с₀ - некоторые постоянные для данного интервала температур величины, характерные для каждого полупроводникового материала. Таким образом, температурный коэффициент электропроводности

(3)

у металлов отрицательный, а у полупроводников положительный. Казалось бы, что теперь вопрос о различии полупроводников и металлов решен знаком температурного коэффициента удельной электропроводности. Однако выбор его в качестве определяющего критерия осложнен тем, что в некотором интервале температур полупроводник может вести себя подобно металлу. Поэтому по знаку температурного коэффициента удельной электропроводности не всегда можно установить принадлежность вещества к классу полупроводников. Ответить на этот вопрос можно, если проследить, как изменяется электропроводность вещества при понижении температуры.

С понижением температуры удельная электропроводность металлов растет. При температуре абсолютного нуля металлы имеют конечное значение удельной электропроводности, а у некоторых металлов и их сплавов наступает сверхпроводящее состояние. Такие изменения удельной электропроводности металлов с понижением температуры возможны лишь потому, что независимо от температуры в металле всегда имеются свободные носители заряда - электроны. У полупроводников, наоборот, удельная электропроводность уменьшается при понижении температуры, а по мере приближения температуры к абсолютному нулю полупроводники по своим свойствам приближаются к диэлектрикам. Из этого следует, что в полупроводнике свободные носители заряда возникают при подведении к нему тепловой энергии. Эти носители заряда называются тепловыми или равновесными. Опыт показывает, что появление свободных носителей заряда в полупроводнике имеет также место при освещении, облучении ядерными частицами, при наложении на полупроводник электрического поля, при изменении внешнего давления.

Возникающие в этих случаях носители заряда называются неравновесными. Процесс образования как равновесных, так и неравновесных носителей заряда очень сильно зависит от структуры полупроводникового вещества и наличия в нем примеси. Следовательно, полупроводники - это такие вещества, которые при комнатной температуре имеют удельную электропроводность в интервале от 10^-10 до 10⁴ Ом^-1·см^-1, зависящую в сильной степени от структуры вещества, вида и количества примеси и от внешних условий: температуры, давления, освещения, облучения ядерными частицами, электрического и магнитного полей. Согласно этому определению между полупроводниками и диэлектриками не существует принципиального качественного различия, ибо они обладают электропроводностью только вследствие теплового возбуждения носителей заряда. Более различны по своей природе металлы и полупроводники. У металлов электропроводность слабо зависит от присутствия примеси, внешних условий и при любой температуре концентрация свободных электронов остается постоянной и составляет величину порядка 10²² см^-3.

Рассмотрим механизм электропроводности полупроводниковых веществ на примере элементарных полупроводников кремний Si и германий Ge, принадлежащих к четвертой группе периодической таблице Менделеева. Электроны распределены у них по состояниям следующим образом:

Si⁽¹⁴⁾(1s²2s²2p⁶3s²3p²);

Ge⁽³²⁾(1s²2s²2p⁶3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p²).

Внешняя электронная оболочка у этих атомов заполнена частично, она содержит четыре электрона. При образовании кристалла, например кремния, четыре валентных электрона каждого атома из состояния 3s²3p² переходят в гибридное sp³- состояние с неспаренными спинами и образуют четыре пространственно эквивалентные связи. В результате каждый атом окружен четырьмя ближайшими соседями и находится в центре тетраэдра.

Возникает так называемый алмазоподобный тип кристаллической решетки. Элементарная ячейка алмаза представляет собой куб с центрированными гранями, внутри которого имеются еще четыре атома. Эти внутренние атомы можно получить смещением внешних атомов ячейки в направлении пространственной диагонали куба на расстояние ј длины диагонали, и поэтому они также образуют гранецентрированную решетку. Иными словами, решетку алмаза можно представить как две гранецентрированные кубические решетки, вдвинутые друг в друга. Тетраэдрическое расположение четырех ближайших соседей каждого атома можно изобразить двумерной схемой, представленной на рис.1.

Рис 1. Двумерное представление расположения связей в решетки кремния (собственный полупроводник)

Здесь в узле решетки находится ион кремния с зарядом +4, которому принадлежат четыре валентных электрона. Валентные электроны, обеспечивающие ковалентную связь, на рис.1а представлены в виде черных точек. В идеальном полупроводнике, изображенном на рис.1а, все электроны связанные. Если поместить такой полупроводник в электрическое поле, то электрический ток не может возникнуть, т.к. все связи в решетке заполнены и свободных носителей заряда нет. Допустим, что под воздействием каких-либо возмущений, например тепловой энергии, произошел разрыв валентной связи и электрон стал свободным. Процесс превращения связанного электрона в свободный электрон носит название генерации.

На месте ушедшего электрона образуется незавершенная связь, которая будет иметь избыточный положительный заряд, поскольку он теперь не скомпенсирован зарядом электрона. Вакантное место в валентной связи получило название дырки. В целом кристалл остается электронейтральным, т.к. каждому образовавшемуся положительному заряду в связи - дырке соответствует свободный электрон. На рис.1б свободные электроны и дырки изображены соответственно черными и светлыми кружочками. Если свободный электрон подойдет к тому атому, от которого он был оторван, то он может соединиться с атомом. Процесс превращения свободного электрона в связанный электрон носит название рекомбинации. Полупроводник, в котором в результате разрыва валентных связей образуется равное количество свободных электронов и дырок, называется собственным.

Свободные электроны за счет тепловой энергии перемещаются по кристаллу полупроводника. Но в реальном веществе идеальность кристаллической структуры всегда нарушена присутствием в нем разных дефектов. Такими дефектами являются тепловые колебания атомов кристалла, разные примеси, дислокации. Поэтому свободный электрон, перемещаясь по кристаллу, будет сталкиваться с дефектами кристаллической решетки, в результате чего меняется направление его движения. В силу этого тепловое движение свободного электрона является беспорядочным. Вакантное место в валентной связи - дырка может быть заполнена электроном, перешедшим за счет тепловой энергии с соседней насыщенной связи. При таком переходе от атома к атому дырка также будет совершать хаотическое движение. Расстояние, проходимое свободным носителем заряда между двумя столкновениями, называется длиной свободного пробега, а время между двумя соударениями - временем свободного пробега. Средняя длина свободного пробега l и среднее время свободного пробега ф связаны соотношением

, (4)

где v₀ - средняя скорость теплового движения свободного носителя заряда, составляющая при комнатной температуре величину порядка 10⁷ см/с.

Поместим собственный полупроводник в электрическое поле. Под воздействием поля свободные электроны полупроводника будут ускоряться и приобретут скорость, направленную против поля. Благодаря этому у электронов, движение которых за счет тепловой энергии происходило против направления поля, скорость увеличится, а у электронов, движущихся по полю, уменьшится. В результате вся совокупность свободных электронов получает некоторую скорость направленного движения.

Таким образом, фактическое движение электрона в кристалле складывается из беспорядочного теплового и упорядоченного движения, вызванного действием внешнего электрического. Направленное движение совокупности свободных носителей заряда в электрическом поле носит название дрейфа, а скорость их направленного движения называется дрейфовой скоростью. Электроны насыщенных связей при переходе на вакантное место в связи под действием внешнего электрического поля будут перемещаться против направления поля. Тем самым вакантное место в валентной связи - дырка будет также перемещаться, но по направлению внешнего поля, что равносильно перемещению по полю положительного заряда. Механизм проводимости, обусловленный движением связанных электронов по вакантным связям, получил название дырочной электропроводности. Следовательно, электрический ток в собственном полупроводнике определяется двумя составляющими - электронным и дырочным токами, текущими в одном направлении.

Рассмотрим теперь механизм электропроводности полупроводника с решеткой типа алмаза, в котором один из атомов замещен атомом элемента V группы, например мышьяка в решетке кремния. Полупроводник, имеющий примеси, называется примесным, а электропроводность, созданная примесью, носит название примесной электропроводности. У атома мышьяка пять валентных электронов расположены в 4s- и 4p-состояниях. В решетке кремния четыре валентных электрона атома мышьяка вместе с четырьмя электронами ближайших атомов кремния участвуют в образовании ковалентной связи, как это схематически показано на рис.2а.

Рис.2 Схематическое изображение донорного (а) и акцепторного (б) полупроводника.

Пятый электрон мышьяка не может принять участие в образовании связи, поскольку все связи завершены. Он слабо связан с атомом мышьяка, т.к. он испытывает воздействие со стороны окружающих атомов кремния. При низких температурах пятый электрон локализован около атомов мышьяка, но при повышенных температурах он будет оторван от примеси и может свободно перемещаться по кристаллу. Наряду с ионизацией примеси может происходить и ионизация атомов основного вещества. Но в области температур ниже той, при которой имеет место значительная собственная электропроводность, количество электронов, оторванных от примеси, будет значительно больше количества электронов и дырок, образовавшихся в результате разрыва валентных связей. В силу этого доминирующую роль в электропроводности полупроводника будут играть электроны, поэтому они называются основными носителями заряда, а дырки - неосновными носителями заряда. Такой полупроводник называется электронным или п-типа, а примесь, дающая электроны, носит название донорной.

Пусть в качестве примеси в кристаллическую решетку полупроводника с ковалентной связью внесены атомы элемента третьей группы периодической системы Менделеева, например алюминий в решетке кремния. Поскольку высшая валентность алюминия равна трем, то одна связь атома кремния будет не завершена (рис.2б). В незаполненную связь около атома алюминия за счет тепловой энергии может перейти электрон из атома кремния. При этом образуются отрицательный ион алюминия и свободная дырка, перемещающаяся по связям кремния и, следовательно, принимающая участие в электропроводности полупроводника. Примесь, захватывающая электроны, называется акцепторной. Для образования свободной дырки за счет перехода электрона от атома основного вещества к атому примеси требуется значительно меньше энергии, чем для разрыва валентных связей кремния. В силу этого количество дырок может быть значительно больше количества свободных электронов и электропроводность кристалла будет дырочной. В таком полупроводнике основными носителями заряда будут дырки, а электроны - неосновными носителями заряда. Полупроводник с акцепторной примесью носит название дырочного или р-типа.

Проведем подсчет плотности тока для донорного полупроводника, электроны проводимости которого будем рассматривать как идеальные частицы, не имеющие собственного объема и не взаимодействующие друг с другом. Пусть их концентрация п, а скорость дрейфового движения v. Поскольку плотность тока есть заряд, проходящий в единицу времени через единичное сечение, то

j=-env. (5)

Электрическое поле напряженности Е сообщит электрону с массой т ускорение, равное

. (6)

За время свободного пробега ф электрон приобретает дрейфовую скорость

(7)

Величина

(8)

называется подвижностью носителей заряда. Подвижность носителей заряда численно равна скорости дрейфа в электрическом поле единичной напряженности. Из (7) следует, что

(9)

С учетом (8) выражение (5) для плотности тока примет вид:

j=-env=enмE (10)

т.к. вектор скорости электронов v направлен в противоположную сторону вектора E. Удельная электропроводность на основании закона Ома может быть выражена при помощи (10) как

(11)

1.2 Основы зонной теории полупроводников

Твердое тело, как известно, состоит из атомов, т. е. из ядер атомов и электронов. Ядра атомов образуют кристаллическую решетку, которая обладает свойством пространственной периодичности. При наложении внешнего электрического поля решетка практически не деформируется, хотя ядра атомов и заряжены. Это происходит потому, что силы, удерживающие ядра атомов в узлах кристаллической решетки, обычно значительно больше тех сил, которые создаются внешними электрическими полями. Те из электронов, которые не находятся близко к ядру атома и поэтому к нему не очень сильно притягиваются, могут передвигаться по твердому телу, создавая электрический ток. Однако при количественном описании этого явления возникают серьезные трудности. Они связаны с тем, что электроны являются заряженными частицами и при своем движении по твердому телу встречаются с другими электронами. Но так как между электронами действуют электрические силы отталкивания, то движение электрона оказывается зависимым от движения окружающих его электронов. Иными словами, в рассматриваемом случае надо решать не одноэлектронную, а многоэлектронную задачу. Поэтому для определения стационарных состояний и энергетического спектра совокупности большого числа атомных ядер и электронов в кристалле нужно решить уравнение Шредингера:

HФ=ЕФ (12)

где Н - гамильтониан кристалла; Ф - собственная волновая функция гамильтониана; E энергия кристалла.

Значения волновой функции кристалла зависят от координат всех электронов и всех атомных ядер.

Оператор Гамильтона представляющий собой сумму операторов кинетической и потенциальной энергий, выраженный через импульс и координаты, включает в себя следующие операторы:

1) оператор кинетической энергии электронов

2) оператор кинетической энергии ядер

3) потенциальную энергию попарного взаимодействия электронов

4) потенциальную энергию попарного взаимодействия ядер

5) потенциальную энергию взаимодействия электронов с ядрами

Число независимых переменных в уравнении (12) определяется полным числом частиц в кристалле, которые в 1 см³ вещества составляют величину порядка 10²⁸. Такая задача в настоящее время не может быть решена в общем виде. Возможно лишь приближённое решение задачи, которое достигается с помощью ряда последовательных приближений.

Разделим всю систему частиц на легкие (электроны) и тяжелые (атомные ядра). В равновесном состоянии средние значения кинетической энергии этих частиц одного порядка. Так как масса ядра намного больше массы электрона, то скорости движения электронов намного превосходят скорости ядер (приблизительно на два порядка). При каждом изменении положения атомных ядер практически мгновенно устанавливается пространственное распределение электронов, соответствующее новому положению ядер. Это позволяет в первом приближении рассматривать движение электронов в потенциальном поле фиксированных ядер. В этом случае волновая функция и энергия электронов будут некоторыми функциями, адиабатически меняющимися с изменением расположения ядер, координаты которых будут входить в эти функции как параметры. При изучении движения ядер, напротив, следует учитывать не мгновенное положение электронов, а поле, создаваемое их средним пространственным распределением. Такое приближенное рассмотрение называется адиабатическим, или приближением Борна - Оппенгеймера.

Однако только адиабатического приближения еще недостаточно для точного решения уравнения Шредингера для кристалла.

Следующим, из наиболее распространенным методов приближения для решения многоэлектронной задачи для кристалла является метод Хартри -- Фока, позволяющий многоэлектронную задачу свести к одноэлектронной. Его идея заключается в том, что энергия попарного взаимодействия электронов заменяется взаимодействием каждого электрона с усредненным полем всех остальных электронов. Потенциальная энергия электрона в этом поле зависит не только от движения всех остальных электронов, но и зависит и от движения данного электрона, так как его движение оказывает влияние на движение остальных электронов. Поскольку поле определяет не только движение данного электрона, но и само зависит от его движения, то это поле получило название самосогласованного.

При таком приближении гамильтониан кристалла представляет собой сумму гамильтонианов отдельных электронов, каждый из которых зависит от координат одной частицы.

Для этого случая волновая функция системы частиц может быть представлена как произведение волновых функций, описывающих состояние отдельных частиц системы. Это означает, что электроны ведут себя независимо друг от друга (как бы не взаимодействуя), а полная энергия системы частиц равна сумме энергии отдельных электронов.

Таким образом, введение самосогласованного поля позволяет рассматривать электроны в кристалле как частицы невзаимодействующие, т. е. двигающиеся независимо друг от друга. Это и является основанием для представления электронов проводимости в виде идеального газа. Введение самосогласованного поля позволяет задачу многих частиц свести к задаче для одного электрона:

, (12)

где H, Ш, E-- соответственно гамильтониан, волновая функция и энергия электрона в кристалле.

Если ввести обозначение для потенциальной энергии электрона в кристалле через функцию V (r), то уравнение Шредингера для электрона кристалла запишется в виде

(13)

Существуют различные способы рационального выбора вида функции Ш(r) для решения одноэлектронной задачи. Наиболее часто для этого используются состояния электрона, находящегося в потенциальном поле всех ионов решетки, заряд которых в среднем скомпенсирован зарядом валентных электронов, т. е. в поле периодического потенциала. Иными словами, принимается, что член V(r) есть полный потенциал кристалла, обладающий трехмерной периодичностью решетки. Это означает, что

(14)

где вектор трансляции

(15)

a₁, a₂, a₃ - периоды идентичности решетки по трем произвольным направлениям, а n₁, n₂, n₃ - произвольные целые числа. В этом случае волновая функция электрона в кристалле с учетом условий нормировки может быть представлена в виде

(16)

где функция

(17)

обладает трехмерной периодичностью кристаллической решетки, и k -- постоянный вектор, характеризующий квантовое состояние электрона в кристалле, который называется волновым вектором. Поскольку произведение (ka_n) должно быть безразмерным, то волновой вектор имеет размерность обратной длины (см^-1) и численно равен k = 2р/л.

Таким образом, стационарная волновая функция электрона в периодическом поле кристалла зависит от волнового вектора k и имеет вид (16)где представляет собой плоскую волну, бегущую в направлении вектора k, a -- некая функция координат, зависящая от волнового вектора k и имеющая периодичность решетки. Выражение (16) для носит название волны (или функции) Блоха. Если ее подставить в уравнение (12), то будем иметь:

(18)

Из равенства (18) следует, что энергия электрона в кристалле должна зависеть от волнового вектора k, т. е. Е = Е (k).

Следовательно, решением уравнения Шредингера для электрона в периодическом поле кристалла является бегущая плоская волна, модулированная с периодичностью решетки, а энергия электрона зависит от волнового вектора k.

При описании движения электрона в периодическом поле кристаллической решетки квантовая механика дает такие результаты, которые удобно сравнивать с квантовомеханическими результатами для изолированного атома. Известно, что спектр излучения свободного атома представляет собой набор дискретных линий. Как показывает квантовая теория, это объясняется тем, что электроны в изолированном атоме обладают дискретными значениями энергии.

Одно из положений физики гласит, что состояние устойчивого равновесия, в котором система может долго находиться, определяется минимумом потенциальной энергии. С этой точки зрения все электроны в атоме должны были бы находиться в наинизшем энергетическом состоянии, т. е. на энергетическом уровне, который расположен ближе всего к ядру. Однако квантовомеханические законы накладывают на это положение ограничение, сформулированное Паули. Согласно принципу Паули на одном и том же энергетическом уровне может находиться не более двух электронов. При этом электроны должны иметь противоположно направленные спины.

Рассмотрим теперь, что происходит с энергетическими уровнями при взаимодействии большого числа атомов, образующих кристалл. Уровни энергии внутренних электронов, расположенных ближе к ядру, при этом почти не изменяются. Об этом можно судить по рентгеновским характеристическим спектрам, вид которых почти не зависит от соединения или агрегатного состояния вещества. Однако оптический спектр, обусловленный переходом самых внешних валентных электронов, резко меняется.

Если считать, что кинетическая энергия электронов значительно больше пространственных изменений его потенциальной энергии, то периодический потенциал V (r) можно рассматривать как малое возмущение свободного движения электронов. Такой подход, получивший название приближения почти свободных электронов, дает более или менее удовлетворительные результаты при решении некоторых задач для металлов.

Анализ физических свойств полупроводников более нагляден в приближении сильно связанных электронов, в котором считают, что состояние электрона в кристалле мало отличается от состояния его в изолированном атоме. Но такой подход применим только для электронов, находящихся на глубоких энергетических уровнях атомов, т. е. он применим для электронов, которые слабо взаимодействуют с атомами других узлов решетки. Поэтому приближения ни слабо, ни сильно связанных электронов не позволяют количественно описать состояние валентных электронов в кристалле. Другими словами, эти приближения не могут быть использованы для количественных расчетов энергетического спектра электронов конкретного вещества, но они хорошо иллюстрируют общие закономерности движения электрона в периодическом поле кристалла.

В приближении сильно связанных электронов считается, что состояние электрона в атоме кристалла мало меняется по сравнению с его состоянием в изолированном атоме. Для нахождения собственных значений энергии Е электрона в кристалле считается, что энергетический спектр изолированного атома известен. Обозначим гамильтониан изолированного атома через H_a, тогда гамильтониан кристалла H можно представить в виде:

H = H_а + W(r),

где W(r) - энергия возмущения для электрона в кристалле по сравнению с изолированным атомом. Проводимые с учетом этого расчеты позволяют сделать следующие выводы.

1. Атомный уровень в кристаллической решетке расщепляется в полосу или зону, внутри которой энергия электрона периодически зависит от компонент волнового вектора k. Ширина энергетической зоны определяется так называемым обменным интегралом, величина которого в свою очередь определяется перекрытием электронных облаков соседних атомов. В силу этого для более высоких атомных уровней из-за большего перекрытия волновых функций образуется более широкая энергетическая зона (рис.3).

2. Энергетические зоны в общем случае разделены запрещенными интервалами энергии Е_g, называемыми запрещенными зонами С ростом энергии ширина энергетических зон увеличивается, а ширина запрещенных зон уменьшается.

3. Уровень Е_а в изолированном атоме может быть вырожденным. В кристаллической решетке вырождение может быть частично или полностью снято. При этом атомный уровень расщепляется на несколько зон, число которых соответствует степени вырождения. Например, для р-состояния фактор вырождения g = 3, так как g = 2l+1, где l --азимутальное квантовое число, которое для р-состояния равно 1. Следовательно, из атомного р-состояния в кристалле возможно образование трех зон.

4. При воздействии на кристалл температуры и давления, приводящих к изменению расстояния между атомами, будет изменяться область перекрытия волновых функций и, следовательно, величина обменного интеграла. Это вызовет изменение ширины энергетических зон, в результате изменится и ширина запрещенной зоны между этими зонами.

Рис. 3. Образование зон энергии из энергетических уровней при сближении атомов. a - постоянная решетки кристалла.

5. Метод сильной связи неприменим к внешним валентным электронам атомов кристаллов, так как из-за большого перекрытия волновых функций соседних атомов ширина энергетической зоны валентных электронов примерно равна расстоянию между уровнями энергии в изолированном атоме или превосходит их.

Рис. 4 Образование энергетических зон из атомных уровней в алмазе.

Для подсчета числа состояний в зоне нужно при решении уравнения Шредингера для электрона учесть граничные условия на краях кристалла. Любые условия на границах кристалла не отразятся существенным образом на состояниях электронов в его объеме, так как число узлов в любом реальном кристалле очень велико. Наиболее удобным для решения поставленной задачи является применение условия цикличности Борна- Кармана.

Рассмотрим кристалл в форме параллелепипеда с размерами по осям х, у, z соответственно L_x, L_y, L_z. Для кубической решетки с параметром а

(19)

где N_x, N_y, N_z -- число атомов, укладывающихся на соответствующих ребрах кристалла. Потребуем, чтобы волновая функция Ш имела на противоположных гранях параллелепипеда одно и то же значение. Такое условие не накладывает на вид волновой функции никаких физических ограничений, связанных с границами кристалла:

(20)

Уравнение (20) по существу выражает граничные условия цикличности Борна-Кармана. Учитывая вид волновой функции для кристаллов (16), получаем:

(21)

Для выполнения условия (20) необходимо в выражении (21) принять:

Это равенство выполнимо, если показатель экспоненты есть целое число, умноженное на 2рi, т. е.

(22)

где n₁, n₂, n₃, -- произвольные целые числа. Отсюда следует, что

где (22)

Таким образом, компоненты волнового вектора k изменяются не непрерывно, а принимают ряд дискретных значений. В соответствии с этим оказывается квантовой и энергия электронов в разрешенной зоне.

С учетом значений волнового вектора k (22) можно записать волновую функцию для одномерной задачи в виде

(23)

где учтено, что R = ag, g -- номер атома, т. е. целое число, а L_x=aN_x.

Из выражения (23) видно, что волновая функция для п₁ = ± N_X будет ш_g и совпадает с функцией для п₂ = 0, а волновая функция для n₁= ± (N_x + 1) совпадает с функцией для n₁ = ± 1 и т.д. Это означает, что компонента k_x имеет _N_x значений, соответствующих различным n₁. При этом n₁ может принимать только значения 0, 1, 2, . . ., (N_x--l), так как Е (k) = E (-- k), т. е. n₁ изменяется только в пределах

(24)

Из соотношений (24), (22) и (19) получаем, что компоненты вектора k находятся в следующих интервалах значений:

(25)

где k_x, k_y, k_z принимают соответственно N_x, N_y, N_z различных значений. Следовательно, в разрешенной зоне кристалла имеется всего различных энергетических состояний (энергетических уровней), соответствующих различным k, равное числу элементарных ячеек в кристалле.

Согласно квантовой механике состояние электрона в атоме характеризуется главным квантовым числом п, азимутальным квантовым числом l, магнитным квантовым числом m и s_z -- проекцией спина на ось z. Состояние электрона в кристалле согласно принципу Паули также должно описываться четырьмя квантовыми числами. Как следует из соотношения (22), тремя квантовыми числами являются проекции волнового вектора k_x, k_y, k_z, а четвертым квантовым числом должно быть s_z. Проекция s_z может принимать только два значения: + 1/2 и -- 1/2. Это означает, что в состоянии (k_x, k_y, k_z) может быть не более двух электронов. Но набор (k_x, k_y, k_z) определяет величину энергии Е (k) для данной зоны. Следовательно, на каждом энергетическом уровне зоны, который определяется волновым вектором k, в соответствии с принципом Паули может находиться не более двух электронов с противоположно направленными спинами. Таким образом, в простой энергетической зоне, возникшей из невырожденного атомного уровня имеется 2N квантовых состояний, соответственно N энергетических уровней, и в зоне может быть не более 2N электронов. Если зона g -- кратко вырождена, то в ней может быть 2gN электронов. Из этого следует, что число квантовых состояний в зоне равно общему числу мест на уровнях изолированных атомов, из которых образовалась эта зона, т. е. имеет место сохранение числа состояний при образовании кристалла из атомов.

Оценим среднее расстояние между соседними уровнями энергии в разрешенной зоне. Примем значение параметра решетки а =4Е = 4·10^-8см, что дает объем элементарной ячейки а³ = 64·10^-24 см³. Число элементарных ячеек в кристалле единичного объема V = 1 см³, равное числу состояний в зоне, составит:

При ширине зоны 1 эВ среднее расстояние между ее уровнями будет порядка 10^-22 эВ, т. е. энергетическую зону можно считать квазинепрерывной.

1.3 Квазиимпульс и эффективная масса носителей заряда

Состояние электрона, свободно движущегося в пространстве, как известно, можно охарактеризовать энергией Е и импульсом р. При этом связь между энергией и импульсом дается классической формулой

(26)

С другой стороны, согласно де Бройлю свободному электрону массы m₀, движущемуся со скоростью , соответствует волна, длина которой может быть определена из соотношения

(27)

где h -- постоянная Планка. Так как волновое число k -- число волн, укладывающихся на длине 2р см, равно:

(28)

то импульс свободного электрона

(29)

а его энергия

(30)

где h=h/2р - квант действия.

Для электрона, движущегося в периодическом поле кристалла, можно ввести величину p = hk, называемую квазиимпульсом. В соответствии с дискретным спектром k квазиимпульс р также квантован. Согласно неравенствам (25) в кубической решетке квазиимпульс должен изменяться в пределах

(31)

Как следует из (25) , в энергетической зоне кристалла имеется N энергетических состояний, которым соответствуют значения компонент квазиимпульса

(32)

где i = х, у, z, а j = 1, 2, 3. Для кристалла с простой кубической решеткой согласно соотношениям (25) и (31) достаточно рассматривать изменение компонент k_i и p_i в пределах

 (33)

Этим значениям квазиимпульса в системе координат (р_х, р_у, р_z) будет соответствовать некоторая область, построенная вокруг начала координат и содержащая все возможные различные состояния. Эта область называется первой, или основной, зоной Бриллюэна. Для кристалла с простой кубической решеткой первая зона Бриллюэна представляет собой куб объемом

(34)

В k-пространстве первая зона Бриллюэна для кристалла с простой кубической решеткой также является кубом, объем которого

(35)

Первую зону Бриллюэна можно разбить на элементарные кубические ячейки объемом

(36)

и (37)

где V = L³ = a³N_xN_yN_z = а³N -- объем кристалла, а N= N_xN_yN_z - полное число элементарных ячеек в кристалле.

Поскольку объем первой зоны Бриллюэна для кристалла с простой кубической решеткой равен (h/а)³, а объем элементарной ячейки h³/a³N, то число элементарных ячеек в ней составляет N, т. е. равно количеству энергетических состояний в зоне. Но в энергетической зоне может располагаться 2N электронов, следовательно, и в первой зоне Бриллюэна может быть 2N электронов, а в ее каждой ячейке может находиться только два электрона с противоположно направленными спинами.

Вторая и последующие зоны Бриллюэна, соответствующие второй и последующим энергетическим зонам, имеют более сложную конфигурацию, но их объем остается постоянным. Они также содержат N элементарных ячеек, каждой из которых можно сопоставить ячейку в первой зоне, изображающую эквивалентное состояние.

Заполнение электронами квантовых состояний валентной зоны различно для металлов и полупроводников. В металлах зона заполнена электронами либо частично, либо в валентной зоне все возможные электронные состояния заняты, но эта зона перекрывается со свободной, не занятой электронами. Наличие свободных незанятых состояний в зоне дает возможность электронам двигаться в ней под действием внешнего поля и переносить электрический заряд. Таким образом, для того чтобы в твердом теле протекал электрический ток, в валентной зоне должны быть свободные состояния. В полупроводниках число возможных состояний в валентной зоне равно количеству валентных электронов атомов, образовавших кристалл. В этом случае при температуре 0 К все электронные состояния в зоне заняты, на каждом уровне зоны располагается по два электрода с противоположно направленными спинами. Поэтому внешнее электрическое поле не может создать направленного движения такой совокупности электронов, ибо в заполненной зоне электроны могут только взаимно обмениваться местами. Следовательно, такой кристалл не может проводить ток, он является диэлектриком.

Проанализируем энергетический спектр кристаллов, образованных из элементов IV группы таблицы Менделеева, обладающих кристаллической решеткой типа алмаза. В нее входят углерод (алмаз), кремний, германий и серое олово. Электронная структура этих атомов такова (см. рис. 1), что в твердом состоянии у них в образовании ковалентной связи принимают участие четыре электрона каждого атома. При этом, как следует из рис. 4, зоны, образованные из ns- и nр- состояний, перекрываются, образуя общую зону с числом состояний 8N. С уменьшением межатомного расстояния эта зона затем расщепляется на две зоны с 4N квантовыми состояниями в каждой. Нижняя зона содержит 4N заполненных электронами состояний -- это валентная зона, а у верхней зоны 4N электронных состояния свободны - это зона проводимости.

Найдем закон изменения квазиимпульса и волнового вектора от времени, то есть закон, который описывает движение электрона в кристалле при наличии внешнего электрического поля.

Как известно из квантовой механики, движение свободного электрона с волновым вектором k можно описать с помощью волнового пакета, представляющего собой суперпозицию плоских волн с непрерывно меняющимися значениями k в пределах 2Дk (от k-- Дk до k +Дk). Движение волнового пакета характеризуется групповой скоростью , которая равна скорости перемещения какой-либо точки пакета, например его максимума. Координату этого максимума можно найти из условия Отсюда следует, что

(38)

т. е. средняя скорость движения свободного электрона х равна групповой скорости волнового пакета:

 (39)

Если воспользоваться соотношением для энергии Е = hщ, то средняя скорость свободного электрона будет определяться выражением вида

(40)

где р = hk - импульс.

Движение электрона в кристалле описывается волновой функцией (16), которая определяется набором атомных волновых функций с разным значением k. Поскольку , где n = 0, 1, . . . , (N--l), а и , то волновую функцию Ш можно рассматривать как совокупность плоских волн, для которых k меняется почти непрерывно. В силу этого движение электрона в кристалле можно охарактеризовать волновым пакетом, составленным из блоховских функций. Поэтому выражение (40) будет справедливо и для средней скорости движения электрона в кристалле

(41)

или для трехмерного случая

(42)

где р = hk -- квазиимпульс.

Таким образом, средняя скорость электрона в кристалле определяется производной энергии по квазиимпульсу.

Рассмотрим случай, когда на электрон в кристалле действует внешняя сила F. Пусть Е(k) - энергия электрона в зоне, в которой он движется со скоростью v. Тогда согласно закону сохранения энергии имеем для одномерного движения:

(43)

Так как

(44)

то из сравнения равенств (43) и (44) с учетом (42)

(45)

Рассмотрим теперь, как меняется импульс Р электрона кристалла в отсутствии внешнего поля. В кристалле с идеальной структурой, имеющей строго периодическое поле, электрон движется, оставаясь на одном и том же уровне зоны. Поскольку квазиимпульс электрона постоянен, то . Но со стороны поля решетки на электрон действует сила F_кр, она и определяет изменение его импульса Р, т.е.

(46)

Итак, если структура кристаллической решетки идеальна, то в периодическом поле решетки электрон движется вдоль всего кристалла, имея постоянный квазиимпульс и постоянную скорость. Это значит, что в периодическом поле решетки электрон движется без ускорения. Другими словами, в строго периодическом поле решетки электрон движется как свободная частица, без сопротивления, не рассеиваясь. Если кристалл с идеальной структурой поместить во внешнее поле, то, как следует из (45), движение электрона будет подобно движению свободной частицы под действием внешней силы F.

Пусть свободный электрон с массой m₀ находится в однородном электрическом поле Е. . а электрон действует сила F=-eE, под воздействием которой электрон приобретает ускорение

а=F (47)

направленное также, как и внешняя сила.

Для электрона в кристалле, находящемся во внешнем электрическом поле, учитывая (41) и (45), можно записать:

(48)

Обобщая (48) для трехмерного случая, получаем:

(49)

В этом случае вектор ускорения а не совпадает по направлению с вектором силы F.

Совокупность величин , связывающих векторы а и F, является тензором второго ранга:

(50)

Поскольку размерность квазиимпульса совпадает с размерностью импульса, то размерность компонент тензора есть размерность обратной массы, а размерность есть размерность массы. Поэтому по аналогии с (47) для свободного электрона тензор (50) называется тензором обратной эффективной массы. Этот тензор симметричен относительно главной диагонали, т.к. . Выбрав соответствующую систему координат, можно свести симметричный тензор к диагональному виду:

(51)

Тогда тензором, обратным тензору обратной эффективной массы, будет тензор эффективной массы

 (52)

Величины называются компонентами тензора эффективной массы. Для кристаллов, обладающих кубической симметрией, m₁=m₂=m₃=m^* и тензор вырождается в скаляр. В этом случае изоэнергетические поверхности представляют сферы и описываются уравнением

(53)

а выражение для эффективной массы имеет вид

(53а)

Когда электрон находится в окрестности минимума энергии, т.е. в окрестности дна зоны проводимости,

и m*>0, (54)

т.е. электроны ведут себя как отрицательно заряженные частицы с положительной эффективной массой. При этом согласно (48) и (53) получаем F=m^*a и p=mv , т.е. ускорение направлено по направлению внешней силы, а скорость совпадает по направлению с квазиимпульсом. Следовательно, под действием внешнего электрического поля движение электрона, находящегося у дна энергетической зоны кубического кристалла, подобно движению свободной частицы, масса которой равна m*. Ускорение электрону в кристалле сообщает только внешняя сила. Действие поля решетки проявляется в том, что при наличии внешней силы движение электрона определяется не его обычной массой, а эффективной.

В окрестности максимума энергии, т.е. в окрестности валентной зоны,

и m*<0 (55)

и направление ускорения электрона противоположно направлению действующей на него внешней силы и направлено по полю. Такой носитель заряда в окрестности вершины валентной зоны себя как частица с положительным зарядом и положительной эффективной массой и носит название дырки.

В качестве примера рассмотрим зонную структуру кремния. Поскольку зона проводимости и валентная зона кремния включают р-состояние (рис.4), для которого в кристалле вырождение снимается, то каждая из них представляет собой наложение трех различных зон. На рис.5 они представлены тремя ветвями Е(k). Эта зависимость неодинакова для разных кристаллографических направлений. Одна из ветвей зоны проводимости лежит значительно ниже других. Положение абсолютного минимума энергии определяет дно зоны проводимости. Минимумы энергии называют также долинами. Абсолютный минимум зоны проводимости у кремния лежит в направлении осей [100] недалеко от границы зоны Бриллюэна. Поэтому у кремния имеется шесть эквивалентных минимумов энергии, а следовательно на первую зону Бриллюэна приходится шесть эллипсоидальных поверхностей постоянной энергии, вытянутых вдоль осей [100]. Значения компонент тензора эффективной массы электрона m₁=m₂=m_t и m₃=m_l, где m_t и m_l поперек осей симметрии и вдоль оси вращения эллипсоида, и называются соответственно продольной и поперечной эффективными массами. Минимальное расстояние между дном зоны проводимости и потолком валентной зоны называется шириной запрещенной зоны. У кремния экстремумы энергии электронов и дырок лежат в различных точках зоны Бриллюэна. Валентная зона также состоит из трех подзон, для всех максимумы находятся в центре зоны Бриллюэна k=0. Изоэнергетические поверхности представляют собой гофрированные поверхности.

Рис.5 Энергетическая зонная структура кремния.

Рис 6. Температурная зависимость концентрации электронов в кремнии при концентрации доноров 10¹⁵ см^-3.

Усреднение по различным направлениям в к-пространстве позволяет заменить гофрированную поверхность сферической. В этом случае эффективная масса является скалярной величиной и должно существовать два типа дырок: тяжелые и легкие .

1.4 Статистика электронов и дырок в полупроводниках

Важнейшая задача статистической физики состоит в определении числа частиц, энергия которых лежит в определенном интервале. Для ее решения необходимо знать число квантовых состояний и вероятность нахождения частиц в этих состояниях. Пусть в кристалле единичного объема в интервале энергий от Е до Е+dE имеется dZ квантовых состояний. Величина

(56)

называется плотностью состояний. Если вероятность заполнения состояний с энергией Е равна f(E,T), то число электронов dn, находящихся в состояниях dZ, составит величину

(57)

Соответственно полное число электронов, для которых возможный интервал энергии лежит в пределах от Е₁ до Е₂, будет равно:

(58)

Рассмотрим сначала случай, когда поверхности равной энергии зоны проводимости и валентной зоны являются сферами. Согласно (53) энергия электрона у дна зоны может быть записана в виде

(59)

Объем шарового слоя между двумя изоэнергетическими поверхностями равен

(60)

Объем элементарной ячейки зоны Бриллюэна кристалла единичного объема в р-пространстве в соответствии с (36) равен h³. В каждой ячейке могут находиться два электрона с противоположно направленными спинами. С учетом этого число состояний в объеме равно:

(61)

Исходя из (53) имеем:

, (62)

откуда

(63)

Подставив равенства (61) - (63) в (56), получим

(64)

Аналогично для плотности состояний вблизи верхнего края валентной зоны можно получить

(65)

Для сложной зоны проводимости и валентной зоны, как не трудно показать, можно получить подобные выражения, если ввести так называемую эффективную массу плотности состояний для электронов и для дырок следующим образом

(66)

Тогда, как и для простой зоны, получим

(67)

и (68)

для плотности состояний у дна зоны проводимости и потолка валентной зоны соответственно.

В условиях теплового равновесия для частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу Паули, справедливо распределение Ферми-Дирака

(69)

где к - постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура, E_F - энергия Ферми или химический потенциал, т.е. работа, которую необходимо затратить для изменения числа частиц в системе на единицу. Из (69) следует, что в случае Т=0 в интервале энергии имеем f₀=1 и f₀=0 для Е>E_F. Это означает, что все квантовые состояния с энергией, меньшей энергии Ферми, заняты электронами, а уровни, лежащие выше уровня Ферми, полностью свободны, не заняты электронами. Следовательно,энергия Ферми есть максимально возможная энергия электронов в металле при температуре абсолютного нуля. При Т>0 и E=E_F имеем f₀=1/2. Таким образом, уровень Ферми есть энергетический уровень, вероятность заполнения которого при температуре, отличной от абсолютного нуля, равна 0,5. Вероятность того, что при тепловом равновесии в состоянии с энергией Е электрон отсутствует, т.е. оно занято дыркой, будет равна:

(70)

Для электронов, находящихся в состояниях с энергией , выражение для f₀ принимает вид:

(71)

т.е. совпадает с функцией распределения Максвелла - Больцмана для частиц, подчиняющихся классическим законам. Если носители заряда подчиняются статистике Больцмана, то полупроводник называется невырожденным.

Подставляя в интеграл (58) выражения (69) и (67), получим для концентрации электронов в зоне проводимости

(72)

где N_c - эффективная плотность состояний в зоне проводимости:

(73)

и М_с - число эквивалентных минимумов в зоне проводимости, а F_1/2(з_f) - интеграл Ферми - Дирака. Если полупроводник не вырожденный, то интеграл Ферми приближенно равен . При этом из выражения (72) получаем

(74)

Аналогичным образом находим выражение для концентрации дырок в валентной зоне

(75)

и для невырожденного случая

(76)

где эффективная плотность состояний в валентной зоне

(77)

При конечных температурах в полупроводнике непрерывно происходит процесс теплового возбуждения электронов из валентной зоны в зону проводимости. Этот процесс уравновешивается рекомбинацией электронов из зоны проводимости и дырок из валентной зоны. В собственном полупроводнике число возбужденных электронов в зоне проводимости равно числу дырок, оставшихся в валентной зоне, т.е. n=p=n_i. Из этого условия с помощью формул (74) и (76) для уровня Ферми в собственном полупроводнике получим

(78)

Отсюда видно, что в собственном полупроводнике уровень Ферми лежит около середины запрещенной зоны.

Для собственной концентрации носителей n_i из выражений (74), (76) и (78) получим

(79)

или (80)

где E_g=E_c-E_v - ширина запрещенной зоны.

При комнатных температурах собственная концентрация носителей тока n_i довольно мала по сравнению с уровнями легирования, характерными для полупроводниковой технологии. Однако с повышением температуры n_i быстро увеличивается. Например, в кремнии собственная концентрация удваивается при повышении температуры на каждые 11⁰С. Следовательно, при достаточно высоких температурах термогенерация становится доминирующим процессом, определяющим концентрацию носителей тока. Температура T_i, при которой собственная концентрация носителей сравнивается с концентрацией легирующей примеси, называется собственной температурой и является важным параметром работы полупроводниковых устройств. Ниже T_i концентрация основных носителей в полупроводнике слабо зависит от температуры, а выше увеличивается с ростом температуры экспоненциально.

До сих пор речь шла о собственных полупроводниках. При легировании полупроводника донорными или акцепторными примесями вводятся примесные уровни. Донорный уровень определяется как нейтральный при заполнении электроном, и положительно заряженный в том случае, когда он пустой. Акцепторный уровень нейтрален в пустом состоянии и отрицательно заряжен при заполнении электроном.