Розрахунок об’ємного напруженого стану в точці тіла

Міністерство освіти і науки України

Національний авіаційний університет

Інститут аеропортів

Кафедра комп'ютерних технологій будівництва

Розрахунково-графічна робота №1

Виконав: ст. групи ІАП 308

Шепа В. В.

Перевірив: Яковенко І. А.

Київ 2010р.

Задача №1

Визначення об'ємного напруженого стану в точці тіла

Для напруженого стану в точці тіла задано 6 компонентів:

=65 кН; кН;

кН; кН;

; кН;

Необхідно знайти зн-ня головних напружень та положення головних площадок.

Рішення:

(1.1)

1.З р-ня (1.1) коефіцієнти є інваріантами перетвор. Координат

Р-ня (1.1) підстановкою зводимо до наступного вигляду:

; (1.3)

У р-ні (1.3) нові коефіцієнти відповідно дорівнюють:

P= (1.4)

q= -

Корені кубічного рівняння (1.3) виражаємо через допоміжний кут , який визначаємо з р-нь:

= r==78,12;

(1.4)

Перевірка:

=0;

++

2. Визначимо головні напруження за формулою:

(1.7)

Цим трьом головним напруженням в подальшому робимо наступне позначення : .

кН,

кН,

кН,

Контроль якості вирішення кубічного рівняння (1.1) проводимо, використовуючи інваріантність коефіцієнтів так щоб:

3.З системи 1.9 з трьох рівнянь тільки 2 невідомих і із рішення двох рівнянь третє використовується для перевірки знайдених відношень. Запишемо рішення системи 1.9 в загальному вигляді:

Значення співвідношення

;

і з цього рівняння знаходимо 2 корені

Перевірка:

-65(-1,42608)+65(-0,751526)+(65-144,83)=0.

З р-ня 1.1 маємо:

.

Тоді:

м.

;

Тоді:

Тоді:

Перевірка напрямних косинусів:

;

-0,75183+(-0,3962)

Рис.1.3

На рисунку 1.3 зображено нормалі до головних площадок , головні площадки та головні напруження .

Задача №2

Плоска задача теорії пружності

Нехай задано прямокутну балку довжиною l, висотою h та товщиною, що дорівнює 1.

Необхідно:

· Перевірити можливість використовувати ф-ї f=(x, y) для рішення плоскої задачі теорії пружності.

· Знайти вирази для напружень

· Побудувати епюри напружень для перерізів x=

· Визначити внутрішні сили (нормальні та дотичні, які прикладені до всіх чотирьох граней балки, дати їх зображення на рисунку.

· Виконати статичну перевірку для знайдених сил (зовнішні).

Теоретичні відомості:

Ф-я f=(x, y) повинна задовольняти наступне дегармонічне рівняння.

(2.1)

З цього рівняння вирази для напружень знаходимо за формулою:

(2.2)

Для визначення зовнішніх сил нормальних та дотичних, які прикладені до всіх чотирьох граней балки, використовуєм умови на поверхні тіла (умови на контурі тіла або статичні і граничні умови).

(2.2)

У рівнянні (2.3 ) - проекції на вісі Ox і Oy внутрішніх сил, що діють на грані балки.

- нормаль до грані, - напрямні косинуси нормалі

Для перевірки знайдених зовнішніх сил можна використовувати умови рівноваги балки під їх дією:

Рішення:

1.Нехай задана балка з ф-ю напруження:

a=2, b=1, l=5,

2ay;

0;

;

;

2.;

2ay;

3. Побудуємо епюри напружень в перерізах.

При x==2,5 м.

2ay=4y;

4. Визначимо зовнішні сили (нормальні та дотичні).

Верхня грань:

y=

;

;

;

2. Нижня грань:

y=

;

;

;

l=0; l=5.

Ліва грань: x=0;

;

;

;

l=-; l=.

Права грань:x=l=5 м

;

;

;

l= -; l=

5. Перевіримо умови рівноваги балки:



++=0.

Отже, умови рівноваги балки зберігаються, а значить зовнішні сили та напруження в перерізах знайдені правильно.

Для визначення зовнішніх сил нормальних та дотичних, які прикладені до всіх чотирьох граней балки, я використала умови на поверхні тіла (умови на контурі тіла або статичні і граничні умови).

Побудувала епюри напружень в перерізах, визначила зовнішні сили (нормальні та дотичні). Перевірила умови рівноваги балки.

Міністерство освіти і науки України

Національний авіаційний університет

Інститут аеропортів

Кафедра комп'ютерних технологій будівництва

Розрахунково-графічна робота №2

Виконав: ст. групи ІАП 308

Шепа В. В.

Перевірив: Яковенко І. А

Київ 2010р.

Задача №1

Изгиб прямоугольной пластинки

Прямоугольная пластинка изгибается под действием поперечной нагрузки интенсивности q (x, y):

;

Задано уравнение упругой поверхности пластинки

;

C=const; a=4 м, b=2 м, =0,21.

Жесткость пластинки D=const. Требуется: установить, каким граничным условиям удовлетворяет предложенное уравнение упругой поверхности w(x,y); определить постоянный коэффициент C; составить выражения моментов и поперечных сил, построить эпюры моментов и поперечных сил в сечении

Решение:

1. Определяем условия на контуре пластинки (граничные условия):

При x=a w=0;

y= w=0;

Следовательно, пластинка оперта по всем четырем краям. Выясним, как она оперта: шарнирно или жостко. Уравнение углов поворота в направлении, паралельном Ox,

=C

При x=

Это значит, что левый и правый края защемлены.

Уравнение углов поворота в направлении, параллельном ,

=-C;

При y=

Получаем, что верхний и нижний края тоже защемлены. Итак, пластинка жестко защемлена по всем четырем краям.

2. Определяем постоянную С. Для этого воспользуемся уравнением и составим соответствующие производные:

;

;

=C;

;

;

;

;

;

Левая часть уравнения принимает следующий вид

D+2;

DC; (4.2)

Подставив в уравнение левую и правую части, после сокращений получаем

3. Составляем выражение для внутренних усилий по формулам:

Изгибающие моменты:



Крутящий момент:

Поперечные силы:

;

(

Выражения для внутренних усилий с учетом найденного значения С имеют вид



Отже, я побудував епюри моментів і поперечних сил, знайшов граничне значення напруги, що задовольняє рівнянням пружної поверхні , визначив постійний коефіцієнт C; склав вираз моментів і поперечних сил , побудував епюри моментів і поперечних сил в розрізі Склав вираз для внутрішніх зусиль.