Распределение температуры по сечению балки
Методика численного решения задач нестационарной теплопроводности. Расчет распределения температуры по сечению балки явным и неявным методами. Начальное распределение температуры в твердом теле (временные граничные условия). Преимущества неявного метода.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 18.04.2011 |
| Размер файла | 247,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
3
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования Российской Федерации
Архангельский государственный технический университет
Факультет промышленной энергетики ПТЭIII-2
Кафедра теплотехники
Реферат
Распределение температуры по сечению балки.
Руководитель работы: С.И. Осташев
Студент Шафоростов А.В.
Архангельск
2009
Содержание
- Задание
- Расчет распределения температуры по сечению балки явным методом
- Расчет распределения температуры по сечению балки неявным методом
- Список литературы
Задание
Необходимо нагреть груз прямоугольного сечения. Теплота с помощью нагревателя подводится с одной из сторон. Нагреватель должен работать до тех пор, пока температура противоположной стороны не достигнет заданного значения Tk. Первоначально груз имел температуру Tн. Остальные 3 поверхности окружены воздухом с температурой T?. Коэффициент теплоотдачи от этих поверхностей б. Температура нагревания TS.
Сколько времени должен работать нагреватель, чтобы минимальная температура на противоположной стороне бруса составила Tк. Расчёты выполнить явным и неявным методом.
распределение температура сечение балка
Расчет распределения температуры по сечению балки явным методом
Методика численного решения задач нестационарной теплопроводности аналогична рассмотренной методике решения задач стационарной теплопроводности. При решении нестационарных задач для каждого узла необходимо дополнительно учесть аккумулирование энергии - в материале, величина которой определяется теплофизическими свойствами материала. Принцип метода заключается в определении температуры в узле в момент времени ф+Дф, зная температуру в этом узле и в соседних узлах в предыдущий момент времени ф, поэтому этот метод и называется явным.
Чтобы решить задачу нестационарной теплопроводности численным методом необходимо знать начальное распределение температуры в твердом теле (временные граничные условия). Обычно в качестве такого условия тело рассматривают изотермичным, а температуры во всех узлах - равными начальной температуре тела. Затем, после расчета всех температур в момент времени Дф процесс повторяют и рассчитывают температур в момент времени 2Дф. Эту процедуру повторяют до тех пор, пока не будет достигнут момент времени, для которого требуется знать распределение температуры.
Следует также иметь в виду, что для выделения единственности решения дифференциального уравнения в частных производных вводят дополнительные условия, при этом:
1. для избежания противоречивости в условиях постановки задачи убеждаются в решении данной задачи при рассматриваемых условиях путем доказательства теоремы существования решения.
2. для исключения получения бесчисленного множества решений также убеждаются в единственности решения при рассматриваемых условиях путем доказательства теоремы о единственности решения.
3. для исключения противоречивости решения проверяют задачу на устойчивость. Устойчивой называется задача математической физики, в которой при достаточно малом изменении аргумента наблюдается сколь угодно малое изменение решения. Из изложенного следует, что в данном методе выбор расстояния между узлами Дx и временного интервала Дф не является произвольным. В противном случае решение не будет устойчивым, а следовательно можно получить результаты, противоречащие основным законам термодинамики.
Явные разностные уравнения баланса и критерии устойчивости для десяти узлов поверхности балки имеют следующий вид:
где Bi=б·Дx/л - число Био, где a - коэффициент теплоотдачи от среды к омываемой поверхности, Вт/ (м К);
Дх - шаг по пространству, м;
л - коэффициент теплопроводности материала стенки, Вт/ (м-К);
Принимаю Дх=0,05 м (см. рис.1), тогда критерий: Био Bi=84·0,05/69,2=0,06069. Принимаю Дф=5,248с, тогда критерий Фурье: Fo=69,2·5,248/ (0,052·465·7860) =0,03974. Условие устойчивости, удовлетворяющее всем десяти уравнениям: Fo (l+Bi) <0,25 Проверяем условие устойчивости: 0,03974· (1+0,06069) = 0,04216<0,25
Условие выполняется, решаем уравнения.
Распределение температуры по сечению балки.
|
Время |
Температура, град С, в узле |
||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
||
|
0 |
54 |
54 |
54 |
54 |
54 |
54 |
54 |
54 |
54 |
54 |
|
|
5,248 |
72,367 |
72,521 |
72,521 |
72,521 |
72,367 |
53,691 |
53,846 |
53,846 |
53,846 |
53,691 |
|
|
10,5 |
89,185 |
89,558 |
89,564 |
89,558 |
89,185 |
54,882 |
55,17 |
55,177 |
55,17 |
54,882 |
|
|
15,74 |
104,65 |
105,28 |
105,3 |
105,28 |
104,65 |
57,315 |
57,733 |
57,749 |
57,733 |
57,315 |
|
|
20,99 |
118,93 |
119,85 |
119,9 |
119,85 |
118,93 |
60,77 |
61,324 |
61,356 |
61,324 |
60,77 |
|
|
26,24 |
132,16 |
133,4 |
133,47 |
133,4 |
132,16 |
65,063 |
65,766 |
65,817 |
65,766 |
65,063 |
|
|
31,49 |
144,48 |
146,03 |
146,14 |
146,03 |
144,48 |
70,037 |
70,905 |
70,979 |
70,905 |
70,037 |
|
|
36,74 |
155,98 |
157,85 |
158 |
157,85 |
155,98 |
75,56 |
76,609 |
76,711 |
76,609 |
75,56 |
|
|
41,98 |
166,75 |
168,94 |
169,14 |
168,94 |
166,75 |
81,519 |
82,766 |
82,901 |
82,766 |
81,519 |
|
|
47,23 |
176,88 |
179,39 |
179,65 |
179,39 |
176,88 |
87,819 |
89,279 |
89,452 |
89,279 |
87,819 |
|
|
52,48 |
186,43 |
189,26 |
189,57 |
189,26 |
186,43 |
94,379 |
96,066 |
96,282 |
96,066 |
94,379 |
|
|
57,73 |
195,46 |
198,6 |
198,97 |
198,6 |
195,46 |
101,13 |
103,06 |
103,32 |
103,06 |
101,13 |
|
|
62,98 |
204,02 |
207,47 |
207,9 |
207,47 |
204,02 |
108,02 |
110,2 |
110,51 |
110,2 |
108,02 |
|
|
68,22 |
212,16 |
215,9 |
216,4 |
215,9 |
212,16 |
114,99 |
117,43 |
117,8 |
117,43 |
114,99 |
|
|
73,47 |
219,91 |
223,95 |
224,51 |
223,95 |
219,91 |
122,01 |
124,71 |
125,15 |
124,71 |
122,01 |
|
|
78,72 |
227,32 |
231,63 |
232,26 |
231,63 |
227,32 |
129,05 |
132,02 |
132,51 |
132,02 |
129,05 |
|
|
83,97 |
234,4 |
238,99 |
239,68 |
238,99 |
234,4 |
136,06 |
139,31 |
139,87 |
139,31 |
136,06 |
|
|
89,22 |
241,18 |
246,04 |
246,8 |
246,04 |
241,18 |
143,03 |
146,56 |
147, 19 |
146,56 |
143,03 |
|
|
94,46 |
247,69 |
252,81 |
253,64 |
252,81 |
247,69 |
149,95 |
153,75 |
154,45 |
153,75 |
149,95 |
|
|
99,71 |
253,95 |
259,32 |
260,22 |
259,32 |
253,95 |
156,79 |
160,86 |
161,64 |
160,86 |
156,79 |
|
|
105 |
259,97 |
265,59 |
266,55 |
265,59 |
259,97 |
163,53 |
167,89 |
168,74 |
167,89 |
163,53 |
|
|
110,2 |
265,77 |
271,63 |
272,66 |
271,63 |
265,77 |
170,18 |
174,81 |
175,74 |
174,81 |
170,18 |
|
|
115,5 |
271,36 |
277,47 |
278,56 |
277,47 |
271,36 |
176,72 |
181,62 |
182,63 |
181,62 |
176,72 |
|
|
120,7 |
276,77 |
283,1 |
284,26 |
283,1 |
276,77 |
183,14 |
188,32 |
189,4 |
188,32 |
183,14 |
И так из результатов расчёта явным методом следует, что следует работать 73,47 сек, чтобы минимальная температура на противоположной стороне балки (узлы 6 и 10) была равна Tк=122?С.
Расчет распределения температуры по сечению балки неявным методом
Основной недостаток явного численного метода состоит в том, что разностные уравнения баланса энергии для каждого узла должны удовлетворять критерию устойчивости. Чтобы удовлетворять критерию устойчивости в практике приходится выбирать очень маленький шаг по времени, и это приводит к значительному возрастанию объёма расчётов. Рассмотрим другой метод, который является устойчивым при любых значениях чисел Bi и Fo. Суть его заключается в том, что уравнение баланса, полученное для явного метода, модифицирует, выражая через температуру в момент времени ф+Дф. В этом методе разностные уравнения необходимо записывать для всех узлов, поэтому метод получил название неявного. Данный метод в математике называют методом использования левых производных, т.к. производная по времени опраксимируется разностью. Очевидно, что существенное преимущество неявного метода - это отсутствие критериев устойчивости, а недостаток - необходимость решения системы алгебраических уравнений (в отличие от неявного метода в явном можно решать разностные уравнения отдельно для каждого узла).
(1+2Fo· (2+Bi)) · (T1) ф+Дф-2·Fo· (1/2· (T6) ф+Дф + (T2) ф+Дф + Bi·T? + 1/2·Ts) - (T1) ф =0
(1+4Fo) · (T2) ф+Дф - Fo· ( (T1) ф+Дф + (T3) ф+Дф + (T7) ф+Дф + Ts) - (T2) ф =0
(1+4Fo) · (T3) ф+Дф - Fo· ( (T2) ф+Дф + (T4) ф+Дф + (T8) ф+Дф + Ts) - (T3) ф =0
(1+4Fo) · (T4) ф+Дф - Fo· ( (T3) ф+Дф + (T5) ф+Дф + (T9) ф+Дф + Ts) - (T4) ф =0
(1+2Fo· (2+Bi)) · (T5) ф+Дф-2·Fo· (1/2· (T10) ф+Дф+ (T4) ф+Дф + Bi·T? + 1/2·Ts) - (T5) ф =0
(1+4Fo· (1+Bi)) · (T6) ф+Дф - 4·Fo· (1/2· (T1) ф+Дф + 1/2· (T7) ф+Дф + Bi·T?) - (T6) ф =0
(1+2Fo· (2+Bi)) · (T7) ф+Дф-2·Fo· (1/2· (T6) ф+Дф+1/2· (T8) ф+Дф+Bi·T?+ (T2) ф+Дф) - (T7) ф =0
(1+2Fo· (2+Bi)) · (T8) ф+Дф-2·Fo· (1/2· (T7) ф+Дф+1/2· (T9) ф+Дф+Bi·T?+ (T3) ф+Дф) - (T8) ф =0
(1+2Fo· (2+Bi)) · (T9) ф+Дф-2·Fo· (1/2· (T8) ф+Дф+1/2· (T10) ф+Дф+Bi·T?+ (T4) ф+Дф) - (T9) ф =0
(1+4Fo· (1+Bi)) · (T10) ф+Дф - 4·Fo· (1/2· (T5) ф+Дф + 1/2· (T9) ф+Дф + Bi·T?) - (T10) ф =0
1.95-0.460.000.000.00-0.230.000.000.000.00 120,21
0.231.92-0.230.000.000.00-0.230.000.000.00 119,6
0.00-0.231.92-0.230.000.000.00-0.230.000.00 119,6
0.000.00-0.231.92-0.230.000.000.00-0.230.00 119,6
0.000.000.00-0.461.950.000.000.000.00-0.23 120,21
0.460.000.000.000.001.98-0.460.000.000.00 1,23
0.00-0.460.000.000.00-0.231.95-0.230.000.00 0,61
0.000.00-0.460.000.000.00-0.231.95-0.230.00 0,61
0.000.000.00-0.460.000.000.00-0.231.95-0.23 0,61
0.000.000.000.00-0.460.000.000.00-0.461.98 1,23
шаг по пространству - 0.05
шаг по времени - 30.00
начальная температура - 54.0
Распределение температуры по сечению балки
|
Время |
Температура, град С, в узле |
||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
||
|
0 |
54 |
54 |
54 |
54 |
54 |
54 |
54 |
54 |
54 |
54 |
|
|
30 |
129,13 |
130,78 |
130,98 |
130,78 |
129,13 |
75,75 |
76,88 |
77,04 |
76,88 |
75,75 |
|
|
60 |
184,96 |
188,34 |
188,84 |
188,34 |
184,96 |
107,37 |
109,88 |
110,28 |
109,88 |
107,37 |
|
|
90 |
228,22 |
233,21 |
234,06 |
233,21 |
228,22 |
141,71 |
145,64 |
146,44 |
145,64 |
141,71 |
|
|
120 |
262,88 |
269,29 |
270,5 |
269,29 |
262,88 |
175,23 |
180,64 |
181,83 |
180,64 |
175,23 |
|
|
150 |
291,32 |
298,98 |
300,53 |
298,98 |
291,32 |
206,32 |
213,14 |
214,73 |
213,14 |
206,32 |
|
|
180 |
315,07 |
323,81 |
325,68 |
323,81 |
315,07 |
234,35 |
242,48 |
244,46 |
242,48 |
234,35 |
|
|
210 |
335,14 |
344,82 |
346,98 |
344,82 |
335,14 |
259,23 |
268,53 |
270,87 |
268,53 |
259,23 |
|
|
240 |
352,23 |
362,73 |
365,15 |
362,73 |
352,23 |
281,08 |
291,43 |
294,11 |
291,43 |
281,08 |
|
|
270 |
366,87 |
378,08 |
380,72 |
378,08 |
366,87 |
300,17 |
311,44 |
314,42 |
311,44 |
300,17 |
|
|
300 |
379,45 |
391,27 |
394,11 |
391,27 |
379,45 |
316,78 |
328,86 |
332,1 |
328,86 |
316,78 |
|
|
330 |
390,28 |
402,63 |
405,64 |
402,63 |
390,28 |
331,2 |
343,98 |
347,45 |
343,98 |
331,2 |
|
|
360 |
399,62 |
412,43 |
415,59 |
412,43 |
399,62 |
343,69 |
357,1 |
360,77 |
357,1 |
343,69 |
И так из результатов расчёта неявным методом следует, что следует работать 73,47 сек, чтобы минимальная температура на противоположной стороне балки (узлы 6 и 10) была равна Tк=122?С.
Список литературы
1. Лекции “Моделирование процессов теплообмена”.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Математическое моделирование тепловых процессов. Основные виды теплообмена в природе. Применение метода конечно разностной аппроксимации для решения уравнения теплопроводности. Анализ изменения температуры по ширине пластины в выбранные моменты времени.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 22.05.2019Условия однозначности дифференциального уравнения теплопроводности. Распределение температуры нестационарных процессов. Стационарная теплопроводность безграничной плоской стенки. Распределение температур в пластине при постоянном и переменном процессе.
презентация [311,0 K], добавлен 15.03.2014Определение линейного теплового потока методом последовательных приближений. Определение температуры стенки со стороны воды и температуры между слоями. График изменения температуры при теплопередаче. Число Рейнольдса и Нусельта для газов и воды.
контрольная работа [397,9 K], добавлен 18.03.2013Основные шкалы измерения температуры. Максимальное и минимальное значение в условиях Земли. Температура среды обитания человека. Температурный фактор на территории Земли. Распределение температуры в различных областях тела в условиях холода и тепла.
доклад [1,0 M], добавлен 18.03.2014Теория температурных полей: пространственно-временные распределения температуры и концентрации растворов. Модель физико-химического процесса взаимодействия соляной кислоты и карбонатной составляющей скелета. Методы расчётов полей температуры и плотности.
автореферат [1,3 M], добавлен 06.07.2008Конструкции и механический расчет проводов и грозозащитных тросов. Расчетные климатические условия, ветровые и гололедные нагрузки, влияние температуры. Определение значения напряжений и стрел провеса провода. Расчет критической температуры для пролета.
курсовая работа [2,7 M], добавлен 24.12.2014Дифференциальное уравнение теплопроводности. Поток тепла через элементарный объем. Условия постановка краевой задачи. Методы решения задач теплопроводности. Численные методы решения уравнения теплопроводности. Расчет температурного поля пластины.
дипломная работа [353,5 K], добавлен 22.04.2011Методы получения температуры между нулем и нормальной точкой кипения жидкого воздуха, ниже нормальной точки кипения. Определение влияния теплопроводности подводящих и пути его снижения. Теплопроводность различных сплавов при низких температурах.
реферат [300,2 K], добавлен 28.09.2009Удельная теплота фазового превращения. Неравномерное распределение температуры в теле, характерное для большинства сварочных процессов, сопровождающееся наличием тепловых потоков в соответствии с уравнением Фурье. Изотермическое граничное условие.
контрольная работа [846,5 K], добавлен 25.03.2016Последствия уменьшения скорости молекул в веществе. Понятие абсолютного нуля температуры. Температуры некоторых жидких газов. История изобретения сосудов Дюара. Основные проблемы, решаемые Криогенной физикой. Недостижимость абсолютного нуля температуры.
презентация [1,2 M], добавлен 20.05.2011
