Решение задач нестационарной теплопроводности

Размещено на http://allbest.ru

Липецкий государственный технический университет

Кафедра нанотехнологий

курсовая работа

на тему: ‹‹Решение задач нестационарной теплопроводности»

по курсу «Теплофизика»

Студент: Дерябин Д.О

Проверил: Дождиков В.И

Липецк 2019 г.



Содержание

Введение

1. Виды теплообменов и основные задачи теплопроводности

2. Метод конечных разностей

3. Методика выполнения курсовой работы

4. Описание задания

5. Блок схемы программы расчета

6. Результат анализа теплового состояния пластины

Заключение

Список литературы



Введение

Научно-технический прогресс в значительной мере характеризуется увеличением количества энергии, используемой человеком в различных процессах и системах.

Инженерам и исследователям необходимы знания для математического моделирования процессов изменения состояния вещества при реализации различных технологий, при проектировании, расчетах, анализе и оптимизации работы технологических систем. Во многих случаях это связанно с решением задач теплообмена. В связи с возрастанием сложности этих задач и возможностью обеспечения исследования и проектирования компьютерной поддержкой все большее распространения получают численные методы их решения.

Цель курсовой работы - сформировать у студентов умения решения Задач нестационарной теплопроводности конечно-разностным методом по явной схеме и навыке их применения для решения практических проблем.



1. Виды теплообменов и основные задачи теплопроводности

Теплообмен широко распространен в природе и технике. Существует три различных по своей природе элементарных вида теплообмена: теплопроводность, конвективный и лучистый теплообмен. Газы, жидкости и твердые тела в теории теплообмена рассматриваются феноменологически, то есть как сплошная среда, при этом пренебрегают особенностями микроскопической структуры вещества и дискретным характером его строения. аппроксимация теплопроводность температура

Теплопроводность в такой сплошной среде с точки зрения молекулярно-кинетических представлений представляет собой перенос энергии вследствие теплового движения и энергетического взаимодействия между микрочастицами, из которых состоит тело.

Процесс теплопроводности может происходить в однородных и неоднородных сплошных средах. Существует также деление сплошных сред на изотропные и анизотропные. Различают также однофазные и многофазные сплошные среды. В газах перенос энергии теплопроводности осуществляется путем диффузии молекул и атомов. Следует указать, что в жидкостях и газах чистая теплопроводность может быть реализована при выполнении условий, исключающих перенос тела конвекцией.

Процесс теплопроводности, как и другие виды теплообмена, может иметь место только при условии, что в различных точках тела температура неодинакова. В общем случае процесс передачи теплоты теплопроводностью в твердом теле сопровождается изменением температуры как в пространстве, так и во времени.

Основной задачей теплопроводности является определение температурного поля в теле. Температурное поле есть совокупность значений температуры во всех точках изучаемого пространства для каждого момента времени.

Температурное поле может быть нестационарным и стационарным. В первом случае считается, что поле изменяется во времени:

?? = ??(??,??,??,??), (1)

Во втором - нет:

?? = ??(??,??,??), (2)

где t - температура тела; x, y, z - координаты точки в системе; ф - время.

В общем случае требуется найти решение для определения параметров трёхмерного температурного поля в исследуемой системе:

)+, (3)

Иногда это уравнение используют в следующей записи:

, (4)

где - оператор Лапласа; а-коэффициент температуропроводности, м2/с; с - удельная массовая теплоёмкость вещества, Дж/(кг • К) ; с - его плотность, кг/м3; ???? - объёмная плотность равномерно распределённых источников тепла в системе, Вт/м3:

?? = ?????? , (5)

где л - коэффициент теплопроводности, Вт/(м • К).

Если же необходимо описать распространение тепла в однородном стержне или через бесконечную пластину, то достаточно решить одномерное уравнение теплопроводности.

(6)

Знакомство с принципами использования численных методов решения проведем на примере решения одномерного уравнения теплопроводности.

2. Метод конечных разностей

Из численных методов решения задач теплопроводности в настоящее время наиболее ценным и широко используемым является метод конечных разностей (МКР).

Сущность метода заключается в том, что в дифференциальном уравнении производные искомой функции заменяются приближенными соотношениями между конечными разностями в отдельных узловых точках температурного поля.

В результате такой замены получаем уравнение в конечных разностях, решение которого сводится к выполнению простых алгебраических операций.

Таким образом, при использовании МКР для задач теплопроводности твердое тело представляют в виде совокупности узлов.

Для решения могут быть использованы разностные уравнения, составленные как по явной, так и неявной конечно-разностной схеме.

Принцип использования явной схемы конечно-разностной аппроксимации дифференциального уравнения теплопроводности рассмотрим на примере решения этим способом задачи теплопроводности через бесконечную пластину, для чего достаточно использования одномерного варианта этого уравнения.

(7)

Таким образом, в результате аппроксимации частных производных соответствующими конечными разностями дифференциального уравнения теплопроводности можно преобразовать в алгебраическое уравнение, которое связывает значение температуры в определенной i-точке пространства в рассматриваемый (n+1)-момент времени с температурами в этой и соседних точках в предыдущий n-момент времени :

. (8)

Следовательно, это уравнение можно использовать для определения температуры в рассматриваемый момент времени во внутренних точках тела:

(9)

При использовании граничных условий первого рода узловой точке границы тела на расчетном шаге по времени присваивают значение температуры в соответствии с заданной функцией, описывающие изменение температуры поверхности тела во времени, или присваивают постоянное значение при условии неизменности температуры на границе тела.

Решение задачи определения температурного поля при нестационарном одномерном процессе теплопроводности с помощью этих алгебраических уравнений конечно-разностной аппроксимации состоит из поэтапного выполнения следующих процедур.

Сначала необходимо разбить пластину по толщине на (N-1) равных промежутков. Таким образом определяют расчетный шаг сетки разбиения тела по толщине:

(10)

Таким образом, если уменьшить выбранный шаг по координате в 2 раза, то шаг по времени необходимо уменьшить в 4 раза, если в 5 раз, то шаг по времени уменьшится в 25 раз.

В общем случае это условие выглядит следующим образом:

(11)

Где k-коэффициент, определяющий соотношение между шагами расчета по координате и по времени. Обычно принимают значение k в диапазоне 2…4, определяя таким образом запас решения по его устойчивости.

Определив значение шагов по времени для внутренних точек и для точек на границе тела, выбирают из них наименьший шаг для расчетов по явной схеме конечно-разностной аппроксимации.

Затем необходимо определить количество расчетных шагов по времени, исходя из заданного значения периода времени исследования процесса

. (12)



3. Методика выполнения курсовой работы

1. Исходя из требований по точности решения задачи теплопроводности, задают число узлов сетки разбиения пластины N по толщине L и определяют шаг по координате Дx по формуле (10). Узлы нумеруют, начиная от поверхности пластины. При симметричных условиях теплообмена на границах пластины в качестве расчётной области используют половину толщины L/2. При этом полученную таким образом расчётную область расширяют за счёт введения дополнительного (N+1)-узла за осью симметрии пластины.

2. Определяют расчётный шаг по времени Дф. Выполнение этой процедуры необходимо, так как явная разностная схема является условно устойчивой и требует, как показано выше, определённого соотношения между шагами по координатам и по времени. Для этого определяют значения шагов по времени Дф для внутренних точек по формуле (11).

3. Определяют количество расчётных шагов по времени k по формуле (12).

4. Для момента времени ф = 0 (для начального временного слоя) определяют значения температур для всех точек разбиения пластины по координате x, то есть для всех узловых точек от i = 1 до i = N (в случае симметричного теплообмена до i = (N+1)).

Для этого используют заданные начальные условия однозначности. В случае постоянства начальной температуры по толщине пластины заданное значение просто присваивают всем узлам начального временного слоя.

5. Определяют значения температуры для внутренних узловых точек разбиения тела от i = 2 до i = (N-1) в следующий момент времени Дф по формуле (14) и на границах тела (для узлов i = 1 и i = N) по формуле , т.к. в данном варианте используются граничные условия третьего рода.

При этом используют заданные физические условия однозначности: плотность (с), коэффициент теплопроводности (л) и теплоёмкость материала исследуемого тела (с).

, (13)

6. По такому же алгоритму определяют температуры в узловых точках разбиения для следующего момента времени 2Дф (для следующего временного слоя), используя температуры в узлах предыдущего временного слоя.

Эту процедуру повторяют далее для каждого временного слоя nДф вплоть до последнего расчётного момента kДф.

В результате таких расчётов находят с помощью численного метода оценку нестационарного температурного поля в пластине заданной толщины L в течение заданного времени ????.

7. Расчёт полностью повторяют для других заданных вариантов граничных условий.

4. Описание задания

Таблица №1. «Исходные данные».

№	Материал	??, м	??, Вт/мК	с, Дж/К	??, кг/	??0, ?	ГУ-1
1.	Ванадий	0,25	35,5	502	6100	1800	250 600 1000

В этой таблице ?? - толщина пластины,

?? - коэффициент теплопроводности,

с-теплоемкость,

с - плотность материала пластины,

??0 - начальная температура пластины,

ГУ-1 - граничные условия первого рода.

Определим расчетный шаг сетки разбиения тела по толщине (по пространственной координате) :

Расчетный участок имеет длину L/2, так как процесс теплообмена является симметричным относительно центральной оси пластины. N принимаем равным 100 .

Для этого зададим коэффициент (k), определяющий соотношение между шагами расчета по координате и по времени.

Примем его значение равно 4, в данном случае выбор обусловлен наиболее оптимальной устойчивостью получаемых графиков.

Далее рассчитываем шаг по времени

Далее рассчитаем количество расчётных шагов по времени, приняв значение ???? = 30 мин = 1800 с.

5. Блок-схема программы расчета

Ниже представлена блок-схема программы расчета.

 

6. Результат анализа теплового состояния пластины

Рис.1.1. Изменение температуры по ширине пластины в момент времени для ГУ-1 .

Рис.1.2. Изменение температуры по ширине пластины в момент времени для ГУ-1 .



Рис.1.3. Изменение температуры по ширине пластины в момент времени для ГУ-1 .

Рис.1.4. Изменение температуры в центре пластины по времени для ГУ-1 .



Рис.1.5. Изменение температуры в точке четверти ширины пластины по времени для ГУ-1 .

Рис.1.6. Изменение температуры под поверхностью пластины (3*dx) по времени для ГУ-1 .



Рис.1.7. Изменение температур по ширине пластины в каждый выбранный момент времени для ГУ-1 .

Рис.1.8. Изменение температуры в точках пластины по времени для ГУ-1 .



Рис.2.1. Изменение температуры по ширине пластины в момент времени для ГУ-1 .

Рис.2.2. Изменение температуры по ширине пластины в момент времени для ГУ-1 .



Рис.2.3. Изменение температуры по ширине пластины в момент времени для ГУ-1 .

Рис.2.4. Изменение температуры в центре пластины по времени для ГУ-1 .



Рис.2.5. Изменение температуры в точке четверти ширины пластины по времени для ГУ-1 .

Рис.2.6. Изменение температуры под поверхностью пластины (3*dx) по времени для ГУ-1 .



Рис.2.7. Изменение температур по ширине пластины в каждый выбранный момент времени для ГУ-1 .

Рис.2.8. Изменение температуры в точках пластины по времени для ГУ-1 .



Рис.3.1. Изменение температуры по ширине пластины в момент времени для ГУ-1 .

Рис.3.2. Изменение температуры по ширине пластины в момент времени для ГУ-1 .



Рис.3.3. Изменение температуры по ширине пластины в момент времени для ГУ-1 .

Рис.3.4. Изменение температуры в центре пластины по времени для ГУ-1 .



Рис.3.5. Изменение температуры в точке четверти ширины пластины по времени для ГУ-1 .

Рис.3.6. Изменение температуры под поверхностью пластины (3*dx) по времени для ГУ-1 .



Рис.3.7. Изменение температур по ширине пластины в каждый выбранный момент времени для ГУ-1 .

Рис.3.8. Изменение температуры в точках пластины по времени для ГУ-1 .



Заключение

В ходе проделанной работы, с помощью метода конечно разностной аппроксимации (МКР) была решена задача нестационарной теплопроводности по явной схеме. Применяя этот метод, мы получили систему линейных алгебраических уравнений для определения температуры как локальной характеристики в каждом узле сетки, полученных путем замены (аппроксимации) частных производных дифференциального уравнения конечными разностями. Для решения этих уравнений были использованы разностные уравнения, составленные по явной конечно-разностной схеме.

Для начала мы посчитали шаги сетки разбиения тела по толщине ( по пространственной координате) и шаг по времени , используя данные, соответствующие варианту, учитывая, что расчетный участок имеет длину L/2, так как процесс теплообмена является симметричным относительно центральной оси пластины. Эти величины ( должны принимать достаточно малые значения, так как чем они меньше, тем значение конечно-разностной аппроксимации ближе к значению производной. Затем было посчитано количество шагов K, которое должно быть не меньше 100.

После этого на основе полученных значений с помощью ЭВМ были построены графики, проведен анализ изменения температуры по толщине пластины и по времени для данных в варианте граничных условий первого рода и дана оценка нестационарного температурного поля в пластине заданной толщиной L в течении заданного времени .



Список Литературы

1.Дождиков В.И., Коваленко О.А. Решения задач нестационарной теплопроводности: Методическое указание к курсовой работе по дисциплине «Теплофизика» - Липецк: Изд-во Липецкого государственного технического университета, 2015. - 27с.

Размещено на Allbest.ru