Векторное исчисление в теоретической механике

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

Содержание

1. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ3

2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

2.1 Векторы угловой скорости и углового ускорения вращающегося тела. Векторы скорости и ускорения точек тела

2.2 Производные от единичных векторов подвижных осей (формулы Пуассона)

2.3 Полная и локальная производные от вектора (формула Бура)

3. ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ И ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ В ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

3.1 Элементарная работа

3.2 Теорема о сложении скоростей (правило параллелограмма скоростей)

3.3 Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)

Литература

1. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Скалярные и векторные величины. Физические величины, которыми оперируют в механике, разделяют на скалярные и векторные. Для задания скалярной величины требуется одно вещественное число. К скалярным величинам относятся, например, масса тела, его объем, время, коэффициент трения и т. п.

Векторная величина помимо численного значения характеризуется также направлением действия и точкой приложения. Примером такой величины могут служить сила, скорость, ускорение и т. д.

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.1Скалярные величины обозначают обычными прописными или строчными буквами латинского и греческого алфавитов: А, В, Р, F, m, р, v, ц, Щ и т. д.

Графически векторную величину изображают в виде стрелки (рис.1.1). Длина этой стрелки в некотором масштабе характеризует численное значение векторной величины. Линию, вдоль которой направлен вектор, называют линией его действия. В литературе вектор принято обозначать жирной буквой - А, В , Е, F, обычной буквой с чертой над ней -- .., либо двумя буквами с чертой над ними - и т. д. Первая буква означает начало вектора, вторая - его конец. На рис. 1.1 изображен вектор , линией действия которого является прямая п - п, точкой приложения - точка О.

Численное значение вектора называют его модулем, обозначают либо обычными буквами - А, В, С, Д, либо символом абсолютной величины - .

По возможности перемещения векторов в пространстве последние делятся на свободные, скользящие и связанные.

Свободный вектор может быть перенесен в любую точку пространства либо приложен к любой точке тела при сохранении направления его действия (т. е. параллельно самому себе). Пример свободного вектора -- вектор пары сил. Два свободных вектора считают равными, если они имеют одинаковую численную величину (одинаковые модули) и направление.

Вектор называют скользящим, если его начало может быть перенесено в любую точку на линии его действия. Два скользящих вектора считают равными, если они имеют одинаковые модули, направления действия и общую линию действия.

Связанный вектор приложен к определенной точке пространства или тела и не может быть перенесен в иную точку без нарушения его смысла. Так, при свободном движении тела некоторая его точка имеет определенную, только ей присущую скорость, вектор которой не может быть оторван от этой точки.

Сложение и вычитание векторов. Суммой двух векторов называют вектор, представляющий собой диагональ параллелограмма, построенного на слагаемых векторах (рис.1.2):

(1.1)

О векторе говорят, что он получен в результате сложения векторов и .

Если угол между сагаемыми векторами и равен б, то модуль вектора подсчитывают, например, как сторону ОС треугольника ОАС по теореме косинусов:

(1.2)

Разностью двух векторов и служит вектор , который в сумме с вычитаемым вектором дает уменьшаемый вектор (рис.1.3):

.(1.3)

Модуль уменьшаемого вектора:

(1.4)

Сложение и вычитание векторов называют геометрическим или векторным -- в отличие от сложения алгебраических величин. Существует два правила геометрического сложения нескольких векторов и получения результирующего. Пусть необходимо сложить векторы и получить результирующий вектор .

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1.2 Рис. 1.3

Сложение по правилу параллелограмма (рис.1.4). Складывая по правилу параллелограмма векторы и , получим результирующий вектор . Затем складываем аналогично векторы и , получая результирующий вектор . Наконец, складывая векторы и , получим результирующий вектор . Таким образом, правило состоит в последовательном попарном сложении слагаемых векторов.

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.4 Рис. 1.5

Сложение по правилу многоугольника (рис.1.5). К концу первого вектора присоединяем второй , затем к концу вектора присоединяем вектор и т. д. Результирующий вектор получим, проведя стрелку из начала первого вектора в конец последнего.

Векторная формула суммы n векторов имеет вид:

(1.5)

Аналитическая форма записи вектора. Проекция вектора на ось. Совместим линию действия вектора с некоторой осью v, на которой выберем положительное направление отсчета. Это направление покажем при помощи единичного вектора (рис.1.6), который называют также ортом оси v. Модуль орта || = l. Вектор в этом случае можно записать как

= Аv ,(1.6)

где Аv - алгебраическое значение вектора, т.е. его величина, взятая со знаком «плюс» или «минус».

Знак «плюс» берут, если направление вектора положительное, т.е. совпадает с направлением орта оси (рис.1.6,а), а «минус» - в противном случае (рис.1.6,б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1.6 Рис.1.7

Пусть дан вектор , линия действия которого пересекается с некоторой осью v (рис.1.7). Опустим перпендикуляры из начала О и конца вектора на ось v. Отрезок прямой О1Р1 взятый со знаком «плюс» или «минус», и будет проекцией вектора на ось v. Знак «плюс» берут в случае, если вектор совпадает с направлением оси, и «минус» -- если вектор имеет противоположное направление.

Для вычисления проекции необходимо знать угол между вектором и положительным направлением оси. Этот угол можно определить, если провести из начала О вектора линию Ov', параллельную оси v так, чтобы направленный отрезок указывал на положительное направление. Если из конца Р вектора опустить перпендикуляр на линию Ov' , то отрезок ОР' будет проекцией вектора на линию Ov'' и очевидно, что О1Р1 = ОР'.

Из треугольника ОРР' найдем, что

Таким образом,

Аv = А cos б(1.7)

где А -- модуль вектора .

Если угол 0 ? б < р/2, то проекция Аv , положительна. При б = р/2 Аv= 0. Если же р/2 < б ? р, то проекция Аv , отрицательна.

Направленный отрезок можно записать в виде вектора, исходя из предыдущего определения:

(1.8)

Декартова прямоугольная система координат. Три взаимно перпендикулярные оси х, у, z (рис.1.8) образуют декартову прямоугольную систему координат. Имеется две системы прямоугольных координат -- правая и левая.

Для правой системы координат поворот оси х на 900 до совмещения ее с осью у виден со стороны оси z против часовой стрелки (рис.1.8.а), а для левой -- по часовой (рис.1.8.б). Аналогично, справедливо и при повороте оси у до совмещения ее с осью z, а также оси z, до совмещения ее с осью х.

Положительное направление осей задают при помощи единичных векторов - ортов осей. Орт оси х обозначают через , орт оси у - через и орт оси z - через . Любой пространственный вектор может быть разложен по векторам базиса , , , т.е для любого вектора существует, и притом только одна, упорядочная тройка чисел (xo, yo, zo) такая, что

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1.8

Правила действия над векторами, заданными своими координатами. Пусть вектора и заданны своими координатами;

и .

1) Координаты суммы двух векторов равны сумме соответствующих слагаемых:

.

2) Координаты разности двух векторов равны разности соответствующих координат этих векторов:

.

3) Координаты произведения вектора на число равны произведению соответствующих координат данного вектора на это число:

.

4) Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

.

Разложение вектора по осям декартовой прямоугольной системы координат. Совместим начало системы координат с началом вектора (рис.1.9) и проведем через его конец плоскости, параллельные плоскостям координат Оху, Oyz, Oxz.

Последние отсекут на осях координат отрезки, которые, очевидно, являются проекциями вектора на оси координат. Если вектор составляет с осями координат углы б, в и г, то проекции

Ах=А cos б, Ау =А cos в,Аz = А cos г.(1.9)

Составляющие вектора по осям координат:

Геометрическая сумма их дает вектор

. (1.10)

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1.9

Формула (1.10) представляет собой разложение вектора на составляющие по осям прямоугольной декартовой системы координат. Три составляющие вектора взаимно перпендикулярны, а отрезок ОР = А служит диагональю прямоугольного параллелепипеда, поэтому

Модуль вектора :

(1.11)

Косинусы углов, которые вектор составляет с координатными осями:

(1.12)

Возводя равенства (1.12) в квадрат и складывая, получим, что углы б, в и г связаны соотношением

. (1.13)

Отсюда следует, что независимыми являются любые два угла. Третий найдется из равенства (1.13).

Аналитический метод определения результирующего вектора суммы п векторов (приложенных к одной точке). Разложим в формуле (1.5) каждый слагаемый вектор по осям декартовой прямоугольной системы координат:

Учитывая, что орты входят во все формулы разложения, вынесем их за знак сумм, получим

(1.14а)

С другой стороны, результирующий вектор можно также разложить по осям координат:

 (1.14б)

Сопоставляя формулы (1.14а) и (1.14б), получим, что проекции результирующего вектора можно вычислить по проекциям составляющих векторов по формулам

(1.15)

Модуль результирующего вектора:

(1.16)

а его направление по отношению к осям координат -- при помощи направляющих косинусов:

(1.17)

Скалярное произведение двух векторов. Скалярное произведение двух векторов представляет собой скалярную величину, равную произведению модулей перемножаемых векторов на косинус угла между ними. Обозначают скалярное произведение так:

(1.18) где С - скалярная величина.

Согласно определению

С = А*В cos б, (1.19) где б -- угол между векторами и .

Если б = 0, то С = А*В, а при б = р С = -- А*В. Отсюда, в частности, следует, что , получаем

(1.20)

Если же б = р/2, то С= 0, то

. (1.21)

Скалярные произведения одноименных ортов осей, прямоугольной

декартовой системы координат, равны единице, а разноименных -- нулю.

Из формулы (1.18) следует, что

(1.22)

Скалярное произведение обладает свойством коммутативности

а также свойством дистрибутивности:

.

При умножении скалярного произведения на скалярный множитель достаточно умножить на него один из векторов:

.

Векторное произведение двух векторов. Векторное произведение двух векторов обозначают так: . Векторное произведение двух векторов (рис.1.10) представляет собой вектор:

. (1.23)

Модуль вектора определяют по формуле

С= АВ sin а, (1.24)

где А и В -- модули векторов и .

Численное значение равно площади параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях. Действительно (рис.1.11), величина

В sin а = h

есть высота параллелограмма, если за основание принять вектор , и наоборот.

Поэтому

А В sin a= S ¦ОАСВ.

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1.10 Рис.1.11

Вектор имеет направление в сторону, откуда поворот вектора в сторону вектора по наименьшему пути против часовой стрелки: это направление в механике обычно принимают за положительное (рис.1.10).

Векторное произведение параллельных векторов равно нулю: , если , так как при этом а = 0 и sin а = 0.

Отсюда, в частности, для ортов прямоугольной системы координат следует, что

(1.25)

При перемене порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак:

(1.26)

Это нетрудно видеть из рис. 1.10.

Если векторы и взаимно перпендикулярны, то sin 900 = 1 и . Параллелограмм на рис. 1.11 при этом превращается в прямоугольник.

В соответствии с определением векторного произведения двух векторов и его свойством (1.26) нетрудно проверить, что

и . (1.27)

Пусть векторы и заданы своими разложениями по осям координат:

Тогда

. (1.28)

Так как

,

то

 (1.29)

Векторное произведение обладает свойством дистрибутивности:

.

При умножении векторного произведения на скалярный множитель достаточно умножить на него один из сомножителей

.

Смешанное произведение векторов. Смешанное векторное произведение представляет собой скалярную величину:

(1.30)

Чтобы выяснить геометрический смысл смешанного произведения, построим на перемножаемых векторах параллелепипед (рис.1.12). Обозначим через

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

Размещено на http://www.allbest.ru/

Модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на векторах и . Направлен вектор перпендикулярно плоскости параллелограмма.

Скалярное произведение

где - проекция вектора на вектор , она же высота параллелепипеда.

Таким образом, смешенное произведение представляет собой объем параллелепипеда, построенного на перемножаемыхвекторах.

Через проекции векторов на осиРис.1.12прямоугольной декартовой системы координат смешанное произведение выражается следующим образом:



Таким образом, (1.31)

Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке векторов:

.

Оно обращается в нуль, если все три вектора лежат в одной плоскости или любые два из них параллельны между собой.

Двойное векторное произведение. Обозначают его как

(1.32)

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

Размещено на http://www.allbest.ru/

и определяет собой вектор (рис. 1.13).

Так как вектор перпендикулярен плоскости векторов и , а вектор перпендикулярен плоскости векторов и , то, следовательно, вектор лежит в плоскости векторов и .

Выражение двойного Рис.1.13векторного произведения через проекции векторов на оси координат следующее:

Так как

(1.33)

сопоставляя написанные равенства, придем к выводу, что

(1.34)

Добавим и вычтем из первого равенства АxВxСx и запишем его в виде

Qx = Вx (АxСx+АyСу+AzCz) - Сх (АхВх+АуВу+ AzBz) = Вx () - Сх. ().

Аналогично для двух других равенств будем иметь

Qy = By () - Cy (), Qz= Bz ()-Cz ().

Подставляя проекции вектора в выражение (1.33) и учитывая, что и получим

(1.35)

Формула (1.35) дает разложение двойного векторного произведения по векторам и .

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дифференцирование переменного вектора. В кинематике и динамике приходится иметь дело с векторными величинами, модуль и направление которых меняются с течением времени. К таким переменным векторам относятся переменные силы, скорости, ускорения и др. представим себе переменный вектор , проведенный из неподвижной точки О, модуль и направление которого меняются с течением времени (рис.1.14).

Конец вектора -- точка М-- при этом будет Рис.1.14описывать в пространстве некоторую линию, которую называют годографом этого вектора. Пусть за малый промежуток времени вектор изменится и станет равным .

Приращение вектора за время Дt будет равно Будем считать вектор непрерывной функцией своего аргумента. Быстрота изменения вектора за интервал времени Дt будет определяться отношением:

(1.36)

и называется средней скоростью изменения вектора .

Направлен вектор по линии действия вектора Д . Чтобы получить быстроту изменения вектора в данный момент времени t, перейдем в формуле (1.36) к пределу при Дt > 0:

,

Или

. (1.37)

вектор ускорение скорость ось

Вектор непрерывный, поэтому при Дt > 0 Д > 0 и вектор направлен по касательной к годографу вектора .

Если = const, то = 0. Если вектор не меняет своего направления, изменяясь только по модулю, то вектор направлен по линии действия вектора .

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1.15

Пусть вектор изменяет только свое направление, оставаясь постоянным по модулю. В этом случае годографом вектора служит окружность, и вектор будет перпендикулярен к вектору как к радиусу этой окружности (рис.1.15).

Действительно, запишем скалярное произведение вектора на самого себя:

= а2 = const,

так как модуль вектора = const.

Продифференцируем приведенное равенство по времени, получим: или, , но и при а угол .

В частности, если орты некоторой подвижной системы координат меняют свое направление, то

Пусть вектор представлен своим разложением по осям координат:

где - постоянные орты.

Тогда

И так как проекции вектора на оси координат:

Производная от вектора - функции характеризуется следующими свойствами:

1)

2)

3)

4)

где m - переменный скаляр.

Если m = const, то

т.е. постоянную можно выносить за знак производной:

5)если вектор - функция - сложная функция своего аргумента, то его производную определяют по правилу дифференцирования сложной функции.

Пусть = , тогда

2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

2.1 Векторы угловой скорости и углового ускорения вращающегося тела. Векторы скорости и ускорения точек тела

Введем понятие вектора угловой скорости вращающегося тела. Этот вектор направим по оси вращения в ту сторону, чтобы, глядя навстречу ему, мы видели вращение твердого тела происходящим против хода часовой стрелки (рис. 2.1).

Тем самым вектор определит своим модулем модуль угловой скорости, а также направление и ось вращения. Вектор может быть приложен к любой точке на оси, так как является кинематической характеристикой вращательного движения всего тела, т. е. вектор скользящий.

Вектор углового ускорения определим как

.(2.1)

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.1 Рис. 2.2

При изменении вектор остается на оси вращения, которая, следовательно, представляет собой его годограф, поэтому и вектор расположится на оси. При этом, если угловая скорость возрастает, то ее приращение направлено в сторону вектора: в момент времени угловая скорость равна . Значит, и вектор углового ускорения будет направлен в ту же сторону (рис. 2.2, а). Вращение тела при этом будет ускоренным. Если же угловая скорость убывает, то приращение направлено противоположно вектору , и ускорение будет направлено противоположно вектору . Вращение тела будет замедленным (рис. 2.2, б). Получим векторную формулу для определения линейной скорости какой-либо точки М вращающегося твердого тела. Отложим от некоторой точки А на оси вращения векторы угловой скорости и углового ускорения и из этой же точки проведем радиус-вектор точки М (рис. 2.3).

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.2.3

Рассмотрим векторное произведение , которое по модулю равно

,

поскольку из прямоугольного треугольника АОМ следует, что R = r sin б (угол АОМ - прямой). Полученное выражение совпадает с модулем скорости:

.

По направлению вектор согласно определению векторного произведения двух векторов направлен перпендикулярно к плоскости векторов и в сторону, откуда поворот вектора и в сторону наименьшего угла б виден против часовой стрелки. Но это направление совпадает с направлением вектора .

Таким образом,

. (2.2)

Формулу (2.2) называют формулой Эйлера.

Для определения ускорения точки М воспользуемся формулой , подставив в нее выражение (2.2):

(2.3)

Полученное равенство часто называют формулой Ревальса.

Вектор -- касательное ускорение точки и направлен по касательной к ее траектории. При ускоренном вращении и, следовательно, ускоренном движении точки по траектории векторы и направлены в одну сторону, а при замедленном -- в противоположные.

Вектор является нормальным ускорением точки и направлен от точки М по перпендикуляру к оси вращения.

Для векторных произведений и можно провести такие же рассуждения, как и для вектора , которые докажут их идентичность соответственно векторам и . При этом для удобства рассуждений вектор угловой скорости можно условно приложить к точке М (см. рис. 2.3).

Например,

.

По направлению вектор совпадает с направлением вектора . Значит .

Итак

; .

Полное ускорение точки равно геометрической сумме касательного и нормального ускорений:

.

2.2 Производные от единичных векторов подвижных осей (формулы Пуассона)

При решении задач механики в ряде случаев пользуются подвижными осями Oxyz. Когда такие оси движутся поступательно, то их орты i, j, z остаются величинами постоянными. Но если трехгранник Oxyz (рис. 2.4) совершает вращение вокруг какой-нибудь оси ОР, то орты уже не будут величинами постоянными, так как их направления со временем будут изменяться.

В этом случае для вычисления производной от какого-нибудь заданного в осях Oxyz вектора надо знать значения производных от ортов .

Орт можно рассматривать как радиус-вектор точки А, лежащей на оси Оx на расстоянии единицы длины от начала О.

Тогда

.

Но по формуле (2.2)

,

где -- угловая скорость поворота вокруг оси ОР.

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.4 Рис. 2.5

Аналогичные соотношения получаются и для производных . В результате находим:

. (2.4)

Равенства (2.4)называют формулами Пуассона.

2.3 Полная и локальная производные от вектора (формула Бура)

При рассмотрении сложного движения точки мы сталкиваемся с необходимостью дифференцирования вектора, представленного своим разложением по осям подвижной системы координат. Особенностью этого дифференцирования является то, что орты подвижных осей координат, оставаясь постоянными по модулю, меняют свое направление и, следовательно, являются переменными. Изменение вектора по отношению к неподвижной системе координат называют полным (абсолютным), а изменение его по отношению к подвижной системе координат -- локальным (относительным).

Выведем формулу, выражающую связь между локальной и полной производными от подобного вектора.

Пусть тело S движется относительно неподвижной системы координат O1x1y1z1 произвольным образом (рис. 2.5) Относительно этого тела движется точка В. Свяжем с телом подвижную систему координат Oxyz с началом в точке О. Проведем радиус-вектор из точки О в рассматриваемую точку В.

Введем единичные векторы (орты) для подвижных и неподвижных осей координат: и . 3апишем разложение вектора по направлениям осей подвижной системы координат:

.

Составим локальную производную от вектора , т. е. производную от вектора, вычисленную относительно подвижной системы координат. При этом орты полагаем неизменными, в то время как проекции вектора на оси подвижной системы координат -- переменными. С учетом этого запишем:

,

где знаком «~» обозначена локальная производная.

Локальная производная дает скорость конца вектора относительно подвижной системы координат.

Составим полную производную от вектора , т. е. производную, вычисленную относительно неподвижной системы координатных осей. По отношению к неподвижной системе координат будут изменяться как проекции вектора , так и орты .

Имеем

.(2.5)

Производные от ортов выражают скорости их концов в

сферическом движении вокруг точки О и могут быть описаны с помощью формул Пуассона (2.4):

. (2.6)

где -- угловая скорость вращения подвижной системы координат относительно ее начала О.

Подставляя эти выражения в уравнение (2.5) и вынося за скобки, получим

(2.7)

Первые три слагаемых дают локальную производную - . Выражение в скобках есть вектор . Поэтому последнее слагаемое -- это векторное произведение . Окончательно получим одну из важных формул механики, выведенную впервые французским ученым Буром в XIX в. и носящую его имя:

.(2.8)

3. ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ И ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ В ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

3.1 Элементарная работа

Элементарная работа, на конечно малом отрезке перемещения в векторной форме работа выражается скалярным произведением силы на вектор перемещения

.(3.1)

При ц < 90° d'A>0; при ц >90° d'A <0, основываясь на (1.7), рис. 3.1. Здесь знак (') поставлен вследствие того, что элементарная работа вообще не есть дифференциал.

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3.1 Рис. 3.2

При вращательном движении рис. 3.2, направление и момент от силы определиться как векторное произведение (1.23)

,

а работа при вращательном движении по аналогии с работой на конечном малом участке рис 3.1.

,(3.2)

так как векторы и взаимно перпендикулярны, угол между ними .

3.2 Теорема о сложении скоростей (правило параллелограмма скоростей)

При сложном движении точки ее абсолютная скорость равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.

Обратимся к рис. 3.3 Положение точки М, совершающей сложное движение, определим радиусом - вектором , который, в свою очередь, равен сумме двух векторов:

,(3.3)

где -- радиус-вектор точки М в неподвижной системе координат; -- радиус-вектор начала подвижной системы координат; -- радиус-вектор точки М в подвижной системе координат.

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.3.3 Рис. 3.4

Продифференцируем соотношение (3.3) по времени. Имеем

где по формуле Бура

,

здесь ще -- переносная угловая скорость.

Тогда.

Производная представляет собой скорость движения начала подвижной системы координат.

Сумма скорость той точки тела, неизменно связанной с подвижной системой отсчета, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М. Следовательно, по определению , которая и является переносной скоростью точки.

Локальная производная представляет собой относительную скорость точки (по отношению к подвижной системе координат). Окончательно получаем, что абсолютная скорость

.(3.4)

Иногда теорему о сложении скоростей называют правилом параллелограмма скоростей (рис. 3.4). Абсолютная скорость по модулю

(3.5)

3.3 Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)

В общем случае сложного движения точки ее абсолютное ускорение равно геометрической сумме переносного, относительного и добавочного (Кориолисова) ускорений.

Переносное ускорение -- это ускорение той точки подвижной системы отсчета относительно неподвижной, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка.

Возьмем производную по времени от обеих частей уравнения (3.3) и учтем разложение полных производных и по формуле Бура. Имеем

 (3.6)

Производная представляет собой ускорение начала подвижной системы координат. Второе и третье слагаемые -- вращательное и осестремительное ускорения точки М в ее вращательном движении вокруг начала координат О.

В целом же сумма ускорений

,

представляет собой ускорение той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает точка М, т. е. является переносным ускорением точки М:

.

Производная представляет собой ускорение точки М в подвижной системе координат, т. е. является ее относительным ускорением . Имеем .

Так как и , окончательно получим

. (3.7)

Из выражения (3.6) видно, что абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного ускорения, относительного, а также ускорения . Эта последняя составляющая носит название ускорения Кориолиса (а также добавочного или поворотного).

Естественные координатные оси

Ознакомимся с некоторыми сведениями из дифференциальной геометрии. Рассмотрим пространственную кривую АВ (рис. 1.16а)). Выберем на кривой АВ начало отсчета 0 и направление положительных значений дуговой координаты s. Пусть - единичный вектор касательной, проведенной в какой-либо точке М этой кривой в направлении возрастания дуговой координаты s.

Возьмем на АВ точку М1 достаточно близкую к точке М, и обозначим через единичный вектор касательной к кривой АВ в точке М1 Перенесем вектор параллельно себе в точку М и проведем через векторы и плоскость. Предельное положение этой плоскости при стремлении точки M1 к М определяет соприкасающуюся плоскость. Плоская кривая целиком лежит в соприкасающейся плоскости. Плоскость, проведенная через точку М перпендикулярно касательной, называется нормальной плоскостью (рис.1.16б)). Линия пересечения соприкасающейся и нормальной плоскостей определяет главную нормаль кривой АВ в точке М. Плоскость, проходящая через точку М перпендикулярно главной нормали, называется спрямляющей плоскостью, а линия ее пересечения с нормальной плоскостью называется бинормалью. Единичный вектор главной нормали условимся направлять в сторону вогнутости кривой и обозначать через .. Единичный вектор бинормали обозначим через и направим так, чтобы три вектора, , , и образовывали правую систему осей координат.

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1.16

Система координат, определяемая в каждой точке кривой ортами , , и , образует естественные оси. При перемещении точки М по кривой АВ естественные оси перемещаются вместе с ней, оставаясь взаимно ортогональными, но изменяя свое направление в пространстве. Пусть точка М1 отстоит от М на расстоянии Дs. Построим при точке М параллелограмм с диагональю ф1 (рис. 1.16а)). и стороной . Тогда другая сторона параллелограмма будет равна приращению орта , так что . Разделим приращение орта на приращение дуговой координаты Дs. Вектор

называется средней кривизной линии АВ в точке М. Предел, к которому стремится этот вектор при Дs. >0, называется кривизной кривой в точке М (рис. 1.16а)), т. е.

(21.3)

Из определения соприкасающейся плоскости и вектора кривизны вытекает, что вектор кривизны расположен в соприкасающейся плоскости и направлен по главной нормали .

Найдем модуль вектора кривизны. Для этого рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный векторами , и (рис.1.16а)). Угол е между направлениями касательных в двух точках М и М1 называется углом смежности. При малом Дs угол смежности также мал. Тогда из указанного равнобедренного треугольника найдем:

.

Используя определение (21.3), можем записать:

В дифференциальной геометрии доказывается, что предел отношения угла смежности к приращению дуговой координаты Дs при стремлении Дs >0 равен , где -- радиус кривизны кривой в точке М. Таким образом, для вектора кривизны получим:

,(21.4)

При задании координат точки в функции от дуги s модуль вектора кривизны может быть вычислен по формуле:

ЛИТЕРАТУРА

1.Баврин И.И. Высшая математика. М.: Издательский центр «Академия» 2005. - 616с.

2.С.М. Тарг. Краткий курс теоретической механики. М.: «Наука», 1974. - 480с.

3.Лачуга Ю.Ф. М. Теоретическая механика : КолосС, 2005. - 576с.

4.Справочник для студентов технических вузов: С74 высшая математика: физика: теоретическая механика: сопротивление материалов / А.Д. Полянин, В.Д. Полянин, В.А. Попов и др. М.: АСТ: Астрель, 2005. - 735с.

5.Молотников В.Я. Основы Теоретической механики. - Ростов н/Д: «Феникс», 2004. - 384с.

Размещено на Allbest.ru