Сравнительная характеристика моделей Друде и Зоммерфельда

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»

Факультет радиотехники и электроники

Кафедра микро- и наноэлектроники

КУРСОВАЯ РАБОТА

Дисциплина: Физика конденсированного состояния

на тему: Сравнительная характеристика моделей Друде и Зоммерфельда

Студент: ФРЭ, 3 курс, гр. 243301

Федорук Платон Витальевич

Руководитель: доктор физико-

математических наук

Мигас Дмитрий Борисович

Минск, 2014

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. Модель Друде

1.1 Основные предположения модели Друде

1.1.1 Первое предположение

1.1.2 Второе предположение

1.1.3 Третье предположение

1.1.4 Четвертое предположение

2. Теория металлов Зоммерфельда

2.1 Зомерфельдовская теория проводимости в металлах

2.1.1 Средняя длина свободного пробега

2.1.2 Теплопроводность

2.1.3 Термо-Э.Д.С

2.1.4 Другие свойства

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Введение

электрон металл друде зоммерфельд

Целый ряд свойств металла и полупроводников может быть изучен достаточно глубоко с использованием простейших моделей строения вещества.

К таким моделям относятся и две модели металлов: классическая теория металлов Друде и квантовомеханическая теория металлов Зоммерфельда. Слово "классическая" здесь использовано в том смысле, что в основе теории Друде лежит классическая (ньютоновская) механика.

1. Модель Друде

В данной главе мы рассмотрим теорию проводимости металлов, предложенную Друде на заре нашего столетия. Успехи модели Друде были значительными; она и по настоящий день часто используется, поскольку позволяет быстро построить наглядную картину и получить грубые оценки характеристик, более точное определение которых могло бы потребовать сложного анализа. Однако модель Друде не могла объяснить некоторые эксперименты и, кроме того, приводила к ряду концептуальных трудностей, что и определило круг вопросов, с которыми теории металлов пришлось иметь дело в следующую четверть века. Они нашли свое разрешение лишь после создания сложной и тонкой квантовой теории твердого тела.

1.1 Основные предположения модели Друде

В 1897 г. Томсон открыл электрон. Это открытие оказало громадное и непосредственное воздействие на теорию материи и позволило также объяснить проводимость металлов. Через три года после открытия Томсона Друде разработал свою теорию электро- и теплопроводности. При этом он рассматривал электроны в металле как электронный газ и применил к нему кинетическую теорию газов, оказавшуюся весьма плодотворной.

В кинетической теории, в ее самой простой форме, считают, что молекулы газа представляют собой одинаковые твердые сферы, которые движутся по прямым линиям до тех пор, пока не столкнутся друг с другом. Предполагается, что продолжительность отдельного столкновения пренебрежимо мала и что между молекулами не действует никаких иных сил, кроме возникающих в момент столкновения.

В простейших газах имеются лишь частицы одного сорта, в металлах же их должно быть по меньшей мере два: электроны заряжены отрицательно, а металл в целом электрически нейтрален. Друде предположил, что компенсирующий положительный заряд принадлежит гораздо более тяжелым частицам, которые он считал неподвижными. В то время, однако, еще не понимали точно, почему в металле имеются подобные легкие подвижные электроны и более тяжелые неподвижные положительно заряженные ионы. Решение этой проблемы стало одним из фундаментальных достижений современной квантовой теории твердого тела. При обсуждении модели Друде, однако, нам будет достаточно просто предположить (для многих металлов это предположение оправдано), что когда атомы металлического элемента объединяются, образуя металл, валентные электроны освобождаются и получают возможность свободно передвигаться по металлу, тогда как металлические ионы остаются неизменными и играют роль неподвижных положительных частиц теории Друде. Эта модель схематически изображена на рисунке 1.1. Каждый отдельный атом металлического элемента имеет ядро с зарядом , где - атомный номер и е - величина заряда электрона (ед., . Вокруг ядра расположено электронов с полным зарядом - . Некоторое число Z из них - это слабо связанные валентные электроны. Остающиеся - Z электронов довольно сильно связаны с ядром; они играют меньшую роль в химических реакциях и носят название электронов атомного остова. Когда изолированные атомы объединяются, образуя металл, электроны атомного остова остаются связанными с ядрами, т. е. возникают металлические ионы. Валентные же электроны, наоборот, приобретают возможность далеко уходить от «родительских» атомов. В металлах эти электроны называют электронами проводимости.

К такому «газу», состоящему из электронов с массой m, которые (в отличие от молекул обычного газа) движутся на фоне тяжелых неподвижных ионов, Друде применил кинетическую теорию. Плотность электронного газа можно рассчитать следующим образом.

Рисунок 1.1. а - схематическое изображение изолированного атома (масштабы не соблюдены); б - в металле ядро и ионный остов сохраняют ту же конфигурацию, что и в изолированном атоме, а валентные электроны покидают атом и образуют электронный газ

Металлический элемент содержит атомов на 1 моль (число Авогадро) и молей на 1 , где - массовая плотность (в граммах на 1 ), а А - относительная атомная масса. Поскольку вклад каждого атома равен Z электронов, число электронов на 1 , n = :

. (1.1)

На рисунке 1.1 приведены плотности электронов проводимости для некоторых металлов. Обычно они имеют порядок электронов проводимости в 1 и изменяются от для цезия до для бериллия. В таблице 1.1 приведены также значения величины , широко применяемой как мера плотности электронов, - радиус сферы, объем которой равен объему, приходящемуся на один электрон проводимости. Таким образом:

а . (1.2)

В таблице 1.1 значения даны как в ангстремах ( см), так и в единицах боровского радиуса ; последнюю длину, которая характеризует радиус атома водорода в основном состоянии, часто используют в качестве масштаба при измерении атомных расстояний. Заметим, что в большинстве случаев отношение заключено между 2 и 3, хотя в щелочных металлах оно лежит между 3 и 6 (а в некоторых металлических соединениях может достигать 10).

Плотность газа электронов проводимости примерно в 1000 раз больше плотности классического газа при нормальных температуре и давлении. Несмотря на это и несмотря на наличие сильного электрон-электронного и электрон-ионного взаимодействия в модели Друде для рассмотрения электронного газа в металлах почти без изменений применяются методы кинетической теории нейтральных разреженных газов. Приведем основные предположения теории Друде.

Таблица 1.1. Электронные плотности некоторых металлических элементов согласно модели свободных электронов

1.1.1 Первое предположение

В интервале между столкновениями не учитывается взаимодействие электрона с другими электронами и ионами. Иными словами, принимается, что в отсутствие внешних электромагнитных полей каждый электрон движется с постоянной скоростью по прямой линии. Далее, считают, что в присутствии внешних полей электрон движется в соответствии с законами Ньютона; при этом учитывают влияние только этих полей, пренебрегая сложными дополнительными полями, порождаемыми другими электронами и ионами. Приближение, в котором пренебрегают электрон-электронным взаимодействием в промежутках между столкновениями, известно под названием приближения независимых электронов. Соответственно приближение, в котором пренебрегают электрон-ионным взаимодействием, называется приближением свободных электронов. В последующих главах мы обнаружим, что приближение независимых электронов оказывается неожиданно удачным во многих отношениях, тогда как от приближения свободных электронов приходится отказаться, даже если мы хотим достичь лишь качественного понимания поведения металлов.

1.1.2 Второе предположение

В модели Друде, как и в кинетической теории, столкновения - это мгновенные события, внезапно меняющие скорость электрона. Друде связывал их с тем, что электроны отскакивают от непроницаемых сердцевин ионов (а не считал их электрон-электронными столкновениями по аналогии с доминирующим механизмом столкновений в обычном газе). Позднее мы увидим, что при обычных условиях рассеяние электронов на электронах действительно является одним из наименее существенных механизмов рассеяния в металле. Однако простая механическая модель (рис. 1.2), согласно которой электрон отскакивает от иона к иону, весьма далека от действительности.

Рисунок 1.2. Траектория электрона проводимости, рассеивающегося на ионах, в соответствии с представлениями Друде.

К счастью, во многих задачах это не важно: для качественного (и даже количественного) понимания проводимости металлов достаточно просто предположить существование какого-то механизма рассеяния, не вдаваясь в подробности относительно того, каков именно этот механизм. Используя в своем анализе лишь несколько общих свойств процесса столкновения, мы можем не связывать себя конкретной картиной столкновений. Эти общие характерные черты описываются следующими двумя предположениями.

1.1.3 Третье предположение

Будем предполагать, что за единицу времени электрон испытывает столкновение (т. е. внезапное изменение скорости) с вероятностью, равной . Имеется в виду, что для электрона вероятность испытать столкновение в течение бесконечно малого промежутка времени dt равна просто . Время ф называют временем релаксации, или временем свободного пробега; оно играет фундаментальную роль в теории проводимости металлов. Из этого предположения следует, что электрон, выбранный наугад в настоящий момент времени, будет двигаться в среднем в течение времени ф до его следующего столкновения и уже двигался в среднем в течение времени ф с момента предыдущего столкновения. В простейших приложениях модели Друде считают, что время релаксации не зависит от пространственного положения электрона и его скорости.

1.1.4 Четвертое предположение

Предполагается, что электроны приходят в состояние теплового равновесия со своим окружением исключительно благодаря столкновениям. Считается, что столкновения поддерживают локальное термодинамическое равновесие чрезвычайно простым способом: скорость электрона сразу же после столкновения не связана с его скоростью до столкновения, а направлена случайным образом, причем ее величина соответствует той температуре, которая превалирует в области, где происходило столкновение. Поэтому чем более горячей является область, где происходит столкновение, тем большей скоростью обладает электрон после столкновения.

2 Теория металлов Зоммерфельда

Во времена Друде и затем в течение многих лет вполне разумным казалось предположение, что распределение электронов по скоростям совпадает с распределением в обычном классическом газе с плотностью описывается в состоянии равновесия при температуре T формулой Максвелла - Больцмана. При таком предположении число электронов в единице объема, скорости которых лежат в интервале dV центром в V, равно , где:

. (2.1)

Подобное предположение в сочетании с моделью Друде приводит к результатам, согласующимся по порядку величины с законом Видемана -Франца; вместе с тем из него следует также, что электроны должны давать большой вклад в теплоемкость металла, равный 3/2 на один электрон. Такой вклад обнаружен не был.

В течение четверти века этот парадокс вызывал сомнения в справедливости модели Друде, которые рассеялись лишь после создания квантовой теории и признания того факта, что для электронов в силу принципа запрета Паули распределение Максвелла - Больцмана должно быть заменено распределением Ферми - Дирака:

(2.2)

Здесь - постоянная Планка, деленная на 2, а - температура, определяемая из условия нормировки:

, (2.3)

и равная обычно десяткам тысяч градусов. При интересующих нас температурах (ниже К) и при электронных плотностях, типичных для металла, распределение Ферми - Дирака чрезвычайно сильно отличается от распределения Максвелла - Больцмана (рис. 2.1).

Сразу же после открытия того, что для объяснения связанных состояний электронов в атомах необходим принцип запрета Паули, Зоммерфельд применил этот принцип к свободному электронному газу в металлах, что позволило избавиться от наиболее вопиющих термодинамических противоречий исходной модели Друде. В большинстве случаев модель Зоммерфельда представляет собой просто модель классического электронного газа Друде с единственным отличием: распределение электронов по скоростям описывается статистикой Ферми - Дирака, а не Максвелла - Больцмана. Чтобы обосновать использование распределения Ферми - Дирака и оправдать его включение в классическую во всех остальных отношениях теорию, нам необходимо изучить квантовую теорию электронного газа.

Для простоты изложения мы сначала рассмотрим свойства электронного газа в основном состоянии (т. е. при T = 0), а затем уже перейдем к изучению отличных от нуля температур. Оказывается, что такие свойства имеют большой самостоятельный интерес: мы увидим, что для электронного газа с плотностью, типичной для металлов, комнатная температура фактически является очень низкой и поэтому во многих случаях можно считать, что T = 0. Благодаря этому многие (хотя и не все) параметры, характеризующие электронные свойства металлов, имеют даже при комнатной температуре практически ту же самую величину, что и при T = 0.

Рисунок 2.1. а - распределения Максвелла - Больцмана и Ферми - Дирака при типичных металлических плотностях и комнатной температуре. б - те же распределения в интервале в интервале от х=0 до х=10, построенные в другом масштабе.

2.1 Зоммерфельдовская теория проводимости в металлах

Чтобы найти распределение по скоростям для электронов в металле, рассмотрим малый элемент объема dk около точки k в k-пространстве. С учетом двукратного спинового вырождения число одноэлектронных уровней в этом элементе объема равно:

(2.4)

Вероятность заполнения каждого уровня есть , поэтому полное число электронов в элементе объема k-пространства равно:

. (2.5)

Поскольку скорость свободного электрона с волновым вектором к есть , число электронов в элементе объема dV вблизи V совпадает с числом электронов в объеме около точки . Следовательно, полное число электронов в расчете на единицу объема в реальном пространстве, содержащееся в элементе пространства скоростей dV вблизи V, равно:

, (2.6)

. (2.7)

Зоммерфельд заново рассмотрел модель Друде, заменив всюду классическое распределение по скоростям Максвелла -- Больцмана (2.1) распределением Ферми -- Дирака (2.7). Использование квантового распределения по скоростям в классической во всех других отношениях теории требует определенного обоснования. Классическое описание движения электрона возможно в том случае, когда его координата и импульс могут быть измерены с необходимой точностью без нарушения принципа неопределенности.

Типичный электрон в металле имеет импульс порядка , поэтому, чтобы классическое описание было хорошим, неопределенность импульса электрона должна быть малой по сравнению с . Поскольку , неопределенность координаты должна удовлетворять соотношению:

, (2.8)

где в соответствии с (1.2) имеет порядок среднего расстояния между электронами, т.е. составляет несколько ангстремов. Поэтому классическое описание невозможно, если приходится рассматривать электроны, которые локализованы на расстояниях порядка межатомных (также равных нескольким ангстремам). Однако электроны проводимости в металле не привязаны к конкретным ионам, а свободно передвигаются по объему металла. В макроскопических образцах в большинстве случаев нет необходимости задавать их координаты с точностью до см. В модели Друде знание координат электрона существенно в следующих двух отношениях:

1. Когда к металлу приложено переменное электромагнитное поле или же градиент температуры, мы должны быть в состоянии указать координаты электрона с точностью до расстояний, малых по сравнению с характерным масштабом л, на котором изменяется поле или градиент температуры. В большинстве практических случаев приложенные поля и градиенты температуры не меняются существенно на расстояниях порядка ангстрема, поэтому достижение требуемой точности при измерении координаты электрона не приводит к недопустимо большой неопределенности в его импульсе. Например, электрическое поле световой волны видимого диапазона существенно меняется лишь на длине около ?. Однако когда длина волны имеет гораздо меньшую величину (как, например, у рентгеновских лучей), то для описания движения электронов, вызванного таким полем, необходимо использовать квантовую механику.

2. В модели Друде неявным образом предполагается также, что электрон можно локализовать на расстояниях, гораздо меньших длины свободного пробега l; ввиду этого не следует доверять таким классическим рассуждениям, в которых длина свободного пробега гораздо меньше 10 ?. К счастью, оказывается, что в металлах при комнатной температуре длина свободного пробега порядка 100 ? и возрастает с понижением температуры.

Таким образом, существует широкий класс явлений, когда поведение отдельного электрона в металле хорошо описывается классической механикой. Тем не менее далеко не очевидно, что поведение N таких электронов также можно описать классически. Действительно, если принцип Паули так сильно влияет на статистику N электронов, то почему бы ему не оказывать столь же глубокого влияния на их динамику? На самом деле это не так, что видно из следующей элементарной теоремы, приводимой мною без доказательства.

Рассмотрим систему из N электронов, не взаимодействующих друг с другом и подвергающихся воздействию произвольного электромагнитного поля, зависящего как от пространственных координат, так и от времени. Пусть в нулевой момент времени путем заполнения каких-то N одноэлектронных уровней образовано некоторое N-электронное состояние. Пусть есть тот уровень, в который за время t под воздействием электромагнитного поля превратился бы уровень , если бы имелся всего один электрон, находившийся в нулевой момент времени на уровне . Тогда в момент времени t соответствующее N-электронное состояние будет образовано заполнением N одноэлектронных уровней .

Следовательно, чтобы полностью определить динамическое поведение системы из N невзаимодействующих электронов, достаточно рассмотреть N независимых одноэлектронных задач. В частности, если классическое приближение справедливо для каждой из этих одноэлектронных задач, то оно справедливо и для всей N-электронной системы.

Использование статистики Ферми - Дирака влияет лишь на те предсказания модели Друде, для получения которых необходимо знать распределение электронов по скоростям. Если величина , характеризующая частоту столкновений электрона, не зависит от его энергии, то изменение равновесной функции распределения влияет лишь на вычисление длины свободного пробега электрона, а также на расчет теплопроводности и термоэлектродвижущей силы.

2.1.1 Средняя длина свободного пробега

Используя в качестве типичной скорости электрона можно оценить среднюю длину свободного пробега :

. (2.9)

Удельное сопротивление при комнатной температуре составляет от 1 до 100 мкОмЧсм, а величина обычно лежит в пределах от 2 до 6; следовательно, даже при комнатной температуре средняя длина свободного пробега может быть порядка сотни ангстремов.

2.1.2 Tеплопроводностъ

Для оценки теплопроводности воспользуемся следующей формулой:

. (2.10)

Правильная величина удельной теплоемкости меньше полученного Друде классического значения, отличаясь от нее множителем порядка ; для правильной оценки величины следует взять не средний квадрат классической тепловой скорости, имеющий порядок , а значение , превышающее классическую величину в раз. Подставляя все эти величины в (2.10) и выражая время релаксации через проводимость, находим:

. (2.11)

Это значение числа Лоренца очень близко к полученному Друде, который сделал две компенсирующие друг друга ошибки, опустив в числителе и знаменателе множитель ; оно находится в превосходном согласии с экспериментальными значениями числа Лоренца.

2.1.3 Термо-Э.Д.С.

Как мы видели, теория Друде приводит к слишком большому значению дифференциальной термо-Э.Д.С. Это значение также можно уточнить, воспользовавшись статистикой Ферми - Дирака. Подставляя удельную теплоемкость в выражение:

, (2.12)

; (2.13)

последняя величина меньше оценки Друде (), отличаясь от нее множителем О () ~ 0,01 при комнатной температуре.

2.1.4 Другие свойства

Поскольку конкретный вид распределения электронов по скоростям не играет никакой роли при расчете статической и высокочастотной проводимости, коэффициента Холла и магнетосопротивления, их значениям остаются неизменными независимо от того, используется ли статистика Максвелла - Больцмана или статистика Ферми - Дирака. Однако эти выводы несправедливы, если время релаксации зависит от энергии. Например, если предположить, что электроны сталкиваются с неподвижными рассеивающими центрами, то тогда естественно считать, что длина свободного пробега не зависит от энергии, поэтому время релаксации оказывается зависящим от энергии: . Вскоре после того, как Друде предложил описывать металл моделью электронного газа, Лоренц воспользовался классическим распределением скоростей Максвелла - Больцмана и показал, что если время релаксации зависит от энергии, что это должно приводить к температурной зависимости статической и высокочастотной проводимостей, а также к отличному от нуля магнетосопротивлению и к коэффициенту Холла, который оказывается зависящим от поля и от температуры. Поскольку для металлов неприменимо классическое распределение по скоростям, ни одна из таких поправок, как и следовало ожидать, не смогла устранить глубокие расхождения между выводами модели Друде и экспериментальными фактами, относящимися к металлам. Более того, при использовании правильного распределения по скоростям (т. е. распределения Ферми - Дирака) учет зависимости времени релаксации от энергии не оказывает существенного влияния на большинство интересующих нас свойств металлов. При расчете статической и высокочастотной проводимостей, магнетосопротивления и коэффициента Холла результаты, получаемые в предположении зависящего от энергии времени релаксации , совпадают с результатами, полученными в предположении о , не зависящем от энергии и равном . В металлах эти величины почти полностью определяются тем, как рассеиваются электроны находящиеся вблизи уровня Ферми. В этом состоит еще одно важное следствие принципа запрета Паули.

Заключение

Обе теории (Друде и Зоммерфельда) базируются на многих идентичных положениях, и, несмотря на внешнее различие математического аппарата, приводят во многом к близким результатам и выводам. Особенно это касается поведения и свойств металлов при температурах и давлениях близких к нормальным (т.е. в области 300К) и давлении, близком к атмосферному.

Список использованных источников

[1] Ашкрофт Н. Мермин Н. Физика твёрдого тела. Том 1.-М: Мир,1978.-399с.

[2] Лифшиц И. М., Азбель М. Я. Каганов М. И. Электронная теория металлов, 1971. Наука. -416.

Размещено на Allbest.ru