Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Физико-технический институт

Кафедра электроники и автоматики физических установок

Отчёт по лабораторной работе на тему:

«Исследование системы регистрации быстрых сигналов»

Выполнил: студент группы 0712 Столповский Алексей Евгеньевич

Принял: преподаватель Михалевич Сергей Сергеевич

Томск 2014

Теоретическая часть

Определение функционала:

Переменная величина V называется функционалом, определенным на некотором классе функций M, если каждой функции y(x) из класса M ставится в соответствие определенное число V ? R (v ? C), а сам класс M называется областью определения функционала. Для значений функционала v на элементе y = y(x) ? M используется символ V = V[y(x)].

Здесь в качестве функционального пространства M рассматривается пространство Ck([a, b]), состоящее из всех функций, определенных на отрезке [a, b] и имеющих непрерывные производные до k-го порядка включительно. Здесь k -- некоторое фиксированное число. При k = 0 пространство C0([a, b]) = C([a, b]) есть пространство всех непрерывных на [a, b] функций.

Нормой элемента y(x) ? Ck([a, b]) называется неотрицательное число

Две функции y1(x) и y2(x) из пространства Ck[a, b] называются близкими в смысле близости k-го порядка, если норма их разности мала на отрезке [a, b]. Другими словами, близость функций y(x) и y1(x) в пространстве Ck ([a, b]) с заданной точностью д > 0 означает, что , т.е. что близки не только сами функции, но и их производные до k-го порядка включительно.

Функционал называется линейным, если для любого л ? R (л ? C) и любых y1(x), y2(x) ? K справедливо

называется действием, а - функцией Лагранжа (или лагранжианом).

Каждой функции (траектории) ставится в соответствие действие . Здесь - непрерывная функция вместе со всеми своими частными производными до второго порядка включительно. Свойства именно этого функционала и его обобщений обычно изучаются.

Исследуем поведение данного функционала при изменении функции y(x). Пусть y(x) - некоторая исходная функция, а y1(x) - некоторая другая функция, близкая (например, в смысле близости k-го порядка) к y(x). Функцию y1(x) будем называть проварьированной (изменённой, от латинского variatio - изменение) функцией. Существует несколько представлений проварьированной функции y1(x).

Можно, например, ввести понятие вариации аналогично тому, как вводится понятие дифференциала в дифференциальном исчислении.

Приращением, или вариацией, «аргумента» y(x) функционала V[y(x)] называется разность между функциями y1(x) ? y(x), y(x), y1(x) ? M. Для обозначения используется символ



Тогда проварьированную функцию можно записать как

Символ , согласно определению следует понимать как единый, причём , поскольку производная разности равна разности производных:

Другой подход состоит в том, что функция y(x) в функционале V[y(x)] рассматривается как однопараметрическое семейство

в котором изменение параметра б меняет функцию y(x), т.е. варьирует её. В этом случае сам функционал становится функцией от б, т.е , и его изменение в зависимости от вариации функции y(x) определяется параметром б. При этом вариацию можно определить как:

и для её произвольности семейство предполагать произвольным, а не фиксированным.

Обозначим через

где - линейный по отношению к функционал, а для функции при выбранной справедливо соотношение

Этот предел соответствует оценке

Фнукционал , имеющий вариацию при , называется дифференцируемым при . Для обозначения вариации функционала используется символ

Теорема

Если функционал дифференцируем в точке , то при любом функция как функция числа (при фиксированных и ) дифференцируема по при . Причём вариацию функционала можно определить равенством



Доказательство

Что и требовалось доказать. Здесь мы воспользовались свойством линейности функционала по .

Ход работы

вариационный исчисление wolfram mathematica

Задание № 1

В первом задании мы нашли в символьной форме и вычислили приращение функционала, определённого на пространстве C1([a, b]) при различных и

Вычисляем приращение аргумента:

Вычисляем :

Вычисляем

Вычисляем приращение функционала:

Вычисляем приращение аргумента:

Вычисляем :

Вычисляем

Вычисляем приращение функционала:

при и .

Вычисляем приращение аргумента:

Вычисляем :

Вычисляем

Вычисляем приращение функционала:

Очевидно, что на промежутке данный интеграл расходится за счёт слагаемых с в знаменателе.

Задание № 2

Во втором задании мы доказали, что функционал, определённый на пространстве C1([a, b]) является дифференцируемым в каждой точке этого пространства, то есть он имеет линейную относительно часть в своём приращении (вариацию).

Вычисляем приращение функционала:

Очевидно, что в силу свойства линейности определённого интеграла, приращение функционала линейно относительно , а значит, данный функционал является дифференцируемым на определённом пространстве.

Вычисляем приращение функционала:



Снова используя свойство линейности определённого интеграла, можно показать, что из приращения данного функционала возможно легко выделить линейную часть:

а следовательно данный функционал является дифференцируемым на определённом пространстве.

Можно справедливо заметить, что изучаемый в данной лабораторной функционал - действие (см. теоретическую часть) является дифференцируемым в C1([a, b]) при общем виде лагранжиана, а следовательно, достаточно рассмотреть общий случай.

Задание № 3

В третьем задании мы вычислили и графически изобразили приращение и вариацию функционала.

Вычисляем :



Вычисляем

Вычисляем приращение функционала:

Находим вариацию функционала (т.е. выделяю линейную относительно , а следовательно и относительно б часть):

Вычисляем значение данных функций при различных б:

Таблица 1. Значения функций в точках

б	-1	-0,6	-0,3	-0,1	-0,05	-0,01	-0,005	-0,001
	-0,8	-0,528	-0,282	-0,098	-0,0495	-0,0099	-0,005	-0,001
	-1	-0,6	-0,3	-0,1	-0,05	-0,01	-0,005	-0,001
б	0,001	0,005	0,01	0,05	0,1	0,3	0,6	1
	0,001	0,005	0,01002	0,0505	0,102	0,318	0,672	1,2
	0,001	0,005	0,01	0,05	0,1	0,3	0,6	1



Рисунок 1. График приращения и вариации функционала

.

Вычислем :

Вычислем

Вычислем приращение функционала:

Находим вариацию функционала (т.е. выделяю линейную относительно , а следовательно и относительно б часть):

Вычисляем значение данных функций при различных б:

Таблица 2. Значения функций в точках

б	-1	-0,6	-0,3	-0,1	-0,05	-0,01	-0,005	-0,001
	-3,3	-2,309	-1,291	-0,462	-0,235	-0,048	-0,024	-0,005
	-4,8	-2,875	-1,437	-0,479	-0,239	-0,048	-0,024	-0,005
б	0,001	0,005	0,01	0,05	0,1	0,3	0,6	1
	0,005	0,024	0,048	0,244	0,496	1,595	3,527	6,7
	0,005	0,024	0,048	0,24	0,479	1,437	2,875	4,8



Рисунок 2. График приращения и вариации функционала

Из полученных данных следует, что при малых б, а следовательно, при малых приращениях аргумента функционала (подробнее - см. вывод), приращение функционала можно заменить вариацией с незначительной погрешностью.

Задание № 4

При помощи теоремы, описанной в теоретической части нашли вариации заданных функционалов.

:

Здесь и в дальнейшем предполагаем, что функция является непрерывной в области определения и имеет непрерывную первую производную по б. Это необходимое условие внесения операции дифференцирования под знак интеграла.

:

Положив , записываем вариацию функционала:

:

Итак, вариация функционала имеет вид:



Вычисляем

:

Вычисляем

:

Положив записываем вариацию функционала:

Вычисляем

:

Вычисляем

:

Положив записываем вариацию функционала:

.

Вычисляем

:

Вычисляем

:

Положив записываем вариацию функционала:

Вывод

В ходе данной работы были изучены и проверены на практике основные постулаты вариационного исчисления, а также закреплены навыки работы с программным пакетом Wolfram Mathematica, то есть, цели работы были достигнуты. Более конкретные выводы приведены ниже:

1. Как мы убедились функционал - действие не всегда имеет приращение. Например в случае, если на заданном пространстве интеграл функционала расходится. Однако это не означает, что при этом он не имеет вариации.

2. Можно доказать, и мы убедились на частных случаях, что функционал - действие является дифференцируемым в C1([a, b]) при общем виде лагранжиана, то есть, имеет вариацию.

3. При достаточно малых приращениях аргумента функционала (в нашем случае при приращении аргумента в 1% и менее) его нелинейное приращение может быть с достаточной степенью точности (до 4 знака после запятой) заменено линейной вариацией. Этот факт может быть использован при выведении теоретических закономерностей и при практических вычислениях.

4. Взяв во внимание результаты вычисления вариаций функционалов 4 и 5 четвёртого задания, можно заметить, что функционал, линейную часть приращения которого выделить нельзя, всё равно может иметь вариацию. Иными словами, как написано в методическом пособии, «второе определение [вариации] является более широким».

5. Все данные примеры также были посчитаны в пакете Mathematica, их с подробными комментариями можно увидеть в приложении к данной работе. Сразу замечу, что все результаты полностью повторили полученные в данной работе. Для большей наглядности помимо вариаций функционалов четвёртого задания были посчитаны также их приращения.

Размещено на Allbest.ru