Гидравлический удар

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Гидравлический удар

Введение

Общая протяженность подземных нефте-, газо- и водопроводов в Российской Федерации составляет около 17 млн. км, при этом из-за постоянных интенсивных волновых (колебаний давления, гидроударов) и вибрационных процессов участки этих коммуникаций приходится постоянно ремонтировать и полностью заменять. Весьма актуальны для нефтегазодобывающей и перерабатывающей отраслей и вопросы защиты от коррозии, вследствие металлоемкости резервуаров хранения нефтепродуктов и прочих сооружений, наличия здесь агрессивных сред и жестких условий эксплуатации металлоконструкций. Убытки, вызываемые гидроударами и коррозией, составляли, например, для Минтопэнерго бывшего СССР несколько сотен миллиардов долларов, на восстановительные мероприятия приходилось использовать около 50 тыс. т черных металлов в год. При общей динамике аварийности, по оценкам экспертов, причинами разрыва трубопроводов являются:

- 60% случаев -- гидроудары, перепады давления и вибрации;

- 25% -- коррозионные процессы;

- 15% -- природные явления и форс-мажорные обстоятельства.

В течение всего срока эксплуатации трубопроводы испытывают динамические нагрузки (пульсации давления и связанные с ними вибрации, гидроудары и т.д.). Они возникают при работе нагнетательных установок, срабатывании запорной трубопроводной арматуры, случайно возникают при ошибочных действиях обслуживающего персонала, аварийных отключениях электропитания, ложных срабатываниях технологических защит и т.п. Техническое же состояние эксплуатируемых по 20-30 лет трубопроводных систем оставляет желать лучшего. Замена изношенного оборудования и трубопроводой арматуры в последние 10 лет ведется крайне низкими темпами. Именно поэтому, как свидетельствует госстатистика, в Российской Федерации наблюдается устойчивая тенденция увеличения аварийности на трубопроводном транспорте -- на 7-9% в год.

Участились аварии на трубопроводах, сопровождающиеся большими потерями природных ресурсов и широкомасштабным загрязнением окружающей среды. По официальным данным, только потери нефти из-за аварий на магистральных нефтепроводах превышают 1 млн. т в год, и это без учета потерь при прорывах внутрипромысловых трубопроводов.

Поэтому полное устранение или существенное уменьшение интенсивности волновых и вибрационных процессов в трубопроводных системах позволяет не только в несколько раз уменьшить количество аварий с разрывами трубопроводов и выходом из строя трубопроводной арматуры и оборудования, повысить надежность их работы, но также значительно увеличить срок их эксплуатации. В настоящее время для борьбы с пульсациями и колебаниями давления и расхода в трубопроводных системах используют воздушные колпаки, аккумуляторы давления, гасители различных типов, ресиверы, дроссельные шайбы, клапаны сброса и т.п.

1. Описание явления гидравлического удара

гидравлический удар жидкость

Более-менее заметным образом гидравлический удар проявляется только в жёстких трубопроводах при большой скорости потока. Он происходит тогда, когда движущаяся с некоторой скоростью жидкость вдруг встречает на своём пути жёсткое препятствие, которым, как правило, бывает заслонка или заглушка. В подобной ситуации пресловутый cтальной шарик в вакууме просто отскочил бы от встретившейся стенки обратно с той же скоростью, с которой подлетел к ней. Однако жидкость -- не шарик, да и вокруг не вакуум, а жёсткие стенки, а сзади напирают следующие порции, которые ещё «не знают», что впереди прохода нет! В результате жидкость останавливается, а её кинетическая энергия превращаются в потенциальную энергию упругого сжатия жидкости (ведь жидкости считаются несжимаемыми лишь по сравнению с газами, а на самом деле сжимаются примерно в той же степени, что и твёрдые тела с кристаллической структурой), а также потенциальную энергию упругого (а если не повезёт -- то и пластического, то есть необратимого) растяжения стенок трубы. Всё это приводит к тому, что давление в месте остановки стремительно возрастает, тем больше, чем выше была скорость жидкости и чем меньше её сжимаемость, а также чем выше жёсткость трубы. Это повышение давления и является гидравлическим ударом внезапно остановленной жидкости.

2. Фазы развития гидроудара

Как же развивается явление гидроудара? Рассмотрим это на самом простом примере -- внезапном заполнении жидкостью пустой трубы постоянного сечения, погружённой на некоторую глубину. Один конец этой трубы закрыт жёсткой заглушкой, а другой свободно сообщается с окружающей жидкостью. Кстати, практически то же самое будет, если рассматривать резкое перекрытие установившегося потока в такой же трубе, только там будет отсутствовать первая фаза -- заполнение пустой трубы, -- а роль заглушки будет играть перекрывшая трубу заслонка.

Схема возникновения гидравлического удара при заполнении жидкостью пустой трубы. Голубым цветом обозначена внешняя среда с исходным давлением, светло-голубым -- область пониженного давления, синим -- область повышенного давления (зона гидроудара). Синие стрелки показывают перемещение вещества среды (жидкости), красные -- перемещение границы зоны повышенного давления (без существенного перемещения вещества). H -- глубина (напор) на входе трубы; h -- перепад высот трубы, L -- длина трубы от входа до заглушки. Цифрами обозначены фазы развития явления.

Таблица 1. Фазы развития гидравлического удара

№ фазы	Название фазы	Описание фазы
1	Заполнение трубы	Под действием внешнего давления жидкость заполняет трубу, при этом в соответствии с законом Бернулли её давление несколько меньше давления неподвижной среды вне трубы.
2	Встреча с препятствием	Жёсткая заглушка внезапно останавливает поток, который ударяется в неё. Однако практически вся жидкость в трубе ещё продолжает своё движение вперёд.
3	Рост зоны повышенного давления	Головная часть потока остановилась и её кинетическая энергия перешла в потенциальную энергию упругой деформации жидкости и стенок трубы, вызвав в этой области повышение давления. Но до «хвоста» потока это воздействие ещё не дошло, и там жидкость продолжает двигаться в прежнем направлении. Граница области повышенного давления (ударная волна) перемещается от заглушки ко входу трубы, при достаточной жёсткости трубы эта скорость практически равна скорости распространения упругих колебаний в среде, т.е. скорости звука в жидкости.
4	Максимум повышенного давления	Ударная волна достигла входа трубы и вышла в неподвижную среду. Поскольку внешняя среда неподвижна относительно стенок трубы, она уже не добавляет свою кинетическую энергию и не оказывает существенного сопротивления сжатой жидкости в трубе, и та начинает двигаться из зоны повышенного давления наружу. Кроме того, в свободной среде стенки трубы уже не ограничивают и не «фокусируют» ударную волну, так что она распространяется во все стороны, быстро теряя силу. Таким образом, достигнув входа трубы, ударная волна «рассеивается» и «гаснет». Более подробно этот момент рассмотрен ниже.
5	Начало обратного движения	Поскольку у входа в трубу давление относительно невысоко, сжатая жидкость двигается туда под действием повышенного давления внутри трубы. При этом потенциальная энергия упругой деформации снова превращается в кинетическую энергию, но движение уже направлено в обратную сторону. В результате граница зоны неподвижной жидкости под повышенным давлением перемещается от входа в трубу обратно к заглушке, оставляя у входа зону немного пониженного давления, в которой жидкость движется обратно ко входу трубы. Скорость перемещения этой границы в случае достаточно жёсткой трубы также равна скорости распространения упругих деформаций в среде, т.е. скорости звука в жидкости, однако перепад давления на границе не такой резкий, как при распространении ударной волны -- зона границы существенно шире. Причиной этого являются особенности процесса рассеивания ударной волны у входа в трубу на предыдущей фазе. При падении давления вся потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энергию жидкости (за вычетом неизбежных потерь, которые могут быть весьма малы), поэтому скорость «разряженной» жидкости почти равна её скорости до остановки, только направлена теперь в сторону входа.
6	Окончание сжатия	В момент, когда граница зоны пониженного давления достигает заглушки, во всей трубе жидкость снова испытывает пониженное давление и движется обратно ко входу со скоростью, равной скорости потока в трубе в фазе 2.
7	Фаза разрежения (отрыва)	Двигаясь в сторону входа трубы, жидкость в силу инерции стремится оторваться от заглушки. Поэтому, если гидроудар был достаточно сильным, то возле заглушки образуется зона разрежения, где жидкость отсутствует и давление близко к нулю (именно вакуум, а не атмосферное давление). Однако жидкость, выходящая из трубы, движется не в пустоту, а в среду, представляющую собой ту же жидкость, только неподвижную. Сопротивление этой среды достаточно быстро затормозит движение жидкости к выходу и вместе с зоной разрежения возле заглушки вновь заставит жидкость двигаться от входа внутрь трубы, тем самым повторяя фазу 1 (естественно, уже с меньшей энергией, потери которой, как всегда, неизбежны). При слабом гидроударе жидкости не удаётся оторваться от заглушки, однако всё равно давление существенно снижается относительно давления вне трубы (настолько, насколько оно повысилось в фазе сжатия). В этом случае выделяют фазы распространения отрицательной ударной волны (границы зоны с низким давлением) ко входу трубы и её возвращения обратно под действием внешнего давления, однако при сильном гидроударе с отрывом жидкости от заглушки появляется ещё и фаза «замирания». Впрочем, самостоятельное значение этих фаз не очень велико, поэтому все их объединяем в одну фазу разрежения. Чуть ниже это рассмотрено более подробно.

3. Факторы, влияющие на силу гидроудара

Эластичные стенки трубопровода значительно снижают силу гидроудара, достаточно легко увеличивая объём трубы или шланга в месте остановки жидкости. Если труба заполнена воздухом и по мере продвижения жидкости он не успевает покинуть трубу с нужной скоростью, это также способно предотвратить сильный гидроудар, поскольку в этом случае воздух играет роль пневматического амортизатора, в котором плавно повышается давление, и потому он оказывает всё большее сопротивление движению жидкости, постепенно замедляя её. Именно эти принципы использует большинство устройств для защиты трубопроводов от гидроударов.

Следует чётко понимать, что эти факторы лишь растягивают процесс гидроудара во времени, но общая энергия гидравлического удара при этом остаётся прежней. Однако за счёт увеличения времени процесса, снижается его мощность, а значит, и максимальное давление, и максимальное усилие, воздействующее на стенки трубы. Но именно это и является целью защиты от гидроудара -- ведь теперь трубу уже не разорвёт!

И, конечно, силу гидроудара снижает более плавное перекрытие потока и уменьшение рабочей скорости движения жидкости в трубе (если необходимо сохранить расход, то для этого придётся увеличить диаметр трубы -- скорость уменьшится пропорционально увеличению площади её просвета).

Если же силу гидроудара надо увеличить, то тут рекомендации обратные -- как можно более жёсткая (и прочная!) труба, как можно более резкое перекрытие потока и как можно больший разгон жидкости перед остановкой потока.

4. Особенности явления гидроудара

Гидроудар в силу своей природы имеет несколько существенных особенностей, о которых нельзя забывать.

Высокая скорость процесса.

Прежде всего, следует учесть высокую скорость процесса. Поскольку скорость перемещения границ зон с различным давлением при высокой жёсткости трубы и заглушки определяется скоростью распространения упругих деформаций в жидкости, т.е. скоростью звука, всё происходит за очень короткое время.

Скорость звука в жидкостях обычно составляет порядка 1000...1500 м/с (для воды при 4°С -- 1.435 км/с, при 45°С 1.51 км/с (максимум), при 100°С -- 1.46 км/с), поэтому в трубе с водой длиной 15 метров процесс распространения ударной волны от заглушки до входа или обратно займёт примерно 10 миллисекунд. За это время тело, находящееся в покое, под действием ускорения свободного падения успеет набрать лишь скорость в 9.8 см/сек и пройти путь менее 5 сантиметров. При более коротких длинах эти цифры пропорционально уменьшатся.

Это означает, например, что в горизонтальной трубе за такое время пустота в зоне отрыва не успеет сколько-нибудь существенным образом перераспределиться и останется «сконцентрированной» именно возле заглушки, а не превратится в относительно небольшое снижение уровня жидкости на значительной части длины трубы. Многие другие эффекты, скажем, испарение заметного количества жидкости с границы зоны отрыва в область разрежения и, как следствие, существенное повышение там давления, также не смогут проявиться в полной мере из-за краткости отпущенного им времени.

5. Условия отрыва жидкости. Сильные и слабые гидроудары

В фазе разрежения отрыв жидкости от заглушки происходит не всегда. Для этого скорость потока должна быть достаточно высокой, а стенки трубы -- достаточно жёсткими, чтобы удар получился резким. Если удар окажется слишком слабым (или слишком плавным), то пустой области у заглушки не образуется, хотя в любом случае в фазе разрежения давление внутри трубы, в том числе непосредственно у заглушки, будет меньше, чем давление окружающей жидкости снаружи.

Для того, чтобы жидкость смогла оторваться от заглушки и появилась область отрыва, обратное давление (в идеале, без учёта потерь, равное максимальному повышению давления при сжатии) должно превышать давление среды снаружи. Таким образом, отрыв жидкости с образованием вакуума возможен при выполнении условия

ДP_уд > P₀ + ДP_h + ДP_T (1),

где ДP_уд -- максимальное повышение давления в фазе сжатия относительно внешнего давления; P₀ -- абсолютное внешнее давление в резервуаре возле входа в трубу (т.е. давление относительно вакуума, а не атмосферы над поверхностью жидкости); ДP_h -- гидростатическая разность давлений между входом в трубу и заглушкой, если труба расположена не горизонтально; ДP_T -- необратимые потери давления при сжатии и расширении жидкости и стенок трубы в фазах 2-6.

Если пренебречь потерями, то для строго горизонтальной трубы критерий возникновения области вакуума будет ещё проще:

ДP_уд > P₀ (2).

Может возникнуть вопрос: как же повышение давления при гидроударе может превысить давление на входе в трубу? Однако здесь нет парадокса, так как скачок давления зависит лишь от резкости остановки потока и набранной им к этому моменту кинетической энергии, поэтому жёсткая труба и малосжимаемая жидкость могут обеспечить сильный удар даже при не слишком высокой скорости потока.

Таким образом, гидроудары можно разделить на «сильные», когда образуется область вакуума в зоне отрыва, и «слабые», когда мощности удара для этого не хватает. При этом следует помнить, что речь именно о мощности удара, а не о его энергии, поскольку здесь определяющую роль играет резкость остановки.

Повторные циклы.

Как уже было сказано выше, после фазы 7 (разрежения) снова следует фаза 1 -- пустая (или разреженная) часть трубы снова заполняется жидкостью под давлением. В результате при гидроударе происходит своеобразный колебательный процесс, естественно, довольно быстро затухающий. При этом весьма важно знать, что же является главным фактором для возникновения повторного удара -- разгон жидкости, заполняющей пустоту, возникшую при отрыве её от заглушки в фазе разрежения или упругая реакция внешней среды на возмущения, вызванные отбойным движением жидкости от заглушки ко входу в фазах 4-6.

Ответ на этот вопрос определяет, является ли отрыв жидкости от заглушки в фазе 7 необходимым условием возникновения повторных циклов или они будут иметь место даже если отрыва не происходит?

Посмотрим, как при гидроударе с течением времени изменяется давление возле заглушки.

Изменение во времени давления возле заглушки при гидроударе.

Слева -- сильный удар (с отрывом жидкости от заглушки), справа -- слабый (без отрыва). Синей линией показан уровень исходного давления (до начала гидроудара), голубой линией -- идеальный характер изменения давления при отсутствии потерь энергии. P₀ -- давление свободной среды возле входа в трубу; ДP_уд -- максимальное повышение давления при гидроударе; t₀ -- длительность этапа при слабом гидроударе..

На рисунке видно, что при сильном гидроударе (слева) в фазе отрыва давление падает практически до нуля, т.е. образуется вакуум (0.1 МПа ~ 1 атм, давление измерялось относительно атмосферного, поэтому показания в -1 атм как раз и соответствуют абсолютному нулю давления). Однако это не слишком снижает энергию повторных гидроударов, более того, характер их постепенного ослабления не отличается от аналогичного ослабления при слабом гидроударе, показанном на рисунке справа.

При слабом гидроударе (без отрыва жидкости), фазы сжатия и разрежения имеют одинаковую длительность t₀, обусловленную временем «путешествия» ударной волны от заглушки ко входу трубы и обратно. В этом случае возмущения не выходят в резервуар сколько-нибудь далеко от входа трубы, и период этих колебаний полностью определяется длиной трубы и скоростью ударной волны. При сильном гидроударе обратным ходом (отбойной волной) жидкость выбрасывается из трубы с большой силой, и она выходит в резервуар достаточно далеко от входа в трубу, «расталкивая» уже находившуюся там жидкость. В результате этого в трубе возле заглушки освобождается место для зоны отрыва, однако и сила повторного удара обусловлена не только разрежением жидкости в трубе, но и возмущённой жидкостью в резервуаре вокруг входа в трубу. Поэтому повторный удар получается сильным, однако «затишье» между ударами существенно больше длительности каждого удара, поскольку ударная волна выходит далеко за пределы трубы, и этот путь требует дополнительного времени. По мере снижения силы повторных ударов интервал между ними сокращается, и когда скачок давления при очередном повторном гидроударе ДP_уд становится равным давлению вне трубы P₀, сравнивается с t₀ и в дальнейшем уже не уменьшается.

С точки зрения математики можно сказать, что в каждом цикле гидроудара площади положительного и отрицательного отклонения от уровня давления P₀ на графике P(t) должны быть равны, поскольку они пропорциональны энергии, а без учёта потерь энергия стадии сжатия и стадии расширения должна быть одинаковой. И, так как разрежение не может быть отрицательным, то в случае возникновения отрыва это условие соблюдается за счёт увеличения длительности фазы разрежения. Если же отрыва не возникает, то энергия «регулируется» амплитудой скачка давления, так как теперь «вакуумное ограничение» на стадии разрежения перестаёт действовать. Таким образом, пренебрегая потерями и считая фронты нарастания и спада давления достаточно резкими (близкими к вертикальным), можно записать условие соотношения длительностей стадий сжатия и разрежения возле заглушки в следующем виде:

(P₀ - P_с) · t_сз = (P_р - P₀) · t_рз или ДP_с · t_сз = -ДP_р · t_рз (3),

где P₀ -- исходное давление до начала гидроудара; P_с -- давление на стадии сжатия; t_cз -- длительность стадии сжатия возле заглушки; P_р -- давление на стадии расширения; t_pз -- длительность стадии разрежения возле заглушки; ДP_с -- изменение давления на стадии сжатия; ДP_р -- изменение давления на стадии расширения.

Размер имеет значение.

С увеличением размеров трубы сила гидроудара значительно возрастает, причём для одного и того же давления у входа в трубу этот рост обычно круче линейной зависимости. Здесь мы рассмотрим качественные причины такого поведения (количественные результаты автоматически следуют из расчётов, приведённых в следующих разделах этой страницы).

Дело в том, что энергия гидроудара определяется его длительностью, зависящей от длины и жёсткости трубы, и мощностью, которая прямо зависит от скачка давления, в свою очередь линейно зависимого от скорости потока в момент остановки. Поэтому при той же скорости потока скачок давления будет тем же, но длительность гидроудара, а значит и его общая энергия, возрастут в соответствии с увеличением длины трубы.

Однако при увеличении линейных размеров масса (и, следовательно, кинетическая энергия при той же скорости) возрастает пропорционально объёму, т.е. кубу их изменения, а потери на трение о стенки трубы -- пропорционально площади соприкосновения, то есть квадрату изменения размеров. Таким образом, удельные потери энергии на трение на единицу массы жидкости уменьшаются, и потому при том же движущем усилии (внешнем давлении) скорость потока возрастает, а стало быть, увеличивается и скачок давления в момент остановки.

В результате при одном и том же внешнем давлении мы получаем сильный гидроудар в большой трубе и слабый -- в маленькой. При этом слишком большое удлинение трубы без увеличения её диаметра также ослабит гидроудар за счёт того, что возрастающее гидравлическое сопротивление снизит скорость потока к моменту остановки. Отсюда следует вывод, что имеется некоторая оптимальная (или, может быть, наоборот -- фатальная) длина трубопровода, при которой гидроудар имеет максимальную силу. При меньшей длине поток не успевает разогнаться до максимальной скорости либо длительность гидроудара получается слишком маленькой, при большей -- гидравлическое трение отбирает слишком много энергии у движущегося потока, снижая его скорость до «безопасных» величин. Кроме того, если при увеличении диаметра трубы толщина её стенок не увеличится, то жёсткость, а следовательно, скорость ударной волны и скачок давления при гидроударе снижаются. Правда, на столько же возрастает его длительность, -- так что общую энергию гидроудара снижение толщины стенок не уменьшает, а вот шансы разрыва трубы увеличиваются!

Для слишком узких трубок большое значение начинают играть поверхностные эффекты, в том числе поверхностное натяжение. Все они препятствуют разгону потока и потому также снижают силу гидроудара. Чтобы получить в капиллярной трубке сколь-нибудь заметный гидравлический удар, надо очень сильно постараться!

6. Расчёт параметров гидравлического удара

Наиболее интересны два параметра гидроудара -- во-первых, его мощность (либо степень повышения давления) и, во-вторых, длительность стадий сжатия (фазы 2-6) и расширения (фаза 7), вместе с мощностью определяющих общую энергию гидравлического удара.

Расчёт повышения давления при гидроударе. Формула Жуковского

Повышение давления при гидравлическом ударе рассчитывается по формуле Жуковского:

ДP_уд = с · Дv · c (4),

где ДP_уд -- скачок давления; с -- удельная плотность жидкости; Дv -- произошедшее изменение скорости (при полной остановке -- скорость потока перед остановкой); с -- скорость распространения ударной волны.

В свою очередь, скорость распространения ударной волны определяется по формуле:

c = 1 / v(с · в + 2 · с · r / (д · E)) (5),

где c -- скорость ударной волны; v -- операция извлечения квадратного корня; с -- удельная плотность жидкости; в -- сжимаемость жидкости; r -- внутренний радиус трубы; д -- толщина стенок трубы; E -- модуль упругости материала трубы (модуль Юнга).

Следует отметить, что скачок давления при гидравлическом ударе не зависит от исходного давления, заставившего двигаться жидкость по трубе, а зависит только от набранной ею скорости. Это значит, что разгон жидкости относительно высоким давлением в течение короткого времени можно заменить более длительным разгоном под воздействием более низкого давления. Впрочем, бесконечно снижать разгоняющее давление не удастся: во-первых, в реальных условиях напор низкого давления уже при не слишком большой скорости потока весь уйдёт на компенсацию гидравлического трения; во-вторых, даже для сверхтекучей жидкости действует ограничение на максимальную скорость, которой поток может достичь при заданном напоре на входе трубы в соответствии с уравнением Бернулли.

Тем не менее, именно это обстоятельство позволяет гидравлическим таранам поднимать жидкость на высоту, во много раз превышающую приводящий их в действие перепад уровней.

Расчёт длительности стадий сжатия и расширения у заглушки

Расчёт длительности стадий сжатия и расширения будем проводить в предположении, что длина трубы, а следовательно, и время распространения гидроудара по ней, намного больше времени рассеивания ударной волны у входа в трубу. Это справедливо в большинстве случаев, поскольку обычно длина трубы превышает её диаметр в десятки, сотни, а то и тысячи раз. Однако для коротких труб, длина которых сравнима с их диаметром, нельзя не учитывать механизм рассеяния ударной волны у её входа, поскольку в этом случае он может заметно повлиять на длительность стадии сжатия.

Длительность стадии сжатия.

Как мы выяснили немного выше, длительность стадии сжатия не зависит от силы гидроудара, а определяется лишь временем распространения ударной волны по трубе, поэтому у заглушки она длится время, необходимое для прохода ударной волны по трубе «туда» и «обратно»:

t_сз = 2 · L / c (6),

где t_cз -- длительность стадии сжатия возле заглушки; L -- длина трубы от входа до заглушки; с -- скорость распространения ударной волны, вычисляемая по формуле (5).

Длительность стадии расширения.

При слабых гидравлических ударах, когда не выполняется условие (1) и отрыва жидкости от заглушки с образованием области вакуума не возникает, длительность стадии разрежения равна длительности стадии сжатия, вычисляемой по формуле (6).

Однако если силы гидроудара достаточно для возникновения отрыва жидкости от заглушки и образования области вакуума, то есть условие (1) выполнено, длительность стадии расширения возрастает в соответствии с соотношением (3) и с учётом формулы (4) она должна рассчитываться как

t_рз = t_cз · ДP_уд / P₀ = 2 · L · с · v₀ / P₀ (7),

где t_pз -- длительность стадии разрежения возле заглушки; t_cз -- длительность стадии сжатия возле заглушки; ДP_уд -- повышение давления на стадии сжатия при гидроударе, вычисляемое по формуле Жуковского; P₀ -- исходное давление до начала гидроудара (давление вне трубы); L -- длина трубы от входа до заглушки; с -- удельная плотность жидкости; v₀ -- скорость потока перед остановкой.

Таким образом, длительность стадии разрежения при слабом гидроударе помимо длины трубы зависит лишь от скорости ударной волны, а при сильном -- уже от его силы.

Расчёт длительности стадий сжатия и расширения в произвольном месте трубы.

Картина изменения давления в произвольном месте трубы несколько сложнее, чем показанная на предыдущем рисунке возле заглушки.

Изменение давления со временем в произвольном месте трубы при гидроударе. Слева -- сильный удар (с отрывом жидкости от заглушки), справа -- слабый (без отрыва). Красным показано изменение давления в середине трубы, жёлто-серым -- возле заглушки; синяя линия показывает уровень исходного давления (до начала гидроудара), голубая -- идеальный характер изменения давления у заглушки при отсутствии потерь энергии. P₀ -- давление свободной среды возле входа в трубу; ДP_уд -- максимальное повышение давления при гидроударе; t₀ -- длительность этапа при слабом гидроударе; t_П -- длительность «полочки».

Здесь появляются «полочки», уменьшающие длительности экстремальных давлений (как пониженного, так и повышенного) относительно длительности каждого этапа возле заглушки. Они связаны с задержкой, неизбежной при распространении до интересующего нас места трубы возникающей возле заглушки зоны экстремального давления. Очевидно, что по мере приближения к заглушке эти «полочки» будут уменьшаться и совершенно исчезают возле заглушки. Наоборот, по мере приближения ко входу в трубу из резервуара они нарастают, пока в сумме не станут равны t_сз (оно же t₀ на рисунках). Таким образом, возле входа в трубу длительность стадии сжатия становится ничтожной, а вот длительность стадии разрежения при условии сильного удара с отрывом жидкости от заглушки будет оставаться вполне заметной.

Длительность «полочки» определяется расстоянием от заглушки и скоростью распространения ударной волны:

t_п = l / c (8),

где t_п -- длительность «полочки» (стадии нормального давления); l -- расстояние по трубе до заглушки; с -- скорость распространения ударной волны, вычисляемая по формуле (5).

Таким образом, длительность стадий сжатия и разрежения в произвольном месте трубы будет рассчитываться по формулам

t_c = t_сз - 2 t_п (9) и t_р = t_рз - 2 t_п (10),

где t_c и t_р -- длительности стадий сжатия и разрежения в произвольном месте трубы; t_cз и t_рз -- длительности стадий сжатия и разрежения возле заглушки, вычисляемые по формулам (6) и (7) соответственно; t_п -- длительность «полочки» (стадии нормального давления) в данном месте трубы, вычисляемая по формуле (8).

Не следует думать, что в силу конечного времени нарастания и спада давления (неидеальности фронтов) максимальные усилия на стенки трубы возле её входа будут меньше, чем возле заглушки. Время воздействия максимального давления у входа действительно будет мизерным, но сам спад максимального давления начинается уже вне трубы -- в зоне ускорения жидкости. И неидеальность фронта спада формируется именно там -- вне трубы.

Наконец, следует отметить, что разрежение, вплоть до практически полного отсутствия давления при сильном гидроударе, отнюдь не означает, что на этой стадии жидкость покидает всю трубу. Это лишь означает, что жидкость перестаёт давить на её стенки. Реально пустота образуется только в зоне отрыва возле заглушки -- там же, где возник гидроудар при внезапном перекрытии потока.

Расчёт ускоряющегося потока.

Сила гидравлического удара прямо зависит от скорости, которую успел набрать останавливаемый поток. Достаточно определённо о скорости потока можно сказать только в одном случае -- при резком перекрытии установившегося потока. Однако во многих случаях поток под воздействием внешнего давления (или, что то же самое, перепада уровней) периодически набирает некоторую скорость, после чего резко перекрывается, а затем цикл повторяется снова -- таков, скажем, принцип работы гидравлических таранов. Этот же процесс имеет место при повторных циклах гидроудара независимо от того, был ли вызван первичный гидроудар перекрытием установившегося или ускорявшегося потока. Поэтому возникает необходимость определить следующие взаимосвязанные величины:

1. максимальную скорость, которую изначально покоящаяся жидкость под воздействием внешнего давления может набрать при заполнении трубы;

2. время, за которое на этом расстоянии поток наберёт заданную скорость (конечно, не превышающую максимально возможной);

3. скорость, которую поток может достичь, имея заданное расстояние для разгона.

При рассмотрении будем предполагать, что поток начинает заполнять горизонтальную пустую трубу, среда внутри которой не оказывает ему сколько-нибудь заметного сопротивления. Кроме того, давление в резервуаре на уровне входа в трубу также будем считать постоянным (это соответствует ситуации, когда объём резервуара намного больше заполняемого объёма трубы, либо такая неизменность давления обеспечивается специальными техническими средствами).

Расчёт сначала проведём без учёта потерь на гидравлическое трение (для сверхтекучей жидкости), а затем попробуем учесть потери.

Где ускоряется жидкость?

Прежде всего следует выяснить, где происходит ускорение жидкости -- в трубе или вне её? Уравнение непрерывности даёт однозначный ответ: внутри трубы неизменного сечения скорость потока также неизменна, а следовательно, всё ускорение происходит в резервуаре перед трубой! В этом легко убедиться, наблюдая за сливом воды из ванны -- «воронка» над сливным отверстием обусловлена именно зоной ускорения воды, находящейся в объёме самой ванны, а в сливной трубе скорость воды уже не меняется. Поэтому и энергия гидравлического удара обусловлена всем объёмом воды, двигающейся в трубе с одной и той же скоростью.

Вовлечение заполняющей трубу жидкости в движение вне трубы.Более насыщенным цветом показаны области с большей скоростью. Градации показаны условно, нарастание скорости происходит плавно.

Давайте определим форму границы области, на которой скорость жидкости меньше скорости в трубе на одну и ту же величину (форму эквискоростной поверхности). Поскольку вне трубы жидкость стремится к её входу со всех сторон в равной степени (давление-то везде одинаково), логично предположить, что при отсутствии каких-либо дополнительных направляющих граница этой области ускорения вокруг входа в трубу имеет сферическую форму. Впрочем, вблизи от входа трубы она будет несколько отличаться от сферической из-за того, что жидкость «сзади» от входа испытывает гидравлическое трение о стенки трубы и, к тому же, прежде чем попасть в внутрь, ей необходимо поменять направление, то есть ей труднее попасть в трубу, чем той, что находится напротив входа и практически не меняет направление движения вплоть до попадания внутрь трубы. Однако по мере удаления от входа влияние этих факторов ослабевает и форма эквискоростной поверхности будет всё более приближаться к сферической.

Следует отметить ещё один фактор, влияющий на форму эквискоростной поверхности -- это градиент давления. Если он значителен (это имеет место возле поверхности, когда при относительно небольшом увеличении глубины давление может изменяться в разы), то такая поверхность приобретает яйцеобразную форму острым концом вверх, а уровню входа трубы соответствует самая широкая часть этого «яйца». На большой глубине, где на при той же разности уровней давление меняется лишь на малые доли процента, форма эквискоростной поверхности будет практически неотличима от идеальной сферы.

Остаётся определить закон, по которому меняется скорость жидкости во внешней среде по мере удаления от входа в трубу. Ответ определяется всё тем же уравнением непрерывности: скорость обратно пропорциональна площади сечения потока, а стало быть, квадрату расстояния от входа в трубу (при строгом расчёте из площади сферы необходимо вычесть площадь сегмента, соответствующего внешнему диаметру трубы, однако уже на расстоянии полутора радиусов от центра входа в трубу его доля составляет лишь немногим более 10%, в двух радиусах -- около 7%, а в пяти радиусах -- всего 1%).

Гашение ударной волны.

Поскольку жидкость разгоняется перед входом в трубу, то, когда в результате гидроудара жидкость в трубе остановилась, вынуждена остановиться и уже набравшая некоторую скорость жидкость возле входа в трубу. Эта остановка вызывает повышение давления вокруг входа, что часто интерпретируется как «выход ударной волны из трубы». Однако повышение давления прямо пропорционально скорости останавливаемой жидкости, а вне трубы эта скорость падает обратно пропорционально квадрату расстояния до входа. Поэтому уже в 10 радиусах трубы от её входа скачок давления при гидроударе составит лишь 1% от его силы в самой трубе -- это выглядит как «затухание» ударной волны при выходе её из трубы.

Жидкость в трубе начинает двигаться наружу сразу, как только ударная волна вышла из трубы, поскольку давление сразу становится меньше давления в трубе, хотя и превышает давление невозмущённой внешней жидкости. Однако перепад давлений пока не так велик, и поэтому жидкость движется ещё не так быстро. Затем давление вне трубы быстро падает, и скорость движения жидкости наружу также быстро нарастает. Тем не менее, этот процесс обуславливает принципиальную неидеальность фронта падения давления, начинающего движение от входа к заглушке -- он не может быть идеально скачкообразным даже теоретически! На рисунке в фазе (5) это показано как размытость границы падения давления.

Наконец, следует напомнить, что все описанные здесь процессы присходят очень быстро. Если гидроудар был достаточно слабый и отрыва жидкости от заглушки не произошло, то для трубы диаметром в несколько сантиметров время гашения ударной волны и формирование обратного фронта измеряется не милли-, а микросекундами!

Кстати, при обратном движении на стадии отбоя торможение выбрасываемой из трубы жидкости также происходит вне её пределов -- в объёме резервуара возле входа. В случае сильного обратного движения со значительным отрывом жидкости от заглушки несферичность зоны торможения более выражена за счёт изначального присутствия направленного скоростного напора, и вблизи от входа трубы она, скорее, напоминает «факел», чем сферу. При этом непосредственно у стенок трубы возле входа возможна эжекция (подсос) жидкости в направлении выброса, то есть к срезу трубы, а не от него. Однако по мере торможения и удаления от входа форма эквискоростной поверхности при торможении выброса во внешней среде опять-таки приближается к сферической.

Расчёт скорости заполняющего трубу потока для сверхтекучей жидкости.

Выяснив, что жидкость ускоряется вне трубы, а внутри неё скорость потока одинакова, можно переходить к расчётам скорости.

Сначала рассмотрим внезапное заполнение абсолютно пустой трубы. Условно разобьём непрерывный поток на маленькие порции, мысленно нарезав его поперёк движения на тоненькие «ломтики».

В соответствии с уравнением Бернулли, когда первая порция жидкости ринется в трубу, при разгоне жидкости с неизменным гравитационным потенциалом (в горизонтальной трубе) всё давление должно будет перейти в скоростной напор:

с · v² / 2 = -ДP (11),

где с -- удельная плотность жидкости; v -- скорость потока; -ДP -- потери давления, перешедшие в скоростной напор.

При этом со стороны трубы жидкости ничего не препятствует -- труба пуста, поэтому первая порция набирает максимальную скорость практически мгновенно. За ней устремляется следующая порция, на которую сзади действует такое же давление, и спереди её также ничто не сдерживает -- ведь первая порция уже унеслась вперёд с максимально возможной скоростью! Поэтому и вторая порция на входе в трубу набирает максимально возможную скорость. То же самое происходит и с третьей, и с последующими порциями. Конечно, в реальности они ускоряются более плавно, чем самое начало потока, но всё это ускорение, как мы выяснили чуть выше, происходит перед входом в трубу, внутри же трубы, начиная от самого её входа, заполняющий поток движется с максимально возможной скоростью, определяемой давлением на входе в трубу:

v_М = v(2 · P₀ / с) (12),

где v_М -- максимальная скорость потока; v -- операция извлечения квадратного корня; с -- удельная плотность жидкости; P₀ -- давление возле входа в трубу. Мы получили вариант известной формулы Торричелли для определения скорости свободно истекающей жидкости.

Теперь предположим, что в трубе возле входа уже было некоторое количество жидкости, которая, к тому же, уже двигалась с некоторой скоростью. Тогда по закону Бернулли со стороны жидкости вне трубы на неё будет действовать сила

F = (P₀ ± с · v² / 2) / (р · R²) (13),

где F -- сила от внешнего давления, воздействующая на жидость в трубе; P₀ -- внешнее давление возле входа в трубу; с -- удельная плотность жидкости; v -- скорость жидкости в трубе; R -- внутренний радиус трубы; ± -- определяется направлениями давления и скорости жидкости: если они совпадают, следует вычитать, а если направлены встречно -- складывать.

Соответственно, ускорение жидкости будет определяться этой силой и массой жидкости в трубе:

a = F / m = ((P₀ ± с · v² / 2) / (р · R²)) / (с / (x · р · R²)) = (P₀ / с ± v² / 2) / x (14),

где a -- ускорение жидкости в трубе под воздействием внешнего давления; P₀ -- внешнее давление (возле входа в трубу); с -- удельная плотность жидкости; v -- скорость жидкости в трубе; R -- внутренний радиус трубы; x -- текущее заполнение трубы, т.е. расстояние от начала потока до входа в трубу; ± -- векторное сложение давления и скоростного напора, определяемое направлениями давления и скорости жидкости: если они совпадают, следует вычитать, а если направлены встречно -- складывать.

Проанализируем только что полученную формулу для ускорения.

· Если жидкость движется навстречу внешнему давлению, внешнее давление тормозит её, суммируя своё воздействие со скоростным напором жидкости. Эта ситуация имеет место во время обратного хода жидкости при отбое гидроудара в фазах 5 -- 7 (пока обратное движение не остановится).

· Если жидкость в трубе покоится или движется в ту же сторону, куда действует внешнее давление, но скорость её меньше максимальной v_M (12), внешнее давление ускоряет её движение внутрь трубы и тем сильнее, чем медленнее движется жидкость. Эта ситуация соответствует фазе 1 при повторных циклах сильного гидроудара (с отрывом).

· Если жидкость в трубе движется в ту же сторону, куда действует внешнее давление, со скоростью, равной максимальной v_M (12), ускорение отсутствует. Эта ситуация соответствует рассмотренному чуть выше заполнению пустой трубы, когда скорость заполнения неизменна и максимальна.

· Наконец, если жидкость в трубе движется в ту же сторону, куда действует внешнее давление, но её скорость превышает v_M (12), внешнее давление не может ускорить жидкость в трубе, а новая жидкость заполняет трубу как пустую со скоростью v_M. Впрочем, для создания такой ситуации надо приложить особые усилия и проявить немало изобретательности.

В соответствии с формулой (14) скорость потока при заполнении трубы на расстояние x от входа в трубу будет равна

v(x) = _l^x? a(x) dx = _l^x? ((P₀ / с ± v(x)² / 2) / x) dx (15),

где v(x) -- скорость жидкости в трубе с учётом заполнения трубы; l -- начальное заполнение трубы от её входа; x -- текущее заполнение трубы от её входа; a(x) -- ускорение жидкости в трубе под воздействием внешнего давления с учётом заполнения трубы; P₀ -- внешнее давление (возле входа в трубу); с -- удельная плотность жидкости.

Итак, при попытке рассчитать скорость аналитическими методами мы сталкиваемся с необходимостью брать интеграл функции от самой себя. Это обусловлено тем, что разгон жидкости в трубе относится к неустановившимся («нестационарным») процессам, развитие которых прямо определяется состоянием их важнейших параметров на предыдущем этапе. Теперь понятно, почему теория гидравлического удара так долго находилась лишь на уровне качественного описания явления, а практические расчёты выполнялись на основании опытных данных и эмпирических формул, подходящих только для узкого диапазона условий. Однако получившаяся ситуация не является препятствием для численных методов решения задач, а с учётом возможностей современных компьютеров использование численных методов не представляет проблемы. К тому же для приближения к реальности необходимо учесть и гидравлическое трение, расчёт которого в аналитической форме, мягко говоря, весьма затруднителен...

Расчёт скорости заполняющего трубу потока с учётом гидравлического трения.

В реальности для получения заметного гидроудара скорость потока перед его остановкой должна быть достаточно большой, так что при расчёте скорости нельзя не учитывать потери от гидравлического трения. К сожалению, расчёты гидравлического трения основаны на эмпирических закономерностях, каждая из которых действует в своём диапазоне скоростей. Поэтому решать такую задачу с учётом всех нюансов наиболее удобно с помощью численных методов. В общем виде её решение заключается в учёте в формуле (14) потерь на гидравлическое трение P_T:

a = ((P₀ ± P_T) / с ± v² / 2) / x (16).

Как и прежде, знак «±» указывает на векторное сложение внешнего давления, скоростного напора и гидравлического трения. Если движение жидкости направлено от входа трубы -- по действию внешнего давления, -- то внешнее давление стремится ускорить поток, но скоростной напор нейтрализует часть этого давления, а гидравлическое трение тормозит поток. Поэтому трение и скоростной напор следует вычитать. Если же движение жидкости направлено ко входу трубы (стадия отбоя -- отрицательная скорость), остановить её совместно стремятся все три фактора. Поэтому пока жидкость движется вспять, нужно всё суммировать.

Поскольку расчёты гидравлического трения обычно выполняются как расчёт потерь напора H_T, они переводятся в потери давления через плотность с и ускорение свободного падения g как P_T = H_T · g · с. Поэтому текущее ускорение с учётом потерь на трение следует рассчитывать по формуле

a = (P₀ / с ± H_T · g ± v² / 2) / x (17),

Используя для расчёта потерь в круглой трубе универсальную формулу Вейсбаха-Дарси, получаем

a = (P₀ / с ± v² / 2) / x ± л · v² / (2 · D) = P₀ / (с · x) ± (v² / 2) · (1 / x + л / D) (18),

где a -- ускорение жидкости в трубе под воздействием внешнего давления; P₀ -- внешнее давление на уровне входа в трубу; с -- удельная плотность жидкости; v -- скорость жидкости в трубе; x -- текущее заполнение трубы, т.е. расстояние от «головы» потока до входа в трубу; л -- безразмерный коэффициент гидравлического трения; D -- внутренний диаметр трубы; ± -- векторное сложение давления и скоростного напора, определяемое направлениями давления и скорости жидкости: если они совпадают, следует вычитать, а если направлены встречно -- складывать.

Тем не менее, даже рассматривая влияние гидравлического трения лишь с точки зрения качественной оценки, можно сделать важный вывод. Если в начале разгона потока труба частично заполнена жидкостью, после достижения определённой длины заполненного участка, зависящей от внешнего давления и параметров трубы и жидкости, скорость потока перестанет повышаться и начнёт снижаться из-за того, что потери напора на трение превысят напор от внешнего давления. Поэтому слишком длинный пробег снизит силу гидроудара.

При заполнении пустой трубы скорость потока из-за трения начнёт снижаться сразу с начала заполнения. Однако это не значит, что для получения максимального гидроудара оптимальная длина пустой трубы должна быть как можно меньше: ведь чем меньше длина трубы, тем меньше длительность гидроудара, а следовательно, и его энергия, и его воздействие на стенки этой трубы. В предельном случае при нулевой длине трубы длительность гидроудара также нулевая, поэтому каким бы теоретически мощным он бы ни был, на практике вообще ничего произойти не может -- ведь его энергия будет равна нулю.

7. Особые случаи

Теперь рассмотрим особые случаи гидроудара, когда условия существенно отличаются от рассматриваемых до сих пор «идеально-лабораторных». Наиболее часто встречающиеся отличия можно свести к следующим случаям.

1. Поток заполняет трубу, которая предварительно уже была частично заполнена жидкостью.

2. Поток сталкивается не с твёрдой неподвижной заглушкой, а с другим потоком жидкости, который может двигаться ей навстречу («лобовое столкновение») или в ту же сторону (новый поток догоняет и «подталкивает» предыдущий).

3. Гидроудар происходит с утечками жидкости из трубы, например, при неполном перекрытии трубы заслонкой или заглушкой, либо в трубе, где имеются дополнительные отверстия помимо входа, через который вливается поток.

Гидроудар в частично заполненной трубе.

Нередко труба, в которую устремился поток, вызвавший гидроудар, бывает уже частично заполнена жидкостью -- неподвижной или движущейся в ту или другую сторону. Рассмотрим два крайних случая -- гидроудар в частично заполненной горизонтальной трубе, где жидкость равномерно распределена по её длине, и гидроудар в вертикальной трубе, где жидкостью уже заполнена часть трубы возле заглушки. Рассматривая эту ситуацию в общем, можно сказать, что энергия гидроудара по сравнению с заполнением пустой трубы уменьшается в число раз k, равное

k = V_П / V_Т = (V_Т -- V_Ж) / V_Т (19),

где V_П -- незаполненный внутренний объём трубы; V_T -- весь внутренний объём трубы; V_Ж -- объём жидкости в трубе до начала заполнения её потоком.

Соответственно сила гидроудара, определяемая интегральной скоростью всей жидкости в трубе, уменьшится в vk, то есть пропорционально квадратному корню от отношения незаполненного объёма к общему объёму трубы.

Однако это утверждение полностью применимо лишь к повторным циклам такого гидроудара. Что же касается первого цикла, и прежде всего его стадии сжатия (первичного удара), то хотя за весь период в общем его энергетика будет соответствовать формуле (19), при внимательном рассмотрении возникают существенные нюансы, зависящие, в том числе, и от того, сосредоточена ли уже находящаяся в трубе жидкость в одном её конце (вертикальное положение) или равномерно распределена по всей её длине (горизонтальное положение).

Гидроудар в частично заполненной горизонтальной трубе.

Предположим, что горизонтальная труба равномерно по всей длине заполнена на некоторую высоту неподвижной жидкостью. Когда такая труба вдруг начинает заполняться дополнительным потоком жидкости, он «сминает» ту жидкость, что уже была в трубе. Однако, пока в трубе есть свободное место, эта жидкость не оказывает жёсткого сопротивления, а «подчиняется», под действием напора потока повышая свой уровень и набирая скорость в направлении заполняющего потока. И только когда свободного места в трубе не остаётся, сопротивление становится жёстким и происходит гидроудар.



Движение потока в частично заполненной горизонтальной трубе. Более насыщенным цветом показаны области с большей скоростью. Градации показаны условно, нарастание скорости происходит плавно.