Электромагнитные колебания в объемных резонаторах

Электромагнитные колебания в объемных резонаторах

• СОДЕРЖАНИЕ
• 1 Общие сведения об объемных резонаторах
• 2 Колебания типа в прямоугольных резонаторах
• 3 Колебания типа в прямоугольных резонаторах
• 4 Колебания типа и в цилиндрических резонаторах
• Список использованных источников

1 Общие сведения об объемных резонаторах

Объемные резонаторы, широко используемые в технике сверхвысоких частот (в частности для измерения частоты), являются аналогом обычного колебательного контура. Контуры, выполненные из сосредоточенных элементов (индуктивностей и емкостей) могут применяться до частот порядка нескольких сотен мегагерц. На более высоких частотах используются коаксиальные резонаторы (примерно до 5 гигагерц), на еще более высоких - прямоугольные и цилиндрические объемные резонаторы.

Упрощенно объемный резонатор можно себе представить как отрезок линии передачи (коаксиальная линия, прямоугольный или круглый волноводы) длиной , закороченный с двух концов. При этом получается соответственно коаксиальный (рис. 3.1а), прямоугольный (рис. 3.1б) или цилиндрический (рис. 3.1в) резонаторы.

На резонансную частоту коаксиального резонатора влияет только размер , для прямоугольного или цилиндрического резонаторов кроме размера влияют также размеры и и соответственно, а также тип колебаний в резонаторе. На добротность резонаторов влияют все размеры резонатора, а также тип колебаний в нем.

Классификация типов колебаний в резонаторах основана на тех же принципах, что и для линий передачи (см. раздел. 2.1).

Так, если поле в прямоугольном резонаторе имеет компоненту , а компонента , то имеем колебания типа . Если наоборот, , а , то имеем колебания типа . Аналогично классифицируются типы колебаний в цилиндрическом резонаторе, где размер отсчитывается по направлению оси . В коаксиальном резонаторе существуют колебания типа . Чаще всего объем резонатора заполнен воздухом (с параметрами и ), если резонатор заполнен диэлектриком, то на его резонансную частоту и добротность влияют также параметры диэлектрика и .

2 Колебания типа в прямоугольных резонаторах

Для того, чтобы исследовать колебания типа в прямоугольном резонаторе, необходимо определить наличие и зависимость всех компонент поля от координат и параметров резонатора, а также зависимость резонансной длины волны (или частоты ) от параметров резонатора для данного типа колебаний.

Здесь также как и ранее (см. раздел 2.4), мы фактически рассматриваем только возможность существования тех или иных типов колебаний в объемном резонаторе, не исследуя вопрос, как они возбуждаются конкретными источниками.

Поскольку все поперечные компоненты поля могут быть выражены через продольные (см. раздел 2.2), то достаточно найти выражение для компоненты . Для этого необходимо решить однородное волновое уравнение вида

 (3-1)

во внутренней области прямоугольного резонатора. Стенки резонатора полагаем идеально проводящими, среда внутри резонатора не имеет потерь и характеризуется параметрами и .

Полученное решение для компоненты должно:

1). Удовлетворять граничным условиям на поверхности стенок резонатора.

2). Быть конечным в той области, где ищется решение.

При решении используем декартову систему координат , , (см. рис. 3.1).

Заметим, что в отличие от волноводов, где мы полагали, что все компоненты поля зависят от координаты по закону (см. раздел. 2.1), на поле в резонаторе такое ограничение не налагается. Тогда соотношение (3-1) примет вид

(3-2)

Уравнение (3-2) решаем методом разделения переменных.

Мы уже решали аналогичные уравнения (см. раздел 2.4), решение должно удовлетворять граничным условиям вида (2-44), (2-45). Кроме того, поскольку компонента является нормальной к торцевым стенкам резонатора (при и ), то она должна быть равна нулю на поверхности этих стенок (см. раздел 1.2). В результате граничные условия запишутся в виде:

 (3-11)

(3-12)

(3-13)

Таким образом, окончательно запишем

(3-18)

Здесь в коэффициент входят , и , , ,

Для вычисления поперечных компонент поля (см. раздел 2.4) выражение (3-18) дифференцируется по , или .

Из (3-7), подставив значения , и , получаем

(3-20)

Использовав соотношения и получаем

 (3-21)

(3-22)

Где и - соответственно резонансная частота и резонансная длина волны.

Таким образом, в прямоугольном резонаторе может существовать бесконечное число колебаний типа , отличающихся друг от друга индексами ,,, т.е. законом распределения компонент в зависимости от координат и картинами поля, а также резонансной частотой и резонансной длиной волны.

Типы колебаний в резонаторе обозначаются буквой ( или ) и тремя индексами: ,,. Например - колебания вида . Индексы , и имеют простой физический смысл - это число вариаций поля по координатам , и соответственно. Отсюда видно, что, например, поле колебаний в резонаторе можно рас-сматривать как поле в волноводе для волны , с учетом того, что отрезок волновода закорочен при и . На торцевых стенках резонатора ( и ) должны выполняться граничные условия, индекс определяет число вариаций поля по координате . Это дает возможность при построении картин поля в резонаторе использовать правила, сформулированные в разделе 2.5 для построения картин поля в волноводе. Изложенное справедливо, как для прямоугольных, так и для цилиндрических резонаторов. Токи на стенках резонатора определяются так же, как и для волновода, с использованием соотношения 1-11, аналогично рис. 2.8.

Из анализа соотношения (3-22) видно, что при фиксированной величине чем меньше индексы , и, тем меньше должны быть размеры ,и . При фиксированных размерах , и максимальное значение получается при минимальных значениях индексов , и. Обычно интересуются типами колебаний для которых максимальна при данных размерах , и , т.е. для которых индексы , иминимальны.

Из (3-19) видно, что индексы и одновременно не могут быть равны нулю и индекс также не может быть равен нулю (в этих случаях поле существовать не может). Поэтому взяв минимальные значения индексов , и получаем колебания типа .

Подставив в (3-19) , и получим выражения для компонент поля колебаний

(3-23)

Из сравнения (3-23) и (2-57) видно, что картина поля в поперечном сечении резонатора (плоскости, параллельные плоскости ) такая же, как для волны в поперечном сечении волновода. Зависимость компонент поля от координаты приведена на рис. 3.2. Суммарная картина поля в резонаторе изображена на рис. 3.3.

Распределение токов на стенках резонатора, как уже говорилось выше, определяется из соотношения (1-11). Для колебаний типа распределение токов приведено на рис. 3-4. Видно, что продольные токи существуют на широких и торцевых стенках резонатора (при и ), а поперечные - только на широких и узких боковых стенках. Колебания типа - это низший тип колебаний (как и волна для прямоугольного волновода).

Интересно отметить, что если бы в выражениях (3-19) и полученных из них соотношениях (3-23) вместо коэффициентов , учли все соотношения, связанные с вычислением всех компонент поля через продольные, то в (3-19) получили бы, что компоненты и сдвинуты относительно компонент , , по фазе на 90?. Точно так же в (3-23) получили бы, что компонента сдвинута по фазе на 90? относительно компонент и . Это справедливо и для других типов колебаний в резонаторах, как прямоугольных, так и цилиндрических и коаксиальных. Поскольку все величины (компоненты поля) изменяются во времени по гармоническому закону и записаны с использованием метода комплексных амплитуд (см. раздел 1.5), то сдвиг фаз между компонентами и в 90? говорит о том, что энергия электромагнитного поля в резонаторе определяемая соотношением (1.5) в некоторые моменты времени определяется только электрическим или только магнитным полем. Это явление, как известно имеет место и в обычном колебательном контуре.

3 Колебания типа в прямоугольных резонаторах

Для того, чтобы исследовать колебания типа в прямоугольном резонаторе, необходимо решить однородное волновое уравнение вида

(3-24)

Полученное решение должно быть конечным в области, где оно ищется и, кроме того, удовлетворять граничным условиям

 (3-25)

(3-26)

Условие (3-26) может быть получено из уравнений Максвелла аналогично тому, как это сделано в разделе 2.4 при выводе соотношений (2-44) и (2-45).

Для определения резонансной длины волны получим такое же соотношение, как и для колебаний типа .

3-28)

В прямоугольном резонаторе может существовать бесконечное число колебаний типа , отличающихся друг от друга индексами ,,, т.е. законом распределения компонент в зависимости от координат и картинами поля, а также резонансной длиной волны.

Рассмотрим колебания типа при минимальных значениях индексов , и . Видно, что ни ни не может быть равно нулю, а индекс может быть равен нулю. Тогда получаем низший тип колебаний .

Подставив в (3-27) и (3-28) и получим

(3-29)

(3-30)

Интересно, что в отличие от колебаний в данном случае компоненты поля от координаты не зависят и не зависит от размера . Картины поля в резонаторе могут быть построены, если взять за основу поле волны в прямоугольном волноводе и дополнительно потребовать выполнение граничных условий на торцевых стенках при и .

Распределение токов на стенках резонатора определяется из соотношения (1-11). Картины поля в резонаторе и распределение токов на его стенках для колебаний типа приведены на рис. 3.5 и 3.6.

4 Колебания типа и в цилиндрических резонаторах

Для того, чтобы исследовать колебания типа и в цилиндрических резонаторах, можно использовать подход, использованный в разделах 3.2 и 3.3, связанный с решением волнового уравнения. В результате получим, что в цилиндрическом резонаторе (как и в прямоугольном) может существовать бесконечное число колебаний типа и , отличающихся друг от друга индексами , и , т.е. законом распределения компонент и картинами поля, а также резонансной длиной волны. Мы, однако, решать волновые уравнения не будем, а для построения картины поля в резонаторах воспользуемся аналогией с полем в круглом волноводе (для прямоугольного резонатора такая аналогия рассмотрена в разделах 3.2 и 3.3). Картины поля для колебаний типа и можно получить, взяв за основу картины поля в круглом волноводе для волн и и потребовав выполнения граничных условий на торцевых стенках при и . Индексы и при этом имеют тот же физический смысл, что и для круглого волновода (число вариаций поля по окружности и по радиусу волновода), а индекс - число вариаций поля по координате (вдоль размера ). При этом для колебаний типа индекс может быть равен нулю, а для колебаний типа он не может быть равен нулю.

Рассмотрим колебания типа . Известно (см. раздел 2.7), что в круглом волноводе низшим типом электрических волн является . В цилиндрическом резонаторе дополнительно потребуем, чтобы при отсутствовало изменение поля вдоль координаты , а линии вектора

подходили к торцевым стенкам под прямым углом. В результате получим картину поля для колебаний типа , изображенную на рис. 3.7а. Поле в резонаторе имеет компоненты и , токи, протекающие на стенках резонатора, изображены на рис. 3.7б. Резонансная длина волны и не зависит от размера . Однако, для того, чтобы этот тип колебаний существовал, необходимо, чтобы размер был достаточно малым. Если размер увеличить так, что вдоль него сможет уложиться вариация поля, то в резонаторе будут существовать колебания типа . Это связано с тем, что в круглом волноводе основной тип волны и если вдоль размера уложится вариация поля, то будут колебания типа . Картина поля в резонаторе для колебаний типа может быть получена, если взять картину поля для волны и дополнительно потребовать, чтобы вдоль размера укладывалась вариация поля, а на торцевых стенках выполнялись граничные условия. Картина поля изображена на рис. 3-8, поле в резонаторе имеет компоненты ,,, и . Резонансная длина волны

(3-31)

токи на стенках резонатора как продольные, так и поперечные.

Список использованных источников

1. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн / Никольский В.В. - М.: Наука, 1973. - 607 с.

2. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны / Вайнштейн Л. А. - М., 1957.

3. Бройль Л. Электромагнитные волны в волноводах и полых резонаторах, пер. с франц. / Бройль Л. - М., 1948

4. Баскаков С.И. Основы электродинамики / Баскаков С.И. - М.: Сов. радио, 1973. - 248 с.