Найдем частоту малых колебаний системы, показанной на рис. 4 Известны радиус блока , его момент инерции относительно оси вращения, масса тела и жесткость пружины . Массы нити и пружины пренебрежимо малы, нить по блоку не скользит, трения в оси блока нет.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 4 - Комбинированный маятник: - - сила тяжести, - сила натяжения нити, к которой крепится груз, - сила натяжения нити, к которой крепится пружина, - жесткость пружины, - ускорение движения груза, - ускорение свободного падения.

Рассмотрим движение груза относительно положения равновесия. Пусть координата груза (отсчитывается вниз)

Найдем начальное удлинение пружины . Для этого учтем, что когда система покоится нить натянута одинаково по всей длине. Тогда вес тела должен уравновешиваться силой упругости растянутой пружины:

.

где - начальное удлинение пружины .

Рассмотрим теперь положение груза в точке с координатой . Пусть в этот момент ускорение груза равно . Тогда второй закон Ньютона для груза имеет вид:

.

Из-за того, что пружина невесома, то натяжение нити всегда равно по модулю силе упругости пружины, т.е.:

.

Из-за разности в натяжении нити по обе стороны от блока на последний действует момент сил, равный:

.

Запишем для блока основное уравнение динамики вращательного движения:

.

Далее учтем, что так как нить по блоку не скользит, то угловое ускорение блока связано с ускорением груза:

.

Кроме того, аналогичным соотношением связаны линейное перемещение груза и угловое перемещение блока:

.

Тогда основное уравнение динамики вращательного движения перепишется в виде:

.

Угловое ускорение:

Тогда уравнение движения можно переписать в виде:

.

Последнее уравнение представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний с частотой:

,

где - частота колебаний системы, находящейся под действием упругих сил и силы тяжести (рис.4). При отсутствии пружины система не будет совершать колебаний.

1.4 Колебания под действием различных сил тяжести

Примем следующие параметры системы:

- длина нити;

- поверхностная плотность заряда плоскости;

- заряд шарика;

- масса шарика;

Частота колебаний, связанная с гравитационным взаимодействием:

.

Частота колебаний, связанная с электростатическим взаимодействием:

.

Собственная частота комбинированных колебаний:

.

Коэффициент затухания примем равным: .

Рассмотрим возможные причины затухания колебаний заряда над металлической поверхностью. Колебания в данной системе проходит из-за изменения величины электрического дипольного момента системы состоящей из заряженного шарика и его изображения в металле. Это потери на излучение электромагнитных волн. При малых частотах колебаний эти потери незначительны, так как мощность, излучаемая в виде электромагнитных волн пропорциональна четвертой степени частоты. При малых частотах потери на излучение сравнимы или даже меньше потерь на работу против сил вязкого трения маятника о воздух.

Частота затухающих колебаний осциллятора:

.

Если начальное отклонение шарика: , то уравнение затухающих колебаний шарика имеем вид:

.

Зависимость угловой скорости осциллятора от времени:

.

По полученным уравнениям колебаний составляем таблицу расчетных значений для построения фазовой траектории и графика колебаний.

Таблица 1.

Зависимости угла поворота и угловой скорости комбинированного маятника от времени (

Изобразим данный колебательный процесс графически.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 6 - График затухающих колебаний комбинированного осциллятора при , .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 7 - Фазовая траектория комбинированного осциллятора при , .

Изобразим примерный спектр колебаний, учитывая, что частота колебаний, равна . Из-за наличия затухания такой спектр будет иметь колоколообразную форму с максимум на частот колебаний.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 8 - Примерный спектр комбинированного осциллятора при , .

Построенные графики указывают основные закономерности колебаний комбинированных маятников с затуханием.

Выводы

На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы:

1. Колебания комбинированного осциллятора описываются теми же уравнениями, что и колебания осциллятора, находящегося под действием одной силы.

2. Частота малых колебаний комбинированного осциллятора определяется как корень из суммы квадратов частот, с которыми бы колебался маятник, если бы на него действовали бы силы различной природы в отдельности..

3. В работе был произведен численный расчет конкретного осциллятора с построением графика колебаний, фазовой траектории и спектра колебаний.

Список использованных источников

колебание комбинированный осциллятор

1. Савельев И.В. Курс общей физики т.2: учебное пособие/ И.В. Савельев. - Москва: Наука, 1988. - 496 с.

2. Сивухин Д.В. Курс общей физики т.2 Электричество: учебное пособие/ Д.В Сивухин. - Москва: Наука, 1974. - 519 с.

3. Ландау Л.Д. Механика./ Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц. - Москва: Наука, 1965. - 204 с.

4. Гречихин Л.И. Колебания и волны: учебное пособие/ Л.И. Гречихин, Н.И. Козарь, Н.И. Павлова. - Минск: МВИЗРУ ПВО, 1973. - 129 с.

Размещено на Allbest.ru