Характеристика и расчет нелинейных электрических цепей

Содержание

1. Классификация нелинейных элементов

2 Параметры нелинейных элементов и некоторые схемы их замещения

3. Графические методы расчета нелинейных цепей постоянного тока

Список литературы

1. Классификация нелинейных элементов

Нелинейные цепи - это цепи, в которых есть хотя бы один нелинейный элемент. Нелинейный элемент - это элемент, для которого связь тока и напряжения задают нелинейным уравнением.

В нелинейных цепях не выполняется принцип наложения, и поэтому нет общих методов расчёта. Это вызывает необходимость разработки специальных методов расчета для каждого типа нелинейных элементов и режима их работы.

Нелинейные элементы классифицируют:

1) по физической природе: проводниковые, полупроводниковые, диэлектрические, электронные, ионные и т.д.;

2) по характеру делят на резистивные, емкостные и индуктивные;

ВАХ КВХ ВАХ

3) по виду характеристик все элементы делят

- на симметричные и несимметричные. Симметричные - это такие, у которых характеристика симметрична относительно начала координат. Для не симметричных элементов раз и навсегда выбирают положительное направление напряжения или тока и для них в справочниках приводится ВАХ. Только такое направление можно использовать при решении задач с использованием этих ВАХ.

- на однозначные и неоднозначные. Неоднозначные, когда одному значению тока или напряжения на ВАХ соответствуют несколько точек;

4) инерционные и безынерционные элементы. Инерционными элементами называют такие элементы, у которых нелинейность обусловлена нагревом тела при прохождении тока. Т. к. температура не может изменяться сколь угодно быстро, то при прохождении по такому элементу переменного тока с достаточно высокой частотой и неизменным действующим значением, температура элемента остается практически постоянной в течение всего периода изменения тока. Поэтому для мгновенных значений элемент оказывается линейным и характеризуется какой-то постоянной величиной R (I,U). Если же изменится действующее значение тока, то изменится температура и получится другое сопротивление, т. е. для действующих значений элемент станет нелинейным.

5) управляемые и неуправляемые элементы. Выше мы говорили о неуправляемых элементах. К управляемым элементам относят элементы с тремя и более выводами, у которых, изменяя ток или напряжение на одном выводе, можно менять ВАХ относительно других выводов.

2. Параметры нелинейных элементов и некоторые схемы их замещения

В зависимости от конкретной задачи удобно применять те или иные параметры элементов и общее число их велико, но чаще всего используют статические и дифференциальные параметры. Для резистивного двухполюсного элемента это будут статическое и дифференциальное сопротивления.

- в заданной точке ВАХ

- в заданной рабочей точке ВАХ

Это сопротивление R_Д можно посчитать двумя способами:

1. Дают небольшое приращение напряжения. Находят по ВАХ, вызванное этим приращением, приращение тока и берут их отношение. Недостатком этого способа является то, что для повышения точности расчета нужно уменьшать U и I, но при этом трудно работать с графиком.

2. К заданной точке кривой проводят касательную и тогда по геометрическому определению производной, получают

Где приращения берут на этой касательной и могут быть сколь угодно большими.

Если известен режим работы нелинейного элемента, то в этой точке известно его статическое сопротивление, а также напряжение и ток, поэтому его можно заменить одним из 3-х способов.

Если известно, что во время работы цепи ток и напряжение меняются в пределах «более-менее прямолинейного участка ВАХ», то этот участок описывают линейным уравнением и ставят ему в соответствие такую эквивалентную схему.

Линеаризуют этот участок уравнением вида U=a+ib.Получают для него коэффициенты уравнения.

При i=0 и U=U₀=а,

усреднённое значение на этом участке.

Тогда , что соответствует следующей схеме замещения:

Эта схема будет справедлива для участка, ограниченного волнистой линией.

То же самое выражение можно записать по-другому:

Поэтому в некоторых задачах, где заранее известно, что токи и напряжения нелинейного элемента представляют в виде суммы постоянной составляющей Uрт, Iрт и переменной составляющей u_~, i_~ c амплитудой << чем величина постоянной составляющей, отдельно рассчитывают режим на постоянном токе (напряжении) и отдельно для переменной составляющей. Из записей видно, что двухполюсный элемент для малой переменной составляющей можно заменить просто дифференциальным сопротивлением в рабочей точке.

Этот же подход применяют и в схемах с многополюсными элементами, но там не удаётся ввести только одно сопротивление, т. к. Ч. П. характеризуются четырьмя коэффициентами уравнений. Но можно найти эти коэффициенты для малых переменных составляющих токов и напряжений.

Пример: Биполярный транзистор (схема с общим эмиттером).

Пусть известно, что u_j=U_pф+u_kj , i_j=I_pф+i_kj

Схема замещения:

Применим дифференцирующие параметры и получим в форме «И».

u_бк=h₂₁i_б+h₁₂u_кэ

i_кэ=h₂₁i_б+h₂₂u_кэ

U_бэ=H₁₁I_б+H₂₁U_кэ

Эти уравнения пишут для переменных составляющих, потому что изменяется процедура расчета элементов.

H₁₁=U_бэ/I_б при I_б=0, т.е. i_б=I_бр.т.

H₁₂=U_бэ/U_кэ при I_б=0

H₂₁=I_к/I_б при U_кэ=0

H₂₂=I_к/U_кэ при I_б=0, т.е. i_б=I_бр.т.

h₁₂=ДU_бэ/ДU_кэ h₂₁=Дi_к/Дi_б h₂₂=Дi_к/Дu_кэ,

где I, U есть приращения токов и напряжений в окрестности рабочей точки.

Вольтамперные характеристики данного нелинейного элемента.

Методы расчёта нелинейных цепей постоянного тока

Различают: численные, аналитические и графические методы.

1) Численные - это методы численного решения нелинейных уравнений. Обычно используют ЭВМ. Они позволяют решить широкий круг задач, но ответ получается в виде числа.

2) Аналитические - это методы, в основе которых лежит аппроксимация ВАХ какой-нибудь подходящей функции. Если эта функция нелинейная, то получается нелинейная система уравнений. Чтобы она могла быть решена, приходиться очень аккуратно выбирать аппроксимирующую функцию.

3. Графические методы расчета нелинейных цепей постоянного тока

Чаще всего применяют кусочно-линейную аппроксимацию, когда всю ВАХ заменяют на совокупность отрезков прямых. Каждый отрезок ВАХ описывают линейным уравнением (U=a+bi). Этому уравнению сопоставляют некоторую схему замещения. Для каждого участка аппроксимации нелинейный элемент заменяют его схемой замещения. Задача становиться линейной. Можно применять все методы расчёта линейных цепей.

Заранее неизвестно, какой нужно выбрать участок ВАХ. Поэтому берут какой-то один. Рассчитывают режим цепи. Проверяют, попала ли рабочая точка в тот диапазон U и I, для которого использован данный участок аппроксимации. Если не попала, то берут следующий участок ВАХ и так повторяют до тех пор, пока не получится совпадение. Во всех аналитических методах очень важно оценить возможное положение рабочей точки, т. к. это позволяет аппроксимировать не всю ВАХ, а только её часть.

Из схемы видно, что к диоду приложено обратное напряжение, поэтому аппроксимировать нужно обратную ветвь. Обратную ветвь заменяют двумя прямыми линиями.

U = a₁ + b₁I, если -3 ? I ? 0

U = a₂ + b₂I, если -25 < I < -5

При U = 0: a₁ = 0

При U = -7,5: b₁ = 2500 Ом

При U = -8: a₂ + (-5•10³)b₂ = -8 (1)

При U = -8,2: a₂ + (-25•10³)b₂ = -8,2 (2)

Вычтем из (1) уравнения (2) и получим: b₂ = 10 Ом, a₂ = -7,95 В.

Пусть E = 24 В, R₁ = 1500 Ом, R₂ = 3000 Ом. Начнем со второго участка, тогда полученная схема замещения.

ц₂ = 0

ц₁(1/R₁+1/r_д2 + 1/R₂) = E/R₁ - E₀₂/r_д2

ц₁ = (E r_д2 R₂ - E₀₂R₁R₂)/(r_д2 R₂ + R₁R₂ + R₁r_д2)=8,03 В

Рабочая точка оказалась на втором участке ВАХ, который мы и использовали. Режим для нелинейного элемента найден правильно. При необходимости рассчитывают остальные токи и напряжения методами уже линейной цепи

3) Графические - эти методы основаны на графическом решении уравнений Кирхгофа, т. к. других уравнений писать нельзя (несколько проще решают задачи с одним нелинейным элементом). При графическом решении складывают или вычитают либо напряжения на каких то участках, либо токи в некоторых ветвях. При этом любые две величины можно складывать только тогда, когда у них одинаковый аргумент.

Рассматривают некоторые графические методы: метод эквивалентного генератора; расчет последовательного, параллельного и смешанного соединения нелинейных элементов; метод двух узлов; расчёт цепи с управляемым нелинейным элементом.

Пример 1: Цепь содержит один нелинейный элемент.

В этом случае удобно применять метод эквивалентного генератора.

1) Нелинейный элемент считают нагрузкой, а всё остальное - активным двухполюсником. Находят параметры двухполюсника: Uxx, Rвх, Iкз.

2) Получают такую задачу, для которой справедливо:

(*)

Левая часть - это ВАХ нелинейного элемента, а правая - линейная функция тока I и её строят по двум любым точкам.

Строят левую и правую часть уравнения (*)

3) По полученным величинам в рабочей точке нелинейный элемент заменяют по теореме компенсации либо источником ЭДС, либо источником тока.

При этом получают полностью линейную задачу, а значит, все остальные токи и напряжения можно рассчитать любым эффективным методом. Решим ту же задачу, что и выше.

Видно, что удобно заменить источником ЭДС.



Пример 2: Расчет последовательного, параллельного и смешанного соединения нелинейных элементов.

а) Последовательное соединение

Е = Uл(I)+Uv(I).

Чтобы построить ВАХ правой части уравнения, несколько раз задают произвольное значение тока I и суммируют получившиеся значения напряжений на элементах. График левой части есть вертикальная линия.

По пересечению графиков правой и левой частей уравнения находят величину тока в рабочей точке I_р.т. Зная I_р.т, по ВАХ каждого элемента находят Uл и Uv.

б) Параллельное соединение

J = Iл(U₁₂)+Iv(U₁₂)

Из уравнения видно, что надо задавать значение U и суммировать полученные значения токов. Получают график правой части. График левой части - горизонтальная линия.

Получив Uрт, по графику ВАХ каждого нелинейного элемента находят ток.

в) Смешанное соединение

Начинают преобразовывать схему с самого дальнего от источника участка, заменяя последовательное и параллельное соединение нелинейных элементов некоторыми эквивалентными нелинейными элементами. ВАХ этих элементов получают в соответствии с уравнениями Кирхгофа. Так делают до тех пор, пока не получат схему с одним источником и одним нелинейным элементом. Рассчитывают режим этой схемы. Используя полученные величины, возвращаются шаг за шагом назад и находят остальные токи и напряжения.

Преобразуем правую часть:

U₁₂(Iv)+Uv(Iv)=E₂

U₁₂(Iv) =E₂-Uv(Iv)

U₁₂(Iл)+Uл(Iл)=E₁

U₁₂(Iv)+Uv(Iv)=E₂

U₁₂(IR)-UR=0

Iл(U₁₂)+Iv(U₁₂)=I_R

Заменим две правые ветви одним эквивалентным элементом:

I_?(U₁₂) = I_R(U₁₂) - Iv(U₁₂) (1)

Для построения ВАХ правой части уравнения (1)задают значения U и по ВАХ R и диода при данном U суммируют токи. Строят график правой части уравнения (1) - U₁₂(I).

I_Л=I_? и уравнение цепи имеет вид:

Е = Uл(I_?)+ U₁₂(I_?) (2).

По пересечению полученного графика правой части уравнения (2) и ВАХ ЭДС Е₁, находят Iл. Зная Iл, по ВАХ лампы находят Uл; по ВАХ U₁₂ (I) -U₁₂. По полученному U₁₂, определяют I_R по ВАХ I_R (U₁₂) и по ВАХ Iv(U₁₂) - Iv. По ВАХ диода и известному току Iv получают Uv.

г) Расчёт цепи с управляемым нелинейным элементом

В этих задачах мы имеем не одну какую-то ВАХ, а два семейства ВАХ и порядок действия может быть таким.

1) Записывают уравнения по законам Кирхгофа (но от управляемого элемента берут только такие токи и напряжения, которые указаны на осях его ВАХ).

2) Методом подстановки всю систему сводят до двух уравнений, которые должны содержать только параметры элементов схемы и токи и напряжения нелинейного элемента.

3) Графически решают полученные два уравнения.

I_E = Iк+I₁ (1)

I₁ = I₂+I_б (2)

Iк+I_б = Iэ (3)

I₁R1+I₂R2 = E (4)

IкR3+Uкэ+IэR4 = E (5)

Uбэ+IэR4- I₂R2 = 0 (6)

Т.к. Iк >> I_б то из уравнения (3)

Iк = Iэ.

Из уравнения (2) Выразим I₁ и подставим в (4). Получим:

I₂R1+ I_бR1+ I₂R2 = E (7)

IкR3+Uкэ + IкR4 = E (8)

Uбэ + IкR4 - I₂R2 = 0 (9)

Из (7) выражаем I₂ и подставляем в (9):

(10)

Уравнения (8) и (10) соответствуют требованиям, и мы будем их решать.

Выразим из (8) Uкэ:

Uкэ = Е-Iк (R3-R4).

Левая часть это ВАХ, а правая - уравнение прямой линии (нагрузочной прямой). Решение лежит где-то на этой прямой, но мы не знаем, какой I_б соответствует РТ и поэтому не можем указать конкретную ВАХ. Воспользуемся уравнением (10):

Левая часть - это ВАХ, а правую строят так: задают значение I_б, на выходных ВАХ находят ток коллектора (пересечение прямой с выбранной ВАХ) и вычисляют правую часть. Эту процедуру повторяют несколько раз и строят график U_бэ(I_б). На входной ВАХ находят пересечение с полученным график U_бэ(I_б). Точка пересечения указывает положение рабочей точки (U_бэрт, I_брт).). После этого на выходных ВАХ выбирают, соответствующую найденному I_брт, характеристику. По точке пересечение полученной выходной характеристикой с нагрузочной прямой находят Uкэ_РТ и Iк_РТ. По координатам рабочей точки выбирают транзистор по мощности:

Р_{к доп} > U_КЭрт •I_Крт

Список литературы

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. -7-е изд., перераб. и доп. -М.: Высш. шк., 1978. -528с.

2. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. -5-е изд., перераб. -М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М. Поливанова. Т.1. К.М. Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. М.:Энергия, 1972. -240с.

4. Л.А. Бессонов. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. Изд. 10. Учебник для вузов.- М.: Гардарики, 2002. 638 с.

5. Теория электрических цепей: Методические указания к лабораторным работам / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост.: С.М. Милюков, В.П. Рынин; Под ред. В.П. Рынина. Рязань, 2002. 16 с.,2004. 20 с. (№3282, №3624)

6. Электротехника и электроника: Методические указания к расчетно-графической работе / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост. Г.В. Спивакова. Рязань, 2005. 16 с. (№3665)

7. Голубев А.Н. Методы расчета нелинейных цепей: Учеб. пособие/ Иван. гос. энерг. ун-т. -Иваново, 2002. -212 с.