Анализ электрических цепей постоянного и переменного тока

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Анализ электрических цепей постоянного и переменного тока

Введение

цепь ток электрический схема

Из всех видов энергии в настоящее время наиболее широко применяется электромагнитная энергия, которую в практике обычно называют электрической.

Энергия - это количественная мера движения и взаимодействия всех форм материи. Для любого вида энергии можно назвать материальный объект, который является ее носителем.

Механическую энергию несут, например, вода, падающая на лопасти гидротурбины, заведенная пружина; тепловую - нагретый газ, пар, горячая вода.

Носителем электрической энергии является особая форма материи -электромагнитное поле, главная особенность которого состоит в том, что оно оказывает силовое воздействие на электрически заряженные частицы, зависящее от их скорости и величины заряда. Это свойство электромагнитного поля является основой связанных между собой электрических и магнитных явлений, известных из курса физики, -взаимодействия электрически заряженных или намагниченных тел, электрического тока, электромагнитной индукции и др.

Использованием этих явлений для получения, передачи и преобразования электрической энергии занимается электротехника.

1. Анализ электрического состояния цепей постоянного тока

Анализом электрических цепей называют определение токов в ее ветвях. Существует несколько методов расчета электрических цепей: метод наложения, на основании законов Кирхгофа (метод узловых и контурных уравнений), метод эквивалентного генератора, метод контурных токов.

Основная цель расчета электрической цепи заключается в определении токов в ее ветвях. Зная токи, нетрудно найти напряжение и мощности ветвей и отдельных элементов цепи.

Величина токов, напряжений, мощностей дают возможность оценить условия и эффективность работы электротехнического оборудования и приборов во всех участках электрической цепи.

1.1 Расчет линейных электрических цепей постоянного тока.

Вариант 12.

Для электрической цепи:

Рисунок 1. Схема электрическая расчетная

Исходные данные:

Таблица 1 Электрические данные схемы

E1 B	E2 B	R1 Oм	R2 Oм	R3 Oм	R4 Oм	R5 Oм	R6 Oм	r01 Oм	r02 Oм
20	30	54	43	32	26	51	15	2	2

1.1.1 Анализ электрического состояния цепи постоянного тока на основании законов Кирхгофа (метод узловых и контурных уравнений)

Метод анализ с применением законов Кирхгофа позволяет рассчитать электрическую цепь любой конфигурации и сложности, т.е. является основным.

Прежде чем приступить к составлению уравнений по закону Кирхгофа, необходимо выбрать условно-положительное направление тока в каждой ветви и направление обхода контуров.

Положительное направление токов выбирают произвольно. Действительные направление токов могут не совпадать с условно-положительными. Ошибка в выборе положительного тока в результате решения будет обнаружена: ток с неправильно выбранным направлением получится отрицательным. Изменив его направление, в дальнейших расчетах можно считать его положительным.

Расчетная схема содержит 6 ветвей, т. е. 6 неизвестных токов которые надо рассчитать. Составим систему из 6 независимых уравнений.

В расчетной схеме m = 4 узловых точки: 1,2, 3, 4. По первому закону Кирхгофа составим k = m - 1 = 3 уравнения для узловых точек 1, 3, и 4.

В расчетной схеме n = 3 независимых контура, для каждого контура составляем уравнение напряжений по второму закону Кирхгофа. В эти уравнения входят токи в ветвях, определение которых составляет ближайшую цепь расчета, которая достигается совместным решением системы узловых и контурных уравнений.

Запишем систему уравнений для рассматриваемой схемы



Подставляем численные значения сопротивлений и ЭДС, получаем:

Данная система уравнений будет иметь единственное решение только тогда, когда определитель составленный из коэффициентов при I1 - n не будет равен нулю. Обозначим этот определитель знаком Д. Если этот определитель не равен нулю, то решаем дальше. Тогда каждый Ii = Дi / Д, где Дi - это определитель составленный из коэффициентов при I1 - n, только значения коэффициентов в i - ом столбце заменены на значения за знаком равенства в системе уравнений, а Д - это главный определитель.

Решение

Главный определитель

Д =	1 0 0 -1 0 1 1 1 -1 0 0 0 0 1 0 0 -1 -1 56 0 32 26 0 0 0 -45 -32 0 -51 0 56 -45 0 0 0 -15	= 780350

1 определитель, для вычисления I₁

Д1 =	0 0 0 -1 0 1 0 1 -1 0 0 0 0 1 0 0 -1 -1 20 0 32 26 0 0 -30 -45 -32 0 -51 0 -10 -45 0 0 0 -15	= 55400

2 определитель, для вычисления I₂

Д2 =	1 0 0 -1 0 1 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 56 20 32 26 0 0 0 -30 -32 0 -51 0 56 -10 0 0 0 -15	= 208960

3 определитель, для вычисления I₃

Д3 =	1 0 0 -1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 -1 -1 56 0 20 26 0 0 0 -45 -30 0 -51 0 56 -45 -10 0 0 -15	= 264360

4 определитель, для вычисления I₄

Д4 =	1 0 0 0 0 1 1 1 -1 0 0 0 0 1 0 0 -1 -1 56 0 32 20 0 0 0 -45 -32 -30 -51 0 56 -45 0 -10 0 -15	= 155580

5 определитель, для вычисления I₅

Д5 =	1 0 0 -1 0 1 1 1 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 56 0 32 26 20 0 0 -45 -32 0 -30 0 56 -45 0 0 -10 -15	= 108780

6 определитель, для вычисления I₆

Д6 =	1 0 0 -1 0 0 1 1 -1 0 0 0 0 1 0 0 -1 0 56 0 32 26 0 20 0 -45 -32 0 -51 -30 56 -45 0 0 0 -10	= 100180

Найдем решения данной системы уравнений. Согласно описанному выше методу, данная система уравнений имеет решения:I₁ = Д₁/Д ? 0,07 AI₂= Д₂/Д ? 0,27 AI₃ = Д₃/Д ? 0,34 AI₄ = Д₄/Д ? 0,2 AI₅ = Д₅/Д ? 0,14 AI₆ = Д₆/Д ? 0,13 A

1.1.2 Анализ электрического состояния цепи постоянного тока методом контурных токов

Контурный ток -- это некоторая расчетная величина, которая одинакова для всех ветвей данного контура. Контурные токи на схеме обозначены I_k1, I_k2, I_k3.

Действительный ток в такой ветви определяется наложением контурных токов, т. е. равен алгебраической сумме контурных токов тех контуров, в которые эта ветвь входит.

1. В заданной схеме выбираем направления токов в ветвях (произвольно).

2. Намечаем независимые контуры и выбираем направление контурных токов.

3. Записывают систему уравнений: в левой части алгебраическая сумма Е входящих в контур, в правой -- алгебраическая сумма падения напряжения на сопротивлениях входящих в этот контур, с учетом падения напряжения на сопротивлениях смежной ветви, определяемого по контурному току соседнего контура.

Запишем систему уравнений для рассматриваемой схемы

E₁ = I_k1 (R₁ + R₃ + R₄ + r₀₁) - I_k2 R₃ + I_k3 (R₁ + r₀₁) (контур 1, 2, 3)

- E₂ = I_k2 (R₂ + R₃ + R₅ + r₀₂) - I_k1R₃ + I_k3(R₂ + r₀₂) (контур 2, 3, 4)

E₁ - E₂ = I_k3 (R₁ + R₂ + R₆ + r₀₁ + r₀₂) + I_k1 (R₁ + r₀₁) + I_k2(R₂ + r₀₂)

(контур 1, 3, 4, 5)

Подставляем численные значения сопротивлений и ЭДС, получаем:

Данная система уравнений будет иметь единственное решение только тогда, когда определитель составленный из коэффициентов при Ik 1 - n не

будет равен нулю. Обозначим этот определитель знаком - Д. Если этот определитель не равен нулю, то решаем дальше. Тогда каждый Ik i = Дi / Д, где Дi - это определитель, составленный из коэффициентов при Ik 1 - n, только значения коэффициентов в i - ом столбце заменены на значения за знаком равенства в системе уравнений, а Д - это главный определитель

Главный определитель

Д =	114 -32 56 -32 128 45 56 45 116	= 780350

1 определитель, для вычисления I_k1

Д1 =	20 -32 56 -30 128 45 -10 45 116	= 155580

2 определитель, для вычисления I_k2

Д2 =	114 20 56 -32 -30 45 56 -10 116	= -108780

3 определитель, для вычисления I_k3

Д3 =	114 -32 20 -32 128 -30 56 45 -10	= -100180

Найдем решения данной системы уравнений. Согласно описанному выше методу, данная система уравнений имеет решения:

I_k1 = Д1/Д ? 0,2 АI_k2 = Д2/Д ? - 0,14 АI_k3 = Д3/Д ? - 0,13 А

Действительные токи:

I₁ = I_k1 + I_k3 = 0,2 - 0,13 = 0,07А

I₂ = - I_k2 + (- I_k3) = 0,14 + 0,13 = 0,27А

I₃ = I_k1 - I_k2 = 0,2 + 0,14 = 0,34 А

I₄ = I_k1 = 0,2 А

I₅ = - I_k2 = 0,14 А

I₆ = - I_k3 = 0,13 А

Симулирование работы схемы в программе Multisim 11

Электрическая расчетная схема «собирается» в программе Multisim 11. В каждую ветвь схемы устанавливается амперметр для измерения тока.

Запускается режим симулирования. Считываются показания приборов.

Скриншот симулирования работы схемы в программе Multisim 11 приведен ниже.

Результаты расчетов токов по пунктам 1, 2 и результаты симуляции схемы в Multisim 11

Методы расчета	I1(A)	I2(A)	I3(A)	I4(A)	I5(A)	I6(A
По законам Кирхгофа	0,07	0,27	0,34	0,2	0,14	0,13
Метод контурных токов	0,07	0,27	0,34	0,2	0,14	0,13
Multisim 11	0,071	0,268	0,339	0,199	0,139	0,128

Рисунок 3. Работа схемы в программе Multisim 11

1.1.6 Баланс мощностей

Мощность источника:

Р_{источника} = E₁ ^. I₁ + E₂ ^. I₂

Р_{источника} = 20 ^. 0,071+ 30 ^. 0,268 = 9,46 Вт

Мощность приемника:

Р_{приемника} = I₁²(R₁ + r₀₁) + I₂²(R₂ + r₀₂) + I₃²R₃ + I₄²R₄ + I₅²R₅ + I₆²R₆

Р_{приемника} = 0,005(54+2) + 0,072(43+2) + 0,115^. 32 + 0,04^.26 + 0,02^.51 + + 0,0164 ^. 15 = 0,28 + 3,24 + 3,68 + 1,04 + 1,02 + 0,246 = 9,5 Вт

Р_{источника} ? Р_{приемника}

Баланс мощностей сошелся.

1.1.7 Потенциальная диаграмма для замкнутого контура, включающего обе ЭДС

Построим потенциальную диаграмму для замкнутого контура (1, 2,3,4, 5, 6,7). Точку 1 схемы заземляем, потенциал точки 1: ц₁ = 0

Рисунок 4. Схема электрическая расчетная

Потенциал точки 2:

ц₂ = ц₁ + Е₁ = 0 + 20 = 20 В

Потенциал точки 3:

ц₃ = ц₂ - I₁^. r₀₁ = 20 - 0,071^. 2 = 19,86 В

Потенциал точки 4:

ц₄ = ц₃ + I₂ ^. r₀₂ =19,86 + 0,268 ^. 2 = 20,4 В

Потенциал точки 5:

ц₅ = ц₄ - Е₂ = 20,4 - 30 = - 9,6 В

Потенциал точки 6:

ц₆ = ц₅ + I₂ ^. R₂ = - 9,6 + 0,268 ^. 43 = 1,924 В

Потенциал точки 7:

ц₇ = ц₆ + I₆ ^. R₆ = 1,924 + 0,128^.15 = 3,84 В

Потенциал точки 1:

ц₁ = ц₇ - I₁^. R₁ = 3,84 - 0,071 ^. 54 = 0,006 В ? 0

Потенциальная диаграмма контура (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) приведена на рисунке 5.

Рисунок 5. Потенциальная диаграмма

1.2 Расчет нелинейных электрических цепей постоянного тока

Построим входную вольтамперную характеристику схемы 1.32 (рисунок 6) нелинейной электрической цепи постоянного тока. Определим токи во всех ветвях схемы и напряжение на отдельных элементах, используя полученные вольтамперные характеристики.

Вариант 12

Используем вольтамперные характеристики элементов: нэ1 - «б» нэ2 - «а».

Рисунок 6. Схема электрическая расчетная

Электрические данные схемы: U = 100 В

R₃ = 35 Ом

Определить: I₁, I₂, I_3, U₁, U_1-2, U_нэ1.

Для расчета такой цепи заданные вольтамперные характеристики элементов строятся в общей системе координат (рисунок 7).

В нашей цепи соединение элементов смешенное. Поэтому графически «сворачиваем» цепь. При последовательном соединении двух элементов ток обоих участков цепи один и тот же, а общее напряжение U = U₁ = U₂ + U₃, для построения общей вольтамперные характеристики достаточно сложить абсциссы исходных кривых. При параллельном соединении двух элементов к ним приложено одно и тоже напряжение, а ток в не разветвленной части цепи равен сумме токов в ветвях. Для построения общей вольтамперной характеристики нужно сложить ординаты вольтамперных характеристик.

I₃ = = = 2,9 А

Полученные данные:

I = I₃ = 1,9 А

I₁ = 0,6 А

I₂ = 1,3 А

U = 100 В

U_{1 -2} = 20 В

U_нэ1 = 80 В

Рисунок 7. Расчет цепи графическим методом

2. Анализ электрического состояния линейных электрических цепей переменного тока

2.1 Расчет однофазной электрической цепи

Вариант 12.

К зажимам электрической цепи подключен источник синусоидального напряжения u=U_msin (щt+ц) В, частотой f = 50 Гц. Амплитуда, начальная фаза напряжения и параметры элементов приведены в таблице 2.

Таблица 2. Электрические данные схемы

UmВ	Ц град.	R1Ом	R2Ом	L1млГн	L2млГн	C1мкФ	C2мкФ
311	30	20	30	63,6	127,2	79,5	53

Схема соединения элементов приведена на рисунке 8.

Рисунок 8. Схема соединения элементов

Выполнить следующее:

1. Рассчитать реактивные сопротивления элементов цепи.

2. Начертить схему замещения электрической цепи.

3. Определить действующие значения токов во всех ветвях цепи.

4. Записать уравнение мгновенного значения тока источника.

5. Составить баланс активных и реактивных мощностей.

6. Построить векторную диаграмму токов, совмещенную с топографической векторной диаграммой напряжений.

1.Рассче реактивного сопротивления элементов цепи

X_L1 =щL₁ = 2рfL₁ = 314 ^. 63,6^. 10^-3 = 19,97 Ом

X_L2= щL₂ = 2рfL₂ = 314 ^. 127,2^. 10^-3 = 39,94 Ом

X_C1 = = = = 40,1 Ом

X_C2 = = = = 60,1 Ом

2.Схема замещения электрической цепи

Рисунок 8. Схема замещения электрической цепи

3.Определение действующего значения токов во всех ветвях цепи.

Расчет токов в ветвях цепи выполняем методом эквивалентных преобразований. Найдем комплексные сопротивления ветвей, затем участков цепи и всей цепи:

Z₁ = = = = 17,9 e ^-j26,5 =

= 16 - j8 Ом

Z₂ = R₂ + jX_L1 + jX_L2 - jX_C2 =30 + j19,97 + j39,94 - j60,1 =30 - j0,19 =

= 30 e -^j0,4 Ом

Z_экв = Z_1-2 = = = = =

= 11,5 е ^-j16,8 = 11 + j3,32 Ом

Выразим действующее значение напряжения в комплексной форме:

Щ = е ^j30 = е ^j30 = 220е ^j30 = 190,5 + j110 B

Вычислим общий ток цепи и токи в ветвях:

М = = = 19,13е ^j46,8 = 13,1 + j13,95 А

М₁ = = = 12,3e ^j56,5 = 6,8 + j10,3 A

М₂ = = = 7,33e ^j30,4 = 6,3 + j3,7 А

4. Уравнение мгновенного значения тока источника.

i = I_m sin (щt+ц_i)

i = 19,13 sin (щt + 46,8⁰) = 19,13^.1,414 sin (314t + 46,8⁰) =

= 27,05 sin (314t + 46,8⁰) А

5. Баланс активных и реактивных мощностей.

Комплексная мощность цепи:

S? = Щ М = 220е ^j30 19,13е ^-j46,84 = 4208,6 e ^{- j16,84} = 4028,1- j1219,2 ВА

Где:

S_ист = 4208,6 ВА

Р_ист = 4028,1 Вт

Q_ист = - 1219,2 вар (знак минус определяет емкостной характер нагрузки в целом)

Активная и реактивная мощности приемников:

Р_пр = ( )² R₁ + М₂²R₂ = ( )² 20 + 7,33² 30 = 2420 + 1611,87 = 4032

ВтQ_пр = ( )² (-x_С1) + М₂² (-x_C2) + М₂² (x_L1) + М₂² (x_L2) =

= ( )² (- 40,1) + 7,33²(-60,1) + 7,33² 19,97 + 7,33² 39,94 =

= - 1206,98 - 3229,1+ 1072,97 + 2145,93 = - 1217,2 вар

Баланс мощностей практически выполняется:

Р_ист Р_пр 0,36 Вт 0,35 Вт

Q_ист Q_пр - 1219,2 вар - 1217,2 вар

6. Векторная диаграмма токов, совмещенная с топографической векторной диаграммой напряжений.

М = 19,13е ^j46,8 = 13,1 + j13,95 А

М₁ = 12,3e ^j56,5 = 6,8 + j10,3 A

М₂ = 7,33e ^j30,4 = 6,3 + j3,7 А

Щ = U?_ea = 220е ^j30 = 190,5 + j110 B

U?_ed = М₂ (jx_L1) = 7,33e ^j30,4 19,97 e ^j90 = 146,4 e ^j120,4 = -74+ j126,3 B

U?_dc = М₂ (-jx_C2) = 7,33e ^j30,4 60,1 e -^j90 = 440,5 e ^-j59,6 = 223 - j380 B

U?_cb = М₂ (jx_L2) = 7,33e ^j30,4 39,94 e ^j90 = 292,8 e ^j120,4 = -148+ j 253 B

U?_ba = М₂ R₂ = 7,33e ^j30,4 30 = 219,9 e ^j30,4 = 189,7 + j111,3 В



Рисунок 9. Векторная диаграмма токов, совмещенная с топографической векторной диаграммой напряжений.

2.2 Расчета трехфазной цепи переменного тока

Таблица 3 Электрические данные схемы

UфВ	RВСОм	RСАОм	RCСОм	XLАВОм	XСАВОм	XСВCОм	Вид соединения
220	6	10	-	18	8	15	Д

В соответствии с данными таблицы 3 начертим схему соединения сопротивлений в трехфазной цепи. Определим: фазные токи; активную, реактивную и полную мощности. Расчеты проведем символическим методом.

Рисунок 10. Схема соединения сопротивлений

1. Модули фазных напряжений при соединении нагрузки треугольником равны линейным напряжениям:

U_Л = U_Ф = 220 В, то есть U_АВ = U_ВС = U_СА = 220 В.

Комплексы данных напряжений запишем из условия, что вектор U?_АB совмещен с действительной осью комплексной плоскости,

U?_АB = U_Л e ^j0 = 220e ^j0 = 220 В

U?_ВС = U_Л e -^j120 = 220e -^j120 = - 110 - j190 В

U?_СА = U_Л e ^j120 = 220e ^j120 = - 110 + j190 В

Выразим сопротивления фаз в комплексной форме:

Z_AB = jX_LАВ - jX_CАВ = j18 - j8 = j10 = 10e ^j90 Ом

Z_BC = R_BС - jX_CBС = 6 - j15 = 16,2e -^j68,2 Ом

Z_CA = R_СА = 10 Ом

Определим фазные токи:

М_АB = == 22e ^-j90 = - j22 A

М_ВC === 13.6e -^j51,8 = 8,4 - j10,7 A

М_СA = == 22 ^j120 = - 11 + j19,1 A

Находим линейные токи из уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа для узлов А, В и С (рис. 10)

М_А = М_АB - М_СA = - j22 - (- 11 + j19,1) = 11 - j41,1 = 42,5e -^j75 A

М_B = М_BC - М_AB = 8,4 - j10,7- (- j22) = 8,4 + j11,3 = 14,1e ^53,4 A

М_C = М_СА - М_ВС = - 11 + j19,1- (8,4 - j10,7) = - 19,4 + j29,8 = 35,6e ^j123 A

Вычисляем мощность фаз и всей цепи:

S?_АB = U?_АB I?_АB = 220 22e ^j90 = 4840e ^j90 = j4840 BA

Где: S_AB = 4840 BA; P_AB = 0 Вт; Q_AB = 4840 вар.

S?_ВC = U?_ВC I?_ВC = 220e -^j120 13,6e ^j51,8 = 2992e -^j68,2 = 1111,1- j2778 BA

Где: S_ВC = 2992 BA; P_ВC = 1111,1 Вт; Q_ВC = - 2778 вар.

S?_СA = U?_СA I?_СA = 220e ^j120 22 ^-j120= 4840 e ^j0 = 4840 BA

Где: S_СА = 4840 BA; P_СА = 4840 Вт; Q_СА = 0 вар.

S? = S?_АB + S?_ВC + S?_СA = j4840 + 1111,1- j2778 + 4840 = 5951,1 + j2062 =

= 6298,2e ^j19,1 ВА

Где: S = 6298,2 BA; P = 5951,1 Вт; Q = 2062 вар.

Векторная диаграмма напряжений и токов приведена на рисунке 11.

Рисунок 11. Векторная диаграмма.

Литература

1. Евдокимов Ф.Е. «Теоретические основы электротехники» Высшая школа 1975 г.

2. Зайчик М.Ю. «Сборник задач и упражнений по теоретической электротехнике» Энергоатомиздат, 1988 г.

3. Мельников А.К. «Сборник контрольных заданий и программ для решения задач с использованием ЭВМ по теоретическим основам электротехники» РИПО, 1992 г.

4. Волков П.П. «Задачи по электротехнике» Военная книга, 1961 г.

5.Гилицкая Л.Н. «Методическое пособие по курсовому проектированию ТОЭ» РИПО, 1997 г.

6.Шебес М.О. «Сборник задач по теорий электрических цепей» РПИО, 1982 г.

Размещено на Allbest.ru