Одним из экспериментальных параметров, играющих важную роль в применениях прибора, является так называемое отношение пикового тока к току в долине. Оно определяется как отношение тока при резонансной энергии, соответствующей пику туннелирования, к току в минимуме (или долине), прежде, чем он снова начинает возрастать при увеличении напряжения. Для прибора на рис. III.3 это отношение при 25 К равно примерно 6 при отрицательном смещении и 4 -- при положительном. Его величина определяется рассеянием туннеллирующих электронов внутри ямы на фононах, шероховатостях интерфейсов и других дефектах. Важность рассеяния на фононах иллюстрируется на рис. III.3 быстрым уменьшением отношения пик-долина при возрастании температуры. Рассеяние на шероховатостях интерфейса делает несправедливым ранее введенное предположение об одномерности. Его влияние на резонансные туннельные приборы, изготовленные из GaAs/GaAlAs, недавно моделировалось с помощью численных расчетов. Гораздо большее отношение пик-долина было достигнуто у резонансных туннельных приборов, основанных на других материалах. Например, на рис. III.4 показан прибор, состоящий из In_0,53Ga_0,47As (эмиттер и коллектор), AlAs (барьеры) и InAs (яма). В этом приборе отношение токов «пик-долина» равно 30 при комнатной температуре и достигает 63 при 77 К (рис. III.5).

Рис. III.4. а) Схематическое поперечное сечение структуры с псевдоморфным In-GaAs/AlAs/InAs резонансным туннельным диодом, выращенным на подложке из InP; Т = 77 К б) зависимость энергии электрона от его положения вдоль направления, перпендикулярного слоям структуры, приведенной в а; Т = 300 К

Рис. III.5. Вольт-амперные характеристики псевдоморфного In-GaAs/AlAs/InAs резонансного туннельного диода 30 х 30 (мкм)2, показанного на рис. III.4, измеренные при а) 77 К и б) 300 КЗАДАЧА. Прямоугольная потенциальная яма

Найти связанные решения и соответствующие им собственные значения в случае прямоугольной ямы

-U, ?x?< a,

V (x) =

0, ?x?>a.

Решение. Рассмотрим случай отрицательных энергий, соответствующих связанным состояниям. Потенциал инвариантен по отношению к инверсии V (x) = V(-x), так что решения обязаны быть либо четными, либо нечетными. Положив

можно записать эти решения в следующем виде:

четные

A₊ cos kx, 0 ? x ? a,

u ₊ (x) =

A₊ cos kae^{??(a- ??)}, x > a

u ₊ (- x) = u ₊ (x),

нечетные

A_- sin kx, 0 ? x ? a,

u _- (x) =

A_- sin kae^{??(a- ??)}, x > a

u _- (- x) = - u _- (x),

Выше амплитуды внутри и вне потенциальной ямы были выбраны таким образом, чтобы функция U(x) оставалась непрерывной в точке x=a. Нормировочная постоянная была определена из условия

Требование непрерывности u' в точке x = a дает еще условие:

четные

- k sin ka = - cos ka,

tg ka = /k;

нечетные

- k cos ka = - sin ka,

сtg ka = - /k.

С помощью соотношений и упростить выражения для нормировочных постоянных, получая в обоих случаях одно и то же равенство:

Чтобы из уравнения можно было найти собственные значения, заменим в правых частях этих уравнений величину ч в соответствии с выражением и введем обозначение

C = k₀ a

В результате получим

четные

нечетные

При данном потенциале величина С является постоянной, зависящей лишь от размеров ямы (С²~ Ua²)и уравнения и дают возможность определить все значения ka, а тем самым и все значения энергии

реализующиеся в яме данных размеров.

На фиг.1 tg ka, а также правые части уравнений и показаны как функции переменной ka. Собственные значения находятся как абсциссы точек пересечения двух последних кривых с тангенсоидой. Упомянутые кривые, разумеется зависят от параметра С, определяемого размерами ямы. Начав, например, со значения С=1, мы получаем одну точку пересечения, обозначенную буквой б, в четном случае и вообще не получаем ни одного пересечения в нечетном случае. Следовательно, в яме такого размера имеется не более одного связанного состояния с положительной четностью. Эта яма с соответствующим уровнем показана на фиг.2,а. Для ямы больших размеров, С=1,5, кривые на фиг.2 пересекаются в точке в; по-прежнему имеется только одно состояние с положительной четностью (фиг.2,б), причем E_в < E_б, поскольку (ka)_в>(ka)_б. Если еще увеличить размер ямы, взяв, например, С=2, то пересечение в точке г даст еще более низкое состояние с положительной четностью (E_г E_в), но, кроме того, к нему добавиться состояние с отрицательной четностью, соответствующее пересечению в точке б' (фиг.2,в). С дальнейшим увеличением размеров ямы ее «вместимость» возрастает (фиг.2, г-е): число связанных состояний растет с положительной и отрицательной четностью. Что касается собственных функций, то они следуют общему правилу: чем больше у них нулей, тем выше их положение на шкале энергий. Волновые функции четырех низших состояний показаны для случая С=5 на фиг.3.

В классической механике частица могла бы колебаться между стенками (точки x= ± a), ограничивающими яму, при любом значении энергии. Вне ямы ее кинетическая энергия была бы отрицательна, поэтому область вне ямы классически не достижима.

В квантовой механике мы не имеем такого жестокого ограничения. Вероятность P_i обнаружить частицу внутри ямы оказывается меньше единицы:

Таким образом, имеется конечная вероятность того, что частица находиться снаружи. Для всякого конечного интервала вне ямы вероятность убывает экспоненциально, как

, по мере увеличения расстояния между частицей и ямой.

Заключение

В ходе выполнения курсовой работы были реализованы поставленные задачи, а именно:

ь рассмотрен такой класс веществ, как полупроводники,

ь определена сущность квантового размерного эффекта в полупроводниках, которая состоит в изменении энергий возбуждения, а также в модификации их плотности состояний,

ь проиллюстрирован квантовый размерный эффект электронов и дырок,

ь схематически рассмотрено резонансное туннелирование через квантовую яму с двойным барьером,

ь изучены вольт-амперные характеристики приборов с резонансным туннелированием,

ь найдены связанные решения и соответствующие им собственные значения в случае прямоугольной ямы.

Появление полупроводниковых материалов, которые оказываются более чистыми, принадлежат к иному классу или имеют искусственно созданную структуру, часто приводит и к открытиям новых явлений, а также к новым применениям. Прекрасным примером является изготовление синтетических слоистых структур, например, квантовых ям и сверхрешеток. Хотя первоначально эти структуры были предложены для применения в электронных приборах, позже их значение оказалось намного шире всего, что можно было вообразить. Они стали толчком, способствовавшим развитию многочисленных новых областей, не связанных с физикой полупроводников и электронными приборами, таких как материаловедение, физик поверхностей, молекулярные физика и химия. Учитывая тот факт, что многие новые методы роста и изготовления полупроводников изучаются и совершенствуются в ведущих лабораториях мира, можно уверенно предсказать, что физика полупроводников не достигла насыщения и продолжает быстро развиваться.

Список литературы

1. Ю П., Кардона М. Основы физики полупроводников / Пер. с англ. И.И. Решиной. Под ред. Б.П.Захарчени. - 3-е изд.- М.: ФИЗМАТЛИТ,2002.- 560 с.

Размещено на Allbest.ru