Линейные и нелинейные режимы лазерного нагрева

218

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Контрольная работа

Линейные и нелинейные режимы лазерного нагрева

Содержание

1. Линейные режимы лазерного нагрева

2. Критериальные параметры и основные закономерности

3. Особенности нагревания материала световым пятном конечного размера

4. Нелинейные режимы лазерного нагрева

5. Кинетика взаимосвязанных химических, оптических и теплофизических процессов

Литература

1. Линейные режимы лазерного нагрева

Для анализа линейных режимов лазерного нагрева рассмотрим процессы воздействия ЛИ на полупространство экспоненциально спадающим с глубиной тепловым источником.

Напомним, что тепловой источник (эквивалентный действию ЛИ) может быть поверхностным или объемным, сосредоточенным или распределенным в зависимости от выбираемой расчетной схемы, поставленной задачи и физических характеристик обрабатываемого материала [15].

Особенностью задач, связанных с нагревом материалов ЛИ, является то, что тепловой источник, как правило, обладает резко изменяющимися пространственно-временными характеристиками. Поэтому идеализация свойств тепловых источников, часто допускаемая в расчетных схемах для уменьшения математических трудностей, может приводить к заметным отклонениям расчетных данных от экспериментальных. Это обстоятельство требует дополнительного анализа используемых режимов работы лазеров и пространственно-временных характеристик источников в связи с задачами нагрева материалов.

Для непрозрачных материалов в большинстве случаев нагрева ЛИ источники тепла могут считаться поверхностными (коэффициент поглощения б ~ 10⁴ 10⁵ см¹) и распределенными по поверхности нагрева в соответствии с некоторым законом. Временная структура импульса при этом зависит от типа лазера и особенностей режима генерации излучения. В общем виде удельная мощность теплового источника на поверхности материала является сложной функцией координат и времени:

Q = q(x, у, t). (1)

С некоторым приближением можно считать, что структура соотношения (1), описывающего удельную мощность теплового источника, может быть представлена в виде произведения функции, зависящей только от времени, на функцию координат поверхности:

q(x, у, t) = Aц(t) Q(x, у), (2)

где А поглощательная способность, в общем случае зависящая как от состояния (степени обработки) поверхности, так и от ее температуры; ц(t) описывает временную структуру импульса; Q(x, у) пространственное распределение мощности излучения.

Если неоднородности в лазерной системе малы, то после фокусирующей системы распределение Q(x, у) описывается дифракционной зависимостью. В реальных случаях распределение мощности излучения отлично от дифракционной кривой. Это связано с неоднородностью распределения фазы и амплитуды ЛИ по торцу активного элемента ОКГ вследствие ряда факторов (генерации многих видов колебаний оптического резонатора, несимметрии возбуждения, оптического несовершенства кристалла и т.д.). Поэтому представляется целесообразным использовать при рассмотрении процессов нагрева ЛИ более простую математическую аппроксимацию реальной пространственной структуры лазерного импульса (закон нормального распределения или равномерное по пятну фокусировки значение Q). Вид пространственного распределения плотности потока (или мощности ЛИ) тесно связан с режимом работы лазера. Не всегда пространственно-временная структура импульса излучения может быть представлена в виде выражения (2). Для таких случаев разработаны методы исследования структуры импульса излучения, описанные в работе [53, 54].

Поглощательная способность А и коэффициент отражения R зависят от длины волны ЛИ и плотности потока излучения.. Однако даже при относительно невысоких потоках (< 10⁶ Вт/см²) их величина известна с небольшой точностью (особенно в области температур, превышающих точку плавления вещества). С ростом температуры коэффициент поглощения может изменяться. Поэтому в большинстве случаев полагают, что поглощательная способность А не зависит от температуры и в оценках используют ее среднее значение по некоторому интервалу температур.

Рассмотрим более подробно временную структуру импульса излучения. Для твердотельных лазеров характерно существование нескольких режимов генерации излучения. Наиболее распространенными является режим пичковой структуры с хаотической генерацией, пичковой структуры с упорядоченной генерацией и режимы квазинепрерывного излучения. Длительность излучения ф_i, в этих режимах близка к ~10³ с, если не приняты меры по увеличению или сокращению ф_i. Модулирование добротности резонатора позволяет получить импульсы излучения большой мощности с длительностью ф ~ 10⁸ с. Наконец, использование специальных методов дает возможность получить ультракороткие импульсы длительностью ф_i ~ (10¹⁰ 10¹¹) с, которые в лазерной обработке материалов пока не применяются.

Импульс ЛИ общей длительностью ф_i ~ 10³ с состоит из набора отдельных вспышек (пичков), имеющих продолжительность ~ 1 мкс и следующих друг за другом со скважностью ~ 0, Амплитуда отдельных вспышек непостоянна. В пичковом импульсе хаотической генерации излучения можно выделить передний фронт с определенной скоростью нарастания и обнаружить некоторую закономерность в уменьшении амплитуды к концу импульса. Это позволяет математически описать огибающую отдельных пичков такого импульса с помощью некоторой колоколообразной несимметричной кривой. В частности, огибающая пичкoв может быть описана произведением степенной функции на показательную, т.е.

(t) = tⁿexp( bt^m), (3)

где n и m некоторые числа (целые или дробные).

Импульс лазера, работающего в пичковом режиме с упорядоченной генерацией, представляет набор отдельных вспышек общей длительностью ф < ~ 10³ с и следующих друг за другом так же со скважностью ~ 0,2, как и в случае хаотической генерации. Однако амплитуда отдельных вспышек сохраняет постоянную величину на протяжении значительной части импульса так же, как и временной промежуток между отдельными вспышками. Математически такой режим излучения ОКГ может быть описан с помощью некоторой периодической функции, например зависимостью вида

ц(t) = (l cost), (4)

где частота следования отдельных вспышек в лазерном импульсе.

Таким образом, анализ нагрева полубесконечного тела или пластины тепловым источником с временной структурой, изменяющейся в соответствии с зависимостью (4), может быть выполнен с учетом сделанных выше замечаний, и после решения теплофизической задачи [55]. Принимая во внимание, что квазистационарные режимы излучения импульсных лазеров практически не содержат пичков, исключим начальный промежуток времени. Тогда в первом приближении для описания временной структуры импульсов (квазистационарного режима излучения) может быть использована ступенчатая функция

(5)

где ф_i длительность импульса излучения.

Режим модулированной добротности лазера позволяет получить моноимпульсы излучения длительностью ф_i ~ 10⁸ с, временная структура которых математически может быть описана функцией, близкой к треугольной (причем крутизна переднего фронта может быть отлична от крутизны заднего фронта).

Учитывая последнее замечание, перейдем к рассмотрению математической формулировки задачи нагрева материалов ЛИ. Особенности таких задач заключаются в следующем:

при радиусе пятна нагрева, удовлетворяющем условию

r_f >> (k*t)^1/2, (6)

задача может рассматриваться как одномерная;

нагреваемая поверхность (в большинстве практических случаев) может рассматриваться как непропускающая тепло. Необходимость учета поверхностной теплоотдачи может быть связана с большими r_f [56];

температурная зависимость теплофизических и оптических постоянных для металлов не является слишком резкой, поэтому при постановке задач нагрева металлов (в первом приближении) такую зависимость можно не учитывать;

существенное влияние на возможное отклонение результатов расчета (при сравнении с опытом) может оказывать неучет пичковой структуры для импульса с хаотической генерацией, а также пространственная неоднородность импульса излучения.

Основной физической характеристикой процесса нагрева является температурное поле материала, которое необходимо определить экспериментальными или аналитическими методами. Знание температурного поля позволяет найти такие важные параметры, как скорости нагрева и охлаждения, температурные градиенты по различным направлениям, а также правильно выбрать основные параметры установок (энергию, мощность, длительность импульса и т.д.) и оптимальные режимы их работы.

Сформулируем задачу о нахождении температурного поля полубесконечного тела, нагреваемого поверхностным источником, в виде

(7)

для t > 0; х, у, z 0,

(8)

(9)

где r = (x² + y²)^0,5, т.е. тепловой источник обладает осевой симметрией.

Условие (6) позволяет вести анализ основных закономерностей нагрева материалов на одномерных моделях. Это условие, очевидно, выполняется не во всех случаях воздействия ЛИ на материалы, но начальные стадии нагрева как импульсным, так и непрерывным лазером почти всегда можно рассматривать в одномерном приближении.

Для одномерного случая решение задачи (7) (9) будет иметь вид

, (10)

где Q*₀ максимальное значение плотности потока Q(r), умноженное на поглощательную способность A.

Рассмотрим частные случаи соотношения (10), соответствующие начальным стадиям нагрева при различных режимах импульсных лазеров.

А. Для упорядоченного режима генерации импульсного ОКГ временная зависимость импульса ЛИ описывается соотношением (4). Тогда, подставив соотношение (4) в равенство (10), получим

. (11)

Численная оценка интеграла в уравнении (11) для различных щ, ф, z и k* может быть выполнена численными методами.

Б. Для квазистационарного режима генерации импульсного ОКГ при ф < _i используем соотношение (5). Тогда

(12)

В. Для режима с модулированной добротностью в начальной стадии воздействия (ф < ф_i) временная структура импульса может быть описана линейной зависимостью от времени (для ф >> 10⁹ с).

Тогда вычисление интеграла приводит к формуле

(13)

Функции i erfc(u) и i^зerfc(u), являющиеся функциями интеграла вероятности, табулированы, например, в работе [57]. В случае, если r_f ~ (k*_i)^0,5, необходимо учитывать пространственное распределение удельного теплового потока. Тогда для распределения интенсивности по закону Гаусса решение задачи о нагреве полубесконечного тела источником тепла эффективной мощностью P₀ с ц(ф) = 1 для ф > 0 имеет вид [3]

(14)

где ф₀ = (4k*k)¹ постоянная времени.

Если интенсивность источника не превосходит критического значения , то в процессе нагрева может быть достигнуто предельное состояние, при котором температура центральной точки в полубесконечном теле определяется уравнением

(15)

Связь между эффективной мощностью Р₀ и интенсивностью Q₀ нормального источника тепла определяется по формуле [58]

Аналогичные зависимости для температуры могут быть получены и для равномерного распределения интенсивности по пятну нагрева.

Учет конечности толщины нагреваемого материала при воздействии ЛИ является весьма важным, что связано с широким кругом технологических применений (сварки, термической обработки, обработки пленок и т.д.). Формулировка задачи о нагреве тонкого листа нормально круговым источником тепла с учетом теплоотдачи обратной стороны отличается от задачи (7) (9) граничным условием (на обратной стороне листа). Вместо условия ограниченности температуры на бесконечности необходимо сформулировать условие теплоотвода на поверхности z = h, где h толщина листа, а начало координат следует расположить на поверхности нагрева. Это условие может быть выбрано в виде

(16)

где k_т коэффициент теплоотдачи, определяющий эффективность теплопотерь.

Тогда, используя интегральные преобразования по r и , можно получить решение в виде

(17)

где м_n корни трансцендентного уравнения;

(18)

(19)

Численные расчеты по уравнениям (17) (19) выполнены для ряда материалов [59] и для случая отсутствия теплоотдачи с обратной стороны листа, считая его теплоизолированным, когда уравнения для температурного поля существенно упрощаются [60].

2. Критериальные параметры и основные закономерности

Знание температурного поля материала при воздействии ЛИ позволяет определить критические плотности потока, требуемые для достижения за данный промежуток времени ф, в некоторой точке поверхности или объема материала заданной температуры. В частности, может быть определена плотность потока, приводящая к разрушению материала. Под разрушением можно понимать достижение на поверхности обрабатываемого материала температуры плавления Т_П или кипения T_К при нормальном давлении (следует помнить об условности определения термина «разрушение», поскольку для ряда хрупких материалов нарушение их целостности происходит после окончания охлаждения).

Используя одномерную модель нагрева полубесконечного тела тепловым источником с постоянной во времени плотностью потока, можно получить соотношение для расчета интенсивности, требуемой для достижения на поверхности температуры Т_П:

(20)

где ф_i длительность импульса.

Численные оценки Q_c⁽¹⁾ для ряда металлов с различными теплофизическими свойствами приведены в табл. 1.

Из выражения (20) следует, что критическая плотность потока Q_c⁽¹⁾ возрастает с увеличением температуры плавления материала, его теплопроводности k, объемной теплоемкости и уменьшается с ростом продолжительности импульса ЛИ (табл. 1) [15].

Таблица 1

Металл	k, Втсм-1 град-1	k*, см2/с	TП, °С	фi, с	Qc(1), Вт/см2
Сu	3,89	1,12	1083	10-3/10-8	1,1104/3,5107
Сталь	0,51	0,15	1535	10-3/10-8	3,5103/1,8105
Ni	0,67	0,18	1453	10-3/10-8	6,5103/2,0105
Ti	0,15	0.06	1800	10-3/10-8	3103/105
W	1,69	0,65	3380	10-3/10-8	2101/6,2105
Мо	1,41	0,55	2600	10-3/10-8	1,3104/4,4105
Cr	0,70	0,22	1830	10-3/10-8	7,7103/2,7105
БЙ	2,09	0,87	660	10-3/10-8	4,2103/1,3105

Выражение (20) может быть использовано при оценке критической плотности потока, превышение которой нежелательно в процессах термической обработки.

С помощью одномерной модели нагрева полубесконечного тела источником тепла постоянной интенсивности можно найти время достижения на поверхности материала температуры Т_П:

(21)

Время достижения на поверхности материала заданной температуры возрастает с увеличением температуры плавления, теплопроводности k и объемной теплоемкости материала и уменьшается с ростом плотности потока. В частности, для меди при Q₀ = 10⁶ Вт/см² ф_П = 10⁵ с, при Q₀ = =10⁷ Вт/см² ф_П = 10⁷ с. Аналогично может быть оценена плотность потока, требуемая для достижения на поверхности материала температуры Т_К:

(22)

При достижении на поверхности материала температуры Т_К начинается интенсивное испарение. Например, для меди (Т_К = 2 300 °С) Q_c⁽²⁾= 2,110⁵ Вт/см

Выражение (22) может быть использовано для определениия критической плотности потока Q_c⁽²⁾ при сварке материалов лучом лазера, поскольку для большинства случаев испарение материала из зоны плавления нежелательно.

Оценка плотности потока, при которой за время импульса существенно развитие процессов испарения, может быть выполнена, если использовать следующие соображения [61].

В процессе поверхностного нагрева в глубь материала распространяется тепловая волна и волна испарения. Если плотность потока мала, то скорость тепловой волны _Т существенно выше скорости волны испарения _И. При увеличении плотности потока скорость испарения растет и при некотором значении Q_c⁽³⁾ сравнивается со скоростью нагрева. Это равенство можно использовать для оценки Q_c⁽³⁾, поскольку _Т ~ (k*/_i)^1/2 и _И ~ Q_c⁽³⁾/L, где L удельная теплота испарения. Отсюда, приравнивая _Т и _И, получим

Q_c⁽³⁾ = L (k*/_i)^0,5. (23)

Численные оценки для Q_c⁽³⁾ для различных материалов представлены в табл.

Критическая плотность потока Q_c⁽³⁾ тем выше, чем больше теплота испарения и коэффициент температуропроводности материала и меньше длительность импульса излучения. Для большинства металлов справедливы неравенства Q_c⁽¹⁾ < Q_c⁽²⁾ < Q_c^(3).

Используя простые соотношения одномерной модели нагрева полубесконечного тела источником тепла постоянной интенсивности, оценим скорости нагрева и охлаждения материала. Соотношение для скорости нагрева _Н получим, дифференцируя функцию (13) пп ф:

(24)

где

В частности, на поверхности нагрева z = 0 при ф = t

(25)

Из уравнения (25) следует, что скорость нагрева линейно возрастает с увеличением плотности потока, уменьшается с ростом теплопроводности k, объемной теплоемкости материала с и при увеличении времени действия источника тепла.

Таблица 2

Металл	L, кДж/см3	k*, cм2 /c	фi, с	Qc(3), Вт/см2
Сu	42,88	1,12	10-3/10-8	1,4106 /4,6108
Сталь	54,76	0,15	10-3/10-8	6,7105 /2,1108
Ni	55,3	0,18	10-3/10-8	7,5105 /2,4108
Ti	44,27	0,06	10-3/10-8	3,4105/1,1108
W	95,43	0,65	10-3/10-8	2,4106 /7,7108
Мо	69,05	0,55	10-3/10-8	1,6106/ 5,1108
Cr	54,17	0,22	10-3/10-8	8,4105/ 2,5108
БЙ	28,09	0,87	10-3/10-8	8,6105/ 2,7108

На рис. 1 представлена зависимость скорости нагрева от времени действия при различных значениях плотности потока.

Рис. 1. Рис. 2

Для нахождения температурного поля в этом случае воспользуемся понятием стока [3]. Под стоком условимся понимать источник тепла с отрицательной интенсивностью, равной интенсивности источника, включенный на время _i позднее источника. Тогда одномерное температурное поле полубесконечного тела от действия источника тепла постоянной интенсивности может быть представлено для _i в виде

(26)

Отсюда для скорости охлаждения х_О поверхности z = 0 после окончания действия импульса получим при ф = t

(27)

Расчетный график для скорости охлаждения при t > ф поверхности тела при различных Q₀ в зависимости от времени показан на рис. Скорость охлаждения, как и скорость нагрева, линейно зависит от плотности потока Q₀. Используя соотношение (27) для температурного поля от действия нормально-кругового источника на поверхности полубесконечного тела, можно получить формулу для скорости нагрева _НК материала:

(28)

С введением стока тепла получим соотношение для нагрева полубесконечного тела нормально-круговым источником тепла конечной длительности _i. Используя уравнение (27), получим для _i

(29)

Дифференцируя функцию (29) по , получим соотношение для скорости охлаждения:

(30)

Расчетные графики скоростей нагрева и охлаждения при действии нормально-кругового источника на поверхности полубесконечного тела представлены на рис. 3 при ф = t.

Таким же путем могут быть получены соотношения для скоростей нагрева и охлаждения при действии источника тепла, равномерно распределенного по пятну нагрева радиусом r_f. Приведем расчетную формулу для скорости нагрева источником тепла с равномерным распределением интенсивности по пятну радиусом r_f:

(31)

где I₁(u) и I₀(u) - соответственно функции Бесселя первого и нулевого порядков от мнимого аргумента. Интеграл, входящий в уравнение (31), для различных значений r_f, r, k* и ф может быть найден численными методами.

Рис. 3 Рис. 4

Рассмотрим выражения для градиентов температуры при нагреве полубесконечного тела поверхностным источником тепла с постоянной интенсивностью. Дифференцируя по z функцию, описываемую уравнением (12), получим формулу для температурного градиента:

T(z, )/z = Q₀[erfc 0,5z/(k*)^0,5]/k. (32)

На поверхности тела при z = 0, ф > 0 градиент температуры имеет постоянное значение, не зависящее от времени:

T(0, )/z = Q₀/ k. (33)

График распределения температурного градиента по глубине тела при различных Q₀ для некоторых материалов показан на рис. 4. Из численных оценок следует, что градиент температуры достаточно быстро уменьшается с ростом глубины. На поверхности тела градиент температуры достигает весьма больших значений. Для меди при Q₀ = 10⁶ Вт/см² T(0,)/z = 310^{5 О}C/см, а при Q₀ = 10⁷ Вт/см² T(0,)/z = 310^{6 О}C/см. Зная температурные поля материала и температурные градиенты, можно оценить размеры области, эффективно нагретой источником тепла, зоны термического влияния.

Для качественных оценок может быть использовано простейшее соотношение d_т ~ (k*_i)^0,5, где d_т размер зоны термического влияния.

Для значительного числа материалов нельзя считать источник поверхностным. В последующем изложении получим критерий, на основании которого можно рассматривать источник тепла либо как поверхностный, либо как объемный.

Поглощенная часть светового потока убывает с ростом глубины по экспоненциальной зависимости (закон Бугера), т.е. изменение мощности теплового источника С(z) по глубине может быть описано формулой

Р(z) = Р₀ ехр(z), (34)

где коэффициент поглощения (cм¹).

Решение одномерной задачи о нагреве полубесконечного тела источником тепла, мощность которого описывается формулой (34), полученное с помощью преобразования Лапласа по времени, имеет вид

(35)

Для импульсного источника тепла, действующего в объеме материала в течение времени ф_i, температурное поле может быть найдено с помощью стока, сдвинутого относительно источника тепла на время ф:

(36)

Уравнения (35) и (36) позволяют найти распределение температуры в различных точках тела и скорости нагрева, охлаждения и температурные градиенты в материале.

Рассмотрим частные случаи уравнений (35) и (36).

Если глубина проникновения излучения = ¹ много больше, чем толщина прогретого слоя ~ (k*)^0,5, т.е. справедливо неравенство (k*)^0,5 << 1, то

 (37)

или на поверхности z = 0

(38)

температура растет линейно со временем. Для таких материалов, как феррит ( = 210³ см^-1, k* = 510³ см²/с), выражения (37) и (38) справедливы при ф < 10⁴ с.

Если справедливо неравенство (k*)^0,5 >> 1, то тепловой источник можно считать поверхностным и температурное поле описывается уравнением (12). Для таких материалов, как феррит, указанное условие справедливо для моментов времени ф >> 10⁴ с. Для металлов неравенство (k*)^0,5 >>1 справедливо в большинстве случаев.

Критическая плотность мощности для начала разрушения материала, интенсивность теплового источника в котором изменяется по закону Бугера (34), может быть найдена с помощью соотношения (35)

(39)

Например, для феррита (коэффициент отражения равен 0,23) критическая плотность потока, подсчитанная по формуле (39), составляет величину 310⁴ Вт/см Для учета пространственного распределения интенсивности теплового потока при объемном поглощении излучения в материале сформулируем задачу в безразмерных переменных следующим образом [62]:

 (40)

где

А₁ = r_f²Q₀ /kT_пр безразмерные параметры.

В качестве T_пр может быть выбрана температура предельного состояния, достигаемая при F₀ , в центре осесимметричного источника на поверхности непрозрачной среды соотношение (40).

Решение уравнения (40), найденное с помощью интегральных преобразований Лапласа по F₀ и Ханкеля по , имеет вид

(41)

Выражение (41) достаточно сложное, однако при малых F₀, соответствующих большим r_f или малым ф, оно упрощается. Можно показать, что при F₀ << 1 выражение (41) принимает вид

(42)

Из выражения (42) следует, что при малых значениях F₀ температурное поле материала определяется произведением функции, описывающей распределение интенсивности источника тепла в пятне нагрева, на соответствующее решение одномерной задачи. Для центральной точки пятна нагрева из соотношения (41) можно получить [62, 63]

, (43)

где _r = (F₀)^0,5.

Начальные стадии нагрева тел поверхностными или объемными источниками тепла характеризуются тем, что форма зоны нагрева соответствует виду пространственного распределения источника тепла. Математически этому соответствует тот факт, что для начальных стадий формула, описывающая температурное поле, может быть представлена в виде произведения двух сомножителей, один из которых описывает функцию пространственного распределения. Этот факт может быть использован для нахождения радиального распределения интенсивности теплового источника при действии ЛИ на материалы, претерпевающие фазовые переходы в твердом состоянии, а также для оценки среднеинтегрального за импульс коэффициента поглощения [4].

Рассмотрим предельный случай выражения (41) при больших значениях времени (F₀ ). Для непрерывно действующего источника тепла максимальная температура в точке (0, 0, ) определяется формулой

(44)

Из формулы (44) следует, что максимальная температура определяется двумя безразмерными параметрами а₁ и г (поскольку в число). Отсюда вытекает, что «близость» источника к поверхностному источнику определяется не отдельно взятым значением коэффициента поглощения, а произведением его на радиус фокального пятна. Аналогично степень приближения теплового источника к точечному зависит не только от радиуса фокального пятна г_f, но и от коэффициента поглощения среды.

Этот факт наиболее отчетливо следует из графика зависимости и_m от параметра г (рис. 5).

Для г 15 источник тепла можно считать практически поверхностным. Для металлов при ~ 10⁴ см^-1 r_fs ~ 15 мкм, где r_fs радиус пятна нагрева, при превышении которого для металлов источник является поверхностным. Для коротких импульсов излучения соответствующее значение г зависит от F₀, т.е. от длительности импульса.

Рис. 5. Зависимость и_m oт параметра г

Для полупроводников и диэлектриков в зависимости от величины г источник тепла при различных r_f можно рассматривать как объемный или чисто поверхностный. Например, для кремния в области длин волн ~ 1,2 мкм б = 1 см¹ и соответствующий радиус нагрева r_f слишком велик, чтобы при условии локальности нагрева (r_f 0,1 см) источник можно было бы рассматривать как поверхностный. Указанное условие справедливо только для относительно небольших температур, не вызывающих существенного увеличения .

Эти оценки показывают, что даже для металлов, где б велико (~10⁴10⁵ см^-1), тепловой источник от действия ЛИ нельзя рассматривать как точечный источник, по крайней мере, в пределах зоны плавления.

3. Особенности нагревания материала световым пятном конечного размера

Известно, что с возрастанием температуры металла до температуры плавления и выше его отражательная способность значительно уменьшается [64]. Вместе с тем, экспериментально найдено [65], что полное количество отраженной энергии за время действия импульса лазера может достигать 50 70 % от падающей энергии, даже при плотности потока, достаточной для заметного разрушения металла. Причину этого следует искать, по-видимому, в том, что экспериментально измерялся интегральный коэффициент отражения излучения лазера в режиме генерации хаотических пичков. При этом плотность потока излучения претерпевает значительные изменения и в течение относительно большой доли импульса лазера температура поверхности остается сравнительно низкой.

Дополнительное осложнение может быть связано с неоднородностью плотности ЛИ по сечению луча. Поэтому для исследования истинного характера изменения отражательной способности металла при действии на него ЛИ лазера необходимо наблюдать кинетику изменения отражения с временным разрешением, достаточным для того, чтобы можно было фиксировать процессы, протекающие в пределах каждого пичка излучения.

На рис. 6 даны графики изменения отражательной способности R серебра за время всего импульса.

Рис. 6. Изменение отражательной способности Ag в течение _i

Из этих графиков видно, что отражательная способность металлов существенно изменяется, если величина Q превосходит некоторое критическое значение. Небольшое возрастание отражения серебра при малой плотности энергии, по-видимому, связано с удалением поверхностной пленки окисла. У других исследованных металлов этот эффект выражен более резко. Минимум величины R достигается в области максимума энергии лазерного импульса, и с ростом последней значение R_мин падает. Дальнейшее увеличение отражения в пределах импульса генерации естественно связать с постепенным падением температуры поверхности металла [66].

Сравнивая кривые R(t) для разных значений Q, можно оценить изменение интегральной отражательной способности металла за время действия импульса лазера при разной плотности энергии. В частности, видно, что с ростом Q область значительного падения R смещается влево.

Наибольший интерес представляют осциллограммы, показывающие изменение отражательной способности металла в течение каждого пичка. Полученные в результате их обработки графики приведены на рис. 7.

Рис. 7 Рис. 8.

Для всех исследованных металлов величина R уменьшается по мере нарастания мгновенного значения интенсивности излучения в пичке и достигает минимума в момент, совпадающий с максимумом пичка или непосредственно следующий за ним. На всех графиках R(t) наблюдается точка перегиба. С увеличением плотности энергии Q изменения в величине R наступают раньше, а возрастание отражения во второй части импульса излучения замедляется, при этом общий вид зависимости R(t) остается неизменным.

Поскольку характер всех кривых R(t) одинаков, ограничимся более детальным рассмотрением отражения только от серебра. Область быстрого изменения отражательной способности (левее точки b на рис. 8), предшествующую характерному для всех металлов горизонтальному участку на графике R(t), естественно связать с процессами начального нагрева, а затем плавления поверхностного слоя металла. Плавление металла сопровождается скачком его удельной проводимости [64]. Постоянство отражательной способности, после того как слой металла, участвующий в поглощении и отражении света, переходит в жидкое состояние (участок bc на рис. 8), свидетельствует о постоянстве температуры расплавленного слоя.

Это может быть связано с тем, что вся подводимая в это время энергия излучения тратится на прохождение волны плавления в глубину тела. С возрастанием толщины слоя расплавленного металла его тепловое сопротивление увеличивается, вследствие чего уменьшается количество энергии, подводимой к границе плавления, и температура поверхности снова начинает возрастать. При этом наблюдается дальнейшее падение отражательной способности (участок cd на рис. 8). Возрастание отражательной способности правее точки d обусловлено падением плотности потока излучения в пичке.

Изложенные соображения могут быть подтверждены некоторыми численными оценками. Во-первых, оценим возможные пределы изменения температуры поверхности металла в интервале времени t₁ (см.рис. 8). Падающий на поверхность поток Q₀ и изменение отражательной способности на участке ab могут быть приближенно описаны линейными функциями времени: Q_o = k*t и R = R_o t. Следовательно, поглощенный поток равен

 (45)

Решая задачу о нагреве полупространства таким тепловым потоком методом источников [58], получим выражение для приращения температуры за время t₁ в виде

(46)

где k* и k температуропроводность и теплопроводность металла. Полагая t₁ = 0,2 мкс, а 0,25, k* = 1,74 см²/с, k = 4,2 Вт/(смград), получим Т₁ = 700 °С.

Для определения начальной температуры металла Т₀ заметим, что, как показывает оценка, в промежутке между пичками (4 мкс) температура поверхности уменьшается на 70 80 % от того значения, которого она достигает к концу очередного пичка. Последнее же, как это видно из рис. 8, близко к величине Т_b = Т_а + Т₁. Поэтому Т_а оказывается порядка 200 - 300 °С, а Т_b = 900 - 1000 °С, что соответствует температуре плавления серебра. Оценим, далее, время t₂, в течение которого подводимое к металлу тепло расходуется практически только на фазовый переход. Возрастание температуры поверхности не будет происходить до тех пор, пока волна плавления не догонит волну прогрева. Средняя скорость первой волны ~ (L_П + сТ_П)¹, а второй ~(/t)^0,5 и поэтому

t₂ (L_П + сТ_П)/(k*²), (47)

где L_П - удельная теплота плавления, плотность, а с - теплоемкость металла и средняя плотность потока в течение времени t Замечая, что = 1,310⁷ Вт/см² и L_П + сТ_П = 3,410³ Дж/см³, получим t₂= 1,210⁷ с, что хорошо согласуется с длительностью участка bc на рис. 8.

Температуру поверхности металла в точке d можно оценить, воспользовавшись результатами предыдущих разделов, это дает Е_d~6000 K.

Таким образом, наблюдаемые изменения коэффициента отражения во время действия импульса лазера хорошо согласуются с представлением о тепловом механизме разрушения металла и позволяют проследить за отдельными этапами этого процесса.

На рис. 9 приведен график [61], на котором схематически изображена связь поглощательной способности металла с температурой его поверхности.

Рис. 9. Температурная зависимость отражательной способности Аg

В качестве опорных точек для построения графика использованы температуры в точках а, b и d кривой R(t) на рис. 8. Точка Т₀, отвечающая комнатной температуре, получена независимо, с применением стандартных методов. Приведенный график иллюстрирует принципиальную возможность, пользуясь изложенным методом измерения относительной отражательной способности металла, исследовать более детально зависимости R(T) и А(Т) в области температур вплоть до Т ~ 10⁴ К, что представляет принципиальный интерес. Для этого необходимо лишь повысить плотность энергии светового потока, фокусируемого на поверхность металла, что не вызывает принципиальных затруднений [16].

Для процессов сварки существенный интерес представляют задачи нагрева двухслойных материалов с различными теплофизическими свойствами. Расчетные уравнения для температурного поля двухслойных материалов, учитывающие пространственное распределение теплового потока, являются весьма сложными [8, 9].

Поэтому сначала рассмотрим одномерный случай, который дает возможность проследить за основными закономерностями процесса нагрева.

Задача о температурном поле при нагреве источником тепла постоянной интенсивности Q₀ двухслойного материала при идеальном контакте между слоями формулируется следующим образом:

(48)

Краевые условия задачи имеют вид

(49)

(50)

(51)

Соотношения (50) описывают идеальный тепловой контакт между слоями (равенство температур и тепловых потоков на границе контактирования). Предполагается, что временная зависимость импульса излучения имеет вид ц(ф) = 1 для ф > 0.

Решение задачи (48) (51) имеет вид

 (52)

(53)

. (54)

Первый член уравнения (53) определяет поверхностный нагрев однородного материала, а второй член выражает поправку к температуре, обусловленную влиянием второго слоя с другими теплофизическими параметрами и конечностью толщины первого слоя.

Наибольший интерес представляют закономерности изменения температуры со временем в точках на поверхности нагрева и границе раздела слоев. Соответствующие соотношения, записанные в безразмерном виде, имеют вид

(55)

(56)

Здесь , а функция

Результаты численных расчетов по уравнениям (55) и (56) в области изменения параметров, представляющих интерес для нагрева лазером, приведены на рис. 10.

Рис. 10. Зависимости безразмерной температуры на поверхности полубесконечного тела из Аl (кривая 1) и двухслойного тела Аl-Si (кривая 2), h = 0,02 см от критерия Фурье (а) и безразмерной температуры на контакте двухслойного тела Бl-Si от критерия Фурье (б) (масштаб по оси абсцисс логарифмический)

Для сравнения показана закономерность изменения температуры поверхности полуограниченного тела, нагреваемого источником тепла постоянной интенсивности Q₀.

Обобщение зависимостей (52) и (53) на случай произвольной временной закономерности изменения интенсивности источника несложно, если использовать интеграл Дюамеля:

(57)

где Т_i решение задачи с произвольной зависимостью мощности источника от времени.

Для получения сварных швов могут быть использованы лазеры с непрерывной генерацией, создающие движущиеся источники тепла при перемещении по поверхности пятна нагрева r_f. Если пятно нагрева радиусом г_f перемещается по поверхности с постоянной скоростью , то в начальной стадии будет происходить повышение температуры. После некоторого времени (величина которого зависит от свойств материала), установится квазистационарное состояние, при котором нагретая зона постоянного размера перемещается вместе с источником тепла [3].

Наиболее важными случаями действия подвижных источников тепла являются нагрев поверхности и сварка нормально-круговым источником с эффективной мощностью Р₀, перемещающимся с постоянной скоростью по поверхности пластины толщиной д, и плавление полубесконечного тела тем же источником тепла.

Уравнение для расчета температуры в подвижной системе координат, связанной с источником тепла, имеет вид [3]

(58)

где

K₀(₂) функция Бесселя от мнимого аргумента; ш₂(₂, ф) коэффициент теплонасыщения, табулированный в литературе [3].

Предельное значение температуры по оси OZ (t > ) может быть рассчитано с помощью уравнения

(59)

Если источник тепла быстродвижущийся, то уравнение распространения тепла упрощается, поскольку тепло будет распространяться в основном в направлении, перпендикулярном направлению перемещения источника:

 (60)

Для непрерывно действующего нормально распределенного источника тепла на поверхности полубесконечного тела расчетное соотношение для температуры в подвижной системе координат, связанной с источником, имеет вид

(61)

Для расчета предельного состояния процесса нагрева удобно использовать цилиндрическую систему координат г, ц, z, где ц угол между радиусом-вектором и положительной полуосью 0х, по которой перемещается источник тепла.

Температура предельного состояния

(62)

(63)

Если скорость перемещения источника велика, то нормально-круговой источник на поверхности полубесконечного тела становится нормально-линейным, и процесс распространения тепла описывается уравнением

(64)

где у и z координаты точки, лежащей в плоскости, проходящей через центр источника перпендикулярно направлению его перемещения, а время t отсчитывается от момента, когда нормально-линейный источник пересечет эту плоскость. Наибольшая температура достигается на оси тела:

(65)

В начале процесса (t₀ >> t) температура понижается обратно пропорционально , в конце процесса при t₀ << t обратно пропорционально t [15].

4. Нелинейные режимы лазерного нагрева

Рассмотрим некоторые нелинейные задачи, возникающие при нагреве материалов ЛИ. Большинство из задач воздействия высококонцентрированных источников следует рассматривать в нелинейной постановке.

К нелинейным задачам переноса тепла относятся задачи, в которых одна из перечисленных ниже величин зависит от температуры: коэффициент теплопроводности; коэффициент удельной теплоемкости; коэффициент теплоотдачи; тепловой поток на поверхности; внутренние источники (стоки) тепла; положение границ тела [10].

Для краткости можно называть задачи, в которых теплофизические коэффициенты зависят от температуры, задачами с нелинейностями 1-го рода; задачи, в которых нелинейными являются граничные условия задачами с нелинейностями II-го рода; задачи, в которых источники тепла зависят от температуры задачами с нелинейностями III-го рода.

В процессах нагрева материалов ЛИ встречаются задачи с нелинейностями I, II и III-го рода. Если плотность потока ЛИ не превосходит Q_c⁽¹⁾, то наиболее важными являются задачи с нелинейностями I и II-го рода, когда необходимо учитывать температурную зависимость теплофизических постоянных (задачи I-го рода) и температурную зависимость оптических постоянных и, следовательно, интенсивности ЛИ (задачи II-го рода). Если же плотность потока ЛИ превосходит Q_c⁽¹⁾, то по прошествии некоторого времени _c необходимо рассматривать задачи с нелинейностями III-го рода задачи о нахождении положения границ раздела фаз, называемые стефановскими.

Наиболее общей является задача, в которой все три вида нелинейностей присутствуют одновременно. Поскольку существует определенная трудность получения решения задачи даже при наличии одного из указанного вида нелинейностей, то рассматривать одновременно нелинейности I, II и III-го рода не будем.

Кратко остановимся на методах, используемых для учета нелинейностей в задачах нагрева материалов.

Нелинейности 1-го рода. Одними из основных методов решения задач с такими нелинейностями являются различные способы «линеаризации» задач, поскольку методы решения линейных задач переноса тепла разработаны значительно лучше. Наиболее часто используются различного рода подстановки, упрощающие уравнение с нелинейными членами.

Подстановка типа

(66)

применяется в том случае, когда коэффициент теплопроводности k=k(T). Эта подстановка называется преобразованием Кирхгофа (или преобразованием Варшавского) и позволяет линеаризовать нелинейность в стационарном уравнении теплопроводности и перенести ее в граничное условие, если оно является граничным условием III-го рода. Граничные условия II-го рода, представляющие наибольший интерес для процессов обработки лучом ОКГ, остаются неизменными. Нестационарные уравнения теплопроводности с помощью подстановки уравнения (66) изменяют вид, поскольку в них появляются нелинейные слагаемые.

Подстановка Гудмена

(67)

обычно используется для учета температурной зависимости теплоемкости с = с(Т).

Для неограниченных и полуограниченных тел иногда применяют подстановку (или преобразование) Больцмана:

(68)

которая позволяет перейти от уравнения в частных производных к уравнению в полных производных относительно переменной.

К числу распространенных методов решения нелинейных задач I-го рода относятся методы, использующие возможности аналоговой вычислительной техники. При этом обычно используют следующие приемы:

упрощают или линеаризуют основное уравнение с помощью подстановок Кирхгофа или Гудмена;

изменяют в соответствии с законами k(T), с(Т) и г(Т) сопротивления, емкости или другие электрические устройства в аналоговых машинах;

вводят в электрическую модель дополнительные токи, вызывающие такую же реакцию, какую вызывает учет нелинейностей другими способами.

Рассмотренные методы не являются единственными. При учете нелинейностей I-го рода нашли применение такие методы, как интегральный метод, метод итераций и др., на которых не будем останавливаться.

Нелинейности II-го рода. Произвольную зависимость Q(T) можно практически учесть только с помощью аналоговых методов или метода сеток. Для термически тонких тел (тела, для которых справедливо неравенство Bi < 0,25, где Bi число Био) задача может быть сведена к обыкновенному дифференциальному уравнению. Если тело нельзя рассматривать как термически тонкое, то для ряда случаев температурное поле тела конечных размеров может быть скоординировано распределением температуры вдоль координатных осей либо по поверхности тела. Вид координатной связи определяется условиями протекания процесса. При расчетах температурного поля также используется зональный метод, который состоит в последовательном определении температуры «по шагам во времени», т.е. по известному распределению в (m 1)-й момент определяется распределение в m-й момент времени. Другим методом, развитым В.В. Ивановым и Ю.В. Видиным [10], является использование нелинейных интегральных подстановок, в результате которых исходное линейное дифференциальное уравнение преобразуется в нелинейное. В этом уравнении при выполнении ряда условий нелинейная часть может быть отброшена, что позволяет найти приближенное решение с известной степенью точности. Такой метод использован для решения задачи нагрева тела с учетом зависимости поглощательной способности от температуры.

Другими способами отыскания решений задач с нелинейностями II-го рода являются вариационные методы, интегральный метод [67], метод итераций, конечных разностей и др.

Нелинейности III-го рода. К задачам с нелинейностями III рода относятся задачи, в которых мощность источников, действующих внутри тела и на границе, зависит от температуры. К их числу относятся задачи, называемые в литературе задачами типа Стефана. Это задачи, в которых положение подвижной границы фаз и мощность источников тепла зависят от температуры (или диапазона температур) фазового перехода [6, 68].

Для решения задач Стефана применяются вариационные методы, интегральный метод, методы конечных разностей и сеток, метод подстановок, метод прямых, метод анализа размерностей и др.

Рассмотрим влияние температурной зависимости оптических постоянных металла на характер его нагрева ЛИ. Поглощательная способность металла А является функцией температуры, что относит ее к задачам с нелинейностями II-го рода. В первом приближении А ~ T₀, где T₀ температура поглощающей поверхности. При учете аномального скин-эффекта [69, 70] A имеет вид

А = а₀ + bТ, (69)

где a₀ = 0,75 ₀/c; b = /2₀; ₀ скорость электрона проводимости на поверхности Ферми; с скорость света; Щ плазменная частота; у₀ статическая электропроводимость металла (причем, А для большинства металлов зависит от температуры линейно, т.е. рассматриваемая задача - линейна).

Обычно б₀ << bT и первым слагаемым в уравнении (69) можно пренебречь. Задача о нагреве металла для одномерного случая при переменной поглощательной способности формулируется следующим образом [70]:

(70)

(71)

где б коэффициент поглощения; T_i начальная температура металла.

Отметим, что б в этом же приближении не зависит от температуры. Решение задачи (70), (71) с учетом уравнения на поверхности нагрева z = 0 имеет вид для двух крайних случаев (больших и малых значений параметра S, где S = 4bQ₀/бk):

(72)

(73)

где A₀ = A(T_i) начальное значение поглощательной способности.

Температуру поверхности и ее изменение со временем для случая, когда поглощательная способность не зависит от времени, можно получить из уравнения (72) при b 0:

(74)

Учет температурной зависимости поглощательной способности металла приводит к следующим особенностям в процессе нагрева.

При S >> 1 возникает режим нагрева, не имеющий аналога в задаче с постоянным значением А = А₀. При S << 1 (наиболее часто реализуемый случай) имеются два режима нагрева. Если bQ₀/(c_p^0,5) << 1, то увеличение температуры поверхности со временем происходит в соответствии с формулой (74), т.е. учет зависимости Б(ф) для отрезков времени ф << (c_p^0,5)/bQ₀ несущественен.

Если ф >> (c_p^0,5)/bQ₀, то из уравнения (73) можно получить

(75)

Из сравнения уравнений (74) и (75) следует, что, начиная с момента ф>> (c_p^0,5)/bQ₀, наблюдается существенное различие между случаем, когда А = А₀ и случаем, когда A = Б(ф). Для первого случая Т ~ , для второго

Практически изменение температуры выходит на экспоненциальную зависимость (75), начиная с момента времени

2/[]

Учет температурной зависимости А изменяет плотность потока, необходимую для достижения заданной температуры поверхности к концу импульса (например, Т_П). Для серебра, согласно оценкам, приведенным в литературе [70], при учете температурной зависимости A Q_c⁽¹⁾=910⁵ Вт/см² (ф_i = 10³ с), без учета этой зависимости Q_c⁽¹⁾ = 310⁶ Вт/см

Задачу о нагреве материала с учетом температурной зависимости А(Т) можно рассмотреть в пространственной постановке. В общем случае нагрева материалов температурная зависимость поглощательной способности в виде уравнения (69) представляется оправданной для многих материалов, что следует из анализа экспериментальных данных, если учесть значительный разброс опытных точек и существенную зависимость поглощательной способности от состояния поверхности и других аналогичных факторов, трудно поддающихся количественному контролю.