Нахождение аппроксимирующих формул

1.1 Метод наименьших квадратов

В любую аналитическую формулу входят постоянные коэффициенты, величина которых существенно влияет на вид функции и на её значение. Следовательно, в нашем случае коэффициенты, будут переменными параметрами, и функция запишется в общем виде:

(1.1)

где - подбираемые коэффициенты, M_i - i-ые значения расхода воздуха, n - число оборотов вала.

Согласно методу наименьших квадратов, наилучшими коэффициентами считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной теоретической функции от заданных эмпирических значений будет минимальной. Следовательно, задача состоит в определении коэффициентов таким образом (т.е. в выборе одной кривой из множества), чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей.

(1.2)

где - коэффициенты аппроксимации,

Для того чтобы найти набор коэффициентов , при которых достигается минимум функции S, определяемой формулой (1.1), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных равенство нулю частных производных.

Таким образом, нахождение коэффициентов , сводится к решению системы:

(1.3)

Если коэффициенты входят линейно, то система дифференциальных уравнений в частных производных преобразуется в систему линейных алгебраических уравнений. Эта система может быть решена любым методом: методом Гаусса, матричным методом, по формулам Крамера и т.д.

Конкретный вид системы (1.3) зависит от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость (1.1).

В случае линейной аппроксимации формула (1.2) примет вид:

Возьмем две частные производные первого порядка и приравняем их к нулю. Система уравнений (1.3) примет вид:

Разделим уравнения на 2 и раскроем скобки:

Вынесем неизвестные и за знак суммы, так как они не зависят от индекса «i», и перенесем слагаемые, не содержащие неизвестных, в правую часть. Окончательно получим систему линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными и :

(1.4)

В случае квадратичной аппроксимирующей зависимости, вида (1.1.1), выполнив аналогичные преобразования, получим следующую систему линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными и :

(1.5)

1.2 Оценка статистических параметров системы

Напомним некоторые статистические оценки. Наблюдаемые значения величин n_i, M_i можно рассматривать как выборочные значения двух случайных величин n и M. По выборочным данным можно найти выборочные средние и выборочные квадратичные отклонения n и M, а также выборочный коэффициент корреляции, а именно:

(1.6)

 (1.7)

Для вычисления можно применить и более простые формулы, которые выводятся в курсе теории вероятностей с помощью простых алгебраических преобразований:

(1.8)

(1.9)

Здесь - выборочные средние величин n, M; - выборочные квадратичные отклонения величин n, M; r - выборочный коэффициент корреляции.

Известно, что линейное уравнение (1.5), называемое в статистике уравнением линейной регрессии, проходит через точку , а коэффициент a₂, называемый в статистике коэффициентом регрессии, связан с коэффициентом корреляции r. Имеют место следующие соотношения:

(1.10)

, (1.11)

Коэффициент корреляции характеризует меру линейной связи между величинами n, M и может принимать значения в пределах от -1 до 1. Чем ближе к единице | r |, тем теснее линейная связь между n, M. Если | r | = 1, то M линейно зависит от n, т.е. выполнено соотношение:

M_i=a₁+a₂n_i,

поэтому ошибка представления эмпирических данных равна 0.

1.3 Оценка точности аппроксимации

аппроксимация excel точность формула

Мера ошибки при аппроксимации функции в соответствии с данным выше определением равна:

.

С целью оценки относительной погрешности при аппроксимации функции рассматривают величину суммарной погрешности по отношению к общему разбросу данных. Общий разброс данных складывается из отклонений теоретических значений от среднего и эмпирических значений от теоретических. Вводятся обозначения:

(1.12)

(1.13)

, (1.14)

В случае линейной функции получим:

(1.15)

В случае квадратичной функции:

 (1.16)

По аналогии легко написать формулу для вычисления ошибки аппроксимации функцией любого вида.

Отметим, что для аппроксимирующей функции, линейной относительно параметров, верно:

Относительная ошибка аппроксимации есть отношение

.

Величина

(1.17)

называется коэффициентом детерминированности и характеризует меру точности аппроксимации табличных данных. Если ² = 1, то ошибка аппроксимации равна 0 и теоретические значения совпадают с эмпирическими.

2. Расчеты, выполненные в Microsoft Excel

Для того, чтобы получить коэффициенты для записи систем уравнений (1.4) и (1.5), произвели расчеты в Microsoft Excel. Результаты вычислений приведены в таблице (Приложение 1).

Таблица составлена следующим образом:

Шаг 1. В ячейки A2:A26 заносим значения .

Шаг 2. В ячейки B2:B26 заносим значения .

Шаг 3. В ячейку C2 вводим формулу =A2^2.

Шаг 4. В ячейки C3:C26 эта формула копируется.

Шаг 5. В ячейку D2 вводим формулу =A2*B2.

Шаг 6. В ячейки D3:D26 эта формула копируется.

Шаг 7. В ячейку F2 вводим формулу =A2^4.

Шаг 8. В ячейки F3:F26 эта формула копируется.

Шаг 9. В ячейку G2 вводим формулу =A2^2*B2.

Шаг 10. В ячейки G3:G26 эта формула копируется.

Последующие шаги сделаны с помощью автосуммирования .

Шаг 11. В ячейку A27 вводим формулу =СУММ (A2:A26).

Шаг 12. В ячейку B27 вводим формулу =СУММ (B2:B26).

Шаг 13. В ячейку C27вводим формулу =СУММ (C2:C26).

Шаг 14. В ячейку D27 вводим формулу =СУММ (D2:D26).

Шаг 15. В ячейку E27 вводим формулу =СУММ (E2:E26).

Шаг 16. В ячейку F27вводим формулу =СУММ (F2:F26).

Шаг 17. В ячейку G27 вводим формулу =СУММ (G2:G26).

Аппроксимируем функцию линейной функцией . Определим коэффициенты и . Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A26, B26, C26 и D26, запишем систему:

решив которую, получим и .

Таким образом, линейная аппроксимация имеет вид:

График этой функции представлен в разделе 3. (рис. 3.1)

Результаты решения системы представлены в таблице 2.1.

Таблица 2.1. Решение системы для линейной аппроксимации

В таблице 2.1 в ячейках A32:B33 записана формула {=МОБР (A28:B29)}.

В ячейках E32:E333 записана формула {=МУМНОЖ (A32:B33, C28:C29)}.

Далее аппроксимируем функцию квадратичной функцией . Определим коэффициенты , и . Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A26, B26, C26, D26, E26, F26 и G26 запишем систему:

решив которую, получим , и .

Таким образом, квадратичная аппроксимация имеет вид:

График квадратичной аппроксимации представлен в разделе 3 (рис 3.2)

Таблица 2.2. Решение системы для квадратичной аппроксимации

В таблице 2.2 в ячейках A41:C43 записана формула {=МОБР (A36:C38)}.

В ячейках F41:F43 записана формула {=МУМНОЖ (A41:C43, D36:D38)}.

Вычислим среднее арифметическое и по формулам:

Результаты расчета и представлены в таблице 2.3.

Таблица 2.3. Расчет среднего арифметического

В ячейке B54 записана формула =A26/25.

В ячейке B55 записана формула =B26/25.

Для того, чтобы рассчитать коэффициент корреляции и коэффициент детерминированности данные целесообразно расположить в виде таблицы.

Таблица составляется следующим образом:

Шаг 1. В ячейку J2 вводим формулу =(A2-$B$54)*(B1-$B$55).

Шаг 2. В ячейки J3:J26 эта формула копируется.

Шаг 3. В ячейку K2 вводим формулу =(A2-$B$54)^2.

Шаг 4. В ячейки K3:K26 эта формула копируется.

Шаг 5. В ячейку L2вводим формулу =(B2-$B$55)^2.

Шаг 6. В ячейки L3:L26 эта формула копируется.

Шаг 7. В ячейку M2 вводим формулу =($E$32+$E$33*A2-B2)^2.

Шаг 8. В ячейки M3:M26 эта формула копируется.

Шаг 9. В ячейку N2 вводим формулу =($F$41+$F$42*A2+$F$43*A2^2-B2)^2.

Шаг 10. В ячейки N3:N26 эта формула копируется.

Последующие шаги делаем с помощью автосуммирования

Шаг 13. В ячейку J27 вводим формулу =СУММ (J2:J26).

Шаг 14. В ячейку K27 вводим формулу =СУММ (K2:K26).

Шаг 15. В ячейку L27 вводим формулу =СУММ (L2:L26).

Шаг 16. В ячейку M27 вводим формулу =СУММ (M2:M26).

Шаг 17. В ячейку N27 вводим формулу =СУММ (N2:N26).

Теперь проведем расчеты коэффициента корреляции (только для линейной аппроксимации) и коэффициента детерминированности. Результаты расчетов представлены в таблице 2.4.

Таблица 2.4. Расчеты коэффициента корреляции и коэффициента детерминированности

В таблице 2.4 в ячейке B57 записана формула =J26/(K26*L26)^(1/2).

В ячейке B58 записана формула =1 - M26/L26.

В ячейке B59 записана формула =1 - N26/L26.

Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом описывает экспериментальные данные.

3. Построение графиков в Excel

Ввод данных произведен в векторном виде. (Приложение 4)

Вычисление коэффициентов линейной функции a и b:

Используем встроенные функции slope и intercept для определения коэффициентов линейной регрессии (аппроксимация данных прямой линией). Функция slope определяет угловой коэффициент прямой, а функция intercept - точку пересечения графика с вертикальной осью.

Рис. 4.1. График линейной аппроксимации

Вычисление коэффициентов квадратичной функции:

Теперь попытаемся подобрать полиномы второй степени, в качестве аппроксимирующей функции. Для этих целей служат встроенные функции regress и interp. Функция regress является вспомогательной, она подготавливает данные, необходимые для работы функции interp. Извлечение субматрицы из матрицы производится при помощи функции submatrix. Функция length указывает на число элементов в векторе k.

Квадратичная аппроксимирующая зависимость будет иметь вид:

Рис. 4.2. График квадратичной аппроксимации

4.2. Решение задачи в Mathcad с помощью функции linfit

Функция linfit, которая определяет оптимальные значения коэффициентов для выбранной функции.

Для проверки значений коэффициентов, я выбрал квадратичную функцию, так как она точнее определяет зависимость между заданными величинами.

В результате вычислений, представленных ниже коэффициенты, вычисленные в MathCAD, совпали с данными Excel, что говорит о правильности расчетов.

Воспользовавшись ранее введенными данными, провел необходимые вычисления:

Рис. 4.3. Квадратичная аппроксимация

Значит, квадратичная функция имеет вид:

.

Заключение

В ходе данной курсовой работы были рассмотрены различные виды аппроксимаций функции.

В результате проведенных расчетов, можно сделать вывод о том, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом описывает эмпирические данные, т.к. коэффициент детерминированности квадратичной аппроксимации R²=0,999 выше, чем коэффициент детерминированности линейной R²=0,9526, поэтому мы выбираем её в виде аппроксимирующей функции как более подходящую.

Вычисления независимых расчётов сходятся, следовательно, - расчёты верны. В результате получились следующие формулы:

.

Библиографический список