Программная реализация решения обратной задачи методом наименьших квадратов
Разработка алгоритма аппроксимации данных методом наименьших квадратов. Средства реализации, среда программирования Delphi. Физическая модель. Алгоритм решения. Графическое представление результатов. Коэффициенты полинома (обратный ход метода Гаусса).
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 09.02.2015 |
| Размер файла | 473,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт недропользования
Кафедра технологий геологической разведки
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
к курсовой работе по дисциплине
Решение обратных задач в геофизике
Программная реализация решения обратной задачи методом наименьших квадратов
Выполнил студент группы ГИС -10
Н.Б. Намдаков
Нормоконтроль
Е.В. Агеенков
Иркутск 2014 г.
Введение
В связи с ростом населения Земли, всё острее стоит вопрос нехватки ресурсов. Поэтому методология их поиска очень актуальна. Для осуществления геофизической разведки, особенную важность имеет решение обратных задач.
Обратная задача - тип задач, часто возникающий во многих разделах науки когда значения параметров модели должны быть получены из наблюдаемых данных.
Для того, чтобы получить представления о свойствах объекта, необходимо создать его модель.
Модель будет включать в себя следующие параметры: глубины границ раздела слоев и свойства пород в каждом слое. Используя математические зависимости между элементами модели и полем, мы можем вычислить теоретические значения поля для заданных условий его наблюдения.
Процесс перехода от модели к полю называют решением прямой задачи. Переход от значения поля к параметрам модели среды - решением обратной задачи. Одним из простейших вариантов решения обратной задачи является подбор такой модели, которая дала бы теоретическое поле, совпадающее или близкое к наблюдаемому.
Прямая задача, как правило, имеет единственное решение. Заданной модели при заданных условиях наблюдения соответствует единственное поле. В обратной задаче - одному и тому же полю может соответствовать множество моделей. Поэтому при решении задач возникает вопрос: какой ответ мы получили единственный или один их множества и какой из множества ответов наиболее близок к реальному. Прямые задачи являются, как правило, устойчивыми. Обратные задачи очень часто оказываются неустойчивыми, т.е. небольшие искажения в данных наблюдений могут приводить к значительным погрешностям в параметрах модели.
1. Теоретическая часть
1.1 Программные средства
Наиболее удобной, в смысле программной реализации, средой программирования является Delphi. Среда визуального программирования Delphi, разработанный компанией Borland. Среда Delphi включает в себя полный набор визуальных инструментов для скоростной разработки приложений, поддерживающий разработку пользовательского интерфейса и подключение к корпоративным базам данных. VCL - библиотека визуальных компонент, включает в себя стандартные объекты построения пользовательского интерфейса, объекты управления данными, графические объекты, объекты мультимедиа, диалоги и объекты управления файлами, управление DDE и OLE.
Среда Delphi является очень удобной при решении различного рода задач, так как позволяет находить коэффициенты аппроксимирующих полиномов (многочленов) для табулированной функции, и создать удобный для пользователя интерфейс. Поэтому эта среда разработки широко используется как на производстве, так и в учебных заведениях и научных учреждениях.
1.2 Физическая модель
Апроксимация функций методом наименьших квадратов
При решении многих практических задач часто приходится вычислять значения каких-то функциональных зависимостей y = f(x).
При этом, как правило, имеют преобладающее место две ситуации.
1. Явная зависимость между х и y на [a, b] отсутствует, а имеется только таблица экспериментальных данных {xi, yi}, и возникает необходимость определения y = f(x) на интервале [xi, xi/2] [a, b]. К этой задаче относится также уточнение таблиц экспериментальных данных.
2. Зависимость y = f(x) известна и непрерывна, но настолько сложна, что не пригодна для практических расчетов. Стоит задача упрощения вычисления значений y = f(x) и ее характеристик (и т.д.). Поэтому, с точки зрения экономии времени и материальных ресурсов, приходят к необходимости построения какой-то другой функциональной зависимости y = F(x), которая была бы близка к f(x) по основным ее параметрам, но более проста и удобна в реализации при последующих расчетах, т.е. ставится задача о приближении (аппроксимации) в области определения y = f(x). Функцию y = F(x) называют аппроксимирующей.
Аппроксимация является частным случаем интерполирования и применяется для определения аналитического вида функции, заданной таблично. Задача аппроксимации сводится к определению свободного параметра (параметров) функции заданного вида, который обеспечит наилучшее приближение функции, заданной таблично модельной аналитической функцией.
Метод наименьших квадратов
Пусть таблично задана функция . Определить аппроксимационный многочлен вида:
(1)
Для определения коэффициентов (где i=1,2…m) используют аппроксимацию методом наименьших квадратов [3]. Функционал находится по формуле
,
где n - количество пар значений аргумента xi и функции yi. Т.к. S должен быть минимален, то первые частные производные от S по всем коэффициентам полинома должны равняться нулю.
Вычислим их и приравняем к нулю:
(1)
После преобразования система слегка упростится:
(2)
Если полином первой степени, то 2 уравнения, если шестой степени, то 7 уравнений. Введём следующие обозначения:
С учётом этих обозначений система (2) перепишется следующим образом:
(3)
Решив эту систему одним из известных методов определится ряд значений , с помощью которого и строится многочлен (1).
Среднеквадратичное отклонение вычисляется по формуле:
1.3 Алгоритм решения
аппроксимация квадрат программирование полином
1. Вводим исходные данные Xi и Yi из файла.
2.Вычисляем коэффициенты Т [ссылка на теорию по методу], где
3. Вычисляем коэффициенты С, где
4. Формируем расширенную матрицу системы уравнений, т.е. из системы:
с учетом введённых обозначений получаем систему:
5..Приводим расширенную матрицу системы уравнений к треугольному виду (прямой ход метода Гаусса).
6.Вычисляем коэффициенты полинома (обратный ход метода Гаусса).
7.Выводим коэффициенты полинома (в зависимости от степени полинома используем массивы соответствующей размерности и присваиваем элементам значения, полученные после решения системы методом Гаусса).
8. Вычисляем среднеквадратичное отклонение, для этого вычисляем значение функции с помощью полученного полинома, затем вычисляем сумму квадратов разностей экспериментального значения функции и рассчитанного с помощью полинома и окончательное вычисляем среднеквадратичное отклонение. Выводим среднеквадратичное отклонение.
1.4 Блок-схема
2. Практическая часть
2.1 Решение задачи в Delphi
В программе будут два интерфейса (окна). Первый, или главная форма, предназначен для ввода данных, расчета коэффициентов. Вторая форма или подчиненная, будет служить для отображения графиков, вычисляемой нами обратной задачи.
На форме у нас 3 компоненты: TMemo, и 4 компоненты TButton (рис. 1).
Рис.1. Главная форма
Заходим в инспектор объектов компонента TButton1, на свойстве Caption пишем: "Загрузить данные". Таким же образом меняем свойство Caption на "Выполнить", "График" и "Выход" соответственно.
Создаем вторую форму. Кидаем на форму компоненты: TPanel, TChart и TButton. Главная рабочая компонента это TChart, в основном работаем с ней. Щелкните два раза, откроется следующее диалоговое окно (рис. 2).
Рис. 2. Компонента TChart
Далее нажимаем на кнопку "Add..." создаем новые линии. В данной задаче у нас 4 линии: полиномы 3-ей, 5-ой и 7-ой степени, а также исходные данные. Исходные данные необходимы для сравнения, сильно ли исказился наш график.
Дальше пишем процедуру программы [Приложения].
2.2 Графическое представление результатов
Нахождение коэффициентов аппроксимирующих полиномов 3-ей, 5-ой и 7-ой степени (рис. 3).
Рис. 3. Выполнение программы
Графическое представление нахождения коэффициентов аппроксимирующих полиномов (рис. 4).
Рис. 4. График функции полиномов и исходных данных
Заключение
В результате курсовой работы был разработан алгоритм аппроксимации данных методом наименьших квадратов. Для полинома каждой степени было рассчитано среднеквадратичное отклонение. Установлено, что чем больше степень полинома, тем ближе значения аппроксимирующей функции к значениям заданным таблично.
С помощью данного алгоритма можно вычислить коэффициенты аппроксимирующего полинома и другой степени (не меньшей 1 и не большей 8) при другом количестве экспериментальных точек.
Использованная литература
1. Delphi для «чайников». Нейл Дж. Рубенкинг. Киев - Москва: Диалектика, 1997.
2. http://www.delphi-manual.ru/
3. Метод наименьших квадратов (МНК) 2010г. - (http://www.cleverstudents.ru/articles/mnk.html)
4. Аппроксимация функции полиномом методом наименьших квадратов - (http://alexeypetrov.narod.ru/C/sqr_less_about.html)
Приложение
unit Unit1;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,
Dialogs,StdCtrls,Series, TeEngine, TeeProcs, Chart, ExtCtrls,buttons, Math, Unit2;
type
TForm1 = class(TForm)
Memo1: TMemo;
Memo2: TMemo;
Button1: TButton;
Memo3: TMemo;
Button2: TButton;
Button3: TButton;
Button4: TButton;
Label1: TLabel;
Label2: TLabel;
procedure Button1Click(Sender: TObject);
procedure Button2Click(Sender: TObject);
procedure Button3Click(Sender: TObject);
procedure FormCreate(Sender: TObject);
procedure Button4Click(Sender: TObject);
private
{ Private declarations }
public
{ Public declarations }
end;
var
Form1: TForm1;
p3: array [0.. 8] of extended;
p5: array [0.. 8] of extended;
p7: array [0.. 8] of extended;
x: array [0.. 39] of extended;
f: array [0.. 39] of extended;
implementation
{$R *.dfm}
procedure Polynom(n, m: integer);
var
T: array [0.. 16] of extended;
C, A: array [0.. 8] of extended;
B: array [0.. 8, 0.. 9] of extended;
DataX, DataY: text;
StrXi, StrYi: string;
i, ii, j, jj, k, s, Code: integer;
Xi, Yi, Y, Bik, Delta: extended;
begin
ii := 0;
for i := 0 to 16 do
T[i] := 0;
for i := 0 to 8 do
begin
C[i] := 0;
A[i] := 0
end;
for i := 0 to 8 do
for j := 0 to 9 do
B[i, j] := 0;
assign(DataX, 'Xi.txt');
assign(DataY, 'Yi.txt');
reset(DataX);
reset(DataY);
for i := 1 to m do
begin
readln(DataX, StrXi);
readln(DataY, StrYi);
val(StrXi, Xi, Code);
val(StrYi, Yi, Code);
x[ii] := Xi;
f[ii]:= Yi;
ii := ii + 1;
for j := 1 to 2 * n do
T[j] := T[j] + exp(j * ln(Xi));
for j := 0 to n do
C[j] := C[j] + Yi * exp(j * ln(Xi));
end;
T[0] := m;
close(DataX);
close(DataY);
for i := 0 to n do
for j := 0 to n do
B[i, j] := T[j + i];
for i := 0 to n do
B[i, n + 1] := C[i];
for k := 0 to n - 1 do
for i := k to n do
begin
Bik := B[i, k];
for j := k to n + 1 do
if i = k then
B[i, j] := B[i, j] / Bik
else
B[i, j] := B[i, j] / Bik - B[k, j];
end;
Form1.Memo3.Lines.Add('Коэффициенты полинома степени: ' + IntToStr(n));
for i := n downto 0 do
A[i] := (B[i, n + 1] - B[i, 1] * A[1] - B[i, 2] * A[2] - B[i, 3] * A[3] - B
[i, 4] * A[4] - B[i, 5] * A[5] - B[i, 6] * A[6] - B[i, 7] * A[7] - B
[i, 8] * A[8]) / B[i, i];
for i := 0 to n do
begin
if (n = 3) then
p3[i] := A[i]
else if (n = 5) then
p5[i] := A[i]
else
p7[i] := A[i];
Form1.Memo3.Lines.Add('A[' + IntToStr(i) + ']=' + FloatToStr(A[i]));
end;
Form1.Memo3.Lines.Add('Среднеквадратичное отклонение:');
reset(DataX);
reset(DataY);
Delta := 0;
for i := 1 to m do
begin
readln(DataX, StrXi);
readln(DataY, StrYi);
val(StrXi, Xi, Code);
val(StrYi, Yi, Code);
Y := 0;
for j := 0 to n do
Y := Y + A[j] * exp(j * ln(Xi));
Delta := Delta + sqr(Y - Yi);
end;
Delta := sqrt(Delta / m);
Form1.Memo3.Lines.Add('Дельта = ' + FloatToStr(Delta));
close(DataX);
close(DataY);
end;
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
begin
Button2.Enabled := true;
Memo1.Lines.LoadFromFile('Xi.txt');
Memo2.Lines.LoadFromFile('Yi.txt');
end;
procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);
begin
Polynom(3, 40);
Polynom(5, 40);
Polynom(7, 40);
Button3.Enabled := true;
end;
procedure TForm1.Button3Click(Sender: TObject);
var i:integer;
begin
Form2.Show;
for i := 0 to 39 do
begin
Form2.Series1.AddXY(x[i], (p3[0] + p3[1] * x[i] + p3[2] * sqr(x[i])
+ p3[3] * power(x[i], 3)));
Form2.Series2.AddXY(x[i], (p5[0] + p5[1] * x[i] + p5[2] * sqr(x[i])
+ p5[3] * power(x[i], 3) + p5[4] * power(x[i], 4)
+ p5[5] * power(x[i], 5)));
Form2.Series3.AddXY(x[i], (p7[0] + p7[1] * x[i] + p7[2] * sqr(x[i])
+ p7[3] * power(x[i], 3) + p7[4] * power(x[i], 4)
+ p7[5] * power(x[i], 5) + p7[6] * power(x[i], 6)
+ p7[7] * power(x[i], 7)));
Form2.Series4.AddXY(x[i],f[i]);
end;
end;
procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);
begin
Memo1.Clear;
Memo2.Clear;
Memo3.Clear;
Button2.Enabled := false;
Button3.Enabled := false;
end;
procedure TForm1.Button4Click(Sender: TObject);
begin
close;
end;
end.
unit Unit2;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,
Dialogs,StdCtrls,Series, TeEngine, TeeProcs, Chart, ExtCtrls,buttons, Math;
type
TForm2 = class(TForm)
Panel1: TPanel;
Chart1: TChart;
Series2: TLineSeries;
Series3: TLineSeries;
Series4: TPointSeries;
Series1: TLineSeries;
Button1: TButton;
procedure Button1Click(Sender: TObject);
private
{ Private declarations }
public
{ Public declarations }
end;
var
Form2: TForm2;
implementation
{$R *.dfm}
procedure TForm2.Button1Click(Sender: TObject);
begin
Form2.Close;
end;
end.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Развитие навыков работы с табличным процессором Microsoft Excel и программным продуктом MathCAD и применение их для решения задач с помощью электронно-вычислительных машин. Схема алгоритма. Назначение функции Линейн и метода наименьших квадратов.
курсовая работа [340,4 K], добавлен 17.12.2014Обзор методов аппроксимации. Математическая постановка задачи аппроксимации функции. Приближенное представление заданной функции другими, более простыми функциями. Общая постановка задачи метода наименьших квадратов. Нахождение коэффициентов функции.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 16.02.2013Матричная форма записи системы линейных уравнений, последовательность ее решения методом исключений Гаусса. Алгоритмы прямого хода и запоминания коэффициентов. Решение задачи о сглаживании экспериментальных данных с помощью метода наименьших квадратов.
курсовая работа [610,7 K], добавлен 25.06.2012Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов. Линеаризация экспоненциальной зависимости. Элементы теории корреляции. Расчет коэффициентов аппроксимации, детерминированности в Microsoft Excel. Построение графиков функций, линии тренда.
курсовая работа [590,9 K], добавлен 10.04.2014Анализ методов идентификации, основанных на регрессионных процедурах с использованием метода наименьших квадратов. Построение прямой регрессии методом Асковица. Определение значения дисперсии адекватности и воспроизводимости, коэффициентов детерминации.
курсовая работа [549,8 K], добавлен 11.12.2012Определение зависимости одной физической величины от другой. Применение метода наименьших квадратов с помощью программного обеспечения Mathcad. Суть метода наименьших квадратов. Корреляционный анализ, интерпретация величины корреляционного момента.
курсовая работа [63,8 K], добавлен 30.10.2013Создание и реализация алгоритма решения транспортной задачи методом наименьших стоимостей. Схема алгоритма основной программы. Основные шаги алгоритма решения транспортной задачи. Инструкция по эксплуатации программы и обзор результатов ее выполнения.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 12.02.2013Построение аппроксимирующей зависимости методом наименьших квадратов. Расчет интеграла по Ричардсону. Последовательность действий при аппроксимации экспоненциальной зависимостью. Определение корня уравнения методом простых итераций и решение задачи Коши.
курсовая работа [550,5 K], добавлен 13.03.2013Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов. Линеаризация экспоненциальной зависимости. Элементы теории корреляции. Расчет аппроксимаций в табличном процессоре Excel. Описание программы на языке Turbo Pascal; анализ результатов ее работы.
курсовая работа [390,2 K], добавлен 02.01.2015Определение зависимости между экспериментальными данными при помощи аппроксимации, особенности решения поставленной задачи различными способами, проведение расчетов с помощью табличного процессора Microsoft Excel и среды программирования Turbo Pascal 7.0.
курсовая работа [765,0 K], добавлен 25.02.2012
