Параметрическая идентификация объекта методом наименьших квадратов

Размещено на http://allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

Задание на курсовое проектирование

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ В ВИДЕ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ

2. РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТА ДЕТЕРМИНАЦИИ

3. МЕТОД АСКОВИЦА

4. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ ПОЛУЧЕННОЙ МОДЕЛИ

5. ПРОВЕРКА ЗНАЧИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Заключение

Список литературы

1. По результатам эксперимента, представленных в таблице 1, определить модель системы в виде уравнения регрессии аналитически и в Excel

2. Рассчитать коэффициент детерминации аналитически и в Excel, сделать вывод о возможности использования модели для прогноза

3. Графически построить линию регрессии и показать результаты опытов (метод Асковица)

4. Провести проверку адекватности полученной модели

5. Провести проверку значимости коэффициентов

Жизненный цикл любой системы (объекта) состоит из этапов проектирования, производства и эксплуатации. Как на этапе создания, так и на этапе эксплуатации сложных автоматических и автоматизированных систем управления возникает необходимость определять текущие свойства этих систем. Свойства систем, в свою очередь, определяют их качество. К каждому из свойств предъявляются определенные требования, вытекающие из условий целевого применения системы или объекта. Несоответствие хотя бы одного из этих свойств установленным нормативной эксплуатационно-технической документацией требованиям свидетельствует о наличии в системе дефекта /1/.

Современные автоматические и автоматизированные системы представляют собой сложные системы, состоящие из большого числа отдельных подсистем, блоков, приборов и т.п. Эти отдельные компоненты объединены между собой сложной системой функциональных связей. Характерной чертой таких систем является наличие в их составе специализированных ЦВМ и комплексов, которые, будучи сами сложными подсистемами, требуют использования также достаточно сложных устройств синхронизации и сопряжения их с остальными элементами объекта. Все это еще больше усложняет системы, а, следовательно, и процессы их функционирования.

В государственных стандартах дефект определяется как любое несоответствие того или иного изделия или системы требованиям, установленным нормативно-технической документацией. При этом дефект интерпретируется как некоторый изъян (недостаток) системы, являющийся результатом либо ошибки при его конструкторской разработке и изготовлении, либо использования некачественных комплектующих материалов и элементов, либо отклонения технологического процесса изготовления от заданного, либо несоблюдения установленных правил эксплуатации и применения, либо различного рода повреждений из-за воздействия непредусмотренных дестабилизирующих факторов (температурных, радиационных, ударных, акустических, климатических и т.п.).

Дефекты приводят к появлению отказов в системах. В динамических системах отказы принято классифицировать по форме возникновения, по характеру проявления, по причине возникновения, по времени существования и т. п. Кроме того, отказы обычно делят на отказы, приводящие к изменению динамических свойств системы и отказы в каналах передачи информации.

Таким образом, прежде чем допустить изготовленную систему к использованию по назначению необходимо проверить тем или иным способом ее на соответствие установленным требованиям по всей совокупности рассматриваемых свойств. Такая проверка осуществляется путем сопоставления измеренных значений показателей свойств объекта с их заданными (расчетными) значениями. В процессе функционирования системы также необходимо периодически осуществлять такие проверки с тем, чтобы своевременно выявлять дефекты и принимать необходимые меры к их устранению ид уменьшению вредных последствий.

Совокупность подверженных изменению в процессе производства и эксплуатации свойств системы (объекта), характеризующих степень его функциональной пригодности в заданных условиях целевого применения, называют техническим состоянием системы. Определить техническое состояние - значит, выяснить, обладает ли система набором требуемых свойств, обеспечивающих пригодность ее к целевому применению и правильность выполнения ею своих функций непосредственно в процессе эксплуатации (целевого применения) и если не обладает, то по причине каш дефектов.

Процесс определения технического состояния системы называется техническим диагностированием. Основными целями диагностирования являются проверки исправности, работоспособности, правильности функционирования системы (объекта) и поиск отказов в них в случае отрицательного исхода какой-либо из названных проверок. Проверка исправности на этапе производства позволяет узнать, содержит ли созданный объект дефектные компоненты (детали, элементы, блоки, узлы), а их изготовление, обработка и монтаж ошибки. В процессе эксплуатации - условиях ремонта, проверка исправности позволяет убедиться, действительно ли устранены все имевшиеся в системе неисправности, а в условиях хранения - не возникли ли какие-либо неисправности за время хранения системы.

На этапе эксплуатации при проведении технического обслуживания систем, перед применением их по назначению или после такого применения необходимо убедиться в том, что система способна выполнять функции, предусмотренные его рабочим алгоритмом функционирования. Это проверка работоспособности системы. Проверка работоспособности обычно менее полная, чем проверка исправности, так как она может оставлять необнаруженными неисправности, не препятствующие применению объекта по назначению.

На этапе эксплуатации в процессе выполнения системой ее рабочею алгоритма функционирования возникает необходимость осуществлять проверку правильности функционирования системы, то есть следить за тем, не появились ли в системе неисправности, нарушающие ее нормальную работу в настоящий момент времени. Проверка правильности функционирования менее полна, чем проверка работоспособности, так как позволяет убеждаться только в том, что система правильно функционирует в данном режиме работы в данный момент времени. В правильно функционирующей системе могут быть неисправности, которые не позволяют ей правильно работать в других режимах.

Исправные и все неисправные состояния системы образуют множество ее технических состояний. Каждому из технических состояний системы соответствует определенная совокупность ее свойств, которая характеризуется соответствием (или несоответствием) качества системы определенным требованиям.

Показатели свойств объекта используются как признаки для определения технического состояния и поэтому называются диагностическими признаками. Ими могут быть различные параметры объекта (системы) или некоторые функции от них, включая выходные сигналы объектов (систем) или отдельных частей, блоков, приборов. Как правило, эти признаки имеют вполне конкретное количественное выражение, и их значения можно измерять и вычислять. Поэтому такие признаки называют количественными. Наряду с ними существуют и качественные признаки, которые можно различать с помощью органов чувств человека (шум, вибрации, запахи и т.п.). Обычно для большинства количественных признаков задается интервал, соотнесенный с определенным видом технического состояния системы. Если полученные в результате измерения значения признаков находятся внутри этого интервала, то соответствующее им наблюдаемое состояние системы следует отнести к данному виду технического состояния. Понятие «вид технического состояния» имеет в некотором смысле собирательное значение: к данному виду технического состояния системы относятся все ее реальные состояния, при которых наблюдаемые значения признаков не выходят за пределы установленных для них интервалов. Вид технического состояния - это подмножество таких состояний системы, о которых может быть принято одно и то же решение, согласованное с целью проводимого диагностирования. Обычно множество работоспособных и неработоспособных состояний системы разбивается на совокупность подмножеств, каждое из которых соответствует, например, определенному режиму нормальной работы системы, или неисправности какого-либо элемента (узла, блока) системы. Выбор тех или иных переменных в качестве диагностических признаков зависит от используемого способа диагностирования и условий его осуществления.

Обычно полные математические модели систем получают на этапе их создания, путем проведения значительной по объему теоретической проработки и экспериментальных исследований. В процессе нормального функционирования чаще всего модель не строят, а уточняют ее параметры, а иногда и структуру. Это сокращает время поиска дефектов.

Таким образом, априорная информация о системе, полученная на этапе проектирования, имеет важное значение при проведении идентификации для целей технического диагностирования. Чем больше объем информации, тем быстрее и точнее определяется техническое состояние системы.

Методы идентификации, основанные на регрессионных процедурах с использованием метода наименьших квадратов, применимы как к линейным, так и к нелинейным системам и облегчают проведение идентификации по нескольким входам одновременно. Более того, регрессионные методы позволяют осуществлять идентификацию в реальном масштабе времени, поскольку основаны на измерениях входных и выходных сигналов, которые можно получить как в процессе нормального функционирования системы (пассивный эксперимент), так и при испытаниях систем - проведении активного эксперимента. Основные требования к данному методу заключаются в том, что в течение периода, пока выполняются измерения, параметры идентифицируемого процесса (системы) принимаются стационарными или квазистационарными. Этот период должен быть не менее mТ, где Т - интервал измерения, a m - число идентифицируемых параметров /1/.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ В ВИДЕ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ

Моделью объекта идентификации в методе наименьших квадратов является уравнение регрессии:

.(1)

Необходимо провести параметрическую идентификацию, т.е. определить численное значение коэффициентов уравнения регрессии a0 и a1, которые находятся по формулам (2) и (3):

,(2)

.(3)

Для удобства обработки построим в Excel таблицу 2.

;

.

Более удобно вычислять значения коэффициентов с помощью формул (4) и (5):

,(4)

,(5)

;

.

Проверим вычисленные значения аналитически и в Excel.

В Excel, с помощью функции =ЛИНЕЙН(C2:C6;B2:B6), мы получили значение коэффициента a1= - 0,26, которое совпадает с аналитически вычисленным значением. Определение численного значения коэффициента уравнения регрессии a1 представлено на рисунке 1.

Рисунок 1 - Определение численного значения коэффициента уравнения регрессии a1

,(6)

;

;

,(7)

;

.

Очевидно, что расчеты выполнены правильно, следовательно модель системы в виде уравнения регрессии будет выглядеть следующим образом:

. (8)

Провели параметрическую идентификацию, т.е. определили численное значение коэффициентов уравнения регрессии и .

Провели проверку правильности выполнения расчетов аналитически и в Excel, которая показала, что коэффициенты найдены правильно. Таким образом, по результатам эксперимента определили модель системы в виде уравнения регрессии .

2. РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТА ДЕТЕРМИНАЦИИ

Анализ уравнения регрессии показывает, что это прямая линия. Если бы все экспериментальные точки лежали на данной линии, то выполнялось бы условие:

. (9)

,(10)

где - невязка.

Невязки могут возникать по двум причинам:

1. из-за ошибок эксперимента;

2. из-за негодности модели.

Воспользовавшись формулами (8) и (10), найдем невязки.

;

;

;

;

;

;

;

;

;

,(11)

Для проверки правильности выполнения расчета коэффициента детерминации используем функцию Excel =КОРРЕЛ(B2:B6;C2:C6). Коэффициент детерминации получился равным 0,99. Это значение совпадает со значением коэффициента детерминации, вычисленным аналитически. Расчет коэффициента детерминации представлен на рисунке 2.

,

,

,

,

.

Невязки могут возникать по двум причинам:

1. из-за ошибок эксперимента;

2. из-за негодности модели.

Для анализа общего качества уравнения регрессии мы использовали множественный коэффициент детерминации (квадрат коэффициента множественной корреляции), который получился .

Для проверки правильности выполнения расчета коэффициента детерминации использовали функцию Excel. Коэффициент детерминации получился равным 0,997. Это значение совпало со значением коэффициента детерминации, вычисленным аналитически.

Значение коэффициента детерминации близко к единице, следовательно, построенная модель объясняет почти всю изменчивость соответствующих переменных. Значит, модель можно использовать для прогноза.

3. МЕТОД АСКОВИЦА

В том случае, если интервал между входными переменными x одинаковый, можно избежать громоздких вычислений и построить прямую регрессии графически методом Асковица, который является точным графическим методом.

Для построения выполняется следующая методика:

1. соединяем первую и вторую точку прямой;

2. на данной прямой делаем соответствующую отметку, равную шага;

3. соединяем прямой отметку с третьей точкой;

4. проходим ещё шага;

5. делаем отметку на полученной прямой. И так до последней точки, которая будет находиться на прямой метода наименьших квадратов;

6. выполняем аналогичную процедуру с конечных точек, получаем вторую точку прямой метода наименьших квадратов.

Построили прямую регрессии графически методом Асковица, который является точным графическим методом. Прямая регрессии пересекает ось ординат в точке, равной 6, которая соответствует значению коэффициента а0. Это значение совпадает со значением коэффициента а0, вычисленным аналитически.

4. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ ПОЛУЧЕННОЙ МОДЕЛИ

Адекватность модели, т.е. степень ее соответствия объекту определяется по критерию Фишера. Для этого необходимо выполнить следующие вычисления:

2. Определяем степень свободы дисперсии адекватности, которая равна числу различных опытов, результаты которых используются при подсчете коэффициентов регрессии, минус число определяемых коэффициентов.

,(12)

.

,(13)

.

,(14)

.

5. Вычисляем дисперсию воспроизводимости по формуле (15):

,(15)

.

6. Для полученных дисперсий определяем величину F - критерия Фишера по формуле (16):

,(16)

.

7. По степеням свободы определяем табличное значение критерия Фишера при пятипроцентном уровне значимости, Fтабл=6,6.

Рассчитанное значение F < Fтабл, т.е. рассчитанное значение не превышает табличное и с соответствующей доверительной вероятностью, равной 0.05, полученную модель можно считать адекватной.

Провели проверку адекватности модели, т.е. степень ее соответствия объекту, которая определяется по критерию Фишера. Для этого сделаны необходимые вычисления:

1) расчет остаточной суммы квадратов;

2) определили степень свободы дисперсии адекватности, которая равна числу различных опытов, результаты которых используются при подсчете коэффициентов регрессии, минус число определяемых коэффициентов: ;

3) рассчитали значение дисперсии адекватности: ;

4) определили число степеней свободы дисперсии воспроизводимости: ;

5) вычислили дисперсию воспроизводимости: ;

6) для полученных дисперсий определили величину F - критерия Фишера:

;

7) по степеням свободы определили табличное значение критерия Фишера при пятипроцентном уровне значимости, Fтабл=6,6. Рассчитанное значение F < Fтабл, т.е. рассчитанное значение не превышает табличное и с соответствующей доверительной вероятностью, равной 0.05, полученную модель можно считать адекватной.

идентификация регрессионный дисперсия детерминация

5. ПРОВЕРКА ЗНАЧИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТОВ

1. проверка по t - критерию Стьюдента;

2. путем построения доверительного интервала.

При использовании полного факторного эксперимента доверительные интервалы для всех коэффициентов равны друг другу.

Алгоритм проверки значимости по t - критерию Стьюдента:

1. Определяется дисперсия воспроизводимости по формуле (15), .

2. Определяется дисперсия коэффициента регрессии по формуле (17):

,(17)

.

3. Определяется доверительный интервал

,(18)

где t - табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы, с которой определялась дисперсия воспроизводимости, и выбранным уровнем значимости, равным 0,05;

- средне квадратичная ошибка регрессии.

При числе степеней свободы табличное значение критерия Стьюдента при выбранном уровне значимости, равном 0,05, равно t=2,776.

.

, следовательно, a0 - значимый коэффициент.

, следовательно, a1 - незначимый коэффициент.

Второй способ основывается на следующем выражении:

,(19)

,

.

, следовательно, a0 - значимый коэффициент.

, следовательно, a1 - незначимый коэффициент.

Результаты двух методов совпадают, следовательно, расчеты были выполнены правильно.

Провели проверку значимости каждого коэффициента двумя равноценными способами:

1. проверка по t - критерию Стьюдента;

2. путем построения доверительного интервала.

Провели проверку значимости по t - критерию Стьюдента:

1. Определили дисперсию воспроизводимости: ;

2. Определили дисперсию коэффициента регрессии ;

3. Определили доверительный интервал. При числе степеней свободы табличное значение критерия Стьюдента при выбранном уровне значимости, равном 0,05, равно t=2,776. Доверительный интервал .

, a0 - значимый коэффициент.

, a1 - незначимый коэффициент.

Провели проверку вторым способом:

,

.

, a0 - значимый коэффициент.

, a1 - незначимый коэффициент.

Результаты двух методов совпадают, следовательно, расчеты были выполнены правильно.

В ходе выполнения курсовой работы была выполнена параметрическая идентификация объекта методом наименьших квадратов.

Провели параметрическую идентификацию, т.е. определили численное значение коэффициентов уравнения регрессии и .

Провели проверку правильности выполнения расчетов аналитически и в Excel, которая показала, что коэффициенты найдены правильно. Таким образом, по результатам эксперимента определили модель системы в виде уравнения регрессии .

Определили невязки: , , , , .

Невязки могут возникать по двум причинам:

1. из-за ошибок эксперимента;

2. из-за негодности модели.

Для анализа общего качества уравнения регрессии мы использовали множественный коэффициент детерминации (квадрат коэффициента множественной корреляции), который получился .

Для проверки правильности выполнения расчета коэффициента детерминации использовали функцию Excel. Коэффициент детерминации получился равным 0,997. Это значение совпало со значением коэффициента детерминации, вычисленным аналитически.

Значение коэффициента детерминации близко к единице, следовательно, построенная модель объясняет почти всю изменчивость соответствующих переменных. Значит, модель можно использовать для прогноза.

Построили прямую регрессии графически методом Асковица, который является точным графическим методом. Прямая регрессии пересекает ось ординат в точке, равной 6, которая соответствует значению коэффициента а0. Это значение совпадает со значением коэффициента а0, вычисленным аналитически.

2) определили степень свободы дисперсии адекватности, которая равна числу различных опытов, результаты которых используются при подсчете коэффициентов регрессии, минус число определяемых коэффициентов: ;

3) рассчитали значение дисперсии адекватности: ;

4) определили число степеней свободы дисперсии воспроизводимости: ;

5) вычислили дисперсию воспроизводимости: ;

6) для полученных дисперсий определили величину F - критерия Фишера:

;

7) по степеням свободы определили табличное значение критерия Фишера при пятипроцентном уровне значимости, Fтабл=6,6. Рассчитанное значение F < Fтабл, т.е. рассчитанное значение не превышает табличное и с соответствующей доверительной вероятностью, равной 0.05, полученную модель можно считать адекватной.

Провели проверку значимости каждого коэффициента двумя равноценными способами:

3. проверка по t - критерию Стьюдента;

4. путем построения доверительного интервала.

Провели проверку значимости по t - критерию Стьюдента:

4. Определили дисперсию воспроизводимости: ;

5. Определили дисперсию коэффициента регрессии ;

6. Определили доверительный интервал. При числе степеней свободы табличное значение критерия Стьюдента при выбранном уровне значимости, равном 0,05, равно t=2,776. Доверительный интервал .

, a0 - значимый коэффициент.

, a1 - незначимый коэффициент.

Провели проверку вторым способом: , .

, a0 - значимый коэффициент.

, a1 - незначимый коэффициент.

Результаты двух методов совпадают, следовательно, расчеты были выполнены правильно.

Поставленные задачи на курсовую работу были выполнены. Закрепили полученные знания, навыки и применили их в расчётах.

1. Попов В.Н. Идентификация и диагностика систем. Учебник. - М.: МГТУ «МАМИ», 2007. - 304с.

2. Алексеев А.А., Кораблев Ю.А., Шестопалов М.Ю. Идентификация и диагностика систем. Учебник. - М.: Академия, 2009. - 352с.