Численные методы решения задач

Построение аппроксимирующей зависимости методом наименьших квадратов. Расчет интеграла по Ричардсону. Последовательность действий при аппроксимации экспоненциальной зависимостью. Определение корня уравнения методом простых итераций и решение задачи Коши.

Рубрика Программирование, компьютеры и кибернетика
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 13.03.2013
Размер файла 550,5 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО АГРАРНОЙ ПОЛИТИКИ И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ УКРАИНЫ

Государственное агентство рыбного хозяйства Украины

КЕРЧЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

Курсовая работа

по дисциплине

"Вычислительная техника и программирование"

Тема: Численные методы решения задач

Керчь, 2013 г.

Задача 1

Вычислить определенный интеграл

,

где g(x) - функция, полученная методом наименьших квадратов по заданной совокупности экспериментальных данных.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 1

1. По заданным экспериментальным данным построить методом наименьших квадратов аппроксимирующую зависимость .

2. Построить график функции g(x) с нанесенными на нем точками экспериментальных данных.

3. Построить график функции F(g(x),x) на интервале [a, b] с шагом (b-a)/20.

4. Вычислить интеграл методом средних прямоугольников для 20 разбиений и методом трапеций для 10 и 20 разбиений. По значениям, полученным методом трапеций, получить уточнение интеграла по методу Ричардсона и считать его решением всей задачи.

5. Считая значение, полученное методом Ричардсона, точным, определить погрешности значений, полученных методами средних прямоугольников и трапеций.

Исходные данные

x

2,00

2,00

2,00

2,40

2,80

2,80

3,20

3,20

3,60

4,00

g(x)

1,544

1,171

0,911

1,544

0,588

0,540

1,021

0,580

0,789

0,740

4,40

4,40

4,40

4,80

4,80

5,20

5,20

5,20

5,60

6,00

1,071

1,100

0,727

0,677

0,348

0,579

0,478

0,746

0,592

0,725

Аналитический вид функции

РЕШЕНИЕ

1. Строим аппроксимирующую зависимость методом наименьших квадратов.

Последовательность действий при аппроксимации экспоненциальной зависимостью выглядит так:

- вычисление логарифмов значений аппроксимируемой функции

- вычисление коэффициентов а и b по формулам ;

- вычисление коэффициентов с и d по формулам и ;

- вычисление значений g(x) по формуле .

Решаем эту задачу табличным способом в электронных таблицах Excel.

Задание 1.1

При составлении расчетной таблицы был использован метод лианеризации. При этом обе части аппроксимируемой зависимости были подвергнуты процедуре логарифмирования.

Теперь рассчитываем коэффициенты уравнения по формулам:

Поэтому в соответствующие столбцы вводим формулы:

=A3^2 - для определения квадрата значения х.

=LN(B3) - для определения логарифма функции g(х).

=A3*D3 - для определения .

=СРЗНАЧ(A3:A22) - среднее значение х.

=СРЗНАЧ(B3:B22) - среднее значение g(х).

=СРЗНАЧ(D3:D22) - среднее значение логарифма функции g(х).

Теперь можно посчитать по соответствующей формуле d.

=(A24*D24-E24)/(A24^2-C24)

А затем определить значение с: =EXP(D24-E26*A24).

Аналитический вид функции g(х) имеет вид .

Теперь подсчитываем эмпирический ряд значений функции g(х) и вектор ошибок, возведенных в квадрат =(F3-B3)^2.

2. Строим график функции g(x) с нанесенными на нем точками экспериментальных данных.

3. Строим график функции F(g(x),x) на интервале [a; b], т.е. [1; 7].

x

1,00

1,30

1,60

1,90

2,20

2,50

2,80

3,10

3,40

3,70

F(x)

1,511

1,589

1,635

1,664

1,681

1,692

1,698

1,701

1,701

1,700

4,00

4,30

4,60

4,90

5,20

5,50

5,80

6,10

6,40

6,70

7,00

1,698

1,695

1,692

1,688

1,683

1,679

1,674

1,670

1,665

1,661

1,657

2. Вычисляем интеграл различными методами.

Делаем соответствующие расчеты в электронных таблицах Excel.

Задание 1.4

При определении интеграла функции указанный участок следует разделить на 20 интервалов. Тогда шаг интегрирования будет составлять (7-1)/20=0,3.

1. Составляем ряд расчетных значений подынтегральной функции, используя формулу

=$A$2*EXP($B$2*A33)/3+ATAN(2*A33)

2. Рассчитываем сумму по методу левых прямоугольников

3. Рассчитываем сумму по методу правых прямоугольников

4. Рассчитываем сумму по методу средних прямоугольников

5. Переходим к методу трапеций. Здесь рассматриваем два варианта: с разбиением на 10 и на 20 интервалов.

6. Основные формулы для табличного счета имеют вид:

=$A$2*EXP($B$2*A33)/3+ATAN(2*A33) - расчет

=$A$2*EXP($B$2*D33)/3+ATAN(2*D33) - формула расчета функции для средних прямоугольников.

=$A$2*EXP($B$2*G33)/3+ATAN(2*G33) - формула для расчета функции для метода трапеций для 10 интервалов разбиения.

=$A$2*EXP($B$2*I33)/3+ATAN(2*I33) - формула для расчета функции для метода трапеций для 20 интервалов разбиения.

аппроксимирующий зависимость интеграл итерация

Уточнение по Ричардсону - это по сути экстраполяционный подход к пределу. Здесь следует рассчитывать значение функции по специальным формулам.

Рассчитываем более точно значение интеграла по методу Ричардсона. В соответствии с расчетами по методу трапеций имеем:

1. при разбиении участка интегрирования с h = 0,2 значение интегральной суммы (St1);

2. при разбиении участка интегрирования с k = 0,1 значение интегральной суммы (St2);

3. формулу для расчета метода трапеций , где

Вычисляем значение С:

Теперь можно получить более точное значение интеграла.

J = 10,02769 - 0,0284333 * 0,6 = 10,037925

J=

10,03792

Ошибка метода

Sл=

10,01349

Rл=

0,0244377

Sп=

10,05724

Rп=

0,0193197

Sc=

10,03929

Rc=

0,0013615

Sт1=

10,02769

Rт1=

0,010236

Sт2=

10,03537

Rт2=

0,002559

Sp=

10,03792

Rp=

0

Анализ вышеуказанной таблицы указывает, что наименьшим отклонением от истинного значения для рассматриваемой функции является метод средних квадратов. Метод трапеций дает несколько худший результат, но предположительно, что с уменьшением шага интегрирования может измениться и результат расчетов.

Задача 2

Методом простых итераций определить корень уравнения

,

где y(x) - решение задачи Коши

.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 2

1. Решить на интервале [xn, xk] с разбиением его на 20 частей обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка при начальных условиях методом Эйлера и методом Рунге-Кутта 4-го порядка.

2. Построить графики найденных решений.

3. Из таблицы значений y(x), найденной для метода Рунге-Кутта 4-го порядка, для точки пересечения графика с осью абсцисс выбрать 4 последовательные точки, ближайшие к ней и расположенные по обе стороны от нее.

4. По выбранным четырем точкам построить интерполяционный полином Ньютона P3(x) 3-го порядка.

5. Методом простых итераций с точностью =0,001 найти корень уравнения P3(x)=0 и рассматривать его как приближенное решение основной задачи работы.

Исходные данные

1. Преобразуем дифференциальное уравнение

2. Решаем дифференциальное уравнение указанными методами.

Результаты решения задачи показаны в таблице.

Задание 2.1

Решаем задачу по методу Эйлера с использованием формулы: . При решении задачи методом Эйлера используется следующий алгоритм: очередной аргумент ищется, как приращение по функции относительно предшествующего значения: =B7+$B$4*(SIN(A7)-B7/A7). Дальнейшие формулы имеют вид:

Усоверш. Метод Эйлера -

=C7+$B$4/2*((SIN(A7)-C7/A7)+(SIN(A8)-(C7+$B$4*(SIN(A7)-C7/A7))/A8))

Модиф. Метод Эйлера -

=D7+$B$4*(SIN(A7+$B$4/2)-(C7+$B$4/2*(SIN(A7)-C7/A7))/(A7+$B$4/2))

В методе Рунге-Кутта используется следующая формула:

здесь коэффициенты вычисляются по следующим формулам:

К0 - =$B$4*(SIN(A7)-I7/A7).

К1 - =$B$4*(SIN(A7+$B$4/2)-(I7+E8/2)/(A7+$B$4/2))

К2 - =$B$4*(SIN(A7+$B$4/2)-(I7+F8/2)/(A7+$B$4/2))

К3 - =$B$4*(SIN(A7+$B$4)-(I7+G8)/(A7+$B$4))

Итоговая формула имеет вид =I7+(E8+2*F8+2*G8+H8)/6.

3. Строим графики найденных решений.

4. Выбираем из таблицы 4 последовательных точки y(x).

2,095

-0,08452

2,18

-0,01094

2,265

0,05574

2,35

0,11551

5. По выбранным четырем точкам строим интерполяционный полином Ньютона.

x

f(x)

2,095

-0,08452

-0,08452

A0

2,18

-0,01094

0,86560

0,86560

A1

2,265

0,05574

0,82508

0,82508

0,82508

A2

2,35

0,11551

0,78445

0,78445

0,78445

0,78445

A3

6. Находим корни уравнения P3(x)=0 с точностью =0,001.

Получен полином следующего вида:

Подставляем значения х из таблицы и получаем:

После преобразования получаем:

Найдем корень этого уравнения на интервале [2,095; 2,35] методом простых итераций. Для этого продифференцируем найденное уравнение:

Условием сходимости метода простых итераций является выполнение в окрестности искомого корня неравенства .

Проверяем это условие:

Для поиска корня методом простых итераций преобразуем найденный полином к виду . Поэтому выполняем следующие преобразования:

Продифференцируем функцию :

Из условия сходимости метода следует:

Так как в левой части стоит модуль, то оно распадается на два неравенства:

Из первого неравенства следует, что С<0.

Преобразуем второе неравенство: . Подставляем в это выражение значения х, равное границам интервала определения корней (2,095 и 2,35). Соответственно получаем: С> -2,5 и С>-1,6. Выбираем большее из этих двух значений и окончательно получаем:

-1,6 < C < 0.

Выбираем значение С из этого интервала: С = - 1

Производим подсчет методом простых итераций.

X

p(x)

R

2,10

2,17952

0,08452

2,17952

2,19091

0,01139

2,19091

2,191608

0,000698

2,19161

2,191643

3,56E-05

Корень уравнения соответственно равен 2,19161.

Литература

1. Ершов М.Н. Численные методы решения задач / Конспект лекций. - Керчь: КМТИ, 2002. - 58с.

2. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. - 512с.

3. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. - Томск: МП "РАСКО", 1991ю - 272с.

4. Дженкинс Р. и др. Excel 97. Руководство пользователю. - С-Пб.: Феникс, 1999. - 1024с.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.