Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцина»

Физико-технологический институт

Кафедра «Вычислительной техники»

Контрольная работа

«Численные методы решения инженерных задач на ЭВМ»

Студент Маньшина А.С.

Преподаватель Токмаков В.Н.

Екатеринбург 2014

Оглавление

• Задание
• Построение графика заданной функции
• Поиск корней уравнения методом половинного деления
• Определение минимума функции методом перебора
• Вычисление определенного интеграла на заданном отрезке с использованием метода правых прямоугольников
• Список использованной литературы
• Задание

Дана функция вида .

Используя численные методы, необходимо:

1) Построить график функции.

2) Определить корни данного уравнения методом половинного деления.

3) Определить минимальное значение функции и соответствующее значение аргумента.

4) Вычислить значение определенного интеграла методом правых прямоугольников.

Построение графика заданной функции

Построим график функции в программе Microsoft Excel ®. Для этого зададим в табличном виде значения аргумента на отрезке [-2; 4] и соответствующие им значения функции

Значение аргумента x	Значение функции f(x)		Значение аргумента x	Значение функции f(x)
-2,0	13,77811		1,1	-3,12426
-1,9	11,98179		1,2	-2,95761
-1,8	10,33929		1,3	-2,76494
-1,7	8,83789		1,4	-2,54681
-1,6	7,46606		1,5	-2,30374
-1,5	6,21338		1,6	-2,03621
-1,4	5,07040		1,7	-1,74463
-1,3	4,02859		1,8	-1,42940
-1,2	3,08023		1,9	-1,09086
-1,1	2,21833		2,0	-0,72933
-1,0	1,43656		2,1	-0,34509
-0,9	0,72921		2,2	0,06161
-0,8	0,09108		2,3	0,49052
-0,7	-0,48249		2,4	0,94144
-0,6	-0,99576		2,5	1,41417
-0,5	-1,45256		2,6	1,90855
-0,4	-1,85635		2,7	2,42441
-0,3	-2,21028		2,8	2,96162
-0,2	-2,51719		2,9	3,52005
-0,1	-2,77966		3,0	4,09957
0,0	-3,00000		3,1	4,70010
0,1	-3,18033		3,2	5,32152
0,2	-3,32254		3,3	5,96377
0,3	-3,42836		3,4	6,62675
0,4	-3,49936		3,5	7,31039
0,5	-3,53694		3,6	8,01465
0,6	-3,54238		3,7	8,73945
0,7	-3,51683		3,8	9,48474
0,8	-3,46134		3,9	10,25048
0,9	-3,37686		4,0	11,03663
1,0	-3,26424

Построим на основании полученных табличных данных график исследуемой функции.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Из полученного графика видно, что уравнение имеет 2 корня: один отрицательный со значением около -0,8, второй - положительный, со значением около 2,2. Минимальное значение функция принимает при .

Поиск корней уравнения методом половинного деления

Зададимся интервалом , на котором будем искать корень уравнения . Очевидно, что признаком наличия на данном интервале корня уравнения есть смена знака значения функции на границах отрезка, или . Требуется найти с заданной точностью eps корень этой функции. Выберем середину отрезка . Если в середине функция имеет тот же знак, что и слева, то примем середину отрезка за новую левую границу, в противном случае - за правую. Повторяем так до тех пор, пока отрезок не станет меньше eps.

Program Dihotomy;

UsesCRT;

ConstMaxStep=300;

Vara,b,c,eps:Real;

st:Integer;

Function fx (x:Real): Real;

Begin

fx:=sqr(x)+2*exp(-x)-5

End;

BEGIN

ClrScr;

Writeln ('Нахождение корней функции методом половинного деления');

Repeat

Begin

Write ('Введите границы отрезка a, b: ');

Readln (a,b);

If fx(a)*fx(b)>0 Then

Writeln ('На данном отрезке корней нет или их несколько. Попробуйте другие значения')

End

Until fx(a)*fx(b)<0;

Write ('Введите требуемую точность eps: ');

Readln (eps);

st:=0;

While (abs(b-a)>eps) and (st<MaxStep) Do

Begin

st:=st+1;

c:=(a+b)/2;

If fx(a)*fx(c)<0

Then b:=c

Else a:=c;

End;

If st>MaxStep

Then Writeln ('Отсутствие сходимости. Уточните промежуток')

Else Writeln ('Корень уравнения = ',c:10:6);

END.

Входные данные a = 0, b =3, eps = 0.000001

Выходные данные Корень уравнения = 2.185197

Определение минимума функции методом перебора

Разобьем отрезок на отрезков длиной и вычислим значение функции на границах получившихся отрезков. Минимальное среди вычисленных значений и есть искомый минимум функции на данном отрезке.

Программный код на Turbo Pascal имеет вид

Program Perebor;

Uses CRT;

Vara,b,h,min,f,xm: Real;

n,i: Integer;

Function fx (x:Real): Real;

Begin

fx:=sqr(x)+2*exp(-x)-5

End;

BEGIN

ClrScr;

Writeln ('Поиск минимума методом перебора');

Write ('Введите границы отрезка a, b: ');

Readln (a,b);

Write ('Введите количество участков разбиения : ');

Readln (n);

h:=(b-a)/n;

xm:=a; min:=fx(a);

i:=1;

While i<=n Do

Begin

f:=fx(a+i*h);

If f<min

Then

Begin

xm:=a+i*h;

min:=f;

End;

i:=i+1

End;

Writeln ('Минимальное значение при x = ',xm:5:2,' равно = ',min:10:5);

Readln;

END.

Пример

Входные данные

a = -1, b =3, n = 10000

Выходные данные

Минимальное значение при x = 0.5672 равно = -3.54406

Вычисление определенного интеграла на заданном отрезке с использованием метода правых прямоугольников

В случае если функция положительна на некотором отрезке , то значение определенного интеграла этой функции на данном отрезке численно равно площади фигуры, ограниченной сверху графиком функции, а снизу - осью координат . Разбив отрезок на отрезков длиной , вычислим площадь фигуры как сумму площадей прямоугольников с основанием и высотой, равной значению функции в правой границе прямоугольника.

функция интеграл половинный деление



Программа на языке программирования Turbo Pascal имеет вид:

Program RightSquares;

UsesCRT;

Vara,b,h,s:Real;

n,i:Integer;

Function fx (x:Real): Real;

Begin

fx:=sqr(x)+2*exp(-x)-5

End;

BEGIN

ClrScr;

Writeln ('Вычисление интеграла методом правых прямоугольников');

Repeat

Begin

Write ('Введите границы отрезка a, b: ');

Readln (a,b);

If fx(a)*fx(b)<0 Then

Writeln ('На данном отрезке вычислить интеграл данным методом невозможно')

End

Until fx(a)*fx(b)>0;

Write ('Введите количество участков разбиения : ');

Readln (n);

h:=(b-a)/n;

i:=1;

s:=0;

While i<=n Do

Begin

s:=s+h*fx(a+i*h);

i:=i+1

End;

Writeln ('Значение интеграла на отрезке [',a:5:2,',',b:5:2,'] = ',s:10:5);

Readln;

END.

Пример

Входные данные

a = 2.4, b =4, n = 100

Выходные данные

Значение интеграла на отрезке [ 2.40, 4.00] = 8.95097

Список использованной литературы

1. Учимся программировать: Pascal 7.0, 2-е издание. А.И. Гусева, 1998

2. Основы программирования. И.Г. Семакин, А.П. Шестаков, 2001

3. Введение в язык ПАСКАЛЬ. В.Г. Абрамов, Н.П. Трифонов, Г.Н. Трифонова, 1998

Размещено на Allbest.ru