В данной курсовой работе ставится вопрос оптимизации для параметра a, который сводится к решению нелинейного уравнения и вычислению интеграла с помощью численных методов, поэтому зададимся точностью E=.

Чтобы найти оптимальное значение параметра a, для начала, нам необходимо вычислить интеграл P(a)=, где x1 и x2- пределы интегрирования, равные соответственно 0 и a+2b, а подынтегральная функция y(x)= . Данный интеграл мы вычислим с помощью метода численного интегрирования. Далее, с помощью численных методов, нужно решить нелинейное уравнение: P(a)-0.95=0. Вычисления будем проводить до тех пор, пока не достигнем заданной точности.

Последовательность решения задачи показана ниже в виде укрупнённой схемы алгоритма.

Укрупненная блок схема:

Выбор и обоснование используемых методов

Для решения нелинейного уравнения будем использовать метод половинного деления, поскольку другие методы решения нелинейного уравнения в нашем случае будут очень трудоемкими, в то время как метод половинного деления не требует вычисления производной и относительного прост в реализации. Для вычисления значения определенного интеграла будем использовать метод Симпсона, поскольку подынтегральное выражение включает в себя нелинейную функцию. Чтобы достичь заданной точности при вычислении определенного интеграла будем использовать метод двойного просчёта.

численный интегрирование нелинейный уравнение

Метод половинного деления

Пусть корень уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a;b], то есть на этом отрезке имеется единственный корень, а функция на данном отрезке непрерывна.

С помощью метода половинного деления получим последовательность вложенных друг в друга отрезков [a_1;b₁], [a₂;b₂], …,[a_i;b_i],…, [a_n;b_n], таких что f(a_i).f(b_i) 0, где i=1,2,…,n, а длина каждого последующего отрезка вдвое меньше длины предыдущего

Последовательное сужение отрезка вокруг неизвестного значения корня обеспечивает выполнение на некотором шаге n неравенства b - a . С точностью любое может быть принято за приближенное значение корня, например его середину отрезка С помощью следующей формулы можно оценить требуемое число шагов , что мы и сделаем в самом конце, сравнив с результатом на ПК.

Определение отрезка неопределенности для метода половинного деления

Для решения задачи оптимизации необходимо заранее определить интервал значений, в котором будет находиться параметр a. Для этого используем математический пакет прикладных программ - MathCad.

Следуя из вычислений в MathCad, зададим для параметра a интервал значений: a€

Проверка сходимости метода половинного деления

Для сходимости метода, необходимо чтобы на выбранном отрезке был отделен один корень. Если на отрезке [a;b] выполняется условие z(a)*z(b)<0 и z '(x) сохраняет знак, то на отрезке отделен один корень.

Все вышеперечисленные условия соблюдаются для нашей функции, а значит применение метода половинного деления справедливо.

Метод Симпсона

Для получения формулы Симпсона применяется квадратичный интерполирующий полином, следовательно, за элементарный интервал интегрирования принимается отрезок [x_i;x_i+2]. Поэтому разобьем интервал интегрирования [a;b] на n отрезков, где n=2m - четное число.

Для всего интервала интегрирования [a;b] формула Симпсона выглядит следующим образом:

Метод двойного просчёта

Уменьшение шага интегрирования (h) приводит к уменьшению погрешности. При реализации численных методов на ПК будем использовать метод двойного просчёта, позволяющий получить оценку погрешности в неявном виде. Этот прием основан на двукратном вычислении значения интеграла вначале с шагом h (где h=(b-a)/n), а затем с шагом h/2. Полученные значения интегралов I_h и I_h/2 могут быть применены для оценки погрешности интегрирования по формуле:

где: k=4 - для формулы Симпсона.

Проверка непрерывности подынтегральной функции для применения метода Симпсона с использованием метода двойного просчёта

Интеграл функции y(x) в пределах от x1 до x2 существует и может быть вычислен методом Симпсона с использованием метода двойного просчёта, если функция y(x) непрерывна на отрезке [x1;x2] и дифференцируема на нём. Проверим эти условия для нашей функции. В нашем случае в функцию входит экспонента (exp), следовательно, подынтегральная функция будет непрерывна и дифференцируема.

Все вышеперечисленные условия соблюдаются для нашей подынтегральной функции, а значит применение метода Симпсона с использованием метода двойного просчёта справедливо.

Тестирование процедур, реализующих численные методы

Метод половинного деления.

Для проверки правильности процедуры, реализующей метод половинного деления, найдем корень функции y(x)=sin(x) на отрезке [-1;1]. Единственный корень уравнения равен нулю.

Найдем корень уравнения с использованием средств пакета MathCad

Ниже приведены схема тестируемой процедуры, код программы и результаты её выполнения.

Схема алгоритма: метод половинного деления

Код программы

Option Strict On

Option Explicit On

Imports System.Math

Public Class Form1

'Процедура ввода данных

Sub vvod(ByRef a As Single, ByRef b As Single, ByRef Eps As Single)

a = CSng(TextBox1.Text) 'Левая граница отрезка неопределенности

b = CSng(TextBox2.Text) 'Правая граница отрезка неопределенности

Eps = CSng(TextBox3.Text) ' Заданная точность

End Sub

'Процедура вывода данных

Sub vivod(ByVal n As Integer, ByVal c As Single)

TextBox4.Text = CStr(n) 'Выводим кол-во итераций

TextBox5.Text = CStr(Format(c, "0.000")) 'Выводим значение корня НУ

TextBox6.Text = CStr(Format(f(c), "0.000")) 'Выводим значение функции для этого корня

End Sub

'Функция f(x)

Function f(ByVal x As Single) As Single

Dim f1 As Single

f1 = CSng(Sin(x))

Return f1

End Function

'Процедура решения НУ методом половинного деления

Sub Poldel(ByVal a As Single, ByVal b As Single, ByVal Eps As Single, ByRef n As Integer,ByRef c As Single)

Do

c = (a + b) / 2 'Вычисление точки середины отрезка [a;b]

n = n + 1 'Счётчик

If f(c) * f(b) < 0 Then

a = c

Else

b = c

End If

ListBox1.Items.Add(n)

ListBox2.Items.Add(a)

ListBox3.Items.Add(b) 'Вывод промежуточных результатов

ListBox4.Items.Add(f(a))

ListBox5.Items.Add(f(b))

Loop Until Abs(b - a) <= Eps Or f(c) = 0

End Sub

Private Sub Button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button1.Click

Dim a, b, Eps, c As Single

Dim n As Integer

vvod(a, b, Eps)

Poldel(a, b, Eps, n, c) 'Обращение к процедурам

vivod(n, c)

End Sub

Private Sub Button2_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button2.Click

End

End Sub

End Class

Результаты программы

Данные теста совпали с результатами выполнения, следовательно, процедура, реализующая метод половинного деления, работает правильно.

Метод Симпсона

Для проверки правильности процедуры, реализующей метод Симпсона, в качестве теста используем функцию f(x) = x⁴, границы интегрирования [0;1].

Произведя несложный расчет, можно определить, что значение интеграла будет равно 0,2.

Проведем проверку правильности расчета с использованием средств пакета MathCad:

Ниже приведены схема тестируемой процедуры, код программы и результаты её выполнения.

Схема алгоритма: метод Симпсона

Код программы

Option Strict On

Option Explicit On

Imports System.Math

Public Class Form1

'Процедура ввода данных

Sub vvod(ByRef x1 As Single, ByRef x2 As Single, ByRef Eps As Single)

x1 = CSng(TextBox1.Text)

x2 = CSng((TextBox2.Text))

Eps = CSng((TextBox3.Text))

End Sub

'Процедура вывода значений

Sub vivod(ByVal h As Single, ByVal n As Integer, ByRef S As Single, ByVal Eps As Single)

TextBox4.Text = CStr(h)

TextBox5.Text = CStr(n)

TextBox6.Text = CStr(S)

TextBox7.Text = CStr(Eps)

End Sub

'Функция f

Function f(ByVal X As Single) As Single

Dim func As Single

func = CSng(X ^ 4)

Return func

End Function

'Процедура решения интеграла методом Симпсона

Sub main(ByRef x1 As Single, ByRef x2 As Single, ByRef h As Single, ByRef n As Integer, _

ByRef S As Single, ByVal Eps As Single)

Dim s1, c, x As Single

Dim k As Integer

n = 2 'начальное число участков разбиения интервала интегрирования

h = (x2 - x1) / n

S = (f(x1) + 4 * f((x1 + x2) / 2) + f(x2)) * (h / 3)'значение интеграла

Do

n = 2 * n 'число участков разбиения интервала интегрирования

h = (x2 - x1) / n 'вычисление шага

s1 = S

c = 4

x = x1

S = f(x1) + f(x2)

For k = 0 To n - 1

x = x + h

S = S + c * f(x)

c = 6 - c

Next

S = S * h / 3

ListBox1.Items.Add(h)

ListBox2.Items.Add(n)

ListBox3.Items.Add(s1)

ListBox4.Items.Add(S)

Loop Until Abs(S - s1) / 15 < Eps 'Итеративный цикл выполняется до тех пор пока это условие ложно

End Sub

Private Sub Button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button1.Click

Dim x1, x2, Eps, h, S As Single

Dim n As Integer

vvod(x1, x2, Eps)

main(x1, x2, h, n, S, Eps) ' Обращение к процедурам

vivod(h, n, S, Eps)

End Sub

Private Sub Button2_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button2.Click

End

End Sub

End Class

Результаты программы

Данные теста совпали с результатами выполнения, следовательно, процедура, реализующая метод Симпсона с использованием метода двойного просчёта, работает правильно.

Детализированная схема алгоритма решения задачи в целом

1. Главная процедура

2. Процедура ввода исходных данных

3. Процедура вывода исходных данных

4. Процедура - функция (подынтегральная функция)

5. Процедура-функция main (вычисление интеграла)

6. Процедура Poldel (решение НУ)

Код программы