Система Mathcad

Если строится графики нескольких функций в одном шаблоне, то имена функций следует разделить запятыми.

График линий уровня. Линией уровня функции двух переменных X, Y называется геометрическое место точек в плоскости xOy, в которых функция принимает одно и то же значение. Линии уровня функции z = f(x,y) определяются уравнением f(x,y) = c, где с = const.



Показ цифр на графике можно включить вкладки окна форматирования трехмерного графика.

Векторное поле.

График векторного поля несколько отличается от остальных типов двухмерных графиков. Его смысл заключается в построении некоторого вектора в каждой точке плоскости XY. Чтобы задать вектор на плоскости, требуется два скалярных числа. Поэтому в MathCAD принято, что векторное поле задает комплексная матрица. Действительные части каждого ее элемента определяют проекцию вектора на ось X, а мнимые - на ось У.

Можно матрицу набрать вручную. А можно ее представить и как векторную функцию.



График параметрически заданной поверхности и график параметрически заданной кривой.

Для параметрического задания поверхности требуется три функции двух переменных. Каждая из этих функций задает одну из координат точек поверхности. Эти три функции нужно ввести в поле ввода трехмерного графика через запятую. Но для того, чтобы они воспринимались как одна поверхность, их нужно взять в скобки. Диапазон изменения параметрических переменных, так же как и в случае простого графика поверхности, можно изменить с помощью полей вкладки в окне форматирования трехмерного графика.

Кроме параметрической поверхности, можно также изобразить на трехмерном графике параметрическую кривую. Для этой цели подойдет трехмерный график типа Scatter Plot (точечный график). Параметрическая кривая в пространстве задается тремя функциями одной переменной. Для того чтобы получить приведенный выше график, на вкладке окна форматирования графика в группе Range был установлен диапазон изменения параметрической переменной от 0 (поле ввода Start) до 20 (поле End) и количество точек - 50.

Остальные типы графиков (точечные, гистограмма) пояснений не требуют.

Форматирование трехмерных графиков.

MathCAD представляет очень богатые возможности для форматирования трехмерных

графиков. Для вызова диалогового окна форматирования трехмерного графика достаточно по полю графика сделать двойной щелчок мышью. В этом окне доступно большое количество параметров, изменение которых способно очень сильно повлиять на внешний вид графика. Они сгруппированы по принципу действия на нескольких вкладках.



Вкладка позволяет изменить тип графика (поле Plot), ориентацию графика в пространстве (Rotation - вращение, Tilt - наклон, Twist - поворот, Zoom - масштаб), менять стиль осей (Perimeter - периметр, Corner - углом, None - оси отсутствуют), можно задать изображение куба (флажок Show Box).

Вкладка содержит три вложенных вкладки , в которых задаются параметры для каждой из трех координатных осей.

Вкладка (Внешний вид) задает стиль заливки и стиль линий. При выборе переключателя (заливка поверхности) из группы (опции заливки) вы получите доступ к опциям цвета (в группе ). Если выбрать переключатель (одни цвет), то выполняется однотипная заливка поверхности. Если установить переключатель (цветовая схема или градиентная заливка), то поверхность или контурный график будут залиты разными цветами и оттенками, причем выбрать цветовую схему можно на вкладке (освещение). На вкладке также можно изменять формат линий и формат точек данных .

На вкладке надо включить флажок . После этого станут активными все параметры на вкладке. Здесь можно включить и настроить до восьми различных источников света, для каждого из них есть отдельная вкладка и т.д. Но для того чтобы быстро создать освещение для графика, лучше воспользоваться заготовленными схемами освещения. Их можно выбрать из раскрывающегося списка (схема освещения).

Во вкладке (дополнительно) имеется доступ к управлению несколькими специальными эффектами оформления графиков, благодаря которым они смотрятся более красиво, например: - сияние, значение можно менять в пределах 0128; (туман); (прозрачность), задается процент прозрачности графика и др.

Во вкладке задается заголовок графика, который можно расположить как сверху графика, так и снизу.

Во вкладке (плоскость заднего плана) задается показ проекций координатной сетки на три скрытые плоскости трехмерного графика.

Во вкладке можно изменить диапазон изменения координат X и Y. На этой вкладке есть группы элементов (диапазон 1) и (диапазон 2). В полях ввода Start и End этих групп можно указать диапазоны изменения обеих переменных. Также здесь можно указать тип координатной системы : - Декартова, - Сферическая, - Цилиндрическая.

Пример:



На этом рисунке представлен один и тот же график до и после форматирования. Для форматирования были применены следующие действия:

1. во вкладке установить переключатель и ;

2. во вкладке в группе установлен переключатель (это приведет к тому, что положение осей перестанет быть жестким, теперь они будут располагаться по периметру куба, ограничивающего график, и всегда на его передних гранях);

3. во вкладке на каждой из вкладок в группе установить флажок (отобразить линии), это приведет к отображению линий сетки, активизируя поле можно установить необходимый цвет линий сетки;

4. во вкладке включить флажок , из раскрывающегося списка выбрать схему освещения ;

5. на не отформатированном графике линии на графике изображены в виде так называемого каркаса (вкладка ), это очень загромождает график. Лучше линии отобразить в виде линий уровня по оси z. Для этого во вкладке в группе (параметры линий уровня) выбрать из раскрывающегося списка - линии уровня по z, далее в этой же группе следует установить флажок (отобразить линии); если плотность линий уровня оказалась слишком маленткой или слишком большой, то надо сбросить флажок и в поле ввода ввести необходимое число, в нашем случае это число 19.

Анимация

Во многих случаях самый зрелищный способ представления результатов математических расчетов - это анимация. MathCAD позволяет создавать анимационные ролики и сохранять их в видеофайлах.

Основной принцип анимации - покадровая анимация - это просто последовательность кадров, представляющих собой некоторый участок документа, который выделяется пользователем. Расчеты производятся обособленно для каждого кадра, причем формулы и графики, которые в нем содержатся, должны быть функцией от номера кадра. Номер кадра задается системной переменной , которая может принимать лишь натуральные значения. По умолчанию, если не включен режим подготовки анимации, =0.

Рассмотрим последовательность действий для создания ролика анимации, например, демонстрирующего перемещение гармонической волны. При этом каждый момент времени будет задаваться переменной .

Введите в документ необходимые выражения и графики, в которых участвует переменная номера кадра . Подготовьте часть документа, которую вы желаете сделать анимацией, таким образом, чтобы она находилась в поле вашего зрения на экране. В нашем примере подготовка сводится к определению функции f(x,t) = sin(x-t) и создании ее декартова графика f(x,FRAME).

Выполните команду Tools|Animation|Record.

В диалоговом окне Animate задайте номер первого кадра в поле From(От), номер последнего кадра в поле To (До) и скорость анимации в поле At (Скорость) в кадрах в секунду.

Выделите протаскиванием указателя мыши область в документе, которая станет роликом анимации.

В диалоговом окне Animate нажмите кнопку Animate. После этого в окошке диалогового окна Animate будут появляться результаты расчетов выделенной области, сопровождающиеся выводом текущего значения переменной . По окончании этого процесса на экране появится окно проигрывателя анимации.

Запустите просмотр анимации в проигрывателе нажатием кнопки воспроизведения в левом нижнем углу окна проигрывателя.

В случае если вид анимации вас устраивает, сохраните ее в виде видеофайла, нажав кнопку Save As в диалоговом окне Animate.

Закройте диалог Animate.

Сохраненный видеофайл можно использовать за пределами MathCAD. Если в Проводнике Windows дважды щелкнуть на имени этого файла, он будет загружен в проигрыватель видеофайлов Windows, и вы увидите его на экране компьютера. Таким образом, запуская видеофайлы обычным образом, можно устроить красочную презентацию результатов работы как на своем, так и на другом компьютере.



Ввод/вывод во внешние файлы.

Для общения с внешними файлами в MathCAD встроены следующие функции:

READPRN (“file”) - чтение данных в матрицу из текстового файла;

WRITEPRN(“file”) - запись данных в текстовый файл;

APPENDPRN(“file”) - дозапись данных в существующий текстовый файл,

где file - путь к файлу.

Вопросы

1. Каким образом представляется функция при построении графика? График в декартовой системе координат: создание, задание аргумента по умолчанию, в виде ранжированной переменной, изображение нескольких функций на одном графике, работа с командами «масштаб» и «трассировка».

2. Построение графика в полярной системе координат и графика параметрически заданной функции.

3. Форматирование 2-х мерных графиков. Размещение надписей на поле графика.

4. Перечислите графики функций двух переменных, которые может строить MathCAD. Объясните, как строятся график поверхности? Каким образом на трехмерном графике можно изменить масштаб изображения, угол поворота? И как можно задать «живую» картинку?

5. Расскажите о контурных и векторных графиках в MathCAD. Объясните их.

6. Как строятся в MathCAD графики параметрически заданной поверхности и параметрически заданной кривой?

7. Расскажите о форматировании 3-хмерных графиков.

8. Что такое анимация и как она создается в системе MathCAD?

9. Как осуществляется ввод/вывод во внешние файлы в системе MathCAD?

Лекция №13

Задачи линейной алгебры

В задачах линейной алгебры практически всегда возникает необходимость выполнять различные операции с матрицами. Панель операторов с матрицами находится на панели Math.

Операторы , вам уже знакомы. Напомним только, что оператор вычисляет только детерминант матрицы, а модуль вектора, который равен квадратному корню из суммы квадратов его элементов, вычисляется с помощью оператора , который расположен на панели Calculator. К сожалению, по внешнему виду они не отличаются.

При попытке вычислить модуль вектора с панели Matrix будет ошибочное состояние. Точно также будет ошибочное состояние при попытке вычислить детерминант матрицы с панели Calculator.

Рассмотрим неизвестные вам до сих пор операторы панели Matrix.

- 1

скалярное и векторное произведение векторов. Скалярное произведение векторов определяется как скаляр, равный сумме попарных произведений соответствующих элементов (идентичен обычному оператору умножения). Векторы должны иметь одинаковый размер. Для обозначения скалярного произведения используется символ «точка». Векторное произведение двух векторов u и v с углом между ними равно вектору с модулем , направленным перпендикулярно плоскости векторов u и v. Векторное произведение векторов применимо только для трехкомпонентных векторов. Обозначают векторное произведение символом х, который можно ввести нажатием кнопки на панели Matrix/

1

- 1

сумма элементов вектора.

- оператор векторизации. Он позволяет провести однотипную операцию над всеми элементами массива (т.е. матрицы или вектора), упрощая тем самым программирование циклов. Например, иногда требуется умножить каждый элемент одного вектора на соответствующий элемент другого вектора. Непосредственно такой операции в MathCAD нет, но ее легко осуществить с помощью векторизации. Оператор векторизации можно использовать только с векторами и матрицами одинакового размера.



Для решения задач линейной алгебры в MathCAD встроены матричные функции. Их можно разделить на три основные группы:

- функции определения (генерации) матриц и операции с блоками матриц;

- функции вычисления различных числовых характеристик матриц;

- функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры.

Из каждой группы приведем по несколько, наиболее часто используемых функций.

Первая группа:

1. matrix(m, n, f) - создает и заполняет матрицу размерности m x n, элемент которой, расположенный в i-ой строке и j-ом столбце равен значению f(i, j) функции f(x, y);

2. diag(v) - создает диагональную матрицу, элементы главной диагонали которой хранятся в векторе v;

3. identity(n) - создает единичную матрицу порядка n;

4. augment(A, B) -объединяет матрицы A и B; матрица B располагается справа от матрицы A, при этом матрицы должны иметь одинаковое число строк;

5. stack(A, B) - объединяет матрицы A и B, матрица В располагается внизу под матрицей А, при этом матрицы должны иметь одинаковое число столбцов;

6. submatrix(A, ir, jr, ic, jc) - формирует матрицу, которая является блоком матрицы А, расположенным в строках с ir по jr и в столбцах с ic по jc, причем ir jr, ic jc.

Вторая группа:

1. last(v) - вычисляет номер последнего элемента вектора V;

2. length(v) - вычисляет количество элементов вектора V;

3. min(v), max(v) - вычисляет минимальное и максимальное значения вектора V;

4. Re(v) - создает вектор из реальных частей комплексных элементов вектора V;

5. Im(v) - создает вектор из мнимых частей комплексных элементов вектора V;

6. sort(V) - сортировка элементов вектора V по возрастанию;

7. reverse (sort(v)) - сортировка элементов вектора V по убыванию;

8. csort (A,n) - сортировка элементов n - го столбца матрицы А по возрастанию (перестановкой строк);

9. rsort (A,n) - сортировка элементов n - ой строки матрица А по возрастанию (перестановкой столбцов);

10. rows(A) - вычисляет число строк в матрице А;

11. cols(A) - вычисляет число столбцов в матрице А;

12. max(A), min(A) - определяет максимальное и минимальное значения матрицы А;

13. tr(A) - вычисляет след квадратной матрицы А (след матрицы равен сумме ее диагональных элементов по главной диагонали);

14. mean(A) - среднее значение элементов матрица А.

Действие функций второй группы ясно из их названия, поэтому примеры для них приводить не будем.

Третья группа:

1. rref(A) - приведение матрицы к ступенчатому виду с единичным базисным минором (выполняются элементарные операции со строками матрицы: перестановка строк, умножение строки на число, сложение строк);

2. rank(A) - вычисляет ранг матрицы А (количество линейно-независимых строк или это число ненулевых строк ступенчатой матрицы rref(A));

3. eigenvals(A) - вычисление собственных значений квадратной матрицы А;

4. eigenvecs (A) - вычисление собственных векторов квадратной матрицы А, значением функции является матрица, столбцы которой есть собственные векторы матрицы А, причем порядок следования векторов отвечает порядку следования собственных значений, вычисленных с помощью функции eigenvals(A);

5. eigenvec(A,e) - вычисление собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению e;

6. normi(A) - max - норма, или - норма (infinity norm). в линейной алгебре используются различные матричные нормы, которые ставят в соответствие матрице некоторую скалярную числовую характеристику;

7. lsolve (A,b) - решение системы линейных алгебраических уравнений вида .

Функции третьей группы реализуют, как правило, довольно сложные вычислительные алгоритмы. Приведем примеры на использование функций rref и функций для вычисления собственных значений и собственных векторов матрицы. Задача поиска собственных значений и собственных векторов матрицы очень часто встречается в вычислительной практике.

В самом простом виде задача на собственные значения матрицы формулируется следующим образом: требуется найти такие значения , чтобы матричное уравнение имело решение. В таком случае число называют собственным числом матрицы А, а n- компонентный вектор Х, приводящий уравнение с заданным в тождество - собственным вектором. В вышеприведенном примере собственные вектора матрицы А получены в матрице MS. Проверка проведена для первого столбца матрицы MS и соответствующего ему собственного числа 0=5.439.

Решение систем линейных алгебраических уравнений. Этот вопрос является центральным в вычислительной линейной алгебре.

В математике рассматриваются системы линейных уравнений двух видов - однородные и неоднородные.

Неоднородная система уравнений в матричном виде записывается следующим образом: . Здесь А - матрица коэффициентов системы, В - вектор свободных членов, Х - вектор неизвестных системы.

Неоднородная система имеет одно единственное решение, если определитель матрицы отличен от нуля. Для нахождения точного решения неоднородных систем линейных уравнений в линейной алгебре используются три основных метода:

- метод обратной матрицы, он вам уже известен;

- метод исключений Гаусса;



- метод Крамера.

Неоднородная система линейных уравнений в случае равенства ее определителя нулю имеет множество решений, если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, либо не имеет решения, если это условие не выполняется. Решить такие системы в MatCADe можно методом Гаусса.



В выше приведенном примере получили систему из трех уравнений с пятью неизвестными, поэтому решение системы будет иметь два свободных параметра (x4, x5).

Однородная система линейных алгебраических уравнений может быть представлена в виде , т.е. правая часть уравнения представляет вектор из нулевых элементов. Как известно, для того чтобы однородная система линейных уравнений имела решение, определитель соответствующей матрицы должен равняться нулю. Это означает, что количество независимых уравнений в системе (т.е. ранг матрицы) меньше, чем количество неизвестных (т.е. порядок матрицы): rank(A) < n. Но вначале нужно выделить в системе эти самые независимые уравнения. Это делается с помощью функции rref, которая с помощью метода исключений Гаусса приводит матрицу к ступенчатому виду.

Приближенное решение систем линейных уравнений. Точные методы решения линейных систем применяют для решения линейных систем относительно небольшой размерности. Для решения систем большой размерности используют итерационные методы. Итерационные методы хороши для систем с разреженными матрицами. Простейший итерационный метод - метод простых итераций.

Метод состоит в том, что система уравнений преобразуется к виду и ее решение вычисляется как предел последовательности

В качестве условия окончания итерационного процесса можно взять условие

,

где - заданная погрешность приближенного решения.

Для сходимости метода простых итераций достаточно, чтобы выполнялось условие

normi(A) < 1.

Рассмотрим следующий пример:





Вопросы

1. Поясните работу команд панели Matrix - скалярное и векторное произведение, детерминант матрицы, сумма элементов вектора, операция векторизации.

2. Перечислите три основные группы матричных функций. Расскажите о матричных функциях, возвращающих числовые характеристики. Приведите примеры.

3. Матричные функции, реализующие генерацию матриц и операции работы с блоками матриц.

4. Перечислите матричные функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры. Объясните, как работают функции rref и rank.

5. Какие функции вычисляют собственные вектора и собственные числа квадратной матрицы?

6. Решение в системе MathCAD неоднородных систем линейных уравнений, когда определитель матрицы не равен нулю. Три способа.

7. Как осуществляется в системе MathCAD решение неоднородных систем линейных уравнений, когда определитель равен нулю и при условии, что ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы?

8. Как осуществляется в системе MathCAD решение однородных систем линейных уравнений, когда определитель матрицы равен нулю (т.е. ранг матрицы должен быть меньше порядка матрицы)?

Лекция № 14

Символьные вычисления

Для символьных преобразований в системе MathCAD имеется символьный процессор, являющийся, по сути, системой искусственного интеллекта. Он позволяет решить многие задачи математики аналитически, без применения численных методов и, соответственно, без погрешностей вычислений. Символьное решение подразумевает возможность вычислять и преобразовывать выражения с буквенными параметрами, не подставляя при этом их значения, и в итоге получать результат в виде аналитической зависимости от этих параметров (а не число или набор чисел, как при стандартных численных расчетах).

Способы символьных вычислений.

Символьные вычисления в MathCAD можно осуществить в двух различных вариантах:

1. с помощью команд меню;

Последняя команда в меню “Evaluation Style” определяет стиль вывода результата: результат можно располагать вертикально (сверху или снизу вычисляемого выражения) или горизонтально.

2. с помощью оператора символьного вывода , ключевых слов символьного процессора и обычных формул. Оператор символьного вывода можно ввести несколькими способами: с помощью клавиш Ctr+< . >, с панелей <Evaluation> или <Symbolic>

При вводе ключевых слов с панели Symbolic нужно помнить, что вместе с ними вставляется и знак символьного вывода, т.е. вводить его отдельно перед вставкой ключевого слова не следует.

Первый способ более удобен, когда требуется быстро получить какой-либо аналитический результат для однократного пользования, не сохраняя сам ход вычислений. Второй способ более нагляден, т.к. позволяет записывать выражения в традиционной математической форме и сохранять символьные вычисления в документах MathCAD. Кроме того, аналитические преобразования, проводимые через меню, касаются только одного, выделенного в данный момент выражения (или его части, или отдельной его переменной). Соответственно, на них не влияют формулы, находящиеся в документе выше этого выделенного выражения. По этой причине символьным преобразованиям через меню недоступны предварительно определенные функции пользователя. Оператор символьного вывода, напротив, учитывает все предыдущее содержимое документа и выдает результат с его учетом, в частности ему доступны и функции пользователя.

Наличие меню символьных вычислений - своего рода дань прежним версиям MathCAD.

Не всякое выражение поддается аналитическим преобразованиям. Если это так (либо в силу того, что задача вовсе не имеет аналитического решения, либо она оказывается слишком сложной для символьного процессора MathCAD), то в качестве результата выводится само выражение.

Алгебраические вычисления.

1. Simplify (Упростить)

2. Expand (разложение выражений по степеням).

В ходе операции символьного разложения раскрываются все суммы и произведения, а сложные тригонометрические зависимости раскладываются с помощью тригонометрических тождеств.

3. Factor (разложение выражений на множители)

Эта операция позволяет разложить полиномы на произведение более простых полиномов, а целые числа - на простые сомножители.

В вышеприведенном примере местозаполнитель после ключевого слова factor надо удалить.

4. Collect (приведение подобных слагаемых ).



После ключевого слова collect допускается задание нескольких переменных через запятую. В этом случае приведение подобных слагаемых выполняется последовательно по всем переменным.

5. Polynomial Coefficients (коэффициенты полинома)

Если выражение является полиномом относительно некоторой переменной х, заданным не в обычном виде , а как произведение других, более простых полиномов, то коэффициенты легко определяются символьным процессором MathCAD. Коэффициенты сами могут быть функциями других переменных. Результатом выполнения данной команды является вектор, состоящий из полиноминальных коэффициентов , причем первым элементом вектора является свободный член .



6. Ряды и произведения.

Шаблоны для ввода сумм и произведений находятся на панели Calculus. Там же находится символ .

Если в пределы сумм и произведений входят только числа, то можно применить знак = (численный расчет сумм и произведений). Если в предел входит , то можно решить только символьно.

7. Convert to Partial Fractions (Разложение на элементарные дроби)

8. Substitute (подстановка переменной)

9. Матричная алгебра

Символьно можно осуществлять следующие матричные операции:

- Transpose (транспонирование)

- Invert (Обратная матрица)

- Determinant (Определитель)



Аналогично производятся две другие матричные операции.

Математический анализ.

Наиболее ярким проявлением возможностей символьного процессора являются аналитические вычисления пределов, производных, интегралов и разложений в ряд, а также символьное решение алгебраических уравнений и неравенств, систем алгебраических уравнений.

1. Пределы последовательностей и функций.

Вычисление пределов является одной из основных задач математического анализа. Система MathCAD позволяет с высокой эффективностью находить любые пределы.

Операторы MathCAD для вычисления пределов расположены на панели Calculus. Данная панель содержит три кнопки:

Two-sided Limit (двухсторонний предел), Left-sided Limit (левосторонний предел) и Right-sided (правосторонний предел), при нажатии на которые появляются соответственно

Необходимо помнить, что пределы, в отличие от большинства математических операций в MathCAD, можно вычислить только в символьном виде, а при попытке вычислить предел численно (с помощью знака “=”) будет выдано сообщение об ошибке.

Предел последовательности. Фактически предел последовательности, если он существует, - это число, к которому приближаются элементы последовательности при значении индекса n, стремящегося к . Для вычисления предела последовательности надо ввести шаблон для двухстороннего предела, заполнить его, затем ввести соответствующую команду из символьного меню или знак символьного вывода .

Если последовательность не имеет предела, то будет выдано слово undefined (не определено).

Знак символьного вывода позволяет использовать функцию пользователя.

Предел функции в точке. Необходимость вычисления пределов функции возникает в задачах даже чаще, чем пределов последовательностей. В точках, где функция непрерывна, все три предела будут иметь одинаковое значение - значение функции в этой точке.

Но во многих задачах можно столкнуться с функциями, значение которых в тех или иных точках с формальной математической точки зрения не определено (особые точки типа 0/0 или /, точки разрыва функции). Для того, чтобы получить правильное значение функции в особой точке, следует вычислить ее предел в этой точке. При вычислении пределов в особых точках также используется двухсторонний предел.

Как видно из вышеприведенного примера, значения функций f(x) и g(x) в точке x равно 0. Это происходит потому, что MathCAD вычисляет вначале числитель, и если он равен 0, то и всей дроби присваивается значение 0, знаменатель даже не вычисляется.

Если возникает необходимость построить график функции, которая содержит особую точку, то из-за упомянутой выше особенности MathCAD при вычислении дробей график будет содержать дефект. Исправить эту ошибку и получить правильный график на всем интервале можно, если при вычислении функции в особой точке заменить значение функции на значение предела. Это можно сделать с помощью встроенной функции If.



Для анализа точек разрыва служат односторонние пределы. В точках разрыва не определено не только значение самой функции, но и значение ее двухстороннего предела. Поэтому для исследования точек разрыва функции вычисляют левый и правый пределы в этой точке.

2. Дифференцирование.

Применение MathCAD для дифференцирования функций может не только сэкономить время и силы, но и избежать возможных ошибок, неизбежно возникающих при сложных ручных расчетах. Система MathCAD позволяет производить дифференцирование функций как в символьном виде, так и численно.

Символьное дифференцирование можно осуществить тремя способами:

1. Вставить шаблон из панели Calculus, заполнить его и применить команду из меню

Symbolics/Simplify или Symbolics/Evaluate/Symbolically

2. Вставить шаблон из панели Calculus, заполнить его и применить команду символьного вывода или ключевое слово simplify c панели Symbolics (кардинальская шапка);

3. Набрать выражение для функции, выделить переменную, по которой необходимо провести операцию дифференцирования и дать команду из меню

Symbolics/Variable/Differentiate.

В вышеприведенном примере показано и численное дифференцирование функции в точке x=2, при этом символьная производная запоминается в функции D(x), затем происходит обращение к этой функции и дается команда численного вычисления (знак “=”). Для численного дифференцирования MathCAD применяет довольно сложный алгоритм Риддера, вычисляющий производную с колоссальной точностью до 7-8 знака после запятой. Существенно, что погрешность дифференцирования не зависит от констант TOL и CTOL, в противоположность большинству остальных численных методов, а определяется непосредственно алгоритмом.

Возможности MathCAD позволяют продифференцировать любую непрерывную функцию, но иногда возникает необходимость находить производную от функции вблизи точки разрыва. В математике для дифференцирования функции вблизи точки разрыва используют операцию односторонней производной. В MathCAD нет встроенных операторов для вычисления односторонних производных, но вычислить их все-таки можно. Для этого следует скомбинировать оператор обычной производной с операторами односторонних пределов, как это сделано в нижеприведенном примере

Производные высших порядков. Для вычисления производных высших порядков в MathCAD предусмотрен специальный оператор на панели Calculus. Шаблон этого оператора содержит на два поля ввода больше, чем оператор обычной производной. В эти два поля может быть вписан порядок производной, причем достаточно ввести значение в одном из них, а в другом оно появится автоматически. Производные высших порядков можно вычислять и в символьном виде, и численно, но при численных расчетах вы можете вычислить производную не выше пятого порядка. Это связано с тем, что используемый алгоритм численного дифференцирования очень быстро теряет точность при росте порядка производной. В символьном же виде вычисление производных высших порядков производится так же просто и точно, как и производной первого порядка.

Частные производные. С помощью обоих процессоров MathCAD можно вычислять производные функций любого количества аргументов. В этом случае, как известно, производные по разным аргументам называются частными. Чтобы вычислить частную производную, необходимо, как обычно, ввести оператор производной с панели Calculus и в соответствующем местозаполнителе напечатать имя переменной, по которой должно быть осуществлено дифференцирование. Для того, чтобы изменить вид оператора дифференцирования на представление частной производной, необходимо выбрать из контекстного меню для области оператора дифференцирования пункт View Derivative As (Изображать производную как), в появившемся подменю выбрать пункт Partial Derivative (Частная производная).

Частные производные высших порядков рассчитываются точно так же, как и обычные производные высших порядков.

3. Интегрирование.

Как и большинство математических операций, интегрирование в MathCAD может проводиться как численно, так и в символьном виде. Каждый способ вычислений имеет свои преимущества и недостатки и, в отличие от дифференцирования, здесь нельзя сказать однозначно, как лучше всего проводить вычисления. Какой способ интегрирования вы выберите для той или иной функции в своих задачах, будет зависеть от вашего опыта, интуиции, а также требований конкретной задачи.

Численное интегрирование. Численно можно вычислить с большей или меньшей точностью любой сходящийся определенный интеграл с конечными или бесконечными пределами интегрирования. Пределы интегрирования обязаны быть действительными, подынтегральная функция может иметь и комплексные значения, поэтому и значение интеграла может быть комплексным.

Для вычисления определенного интеграла надо вставить в документ шаблон оператора определенного интеграла с панели Calculus. После заполнения всех полей ввода для вычисления интеграла следует ввести знак “=”.

При численном интегрировании основная проблема состоит в том, что интегрирование с высокой точностью сложных функций требует значительного времени. В таких случаях приходится искать компромисс между точностью и скоростью расчета. В MathCAD вы сами можете контролировать точность проводимых вычислений. Для этого служит встроенная переменная TOL. Но нельзя сказать однозначно, какой будет точность вычисления того или иного интеграла при заданном значении TOL. Все численные методы интегрирования в MathCAD строятся на последовательных приближениях, и значение переменной TOL указывает, какой должна быть разница между двумя последовательными приближениями для остановки вычислений. Поэтому не стоит воспринимать значение этой переменной как точность вычисления интеграла, можно лишь с уверенностью сказать, точность будет не ниже значения TOL. Также следует помнить, что слишком низкое значение TOL может привести к тому, что MathCAD не сможет вычислить интеграл и выдаст ошибку, поэтому для большинства однократных интегралов значение TOL лучше выбирать в диапазоне 10^-310^-4.



Точность численного интегрирования также зависит от численного метода, который используется для вычисления интеграла. Существует великое множество различных численных методов интегрирования, и для того или иного интеграла сложно заранее определить, каким методом его можно вычислить наиболее быстро и точно. В MathCAD встроено несколько основных методов численного интегрирования. Каждый из этих методов предназначен для своего класса интегралов. По умолчанию MathCAD автоматически выбирает тот или иной метод в зависимости от введенной подынтегральной функции и границ интегрирования (вариант Auto Select). При желании можно выбрать численный метод вручную, но в большинстве случаев это только ухудшит результат. Для того, чтобы выбрать численный метод для вычисления интеграла, вызовите его контекстное меню, которое содержит кроме стандартных команд, еще и команды выбора численного метода.

Символьное интегрирование. Символьный процессор MathCAD позволяет вычислить как неопределенные, так и определенные интегралы. Для вычисления неопределенного интеграла также существует свой оператор, как и для определенного. Он находится на панели Calculus и позволяет вставить шаблон с двумя полями ввода.

Командой для символьных вычислений интегралов является символьный оператор . Результат (т.е. первообразная от подынтегрального выражения) выводится справа от стрелки. Если первообразную функцию нельзя записать в аналитическом виде, то справа от стрелки будет еще раз переписан тот же интеграл.

Для того, чтобы вычислить в символьном виде определенный интеграл, MathCAD сначала вычисляет первообразную, т.е. повторяет действия неопределенного интеграла. Далее, из значения первообразной на верхней границе вычисляется ее значение на нижней границе. Полученное в результате выражение и возвращается как ответ.

Значение переменной TOL не имеет никакого значения для символьных вычислений.

Вычисление интеграла - это, по-видимому, самая сложная задача для символьного процессора MathCAD. Надо отметить, что символьное интегрирование возможно только для небольшого круга несложных подынтегральных функций. Поэтому некоторые интегралы не могут быть вычислены в символьном виде. Стоит отметить, что существует несколько интегралов, которые не имеют аналитического выражения, но часто встречаются в практических задачах. Эти интегралы в математике носят определенные названия и заданы в MathCAD в виде специальных символьных функций или констант. Таким образом, многие интегралы, которые не имеют аналитического выражения через элементарные функции, будут все же вычислены символьным процессором и записаны с использованием специальных символьных функций MathCAD.

Однако следует помнить, что результат символьного интегрирования в данном случае является лишь удобной записью того же интеграла. Если понадобится определить значение одной из этих функций в точке на числовой оси, то придется вычислять соответствующий интеграл численными методами.

Интегрирование функций с параметром. Следует помнить, что MathCAD воспринимает все неопределенные параметры в функциях как произвольные комплексные функции. Поэтому интеграл от функции с параметром будет вычислен только в том случае, если он существует при всех значениях параметра на комплексной плоскости. Такое условие выполняется далеко не для всех функций. Решение данной проблемы является использование модификатора символьных вычислений assume. С его помощью можно наложить определенные ограничения на значения параметров, входящих в подынтегральное выражение.



Вводится интеграл, знак символьного вычисления с полем ввода для модификатора, в которое вводится ключевое слово assume и через запятую условие, накладываемое на параметр подынтегрального выражения или несколько условий через запятую.

Расходящийся интеграл. Если интеграл расходится (равен бесконечности), то вычислительный процессор может выдать сообщение об ошибке, а символьный процессор справляется с этим интегралом, совершенно правильно находя его бесконечное значение.

Кратные интегралы. Кроме однократных интегралов в MathCAD есть возможность вычислять двойные, тройные интегралы, а также интегралы более высокой точности. Для вычисления кратных интегралов не предусмотрено отдельного оператора, для этого служит уже знакомый оператор определенного интеграла, в шаблоне которого в поле ввода подынтегральной функции вводится следующий шаблон определенного интеграла ит.д.



Кратные интегралы являются сложной задачей как для символьного процессора, так и для численных расчетов. Стоит вначале попытаться вычислить интеграл в символьном виде, и если результат получен не будет, вычислить его численно, задав требуемое значение TOL.

Дополнительные возможности символьного процессора.

1. С помощью символьного процессора можно рассчитать численное значение выражения (действительное или комплексное). Иногда такой путь считается более удобным, чем применение численного процессора.

Вычисления по команде complex позволяют представить выражение в виде a+jb. Вышеприведенные действия можно осуществить и с помощью соответствующих команд из меню Symbolic.

2. Последовательности символьных команд.

Символьные вычисления допускается проводить с применением цепочек из ключевых слов. Для этого ключевые слова, соответствующие последовательным символьным операциям, должны быть введены по очереди с панели Symbolic. Последовательности символьных команд допускают введение дополнительных условий в расчеты, например, таких как ограничения на действительную или комплексную форму результата. Это делается с помощью ключевого слова assume.

3. Решение неравенств в символьной форме

4. Решение систем уравнений в символьной форме

Вопросы

1. Что такое символьные вычисления? Какие способы символьных вычислений имеются в системе MathCAD? В чем преимущество вычислений с помощью оператора символьного равенства перед вычислениями с помощью меню Symbolic?

2. Какой оператор осуществляет численные вычисления? И какой - символьные вычисления?

3. Какие алгебраические символьные вычисления может делать система MathCAD? Можно ли вычислить сумму или произведение ряда с помощью оператора численного вычисления, если верхний предел равен ?

4. Какие матричные операции можно осуществить символьно?

5. Какие операторы предусмотрены для вычисления пределов в MathCADе? Можно ли вычислить предел численно?

6. Как осуществляется вычисление предела последовательности? Функции в точке, когда функция непрерывна, и в точках разрыва? Как можно обойти на графике особые точки функции (типа 0/0)?

7. Назовите три способа символьного дифференцирования. Приведите пример. Как можно определить производную в точке? Влияют ли константы TOL и CTOL на точность численного дифференцирования? Как можно определить производную вблизи точки разрыва?

8. Как вычисляются в MathCADе производные высших порядков и частные производные? Производные только каких порядков можно вычислить численно и почему?

9. Что такое численное интегрирование в MathCADе и как оно осуществляется? С помощью какой встроенной переменной можно контролировать точность численного интегрирования? От чего еще зависит точность численного интегрирования?

10. Назовите три способа символьного вычисления неопределенного интеграла в системе MathCAD. Приведите пример. Как осуществляется вычисление определенного интеграла с помощью оператора символьного равенства?

11. Как вычисляются интегралы с параметром, расходящиеся интегралы, кратные интегралы?

12. Как можно с помощью символьного процессора рассчитать численное значение выражения (вещественное или комплексное)?

13. Как создаются последовательности символьных команд? Приведите примеры.

14. Как решаются в MathCADе уравнения, неравенства и системы уравнений в символьной форме?

Лекция № 15

Решение дифференциальных уравнений в MathCAD

Дифференциальные уравнения являются основой огромного количества расчетных задач из самых различных областей науки и техники.

В MathCAD нет средств символьного (точного) решения дифференциальных уравнений, но достаточно хорошо представлены численные методы их решения.

Дифференциальные уравнения - это уравнения, в которых неизвестные являются не переменные (т.е. числа), а функции одной или нескольких переменных. Эти уравнения (или системы) включают соотношения между искомыми функциями и их производными. Если в уравнения входят производные только по одной переменной, то они называются обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). В противном случае говорят об уравнениях в частных производных. Таким образом, решить (иногда говорят проинтегрировать) дифференциальное уравнение - значит, определить неизвестную функцию на определенном интервале изменения ее переменных.