Основы диалога пользователя в MathCAD

Размещено на http://www.allbest.ru/ 10

1

Содержание

• Введение
• 1. Основы диалога пользователя в MathCAD.
• 1.1. Меню Symbolics(Символика)
• 1.2. Панели инструментов
• 1.3. Панель Math (Математика)
• 1.4. Основы диалога пользователя в MathCAD
• 1.5 Типы данных
• 1.6. Операторы и функции системы
• 1.7. Разложение функции в степенной ряд
• 2. Сущность компьютерных технологий решения задач
• 2.1. Постановка задачи
• 2.2. Разработка алгоритма решения задачи
• 2.3. Выбор универсального программного средства компьютерной алгебры
• 2.4. Проверка достоверности решения задачи
• 3. Компьютерные технологии символьных вычислений
• 4. Алгебра векторов и матриц
• 4.1. Образование векторов и матриц
• 4.2. Алгебра векторов. Преобразования векторов
• 4.3. Математические операции над векторами.
• 5. Алгебра матриц
• 5.1. Математические операции над матрицами
• 5.2. Визуализация вычислений
• 5.3 Двухменая графика
• 5.4. Трехмерная графика
• 6. Решение систем уравнений
• 6.1. Компьютерные технологии.
• 6.2 Функция Isolve.
• 6.3 Функция Find.
• 7. Решение дифференциальных уравнений
• 7.1 Численные методы решения дифференциальных уравнений.
• 7.2. Усовершенствованные методы Эйлера.
• 7.3. Компьютерные технологии решения дифференциальных уравнений.
• 8. Динамические модели
• 8.1. Линеаризация в окрестности рабочего режима
• 8.2. Определение параметров линейной системы во временной области
• 8.3. Идентификация в пространстве преобразований
• 9. Расчет и исследованиесистемы автоматического регулирования с ПИ регулятором по корневым показателям качества
• 10. Анализация систем по интегральным квадратичным критериям качества критериям качества
• 10.1. Оценка качества переходного процесса САУ по интегральным квадратичным критериям
• 11. Безопасность и экологичность работы
• 11.1. Общая характеристика проектируемого объекта
• 11.2. Характеристика токсичных свойств веществ
• 11.3. Характеристика пожароопасных свойств веществ
• 11.4. Категорирование помещения лаборатории по пожарной опасности
• 11.5. Шум и вибрация
• 11.6. Метеоусловия
• 11.7. Вентиляция
• 11.8. Освещение
• 11.9. Расчет естественного освещения помещении лаборатории
• 11.10. Электробезопасность.
• 11.11. Статическое электричество
• 11.12. Молниезащита
• 11.13. Пожарная профилактика
• 11.14. Технологическая безопасность
• 11.15. Охрана окружающей среды
• 12. Техникоэкономическое обоснование
• 12.1. Расчет затрат на производство исследования САР в MathCAD
• 12.2. Расчет затрат на эксплуатацию программного продукта

Список используемой литературы

Введение

Система Mathcad, используемая в данной дипломной работе является общепризнанной средой, используемой для быстрых вычислений во многих областях. Достоинством ее является простота программирования, возможность численных и аналитических вычислений. Эта система незаменима для пользователей, не знающих тонкостей программирования. Сегодня компьютер все больше применяется для решения математических задач. Для этого используются универсальные системы символьной математики, не требуемые программирования.

Появление систем компьютерной алгебры оказало влияние на методику преподавания естественнонаучных дисциплин вузов. Теперь выполнение упражнений, лабораторных работ, домашних работ стали невозможны без применения универсальных программных средств символьной математики. Современные средства вычислительной техники и методов математического моделирования позволяют практически исключить трудоемкие процедуры нахождения аналитических решений, нелинейных дифференциальных уравнений, а также специальные методы графического построения переходных процессов. ЭВМ снижает роль традиционных методов определения устойчивости систем, не применяются графики и номограммы, использованные при анализе и расчете показателей качества систем.

Использование пакета Mathcad способствует сокращению затрат времени на решение поставленных задач, повышению качества отслеживания информации и снижению вероятности возникновения ошибок.

Новые информационные технологии позволяют пересмотреть методику преподавания ТАУ.

В главе 1 дана краткая характеристика пакета Mathcad, описаны простейшие примеры работы с ним и приведены примеры решения основных задач элементарной математики.

В главе 2 рассматриваются компьютерные технологии решения математических задач.

В главе 3 приведены компьютерные технологии символьных вычислений.

В главе 4 рассмотрена технология образования векторов и матриц в Mathcad.

Визуализация вычислений и способы представления функций приведены в главе 5.

В главе 6 приведены решения различных систем уравнений с помощью функций.

Глава 7 рассматривает различные методы решения дифференциальных уравнений.

В главе 8 рассмотрены динамические модели, описанные обыкновенными дифференциальными уравнениями.

В главе 9 приведены расчеты исследования систем автоматического регулирования с ПИ регулятором по корневым показателям качества.

Анализ линейных систем по интегральным квадратичным критериям качества охарактеризован в главе 10.

В главе 11 рассмотрены показатели безопасности и экономичности выполненной работы.

В главе 12 рассмотрено технико-экономическое обоснование и рассчитаны затраты на производство исследовательской работы.

1. Основы диалога пользователя с системой MathCAD [1]

1.1. Меню Symbolics (Символика)

Команды меню «символьных» вычислений Symbolics (Символика) имеют вид:

Symbolics | имя_команды

Меню Siymbolics выполняет следующие действия:

-Символьные вычисления над выражениями;

-Операции с переменными и матрицами, реализация интегральных преобразований;

-Обуславливает стиль представления символьных вычислений.

В меню выделены три группы команд.

- Команды первой группы следующие:

· Evaluate(Вычислить)- вычислит выражение, если это возможно;

· Simplify(Упростить)-упростить выражение;

· Expand(Разложить)- представить выражение в развернутом виде;

· Factor(Разложить на множители)- разложить полином или целое число на простые множители;

· Collect(Привести подобные)-привести подобные слагаемые;

· Polynomial Coefficients (Коэффициенты полинома) - вычислить полиномиальные коэффициенты.

- Вторая группа образована командами

· Variable(Переменная)- символьные действия с выделенной переменной;

· Matrix(Матрица)- символьные действия с матрицей;

· Transform (Преобразование) - символьные интегральные преобразования.

-Третья группа содержит единственную команду Evaluation Style(Стиль вычислений)- изменение варианта показа символьных ответов.

1.2. Панели инструментов

Панели инструментов находятся непосредственно под строкой главного меню и содержат в основном кнопки-пиктограммы. Разбивка команд в списках подменю определенным образом диктует порядок расположения кнопок на панелях. Границы групп отмечены вертикальными разделителями.

Главная задача визуального инструментария состоит в ускоренном вызове команд. Изображения (пиктограммы) ярко отражают функциональное назначение инструментальных средств.

Открыть для себя и узнать возможности использования кнопок-пиктограмм можно, изучая общую логику разработки и исследуя практику создания математического документа. Компактное расположение команд в списках меню и снабжение наиболее значимых из них пиктограммами предопределяют удобство работы. Многоуровневый характер разработки и отладки документа диктует следующую "технологию" действий.

Сначала создается чистый бланк документа по выбранному шаблону, ему присваивается имя в файловой системе хранения, затем он наполняется содержимым (текстовая постановка задачи, исходные данные и условия, метод решения и т.д.), по мере необходимости осуществляется редактирование созданного документа, устраняются опечатки в сопровождающем тексте.

Блок кнопок-пиктограмм, визуально расположенный между вертикальными разделителями панелей инструментов, определим как компонент панели. Объединение компонентов, принятое разработчиками, по-видимому, связано с порядком и характером подготовительных и основных работ с процессорами MathCAD. Положение кнопок внутри компонента несколько отличается от последовательности размещения команд с пиктограммами в меню.

Главная задача визуального инструментария состоит в ускоренном вызове команд, минуя процесс навигации в системе меню. Изображения (пиктограммы) ярко представляют функциональное назначение инструментальных средств. На каждой панели вначале выделим наиболее ярко характеризующие их пиктограммы. На панели Standart мерная кружка напоминает о возможности проведения вычислений с размерностями, символ отражает способность быстрого запуска вычислительного процесса, на панели Standart символы позволяют стандартным образом форматировать текст, на третьей панели Маth выделим значок палитры программирования и значок палитры символьных вычислении.

Любая панель инструментов с кнопками-пиктограммами может быть отображена, убрана за ненадобностью на данном этапе или перенастроена под конкретные сложившиеся у пользователя предпочтения по команде Customize (Настроить) контекстного меню, появляющегося после выделения объекта.

Опытный пользователь может быстро удалить с панели за ненадобностью какую-нибудь кнопку, перемещая ее за границы плавающей панели при нажатой клавише <Аlt>, и вернуть в режиме диалога настройки Customize с позиционированием в пределах разделителей выбранной группы кнопок.

Управлять процессом отображения или сокрытия интерфейсных панелей можно несколькими способами: из главного меню Viem | Тоо1Ьагs, контекстного меню Hide (Скрыть) или кнопкой закрытия плавающей панели.

1.3 Панель Math (Математика)

На панели сосредоточены все кнопки вывода "палитр" для включения основных объектов рабочего документа формул, графиков, матриц (и, следовательно, таблиц), а также всех ключевых слов.

На девяти палитрах математического назначения MathCAD расположены кнопки с арифметическими и тригонометрическими функциями, с основными арифметическими операторами и операторами математического анализа, с булевыми выражениями, кнопки конструирования операторов, наборная группа десятичных цифр, пиктограммы различных типов графиков, пиктограммы для задания атрибутов и обработки математических объектов, кнопки с ключевыми словами символьного процессора и встроенной системы программирования. С их помощью можно очень быстро составить алгоритм решения достаточно широкого круга задач.

Итак, есть следующие способы вызова команд:

· навигация по командам меню с помощью мыши;

· использование кнопок панелей инструментов;

· нажатие комбинации клавиш <Alt>+<буква>+<буква> в последовательной схеме инициализации главного меню, затем заголовков меню и завершающей команды;

· быстрый вызов по схеме одновременного нажатия <Ctrl> и соответствующей ключевой клавиши;

· через контекстное меню.

1.4 Основы диалога пользователя в MathCAD

Ввод математического блока осуществляется последовательным набором шаблонов операторов и функций. Пока диалоговый режим не закончен, переход к незаполненным частям шаблона сложного математического выражения может быть сделан точным позиционированием (переносом) курсора мыши или, как альтернатива, оперативным нажатием клавиши <ТаЬ>.

Наполнение операторных схем производится заданием аргументов, параметров, доопределением переменных, которые не были определены ранее и на которые система MathCAD указывает подсветкой (сразу по завершению набора всего выражения) красным цветом.

У пользователя должно быть ясное понимание и осознание того, что пока не выведен щелчком мыши курсор из области ввода, или как альтернатива не нажата клавиша <Еntег>, набираемый математический блок не воспринимается персональным компьютером как директива к исполнению.

Таким образом, составным элементом диалога является фиксация окончания набора формулы. Во многих программных продуктах по этому действию осуществляется переход к новой строке, что в MathCAD явным образом фиксируется смещением вниз курсора в виде крестика красного цвета.

Диалог состоится, если пользователь не будет пренебрегать даже мельчайшими его проявлениями со стороны компьютера. По существу надо обращать внимание на все визуальные изменения рабочего окна, сопровождающие действия пользователя.

Не забудем сохранить выполненную работу (управляющая кнопка).

mathcad компьютерный технология математический

1.5 Типы данных

Расчеты в Маthсаd проводятся над данными, представленными в типовой форме, в соответствии с характером операторов и используемых функций.

Система Маthсаd поддерживает следующие типы данных:

-Именованная константа

Число р -- это числовая именованная константа. Наиболее важные константы имеют собственное обозначение (например, е, % и ?).

-Именованные переменные

Именованные переменные делятся на обычные и системные. Определяющие их имена называются идентификаторами, которые состоят из латинских или греческих букв и цифр. Обычным переменным хотя бы раз должны быть присвоены пользователем числовые значения, которые по ходу работы могут меняться.

Системные переменные получают заранее определенные темой начальные значения.

-Ранжированные переменные

Ранжированные переменные, являясь вспомогательными, обеспечивают множественность значений в указываемых границах диапазона при заданном шаге изменения. Маthсаd вычисляет выражения с такой переменной по всем ее значениям. Итерации осуществляются без явного задания цикла. Сохранение всей совокупности результатов достигается за счет индексации образуемого массива.

-Матрицы и векторы

Матрицы и векторы -- это двумерные или одномерные массивы данных. Перейти к ним в рамках многих задач удается, если использовать ранжированные переменные.

Непосредственно ранжированная переменная не является вектором, но имитирует его.

-Файловые данные

Данные могут быть отчуждены от документа, храниться в отдельных файлах, что определяет особые существенные отличия при работе с ними. Файлы полезны при хранении больших объемов табличных данных.

Переменной придают значение с помощью специального оператора присваивания (:=). Имя переменной в := записывается слева. Оператор присваивания предусматривает передачу конкретного значения или математического выражения справа налево. Если в какой-либо формуле численного расчета не определена та или иная переменная, то среда Маthсаd высветит ее красным цветом.

Подобная реакция среды обязывает присваивать всем переменным некоторое начальное значение и также является примером диалога. Исключение из этого правила составляет только подготовка формул для символьных преобразований.

Для иллюстрации некоторых приемов работы приведем решение следующей простой задачи: определить длину окружности I, ориентируясь на приведенную классификацию данных.

Расчетная формула имеет вид:

L= 2 р R.

Здесь 2 -- числовая константа, р -- именованная константа, R -- именованная переменная.

Примечание

Ввод латинской буквы с нажатием "вдогонку" за первым символом одновременно еще двух клавиш <Ctrl>+<G> дает переход к греческому алфавиту. Итак, для ввода символа р будем использовать следующий клавиатурный набор: <Р> и <Сtrl1>+<G>.

Так как число 2 и р определены, то для вычисления L необходимо иметь значение R.

Решение получается с помощью следующих действий:

-ввод значения переменной R := 1;

-ввод формулы 2 * р * R;

-нажатие клавиши <=> (равно) для вычисления и вывода результата.

На экране появится ответ: 6.283.

Приведенная технология имеет тот недостаток, что результату не присвоено имя длины окружности L.

Для присвоения результату данного имени используется следующая измененная технология:

-ввод значения переменной R := 1;

-ввод формулы с присвоением имени L:

L := 2 * л * R;

-набор вначале символа L, а затем знака (=) (равно) для вывода искомого результата.

На экране отобразится ответ в виде: L=6.2836

1.6 Операторы и функции системы

Системообразующими элементами входного языка являются операторы и функции.

Оператор обозначается одним или последовательностью символов и инициирует в среде Маthсаd определенное математическое действие или операцию.

Функция, в отличие от операторов, имеет собственное имя, вслед за которым открываются скобки, а в скобках приводится список аргументов. Функция возвращает вычисленное значение, соответствующее указанному набору аргументов. Если на символе оператора или на имени функции, введенных в рабочий документ Маthсаd, установить курсор и нажать клавишу <F1>, то открывается соответствующая страница справки с пояснениями. Оператор Маthсаd вводится двумя способами: специальной клавишей или сочетанием клавиш либо кнопкой на одной из палитр панели Маth.

Для облегчения восприятия структура таблицы упрощена. В одном поле представлены атрибуты:

-имя оператора;

-вид кнопки с отличительным символом оператора;

-шаблон, возникающий на экране монитора;

-клавиатурный набор оператора.

1.7 Разложение функции в степенной ряд

Разложение функции у = f(х) в степенной ряд в Маthсаd осуществляется по формуле Тейлора, которая имеет вид:

F(x)=f(a)+(x-a)+ (x-a)²+…+(x-a)ⁿ+…

В формуле а -- значение аргумента х, вокруг которого происходит разложение функции в ряд.

Формула Тейлора справедлива при любом значении а, в том числе и при а = 0.

При а = 0 формула Тейлора имеет вид:

F(x)= f(0)+ x + x² +…+ xⁿ +… (1.1)

В Маthсаd разложение функции в степенной ряд осуществляется с помощью функций меню Symbolic | Variable | Ехраnd tо 8еries

(Символика | Переменная | Разложение в ряд).

Технология реализуется следующими процедурами:

-ввод математического выражения;

-выделение переменной двойным щелчком мыши;

-ввод в поле Order of Approximation (Порядок аппроксимации) желаемого числа членов ряда;

-щелчок по кнопке ОК, на экране появится ответ в виде степенного ряда.

При разложении функции в степенной ряд не всегда можно получить решение. Решение нельзя получить в следующих случаях:

-функция у = f(x) не имеет п производных;

-ряд Тейлора является расходящимся;

-функция или ее производные не могут быть вычислены при определенных значениях а.

Например, функция х ln(х) не может быть разложена в ряд вокруг x = 0, т. к. ln(0) не существует.

При вычислении функции с помощью степенного ряда возникают ошибки, связанные с тем, что бесконечный ряд представляется рядом с конечным числом членов. В связи с этим необходимо знать, сколько членов ряда должно быть, чтобы погрешность не превышала заданного значения Э.

В ряде случаев число членов ряда и можно определить аналитически, например в случае знакопеременного ряда с убывающими членами. Такой ряд имеет следующее свойство: сумма отброшенных членов ряда по абсолютной величине не превосходит значения последнего оставленного члена ряда.

Так как отброшенные члены ряда определяют погрешность вычисления значений функции, то ее легко определить по известному выражению последнего оставленного члена ряда. Приведем пример.

Пусть необходимо определить число членов ряда функции у =e^-x, обеспечивающих вычисление функции с погрешностью, не превышающей Э.

Ряд функции имеет вид:

e^-x= 1- x + - +…+ (-1)ⁿ +…

Ряд знакопеременный с убывающими членами ряда, поэтому условием выбора числа членов может быть: ? е

Пусть х = 1, тогда ? е или n! ? . Если, например, е =0.01, то n! ? 100, a n ? 5.

Если степенной ряд не знакопеременный, то общих правил выбора числа членов нет.

Как же вычислить погрешность степенного ряда? Помощь здесь могут оказать компьютерные технологии.

Можно предложить следующие три способа:

-табулирование функции;

-графическое представление решения;

-вычисление среднеквадратической погрешности аналитическим методом.

Способ 1. Табулирование функции

Этот способ основан на сравнении численных значений исходной функции и полученной в результате разложения в ряд Тейлора. Способ реализуется путем табулирования функций и сравнения их результатов. Приведем пример 1.1

Оценить погрешность степенного ряда, полученного в результате разложения функции е^х с числом членов п = 5 в диапазоне х от 0 до 2.

Решение. При п = 5 степенной ряд имеет вид:

E^x= 1+ x+ + + + .

Табулирование функций и его результаты приведены на рис.1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 1 1.221 1.492 1.822 2.226 2.718 3.32 4.055 4.953 6.05 7.389 1 1.221 1.492 1.822 2.225 2.717 3.315 4.042 4.923 5.987 7.267

Рис.1 Табулирование функций и его результаты

Из рис.1 видно, что степенной ряд функции е^х с числом членов п = 5 хорошо описывает экспоненциальную функцию до значения х ? 0,6.

В этом диапазоне значения функций совпадают с точностью не менее трех знаков после запятой.

С ростом х погрешность степенного ряда возрастает, а при х = 2 совпадают только целые части числа.

Способ 2. Графоаналитический метод

Исходная функция и функция разложения представляются в виде графика. По виду графика можно определить допустимый диапазон значений аргумента х и величину погрешностей степенного ряда.

Рост погрешности можно оценить, если построить график разности функций в заданном диапазоне аргумента х.

Способ 3. Определение погрешностей степенного ряда аналитически

Значения функции, полученные в результате табулирования, дают возможность определить абсолютную Э и относительную д погрешности ряда Тейлора. Эти погрешности вычисляются по формулам:

е,

д= .

В формулах обозначены:

_-i= y(x_i) - (x_i);

-Y(x_i)- значение исходной функции при x=x_i , I = 1,2,…,n;

-(x_i)- значение функции ряда Тейлора при x = x_i , I = 1,2,…,n;

-п -- число членов табуляции;

-y_min - минимальное отличное от нуля значение исходной функции из диапазона разложения в ряд Тейлора.

Этот способ оценки адекватности разложения в степенной ряд наиболее объективен.

Пример 1.2 Вычислить абсолютную и относительную средне-квадратические погрешности степенного ряда экспоненциальной функции, полученного в примере 1.2. Результаты расчета подтверждают выводы, сделанные ранее на основании анализа таблиц и графиков.

Рис.2 Вычисление абсолютной и относительной средне-квадратической погрешности степенного ряда экспоненциальной функции.

2. Сущность компьютерных технологий решения задач

Основными этапами компьютерных технологий решения математических задач являются:

-постановка задачи;

-разработка алгоритма;

-выбор типа универсального программного средства для решения задачи;

-программирование на языке системы компьютерной алгебры (если это необходимо);

-решение задачи с помощью компьютера;

-проверка достоверности решения задачи;

-анализ полученных результатов.

2.1. Постановка задачи

Постановка задачи обычно состоит из следующих пунктов:

-дано;

-определить;

-форма выходного документа.

Формулировка задачи является наиболее трудным и ответственным пунктом постановки задачи. Недаром часто исследователи говорят: задача сформулирована, значит, задача решена.

Сформулировать задачу может только человек, хорошо знающий предметную область, владеющий математическими методами и компьютерными технологиями их реализации. Таких специалистов очень мало. Поэтому формулировки задач часто бывают некорректными. В результате чего задача либо не имеет решения, либо решения ошибочны, либо решается не та задача, которая должна быть сформирована. Однако в инженерной практике могут возникать такие задачи, в которых из-за некорректности постановки теряются результаты исследования, при этом ошибки проявляются уже в процессе эксплуатации системы.

2.2. Разработка алгоритма решения задачи

Любой численный алгоритм представляет собой совокупность условий выбора начальных значений, расчетных соотношений, признака окончания вычислений.

При компьютерных технологиях решения математических задач алгоритм существенно определяется системой функций и команд программных средств символьной математики.

Вот один из примеров.

Необходимо решить систему линейных дифференциальных уравнений пятого порядка, представив решение в аналитическом виде для конкретных значений переменных.

Можно предложить следующие два алгоритма решения задачи:

Алгоритм 1:

-представление системы уравнений в преобразованиях Лапласа;

-решение системы уравнений;

-проверка правильности решения.

Алгоритм 2:

-решение системы уравнений численным методом Рунге--Кутты;

-интерполяция полученных решений в виде таблиц;

-проверка правильности решения задачи.

Оба алгоритма можно реализовать с помощью систем компьютерной алгебры.

Результаты решения задачи в аналитическом виде более предпочтительны, т.к. пригодны для любых значений переменных.

Второй алгоритм имеет два существенных недостатка:

· решение является частным случаем, соответствующим лишь одному набору численных значений параметров;

· требует доказательства адекватности решения, т.к. содержит два источника ошибок: ошибки численного метода и ошибки интерполяции.

Не зная компьютерных технологий, пользователь выберет первый метод.

Решая задачу по первому алгоритму, пользователь практически не получит ответа по следующим причинам:

· обратное преобразование Лапласа настолько сложно, что им воспользоваться невозможно: оно даже не помещается на экране монитора;

· возможны случаи, когда обратное преобразование Лапласа не существует.

Выбираем второй худший алгоритм.

Пользователь, не владеющий компьютерной технологией решения дифференциальных уравнений, не может выбрать более рациональный алгоритм. Разработка алгоритма решения задачи требует знания возможностей универсальных программных средств символьной математики и компьютерных технологий решения математических задач.

2.3. Выбор универсального программного средства компьютерной алгебры

Выбор системы компьютерной алгебры при решении конкретной задачи зависит от многих факторов, основными из которых являются:

-содержание задачи;

-знания пользователя;

-форма выходного документа.

Каждая из существующих систем имеет свои достоинства и недостатки.

1. Если задачу необходимо решить в аналитическом виде, то пользуйтесь одной из следующих систем компьютерной алгебры: Mathematica, Марlе, Derive 5, как наиболее интеллектуальными системами.

2. Если задача требует широкого использования графических образов, то используйте систему Mathematica -- лидер в этой области.

3. Если требуется решить специальную, а не общематематическую задачу, то поищите компьютерные технологии ее решения в библиотеке системы Маtlab.

4. Если требуются значительные матричные вычисления, то также отдайте предпочтение Маtlab.

5. Если нужно создать документ с большим количеством математических выражений, формул, символов, то отдайте предпочтение MathCAD.

6. Если отдается предпочтение простоте решения задач (в том числе и графики), то следует предпочесть систему Derive 5.

7. Если решаются математические задачи стандартного типа с численными результатами, то все системы практически равноценны.

2.4 Проверка достоверности решения задачи

Результаты решения задачи могут быть представлены в виде числа, таблицы, графика или аналитического выражения. Например, результатом решения алгебраического или трансцендентного уравнения является число, решением системы дифференциальных уравнений -- таблица, решение задачи в случае символьных переменных -- формула.

Способы проверки правильности решения задачи зависят от вида ответа. Они могут быть осуществимы следующими способами:

· подстановкой;

· табулированием;

· вычислением погрешностей.

Рассмотрим эти методы, их достоинства и недостатки.

Метод подстановки

Сущность метода. Результаты полученного решения подставляются в исходное выражение (выражения). Если решение верное, то итогом подстановки будет тождество.

Пример 2.1. Решить и проверить методом подстановки правильность решения уравнения х² + 3х-4 = 0.

Пример 2.2. Необходимо решить и проверить правильность решения уравнения х⁴ +2х² -5х + 2 = 0.

Пример 2.3. Решить и проверить правильность решения уравнения 2^x-2(а+b)=0.

Метод табулирования

Сущность метода состоит в следующем. Исходная функция, заданная в табличной форме, представлена в виде формулы. Табулируя формулу во всем диапазоне изменения аргумента, получим вновь функцию в табличной форме. Сравнивая данные двух таблиц, можно установить погрешность формулы.

Такие случаи встречаются при моделировании различных процессов и явлений, а также при планировании и статистической обработке результатов эксперимента.

Достоинство этого метода состоит в том, что погрешность функции видна при каждом значении ее аргумента. Его недостаток -- отсутствие критерия определения суммарной погрешности.

Метод визуализации вычислений

Этот метод очевиден. Он находит применение при решении следующих задач:

-определение корней алгебраических и трансцендентных уравнений;

-решение задач интерполяции;

-определение экстремальных значений функции.

Достоинство метода -- высокая наглядность результата.

Метод вычисления погрешностей

Этот способ наиболее объективен. Его результатом является величина погрешности в виде числа. При этом для оценки погрешности применяются различные критерии:

-величины минимальной и максимальной погрешностей;

-среднее значение погрешности;

-среднеквадратические абсолютная и относительная погрешности.

Вычисления погрешностей осуществляются по формулам и большой сложности не представляют.

3. Компьютерные технологии символьных вычислений

3.1 Символьные вычисления в MathCAD

Способность математической системы выполнять алгебраические операции является одним из основных признаков ее интеллектуальности. Эта способность определяется числом функций, предназначенных для решения задач с символьными переменными.

Система MathCAD не является самой интеллектуальной. Впереди ее находятся такие системы, как Mathematica, Марlе, Derive 5.

В системе MathCAD используется в упрощенном виде ядро символьной математики системы Марlе V. При этом прямого доступа к большому числу ее операций у пользователя нет. Это является причиной следующих недостатков системы MathCAD в области символьных вычислений:

-ответы, получаемые в результате символьных вычислений, сложны, система плохо их упрощает;

-имеют место случаи, когда задача в аналитическом виде не решается, хотя является достаточно простой;

-иногда система выдает решение только после нескольких попыток; при этом причина не ясна.

Эти недостатки увидим при решении задач.

В области символьных вычислений MathCAD позволяет решать большое число задач. Перечислим основные из них:

-производит символьные операции с математическими выражениями с целью их упрощения: раскрывает скобки, выполняет сокращения, приводит к общему знаменателю, выносит за скобки, выполняет разложение на множители и другие операции;

-выполняет символьные вычисления:

-решает уравнения с символьными переменными;

-вычисляет неопределенные и определенные интегралы;

-находит производные;

-вычисляет пределы функций;

-раскладывает функции в ряд Тейлора;

-выполняет интегральные преобразования Фурье, Лапласа, Z-преобразование;

-выполняет символьные матричные вычисления: транспонирование, обращение матрицы, вычисление определителей;

-осуществляет подстановку символьных переменных в математическое выражение.

Рассмотрим символьные операции упрощения выражений, интегральных преобразований, вычисления функций и подстановки.

В MathCAD символьные вычисления могут выполняться в двух режимах: командном и операторном.

В командном режиме используются команды меню Symbolics, в операторном применяется оператор (>) (стрелка вправо).

Символьные вычисления в командном режиме имеют следующие особенности:

-вывод решения на экран ограничен местом: решение может выводиться только ниже исходного выражения, или справа от него, или вместо него.

Место вывода определяется командой Evaluate Stule (Стиль вывода) меню Symbolics;

-выражения ответов бывают настолько сложны, что их анализ крайне затруднен или даже невозможен;

-решение в аналитическом виде не всегда получается даже в простых случаях, что объясняется невысокой интеллектуальностью системы MathCAD. Следует иметь в виду, что MathCAD -- это, в основном, система численных решений математических задач;

-простота решения математических задач на символьные вычисления.

Символьные вычисления в операторном режиме выполняются с помощью операторов символьного вывода.

Оператор символьного вывода представляет собой стрелку (>), которая вызывается одновременным нажатием клавиш <Сtгl>+<.> (точка). Имеется и второй оператор, называемый расширенным оператором символьного вывода, который вызывается одновременным нажатием клавиш <Сtг1>+<Shift>+<.> (точка). Расширенный оператор имеет вид стрелки с двумя шаблонами и позволяет выполнять символьные операции с указанием вида преобразований получаемого решения.

4. Алгебра векторов и матриц

4.1. Образование векторов и матриц

Технология образования векторов и матриц в MathCAD состоит в исполнении следующих действий:

-ввод имени вектора или матрицы и нажатие клавиши <:> (двоеточие), на экране появятся соответственно символы v := или M:=;

-установка размеров вектора или матрицы. Нажимая набор клавиш <Ctrl> + <M> или щёлкая мышью по кнопке матрицы панели инструментов Matrix, вызываем окно Insert Matrix. Вводим число строк вектора или матрицы в поле Rows(Строки) и число столбцов в поле Columns(Столбцы). Если число столбцов равно единице, то образуется вектор.

После щелчка по кнопке Ок на экране появится пустой шаблон вектора или матрицы;

-Ввод элементов вектора или матрицы в пустые маркеры.

Элементами векторов или матриц могут быть:

-Вещественные или комплексные числа;

-Функции с числовыми значениями аргументов;

-Совокупность чисел, функциц и арифметических операторов их вычисления.

4.2. Алгебра векторов. Преобразования векторов

Система MathCAD имеет ряд функций и операторов преобразования векторов. Они позволяют преобразовывать вектор и выполнять действия над его элементами.

Основные функции приведены в таблице: 4.1

№	Назначение функции(оператора)	Обозначение	Ввод
1	Транспонирование вектора	VT	<v>, <Ctrl>+<1>
2	Сортировка	VS	Sort(V)
3	Обратная сортировка	VR	Reverse(V)
4	Векторизация	V /	<v>,<Ctrl>=<_>
5	Норма вектора	|V|	<|>,<V>
6	Комплексно-сопряженный вектор	v	<V>, <``>
7	Определение числа элементов вектора	-	Length(V)
8	Выделение n-го элемента вектора	Vn	<V>,<[>,<n>
9	Возвращение номера последнего элемента вектора	-	Last(V)
10	Возвращение элемента вектора, максимального по значению	Vmax	Max(V)
11	Возвращение элемента вектора, минимального по значению	Vmin	Min(v)
12	Возвращение действительных частей элементов вектора	Re	Re(V)
13	Возвращение мнимых частей элементов вектора	Im	Im(V)

Большинство функций и операторов, приведенных в таблице, реализуются с помощью команд панели инструментов Matrix. Их дублирование возможно с клавиатуры соответствующих клавиш, приведённых в таблице.

Действия большинства операторов и функций очевидны, поэтому нет необходимости подробно их описывать. Поясним только некоторые из них, имеющие особенности представления и использования.

Транспонирование вектора возвращает исходный вектор, представленный в виде столбца, в вектор в виде строки и наоборот. Образуется путём нажатия клавиш <Ctrl>+<1> после символа вектора V или щелчком мыши на соответствующей кнопке панели инструментов Matrix.

Операторы сортировки sort и reverse образуют из исходного вектора векторы, элементы которых расположены в порядке возрастания их значений (sort) или в обратном порядке (reverse).

Понятие «векторизация» означает возможность выполнения математических действий одновременно над всеми элементами вектора. Знаком векторизации является стрелка, которая располагается над выражением. Векторизация реализуется одновременным нажатием клавиш <Ctrl>+<->(минус) или щелчком мыши на соответствующей кнопке панели инструментов Matrix. Итак, векторизация позволяет осуществлять действия над элементами вектора. Если V1 и V2 - векторы то V1*V2 является скалярным произведением этих векторов. Если же представить произведение в форме векторизации, то образуется новый вектор, элементами которого является произведения соответствующих элементов векторов.

Под нормой вектора понимается модуль вектора, представляемый в виде |V|. Знаком нормы вектора является |V|, который реализуется либо щелчком мыши на соответствующей кнопке панели инструментов Matrix, либо клавишей <|>(вертикальная линия). Этот оператор вычисляет выражение _I , где a_i - i-й элемент вектора, n- число элементов вектора.

При наличии в векторе комплексных чисел комплексно-сопряженный вектор V образует новый вектор с сопряженными комплексными числами. Целые числа повторяются без изменения. При отсутствии в векторе комплексных чисел откликом является исходный вектор.

4.3. Математические операции над векторами

MathCAD выполняет операции сложения и вычитания, умножения и деления, возведения в степень и извлечения корня. Технология этих операций практически не отличается от технологии операций над числами.

Простота выполнения этих операций - одно из достоинств системы MathCAD.

Перечень операций над векторами и форма их ввода приведены в следующей таблице: 4.2

№	Математические действия	Оператор	Ввод
1	Сложение элементов вектора с числом z	V+z	V + z
2	Вычитание из каждого элемента вектора V числа z	V - z	V - z
3	Умножение каждого элемента вектора V на число z	V*z	V*z
4	Деление каждого элемента вектора V на число z	V/z	V/z
5	Сложение векторов	V1+V2	V1+V2
6	Вычитание векторов	V1-V2	V1-V2
7	Скалярное умножение векторов	V1*V2	V1*V2
8	Векторное умножение векторов	V1xV2	V1*V2 <Ctrl>+<*>,<V2>
9	Умножение элементов вектора	V1 V2	V1*V2 <Ctrl>+ <->

Из таблицы видно, что только операции векторного умножения векторов и поэлементного умножения имеют особенности, отличающие их от операций над числами.

При векторном умножении векторов знак (x) (векторное умножение) образуется путём нажатия клавиш <Ctrl>+<*>(знак умножения) или щелчком мыши на кнопке векторного умножения на панели инструментов Matrix.

Умножение элементов вектора осуществляется векторизацией произведения векторов путем совместного нажатия клавиш <Ctrl>+<->(минус) или щелчком мыши на кнопке векторизации на панели инструментов Matrix.

5. Алгебра матриц

5.1 Математические операции над матрицами

MathCAD позволяет выполнять матричные операции аналогично векторным. Математические операции, выполняемые системой приведены в таблице 5.1

№	Наименование операции	Обозначение операции	Ввод
1	Сложение элементов матрицы с числом z	M + z	M + z
2	Вычитание из элементов матрицы числа z	M-z	M-z
3	Умножение элементов матрицы на число z	M*z	M*z
4	Деление элементов матрицы на число z	M/z	M/z
5	Сложение матриц	M1+M2	M1+M2
6	Вычитание матриц	M1-M2	M1-M2
7	Умножение матриц	M1*M2	M1*M2
8	Умножение элементов матриц	M1xM2	M1*M2
9	Возведение матрицы в степень	M1n	<M1>,<^>,<n>

Термин «векторизация матрицы» означает возможность математических операций над элементами матрицы. Например, операция М1*М2 является операцией умножения матриц, а операция векторизации означает умножение соответствующих элементов матриц М1 и М2.

Оператор «транспонирование матрицы» М^Т из матрицы М образует новую матрицу, у которой строки являются столбцами исходной матрицы.

Комплексно-сопряженной называется матрица, у которой элементами являются комплексно-сопряженные числа исходной матрицы.

Если элементами матрицы М являются комплексные числа, то функции Re(M) и Im(M) создают из исходной новые матрицы, элементами которых являются соответственно вещественные и мнимые числа элементов матрицы М. Из матрицы размером m x n можно создать много определителей. Функция rank(M) выдает число, которое является наибольшим порядком определителя матрицы М (ранг матрицы).

5.2 Визуализация вычислений

С помощью визуальной демонстрации результатов возможно выявление их отношения с окружающими данными и проведение последующего более детального анализа.

Способы представления функций.

Известны три способа представления функций: в виде формулы, таблицы и графика.

Вместе они несут в себе большой объем информации. Выявление всех деталей исключительно по формуле доступно только специалистам. Так, математик непосредственно по виду уравнения может моментально сделать заключение о характере аналитической зависимости, отметить, где будут находиться нули функции, сколько «наблюдается» перегибов, каковы асимптоты функции и т.д. Полновесная информация о процессах, описываемых аналитически, многими «неспециалистами» воспринимается только после исследования характеристик функций во всей полноте связей с численными значениями в характерных точках и графиком, которые представляет среда MathCAD.

Табличное представление связано с выполнением двух этапов:

-Ввод значений аргументов и переменных;

-Формирование столбцов связывающих воедино значения переменных и функций в ходе вычислений.

Случаи необходимости графического представления функции при компьютерных технологиях решения задач

В практических задачах часто возникает необходимость визуализации в следующих ситуациях:

-Общий обзор характерных точек графической зависимости. MathCAD обладает свойством отображать графики функции с помощью технологии быстрого построения, что важно для экспресс-анализа результатов;

-Исследование графика: точки пересечения функции с осью абсцисс дают информацию о корнях соответствующего уравнения. Вспомогательные средства трассировки позволяют визуально без расчета считывать числовые результаты;

-Анализ исходных табличных данных. Небольшое число опорных точек графика при этом соединяются последовательно линейными отрезками;

-Нахождение по табличным данным приемлемой формулы в практике обработки данных характеризуется восстановлением большого числа промежуточных точек с построением соответствующего аппроксимирующего графика;

-Оценка степени приближения и установление диапазона допустимой замены одной сложно вычисляемой функции на другую более простую;

-По графику при проведении дополнительных рассуждений можно получить качественную и количественную оценки погрешности вычисления функций по известным погрешностям аргументов.

Задание графика в выбранной позиции документа начинается с выбора его типа с помощью меню Insert|Graph или палитры Graph с девятью инструментальными кнопками. Для этого раздела можно характерно, что все пункты сопровождаются соответствующими пиктограммами. Указания на набор «горячих» клавиш имеют первые четыре типа графика.

В MathCAD легко доступно задание семи основных типов графиков, вынесенных на инструментальную панель Graph

В документации MathCAD они разделены на две группы с обозначениями 2D или 3D, чтобы отразить основное деление на двумерные или пространственные графики.

В классе 3D (xyz) можно выделить особые (xy*)-плоскостные графики: Contour Plot (контурный график) и Vector Field Plot(график векторного поля). Они представляют соответственно проекции линий уровня и векторное поле направлений наискорейшего роста третьей ординаты на плоскости xy. Эти графики вносят существенную дополнительную информацию и имеют свойство совмещаться в одном объеме с некоторыми другими 3d-графиками.

5.3 Двумерная графика

2D-графика представлены двумя типами- декартовыми «X_Y» и полярными графиками. В силу большей распространенности рассмотрим построение «X_Y»графика.

График строится после установки курсора в нужной области рабочего поля и последующего вызова команды меню Insert|Graph|X_Y Plot, либо нажатия клавии <@> .

В результате появляется графическая область(см. шаблон на рис.6.1 слева) с основными маркерами для ввода функции и имени переменной по центру осей абсцисс и ординат. Построение графика без предварительного задания области изменения аргумента относят к быстрому способу.

Курсор ввода первоначально выставлен в области маркера аргумента, но достаточно перенести курсор в центральный маркер оси ординат, указать полное имя функции с характерными скобками и списком аргументов и далее щелкнуть мышью вне поля шаблона, как появляется полноценный график, что поддерживает репутацию быстрого построения.

При быстрой технологии вычисления точек графика осуществляется в основном диапазоне +_ 10, выбираемо автоматически. Достаточно большое число промежуточных расчетных точек графика соединяются линейными отрезками.

В маркере ординат через запятую можно ввести список до 16 функций, а в маркере абсцисс - список соответствующих переменных. При общем имени аргумента t, моментально строятся соответствующие введенному списку графики.

Можно также приводить не только полное имя функции, но и выражения, непосредственно задающие определения функций.

Требуемый диапазон изменений x и y может быть сразу внесен в дополнительные маркерные позиции (расположены вдоль границ осей внизу и слева).

В старых версиях среды MathCAD их не было в исходном шаблоне, и добраться до них было непросто.

Для изменения размеров графической области используются маркеры на рамке вокруг графического объекта: нижним и правым раздельно регулируются размеры по вертикали и горизонтали соответственно, угловым маркером - пропорционально измеряются оба размера.

Различия в способах построения графиков рассмотрим на основе простейшей задачи вычисления значений одной из тригонометрических функций, например A*sin(x). На первом шаге зададим определенное число значений переменной, вводя ограничение на диапазон изменения от 0 до 2 и приращением р\8.

После этого на втором шаге представим сформированные исходные данные в виде легко обозримой таблицы, применяя оператор вывода(=) сначала к ряду упорядоченных значений: x=, а затем к требуемой формуле, определяемой на заданном наборе аргументов.

Третий шаг предназначен для выявления различий в построении графиков: по принятой исходной функции с быстрым её построением и на основе расчетов по формуле. Используем эффект ускоренной заготовки парных графков.

Все действия комментируются на рис.6.1 Убедительное свидетельство простоты и преимущества быстрого вывода графиков функций получим в результате двойной записи sin(t), sin (t), выделения записи угловым курсором и нажатия клавиши <@> и <Enter>. Быстрому построению графика функции сопутствует:

-Автоматическая установка имен двух переменных t,t около оси абсцисс;

-Автоматическая установка диапазона их изменения от - 10 до + 10.

Первый график с выставленным автоматически интервалом оставляет за собой демонстрацию эффекта быстрого построения опорной функции sin(t), второй график соответствует принятым ограничениям на вычисления по требуемой формуле.

Замена в списке аргументов имени второй переменной t на x вводит в действия принятые условия задания графика. Эта процедура отмечена в протоколе условной записью (t x) и проводится в поле графика в двух согласованных позициях:

-Вначале во втором элементе списка функций, вертикально размещенного около оси ординат, с целью обращения к формуле вычислений A* sin(x);

-Затем во втором элементе списка переменных, горизонтально расположенного около оси абсцисс.

Таким образом, изменения надо вносить в выбранные строго соответствующие друг другу элементы списков.

Для выделения всех различий в построении этих графиков проведено масштабирование с коэффициентом А=0.7; форматирование типа линии второго графика и меток, выделяющих расчетные табличные значения; кроме того, внизу поля графиков добавлено их описание(легенда).

Совмещение графиков на одном поле, как правило, требует переопределения некоторых заранее установленных по умолчанию опций настройки графиков. Двойной щелчок в области графика открывает окно установок форматирования Formatting Currently Selected X_Y Plot (форматирование выделенного X_Y графика). Оно имеет четыре вкладки: X_Y Axes (оси X-Y), Traces(След), Labels(Метки), Defaults (По умолчанию).

При снятии флажка Hide Legend (Скрыть легенду) выбирается либо нижнее расположение легенды в поле графика, либо по желанию размещение в одной из четырех угловых позиций при фиксации переключателя в верхней(Top) или нижней (Bottom) строке соответственно слева (-Left) или справа (-Right).

На этой вкладке также имеется возможность задания символьного обозначения точек графика Symbol (none, x, +,…,0) и вариации вида линии Line (непрерывная, точка, черта, штрихпунктир). Каждый след графика имеет автоматически устанавливаемый цвет Color , который легко при необходимости переопределить. Можно также изменить тип графика Type(линия, точки и др.), толщину следа Weight.

Обратиться к средствам форматирования можно также с помощью контекстного меню по команде Format. В контекстном меню можно найти команды Trace и Zoom , дублирующие действия инструментальных кнопок палитры Graph. Эти команды указывают на выделенную пересечение линий трассировки точку графика ил прямоугольную область на графике, которые требуют детального изучения. Команды доступны при выделении отдельного графика или графической области соответственно.

5.4 Трехмерная графика

MathCAD делает доступной работу с пространство. Построение объемного графика можно инициировать несколькими способами: через систему меню, кнопкой-пиктограммой панели инструментов и соответствующим набором клавиш. Так, для графика поверхности Surface Plot действует клавиатурный вызов <Ctrl>+<2>. При этом выводится шаблон, основные действия с которым достаточно просты.

Зрительное восприятие объемного результата во многом зависит от способа задания стиля форматирования осей графика. Они могут исходить из одной точки (или угла)- опция Corner, расположены по периметру - опция Perimeter, или отсутствовать - опция None. Эти опции легко могут быть заданы путем обращения к диалоговому окну 3-D Format двойным щелчком на поле шаблона или готового графика.

Первая опция и её проявление видно на шаблоне объемного графика, вторая более предпочтительна ввиду явного выделения на дальних, а ближних границ объема, третья опция снимает какое-либо обрамление(Border) объема.