8. Mapping Toolbox содержит полный набор средств для построения карт, обработки и визуализации картографических данных. Пакет включает стандартные функции преобразования картографических проекций, расчета линий прямой видимости и другие вычисления геометрии земли, использующиеся в геодезии, картографии, экологии, океанографии, в нефтегазоразведывательной и аэрокосмической отраслях.

9. Model Predictive Control Toolbox - это пакет расширения MATLAB для исследования и проектирования алгоритмов управления с предсказанием динамики. Позволяет создавать системы адаптивного управления для сложных систем с одним или несколькими входами (выходами) и различными ограничениями.

10. Neural Network Toolbox содержит средства для проектирования, моделирования, разработки и визуализации нейронных сетей. Нейросетевые технологии позволяют решать такие задачи, решение которых классическими формальными методами затруднено или не возможно. Пакет обеспечивает всестороннюю поддержку типовых нейросетевых парадигм и имеет открытую модульную архитектуру.

11. Optimization Toolbox - это пакет расширения MATLAB, содержащий набор классических алгоритмов для оптимизации стандартных задач и задач большой размерности.

12. Partial Differential Equation Toolbox содержит инструменты для исследования и решения уравнений в частных производных в двух измерениях со временем. Пакет содержит функции командной строки для программирования и графический интерфейс позволяющий проводить предварительную обработку и решение типовых задач математической физики.

13. Robust Control Toolbox - это пакет расширения MATLAB для разработки систем управления объектами с неопределенностями и нелинейностями различного типа. Он позволяет проектировать и настраивать системы управления с учетом чувствительности к неопределенным параметрам, возмущениям и ошибкам модели.

14. Signal Processing Toolbox содержит набор типовых функций для цифровой и аналоговой обработки сигналов. Пакет включает графические приложения для интерактивной работы и огромное количество функций командной строки для разработки новых алгоритмов.

15. Spline Toolbox содержит набор функций и алгоритмов для работы со сплайнами. Позволяет осуществлять сплайн-интерполяцию, содержит графические средства для визуализации и интерактивной работы, позволяет производить вычисления со сплайн-объектами, комбинировать дифференцировать и интегрировать сплайны.

16. Statistics Toolbox - это пакет расширения MATLAB обеспечивающий исследователей, инженеров и финансовых аналитиков полным набором средств для статистической обработки данных. Содержит функции и интерактивные инструменты для анализа временных рядов, статистических моделей, исторических данных, а также средства разработки статистических алгоритмов.

17. Symbolic Math Toolbox - это функции аналитических преобразований и поддерживающий арифметику произвольной точности.

18. System Identification Toolbox содержит инструменты создания математических моделей динамических систем на основе наблюдаемых входных/выходных данных. Пакет снабжен гибким графическим интерфейсом, помогающим организовывать данные и создавать модели.

19. Wavelet Toolbox - это пакет расширения MATLAB для работы с вейвлетами. Содержит функции вейвлет преобразования, средства разработки вейвлет-алгоритмов, функции анализа, синтеза, фильтрации, сжатия и обработки, а также инструменты для кратномасштабного анализа одномерных и двухмерных данных.

20. Genetic Algorithm - это пакет, расширяющий оптимизационные возможности MATLAB и Optimization Toolbox для решения задач оптимизации недифференцируемых, стохастических и разрывных функций.

Для решения ряда больших (крупных) и экономически важных задач в бизнесе и в инженерных разработках выгодно применять генетические алгоритмы. Для реализации таких генетических алгоритмов не нужно создавать отдельный программный продукт, так как ряд базовых свойств этих алгоритмов остается постоянной при решении совершенно разных задач [7,10,13,14,23,24,55].

3.1.3 Реализация генетического алгоритма в пакете MATLAB

Генетические алгоритмы позволяют решить задачи оптимизации с плохой обусловленностью, не поддающиеся решению с помощью классических методов оптимизации [34].

Генетические алгоритмы (ГА) - это метод решения оптимизационных задач, основанный на биологических принципах естественного отбора и эволюции.

Генетический алгоритм повторяет определенное количество раз процедуру модификации популяции (набора отдельных решений), добиваясь тем самым получения новых наборов решений (новых популяций). При этом на каждом шаге из популяции выбираются «родительские особи», то есть решения, совместная модификация которых (скрещивание) и приводит к формированию новой особи в следующем поколении [34,53]. Генетический алгоритм использует три вида правил, на основе которых формируется новое поколение: правила отбора, скрещивания и мутации.

Мутация позволяет путем внесения изменений в новое поколение избежать попадания в локальные минимумы оптимизируемой функции.

Специальные графические функции пакета обеспечивают визуализацию итерационного процесса, значений целевой функции, генеалогических параметров, размеров сетки и количества вычислений целевой функции. Пакет обеспечивает импорт текущей настройки задачи оптимизации для повторного использования [53].

Для решения задач многокритериальной оптимизации с помощью генетических алгоритмов мы воспользуемся одним из его многофункциональных пакетов - Multiobjective optimization using Genetic Algorithm или сокращенно называется gamultiobj [55,56].

Для запуска пакета следует выбрать Apps > Optimization. После этого запустится пакет генетических алгоритмов и на экране появится основное окно утилиты. Выбираем в командной строке Solver (решающее устройство) > gamultiobj, это и есть наш генетический алгоритм

В поле Fitness function (функция пригодности) указывается оптимизируемая функция в виде @fitnessfun, где fitnessfun.m - название M-файла, в котором предварительно следует описать оптимизируемую функцию. M-файл создается в среде MATLAB через меню File->New->Function.

рис.3.14. Вкладка Optimization Tool

Пример описания функции:

function f = chaos (x)

f(1)= -2*x(1)-2*x(2)-3*x(3)-3*x(4)-2*x(5);

f(2)= 5*x(1)+2*x(2)+3*x(3);

end

Вернемся к основному окну утилиты Optimization Tool. В поле Number of variables (число переменных) указывается длина входного вектора оптимизируемой функции. В рассмотренном выше примере функция my_fun имеет входной вектор длины 5.

В панели Constraints (ограничения) можно задать ограничения или ограничивающую нелинейную функцию. В поле Linear inequalities задается линейное ограничение неравенством вида: A*x ? b.

В поле Linear equalities данной панели задаются линейные ограничения равенством: A*x = b.

В обоих случаях A - некоторая матрица, b - вектор.

В поле Bounds (границы) в векторном виде задаются нижнее и верхнее ограничения переменных.

Если в конкретной задаче не требуется задание ограничений, все поля панели Constraints следует оставить незаполненными.

В Options, находится панель настройки графиков. Она позволяет выводить различные графики, отображающие информацию о работе генетического алгоритма. На основе этой информации можно менять настройки алгоритма с целью повышения эффективности его работы.

Подробнее эта панель будет описана ниже наравне с остальными панелями вкладки Options утилиты gamultiobj.

Панель Run Solver содержит управляющие элементы (кнопки Start, Pause и Stop для начала, временной и полной остановки работы генетического алгоритма). Также она содержит поля Current Iteration, в которое выводятся текущие результаты работы запущенного генетического алгоритма, и Final point, в котором выводится значение конечной точки работы алгоритма -- наилучшей величины оптимизируемой функции (то есть, искомое значение). В правой части основного окна утилиты Optimization Tool находится панель Options. Она позволяет устанавливать различные настройки для работы генетических алгоритмов.

рис.3.15. Панель Options

При щелчке мышью по кнопкам «+», которые находятся напротив названия каждого из настраиваемых параметров в панели Options, появляются выпадающие списки (вкладки), содержащие поля для ввода и изменения соответствующих параметров генетического алгоритма.

Основными настраиваемыми параметрами в Optimization Tool являются:

1) популяция (вкладка Population);

2) оператор отбора (вкладка Selection);

3) оператор репродукции (вкладка Reproduction);

4) оператор мутации (вкладка Mutation);

5) оператор скрещивание (вкладка Crossover);

6) перенесение особей между популяциями (вкладка Migration);

7) многокритериальные специальные параметры (вкладка Multiobjective problem settings);

8) задание гибридной функции (вкладка Hybrid function);

9) задание критерия остановки алгоритма (вкладка Stopping criteria);

10) вывод различной дополнительной информации по ходу работы генетического алгоритма (вкладка Plot Functions);

11) вывод результатов работы алгоритма в виде новой функции (вкладка Output function);

12) задание набора информации для вывода в командное окно (вкладка Display to command window);

13) способ вычисления значений оптимизированной и ограничивающей функций (вкладка User function evaluation).

Рассмотрим подробнее все вышеперечисленные вкладки панели Options и элементы, которые они содержат.

1. Во вкладке настройки популяций пользователь имеет возможность выбрать тип математических объектов, к которому будут относиться особи всех популяций (двойной вектор, битовая строка или пользовательский тип). При этом стоит учитывать, что использование битовой строки и пользовательских типов накладывают ограничения на перечень допустимых операторов создания, мутации и скрещивания особей. Так, например, при выборе в качестве формы представления особей битовой строки для оператора скрещивания нельзя использовать гибридную функцию или нелинейную ограничивающую функцию.

Также вкладка популяции позволяет настраивать размер популяции (из скольких особей будет состоять каждое поколение) и каким образом будет создаваться начальное поколение (Uniform - если отсутствуют накладываемые ограничения, в противном случае - Feasible population). Кроме того, в рассматриваемой вкладке имеется возможность задать вручную начальное поколение (используя пункт Initial population) или его часть, начальный рейтинг особей (пункт Initial scores), а также ввести ограничительный числовой диапазон, которому должны принадлежать особи начальной популяции (Initial range).

2. Вкладка «Selection» позволяет выбрать оператор отбора родительских особей на основе данных из функции масштабирования. В качестве доступных для выбора вариантов оператора отбора предлагаются следующие:

- Tournament - случайно выбирается указанное число особей, среди них на конкурсной основе выбираются лучшие;

- Custom - позволяет писать свою собственную функцию выбора.

3. Вкладка «Reproduction» уточняет каким образом происходит создание новых особей. Пункт Crossover fraction указывает долю особей, которые создаются путем скрещивания. Остальная доля создается путем мутации.

4. Во вкладке оператора мутации выбирается тип оператора мутации. Доступны следующие варианты:

- Gaussian - добавляет небольшое случайное число (согласно распределению Гаусса) ко всем компонентам каждого вектора-особи;

- Uniform - выбираются случайным образом компоненты векторов и вместо них записываются случайные числа из допустимого диапазона;

- Adaptive feasible - генерирует набор направлений в зависимости от последних наиболее удачных и неудачных поколений и с учетом налагаемых ограничений продвигается вдоль всех направлений на разную длину;

- Custom - позволяет задать собственную функцию.

5. Вкладка «Crossover» позволяет выбрать тип оператора скрещивания (одноточечное, двухточечное, эвристическое, арифметическое или рассеянное (Scattered), при котором генерируется случайный двоичный вектор соответствия родителей). Также имеется возможность задания произвольной (custom) функции скрещивания.

6. Во вкладке «Migration» можно настраивать правила, согласно которым особи будут перемещаться между подпопуляциями в пределах одной популяции. Подпопуляции создаются, если в качестве размера популяции указан вектор, а не натуральное значение. В данной вкладке можно указать направление миграции (forward - в следующую подпопуляцию, both - в предыдущую и следующую), долю мигрирующих особей и частоту миграции (сколько поколений проходит между миграциями). Если создание подпопуляций не требуется, эту вкладку всегда стоит оставлять без изменений.

7. «Multiobjective problem settings» определяет параметры, характерные для многокритериального генетического алгоритма. Можно задать следующие функции:

- Distance measure function

- Pareto front population fraction

8. Вкладка «Hybrid function» позволяет задать ещё одну функцию минимизации, которая будет использоваться после окончания работы алгоритма. В качестве возможных гибридных функций доступны следующие встроенные в саму среду MATLAB функции: none (не использовать гибридную функцию) и - fgoalattain.

9. Во вкладке критерия остановки («Stopping criteria») указываются ситуации, при которых алгоритм совершает остановку. При этом, настраиваемыми являются следующие параметры:

- Generations - максимальное число поколений, после превышения которого произойдет остановка;

- Time limit - лимит времени на работу алгоритма;

- Fitness limit - если оптимизируемое значение меньше или равно данного лимита, то алгоритм остановится;

- Stall generations - количество мало отличающихся поколений, по прошествии которых алгоритм остановится;

- Function tolerance - минимальные значения изменений оптимизируемой и ограничивающей функций соответственно, при которых алгоритм продолжит работу.

10. Особый интерес представляет вкладка «Plot Functions», которая позволяет выбирать различную информацию, которая выводится по ходу работы алгоритма и показывает как корректность его работы, так и конкретные достигаемые алгоритмом результаты. Наиболее важными и используемыми для отображения параметрами являются:

- Plot interval - число поколений, по прошествии которого происходит очередное обновление графиков;

- Distance - вывод интервала между значениями особей в поколении;

- Genealogy - вывод генеалогического дерева особей;

- Score diversity - вывести гистаграмму рейтинга в каждом поколении;

- Selection - вывод гистограммы родителей;

- Stopping - вывод информации о состоянии всех параметров, влияющих на критерии остановки;

- Custom function - отображение на графике некоторой указанной пользователем функции.

11. Вкладка вывода результатов в виде новой функции («Output function») позволяет включить вывод истории работы алгоритма в отдельном окне с заданным интервалом поколений, а также позволяет задать и вывести произвольную выходную функцию, задаваемую в поле Custom function.

12. Вкладка «Display to command window» позволяет настраивать информацию, которая отображается в основном командном окне MATLAB при работе алгоритма. Возможны следующие значения:

- Off - нет вывода в командное окно;

- Iterative - вывод информации о каждой итерации работающего алгоритма;

- Diagnose - вывод информации о каждой итерации и дополнительных сведениях о возможных ошибках и измененных ключевых параметрах алгоритма;

- Final - выводится только причина остановки и конечное значение.

13. Наконец, вкладка «User function evaluation» описывает, в каком порядке происходит вычисление значений оптимизируемой и ограничивающей функций (отдельно, параллельно в одном вызове или одновременно) [56].

Однако наличие многих критериев и ограничений затрудняют применение ГА в практических задачах, т.к. большинство подходов, предложенных в области эволюционной оптимизации, ориентированы только на одну проблему, т.е. либо на многокритериальность, либо на наличие ограничений. Подходы, сочетающие оба направления, встречаются редко и их эффективность не всегда удовлетворена.

При большом количестве альтернатив и критериев достаточно трудно сориентироваться и принять наилучшее решение. Именно компьютерные системы поддержки принятия решений делают структуру задачи наглядной и помогают выделить одно или несколько наиболее приемлемых ее решений.

3.2 Решение экономической модели с помощью инструмента MATLAB

Рассмотрим следующую экономическую модель:

Косметическая компания Nature Republic выпускает тринадцать основных видов продукции: ББ-крем, СС-крем, пенка для умывания, очищающее масло, тонер, ампульная эссенция, эмульсия, крем гель, крем для тела, крем для мужчин, крем для детей и солнцезащитный крем. Известно при производстве, используют следующие основные виды сырья: силиконовая основа, растительные экстракты, лекарственные экстракты, растительное масло, минеральные компоненты, натуральные красители и очищенная ароматизированная вода.

В приложении А более подробно представлена состав натуральных экстрактов, растительных масел и минеральных компонентов для изготовления косметики.

В таблице размещены пропорции для каждой из видов продукции и запасы каждого вида сырья ():

Таблица 3.2. Пропорция + запас сырья (как назвать?)

Сырье/ед.	ББ крем	СС крем	Пенка для умывания	Очищающее масло	Тонер	Эссенция	Эмульсия	Крем гель	Крем для тела	Крем для мужчин	Крем для детей	Солнцезащитный крем	Запасы
Силиконовая основа	15	10											61500
Растительные экстракты	25	30	30	25	50	5	20	90	100	115	40	30	776000
Лекарственные экстракты	5	5	10	20	10	5	10	50	45	10	20	20	368000
Растительное масло	10	10		110	100	15	80	20	20	10	10	5	521000
Минеральные компоненты	5	5	10	20	10	5	10	30	10	15	5	15	2145000
Натуральные красители	5	5		5				10					49500
Очищенная ароматизированная вода			100	20				50	25			10	256000

Известно цены (стоимость) за единицы каждого ресурса ( и стоимость каждого продукта.

Таблица 3.3. Стоимость за единицы каждого ресурса

Нумерация	Наименование сырья	Стоимость (?)
1	Силиконовая основа	1
2	Растительные экстракты	0,9
3	Лекарственные экстракты	0,8
4	Растительное масло	1,4
5	Минеральные компоненты	0,6
6	Натуральные красители	0,2
7	Очищенная ароматизированная вода	0,4

Таблица 3.4. Рыночная цена каждого продукта

Нумерация	Наименование товара	Стоимость (?)
1	ББ-крем	78
2	СС-крем	85
3	Пенка для умывания	80
4	Очищающее масло	165
5	Тонер	160
6	Ампульная эссенция	46
7	Эмульсия	156
8	Крем гель	195
9	Крем для тела	190
10	Крем для мужчин	98
11	Крем для детей	72
12	Солнцезащитный крем	68

Придерживаясь концепции абсолютного приоритета натурального сырья, высококачественная косметика Nature Republic пользуется большим спросом на рынке. Поэтому, каждый день поступают множество заказов от различных заказчиков:

1. Торговый центр Phoenix - ББ-крем, СС-крем, пенки для умывания и очищающее масло, при условии, что сумма всех товаров будет больше 10000?.

2. Косметический магазин Magnolia - тонер, ампульная эссенция, эмульсия и солнцезащитный крем, при условии, что сумма всех товаров будет больше 9500?.

3. Иностранный партнер Banilla Co. - крем гель, крем для тела, крем для мужчин и крем для детей, при условии, что сумма всех товаров будет больше 12000.

Перед компанией ставятся следующие вопросы, сколько нужно изготовить изделий для получения наибольшей прибыли и при этом минимизировать себестоимость сырья?

Решение:

Перед тем, как приступить к решению задачи многокритериальной оптимизации, нам следовало бы четко сформулировать задачу и записать в более удобном виде.

И так, введем следующие обозначения:

- ББ-крем

- СС-крем

- пенка для умывания

- очищающее масло

- тонер

- ампульная эссенция

- эмульсия

- крем гель

- крем для тела

- крем для мужчин

- крем для детей

- солнцезащитный крем

Ограничения:

1. На сырье:

15+10 ? 61500

25+30+30+25+50+5+20+90+100+40+30+30? 776000

5+5+10+25+10+5+10+50+45+40+20+20? 368000

10+10+60+60+15+80+20+20+10+10+5 ? 521000

5+5+10+20+10+5+10+30+10+5+5+15 ? 2145000

5+5+5+10 ? 49500

60+50+25+20+10 ? 256000

2. На заказов:

Целевые функции:

1. Максимизация прибыли:

2. Минимизация себестоимости сырья:

Чтобы найти себестоимость сырья (), мы должны перемножать стоимость одной единицы ресурса ( на количество использованных ресурсов для каждого вида продукции ():

После расчета мы получим следующую целевую функцию:

Теперь мы можем приступить к решению задачи в среде MATLAB с помощью генетических алгоритмов.

Изначально нужно поставить саму задачу, для этого мы выбираем вкладку «Home» > «New» > «Function».

Описываем функции и дадим ей название:

function f = nature(x)

f(1)=-75*x(1)-74*x(2)-80*x(3)-155*x(4)-158*x(5)-48*x(6)-159*x(7)-204*x(8)-185*x(9)-108*x(10)-75*x(11)-78*x(12);

f(2)=60*x(1)+59*x(2)+65*x(3)+140*x(4)+143*x(5)+33*x(6)+144*x(7)+189*x(8)+170*x(9)+93*x(10)+60*x(11)+63*x(12);

end

Вторую целевую функцию мы умножили на (-1) и поменяли на противоположные знаки.

Функция будет иметь такой вид:

рис.3.16. Целевые функции в среде MATLAB

Теперь сохраняем и переходим к следующему этапу. Открываем вкладку «Apps» > «Optimization» > «Solver» > «gamultiobj - Multiobjective optimization using Genetic Algorithm».

рис.3.17. Вкладка Optimization Tool

Пропишем целевую функцию во вкладке «Fitness function» - @nature, в строке «Number of variables» записываем количество переменных, они у нас

12. Дальше заполняем поля Linear inequalities значениями линейных ограничений (неравенств), которые есть у нас в условия задачи:

A = [15 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 25 30 30 25 50 5 20 90 100 40 30 30; 5 5 10 25 10 5 10 50 45 40 20 20; 10 10 0 60 60 15 80 20 20 10 10 5; 5 5 10 20 10 5 10 30 10 5 5 15; 5 5 0 5 0 0 0 10 0 0 0 0; 0 0 60 0 0 0 0 50 25 20 0 10; -75 -74 -80 -155 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 -158 -48 -159 0 0 0 0 -78; 0 0 0 0 0 0 0 -204 -185 -108 -75 0]

b = [61500; 776000; 368000; 521000; 840500; 49500; 256000; -10000; -9500; -12000]

Нижние границы «Bounds: Lower» = [0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0]

Назначим размер популяции: 1

После выполненных шагов, выбираем «Start» и получим следующие результаты:



рис.3.18. Окончательный результат решения в среде MATLAB

Задача решена за 102 итерации. Многокритериальная оптимизация согласна генетического алгоритма дали нам следующие результаты: продукцию 1-ого вида нужно произвести в объеме 18 единиц, 2-ого вида в объеме 17 единиц, 3-ого - 19 единиц, 4-ого - 36 единиц, 5-ого - 25 единиц, 6-ого - 7 единиц, 7-ого - 25 единиц, 8-ого - 26 единиц, 9-ого - 24 единиц, 10-ого - 13 единиц, 11-ого - 9 единиц, 12-ого - 13 единиц. При этом обеспечивается максимальная выручка в размере 31500,008 ? и минимальную стоимость в размере 27917,294 ?.

3.3 Решение экономической задачи многокритериальной оптимизации с помощью MS Excel

Рассмотрим решения этой задачи с помощью различных методов решения многокритериальных задач, которые мы рассматривали во второй главе данной работы. Для вычисления, мы воспользуемся стандартной программой поиска решения в MS Excel.

3.3.1 Метод последовательных уступок

Из двух приведенных критерий, мы максимизируем первый, наиболее важный критерий, затем назначаем величину допустимого снижения значения этого критерия. В данном случае, размер уступка равна 20000.

рис.3.19. Целевые, переменные значения и ограничения

В «В1» вводим надпись «Переменные», следующая строка это имя наших переменных . В ячейках «В3:M3» вводим значения переменных, то есть наши . Это могут быть произвольные числа, допустим, запишем нули, далее они будут оптимизироваться.

Ячейку «A5» назовем «Целевые», в соседние ячейки записываем значения переменных первой целевой функции, которая мы хотим максимизировать. В «Р5», вводим «=B5*$B$3 +C5*$C$3 +D5*$D$3 +E5*$E$3+F5*$F$3+G5*$G$3+H5*$H$3+I5*$I$3+J5*$J$3+K5*$K$3+L5*$L$3+M5*$M$3», или «=СУММПРОИЗВ(B3:M3;B5:M5)». Таким образом, мы задали первую целевую функцию.

Ячейка «А8» будет называться «Ограничения». Левые части ограничений распишем от «B9:M18», правые части находятся в диапазоне от «P9:P18». В ячейке «О9» вводим формулу «=B9*$B$3+ C9*$C$3+ D9*$D$3 +E9*$E$3+F9*$F$3+G9*$G$3+H9*$H$3+I9*$I$3+J9*$J$3+K9*$K$3+L9*$L$3+M9*$M$3», номера столбцов и номера строк ряда переменных зафиксировано, далее воспользуемся автозаполнением, чтобы заполнить ячейки «O10:O18».

Предварительные действия завершены. Вызываем надстройку «Поиск решения», «P5» - это наша целевая функция.

рис.3.20. Параметры поиска решения

В связи с тем, что функция максимизируется, мы ставим флажок в поле напротив надписи «Максимум». Изменяем ячейки переменных $B$3:$M$3. Добавляем следующие ограничения:

1. $B$3: $M$3 ? 0

2. $O$16:$O$18 ? $P$16:$P$18

3. $O$9:$O$15 ? $P$9:$P$15

Выбираем «Поиск решения линейных задач симплекс-методом». Запускаем решения и сохраняем найденное решение. Теперь мы можем увидеть следующие результаты:

рис.3.21. Определение размер уступка

На следующем этапе оптимизируем вторую целевую функцию, для этого, нам необходимо ввести уступок в размере 20000. Теперь, значения первой целевой функции может быть не менее, чем 2637985 (2637985 = 2657985-20000).

Начиная с «B6:M6» мы записываем значения переменных второй целевой функции, которая минимизируется. В «Р6», вводим саму функцию

«=B6*$B$3 +C6*$C$3+D6*$D$3+E6*$E$3+F6*$F$3+G6*$G$3+H6*$H$3+I6*$I$3+J6*$J$3+K6*$K$3+L6*$L$3+M6*$M$3», или «=СУММПРОИЗВ(B3:M3;B6:M6)».

Снова вызываем надстройку «Поиск решения», прежние данные остались введенными.

Меняем ссылку на целевую функцию, теперь это будет ячейка «Р6». Так, как вторая целевая минимизируется, то ставим флажок в поле напротив надписи «Минимум». Вводим дополнительное ограничение, связанное с уступкой по первому критерию «Р5» «?» «С21».

рис.3.22. Параметры поиска решения

Выбираем «Поиск решения линейных задач симплекс-методом». Запускаем решения и сохраняем найденное решение. Теперь мы можем увидеть окончательные результаты:



рис.3.23. Окончательный результат решения по методу последовательных уступок

Согласно методу последовательных уступок, оптимальный план производства, при данных условиях, состоит в том, что продукцию 2-ого, 6-ого и 11-ого видов необходимо производить в объеме 135, 198 и 160 единиц соответственно, а продукции 1-ого, 3-ого, 4-ого, 5-ого, 7-ого, 9-ого, 10-ого и 12-ого видов не стоит выпускать в производство. При этом обеспечивается максимальная выручка в размере 32110,65 ? и размер минимальной себестоимости ресурса в размере 24104,22 ?.

3.3.2 Метод главного критерия

В качестве главного критерия берем первую целевую функцию

.

А вторую критерию

преобразовываем в ограничения, при этом, зададим контрольное значение - функция должна быть меньше либо равно 27936. Мы взяли это число из решения с помощью пакета MATLAB.

Теперь, наша задача имеет следующий вид:



15+10 ? 61500

25+30+30+25+50+5+20+90+100+40+30+30 ? 776000

5+5+10+25+10+5+10+50+45+40+20+20 ? 368000

10+10+60+60+15+80+20+20+10+10+5 ? 521000

5+5+10+20+10+5+10+30+10+5+5+15 ? 2145000

5+5+5+10 ? 49500

60+50+25+20+10 ? 256000

В «В1» вводим надпись «Переменные», следующая строка это имя наших переменных . В ячейках «В3:M3» вводим значения переменных, то есть наши . Это могут быть произвольные числа, допустим, запишем нули, далее они будут оптимизироваться.

Ячейку «A5» назовем «Целевая», в соседние ячейки записываем значения переменных первой целевой функции, которая мы хотим максимизировать. В «Р5», вводим «=B5*B3 +C5*C3 +D5*D3 +E5*E3 +F5*F3 +G5*G3+H5*H3+I5*I3+J5*J3+K5*K3+L5*L3+M5*M3»,или«=СУММПРОИЗВ(B3:M3;B5:M5)». Таким образом, мы задали первую целевую функцию.

рис.3.24. Целевая, переменные значения и ограничения

Ячейка «А7» будет называться «Ограничения». Левые части ограничений распишем от «B8:M18», правые части находятся в диапазоне от «P8:P18». В ячейке «О8» вводим формулу «=B8*$B$3 +C8*$C$3 +D8*$D$3 +E8*$E$3+F8*$F$3+G8*$G$3+H8*$H$3+I8*$I$3+J8*$J$3+K8*$K$3+L8*$L$3+M8*$M$3, номера столбцов и номера строк ряда переменных зафиксировано, далее воспользуемся автозаполнением, чтобы заполнить ячейки «O9:O18».

Предварительные действия завершены. Вызываем надстройку «Поиск решения», отметим, что «P5» - наша целевая функция.

рис.3.25.Параметры поиска решения

Целевую функцию мы максимизируем, поэтому выбираем «Максимум».

При этом изменяем ячейки переменных «$B$3:$M$3».

Добавляем следующие ограничения:

1. $B$3:$M$3 ? 0

2. $O$15:$O$17 ? $P$15:$P$17

3. $O$18 ? $P$18

4. $O$8:$O$14 ? $P$8:$P$14

Выбираем метод решения «Поиск решения линейных задач симплекс-методом». Запускаем решения и сохраняем найденное решение.

После проделанной работы, мы получили следующие результаты:

рис.3.26.Окончательный результат решения по методу главного критерия

Согласно методу главного критерия, оптимальный план производства, при данных условиях, состоит в том, что продукцию 2-ого, 6-ого и 11-ого видов необходимо производить в объеме 200, 198, 160 единиц соответственно, а продукции 1-ого, 3-ого, 4-ого, 5-ого, 7-ого, 8-ого, 9-ого, 10-ого и 12-ого видов не стоит выпускать в производство. При этом обеспечивается максимальная выручка в размере 37631. Но цель нашей работы заключается в том, что нужно найти не только оптимального размера прибыли, но и размер минимальной себестоимости. Исходя из полученных результатов, можно сказать, что метод является не оптимальным для решения данной задачи.

3.3.3 Метод свертка критериев

Идея этого метода заключается в том, что мы преобразовываем набора частных критериев в один суперкритерий. Этот критерий и называется сверткой.

Для нашей задачи, перед тем, как преобразовать эти две критерий в один, мы должны привести их к однородному состоянию. В данном случае, мы минимизируем первую целевую функцию



, умножая на (-1).

Тогда условия нашей задачи снова меняется, и следовательно теперь имеет вид:

15+10 ? 61500

25+30+30+25+50+5+20+90+100+40+30+30 ? 776000

5+5+10+25+10+5+10+50+45+40+20+20 ? 368000

10+10+60+60+15+80+20+20+10+10+5 ? 521000

5+5+10+20+10+5+10+30+10+5+5+15 ? 2145000

5+5+5+10 ? 49500

60+50+25+20+10 ? 256000

И так, теперь мы должны просуммировать двух частных критериев в один, и решим эту задачу как задачу однокритериальной оптимизации.

рис.3.27. Суперкритерий (как назвать?)

Но также существуют и весовые коэффициенты, сумма этих коэффициентов должна быть равна единицы, при этом, каждый из весовых коэффициентов должен быть неотрицательным значением. Как правило, весовые коэффициенты распределяется по важности самих критериев. В нашем случае, весовые коэффициенты будут равны между собой = 0,08.

Наш следующий шаг заключается в том, что мы перемножали значении в ячейках «B1:M1» на весовой коэффициент и получили главную функцию с такими значениями:

В «А5» вводим надпись «Целевая», и в соседних ячейках запишем значения переменных этой целевой функции, которая мы хотим минимизировать.

рис.3.28. Определение целевую функцию

В ячейках «А8:M8» вводим значения переменных, то есть наши . Это могут быть произвольные числа, допустим, запишем нули, далее они будут оптимизироваться.

В «Р5», вводим «=B5*B8 +C5*C8 +D5*D8 +E5*E8 +F5*F8 +G5*G8 +H5*H8+I5*I8+J5*J8+K5*K8+L5*L8+M8*M5», или «=СУММПРОИЗВ (B5:M5;B8:M8)». Таким образом, мы задали целевую функцию.



рис.3.29. Целевая функция, переменные значения и ограничения

Дальше последуют наши ограничения на ресурсы и на заказы.

Левые части ограничений мы запишем в ячейках «B11:M20», а правые части в ячейках «Р11:Р20». В «О11» запишем формулу «=B9*$B$7 +C9*$C$7+D9*$D$7+E9*$E$7+F9*$F$7+G9*$G$7+H9*$H$7+I9*$I$7+J9*$J$7+K9*$K$7+L9*$L$7+M9*$M$7» или можно воспользоваться командой «=СУММПРОИЗВ(B7:M7;B9:M9)». Зафиксируем номера столбцов и номера строк ряда переменных, далее воспользуемся автозаполнением, чтобы заполнить ячейки «O12:O20».

После того, как мы выполнили все необходительные подготовки, вызываем команду «Поиск решения» и определяем целевую ячейку - «Р5».

Функцию мы минимизируем, поэтому выбираем «Минимум». Изменяем ячейки переменных «$B$8:$M$8».

Добавляем нам необходимые ограничения:

1. $O$18:$O$20 ? $P$18:$P$20

2. $B$8:$M$8 ? 0

3. $O$11:$O$17 ? $P$11:$P$117

рис.3.30. Параметры поиска решения

Выбираем «Поиск решения линейных задач симплекс-методом». Запускаем «Найти решение » и сохраняем найденное решение. Теперь мы можем увидеть окончательные результаты:

рис.3.31. Окончательный результат решения по методу свертывания критериев

Мы получили целевое значение в размере 2657985, с учетом того, что мы свернули двух абсолютно разных критериев, которые с экономической стороны являются не совместимыми. Исходя из полученных результатов, можно сделать вывод, что для данной экономической модели, этот метод многокритериальной задачи не является оптимальным.

3.4 Анализ полученных результатов

Мы рассмотрели математико-экономическую модель компании Nature Republic в поиске оптимального решения по выпуску продукции для получения максимальной прибыли и минимизации затрат за сутки. Для решения поставленной задачи, мы использовали различные методы оптимизации и автоматизированного компьютерного инструмента MATLAB.

Методы оптимизации не являются идеальными, тем не менее, они помогли подготовить самую необходимую информации для того, чтобы ЛПР мог сориентироваться во время принятия решений.

Решения с помощью генетического алгоритма MATLAB являются более точными. Но нельзя сказать, что это окончательный вариант решения поставленных целей.

Сделаем сравнительную характеристику между полученными результатами в ходе решения с помощью классических методов оптимизации многокритериальных задач линейного программирования и современным техническим средством MATLAB.

табл.3.5. Сравнительная характеристика использованных методов для решения экономической задачи на основе предприятия Nature Republic

Способ решения	Показатели
	максимизация прибыли	минимизация себестоимости сырья
ГА MATLAB	31500,008	27917,294
Метод последовательных уступок	32110,65	24104,22
Метод главного критерия	37631	для данной модели, метод главного критерия не является оптимальным для подсчета минимизации себестоимости сырья
Метод свертывания критериев	для данной модели, метод свертывания критериев не является оптимальным

Из приведенной таблицы, можно увидеть, что результаты, полученные с помощью ГА MATLAB и методом последовательных уступок имеют приблизительных значений. Метод главного критерия, не удовлетворил второму поставленному критерию по минимизации себестоимости ресурса. А последний использованный метод, метод свертывания критериев, не удовлетворил ни одному поставленному критерию, так как частные критерии, которые мы сворачивали, не были однородными.

Таким образом, согласно методам решения задач многокритериальной оптимизации, за сутки максимально возможный размер прибыль, что предприятия Nature Republic получит, равна 37631, а минимальный размер себестоимости сырья равна 24104,22.

Заключение

В результате применения программного комплекса поддержки принятия решений, удалось смоделировать оптимальный план производства для удовлетворения всех поставленных целей.

Общая стратегия поиска решения зависит от имеющейся информации о задаче и включает способ выбора альтернатив, определяемый структурой предпочтений лица принимающего решение и метод оптимизации, обусловливающий способ агрегирования критериев.

Различные методы оптимизации дают различные результаты, и каждая задача отличается друг от друга, имеет свою собственную специфику и особенностей, поэтому рекомендовано использовать для каждой из них наиболее подходящие методы.

Но, эти методы оптимизации и сам пакет MATLAB являются лишь инструментами для подготовки всю необходимую информацию, чтобы лицо принимающее решение мог наглядно представить всю ситуацию и конечном итоге, принять наиболее оптимальное на его взгляд, решение.

То есть, окончательные решения все равно принимает ЛПР на базе анализа полученных результатов.

Список использованной литературы

Книги:

1. Аттетков А.В. Методы оптимизации: Учеб. для вузов / Аттетков А.В., Галкин С.В., Зарубин В.С; под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко [2-е изд.]. - МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. - 440с.

2. Ашманов С.А. Линейное программирование / Ашманов С.А. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 2000. - 340с.

3. Банди Б. Основы линейного программирования / Банди Б. ; [пер. с англ.]. - М.: Радио и связь, 1989. - 176с.

4. Большакова И.В. Линейное программирование: Учебно-метод. пособие к контрольное работе [для студ. эконом. факультета] / Большакова И.В., Кураленко М.В. - Ми.: БНТУ, 2004. - 148с.

5. Бородакий Ю.В. Основы теории систем управления. Исследование и проектирование / Ю.В. Бородакий, Ю.Г. Лободинский. - М.: Радио и связь, 2004. - 256с.

6. Васильев Ф.П. Методы оптимизации / Васильев Ф.П. - М.: Факториал Пресс, 2002. - 824с.

7. Гайдук А.Р. Теория автоматического управления в примерах и задачах с решениями в MATLAB / Гайдук А.Р., Беляев В.Е., Пьявченко Т.А. - СПб.: Лань, 2011. - 464с.

8. Гамидов, Рафаэль Гусейн Оглы Методы решения некоторых многокритериальных задач оптимизации: дис. …кандидат физико-математических наук: 01.01.09 / Гамидов, Рафаэль Гусейн Оглы. - К.,2007. - 119с.

9. Гарипов В.Р. Многокритериальная оптимизация систем управления сложными объектами методами эволюционного поиска: дис. … канд. техн. наук: 05.13.01 / Гарипов Валерий Рашитович. - Красноярск, 1999. - 166с.

10. Гультяев А. Визуальное моделирование в среде MATLAB: Учебный курс / Гультяев А. - Спб.: Питер, 2000. - 432с.

11. Гуменникова А.В. Адаптивные поисковые алгоритмы для решения сложных задач многокритериальной оптимизации : дис. … кандидата технических наук : 05.13.01 / Гуменникова Александра Викторовна. - К., 2006. - 129с.

12. Данциг Д. Линейное программирование, его применения и обобщения / Данциг Д. -М.: Прогресс, 1966. - 600с.

13. Дьяконов В. MATLAB с пакетами расширений / Дьяконов В., Абраменкова И., Круглов В. - Нолидж, 2001. - 101с.

14. Дьяконов В. MATLAB. Полный самоучитель / Дьяконов В. - ДМК Пресс, 2012. - 768с.

15. Егоренков Д.Л. Основы математического моделирования. Построение и анализ моделей с примерами на языке MATLAB / Егоренко Д.Л., Фрадков А.Л., Харламов В.Ю. - СПб.: БГТУ, 1994. - 190с.

16. Задачі та концепції методів багатокритеріальних рішень в інтелектуальних системах / Г.І. Стопченко, І.А. Макрушан , С. В. Білан // Біоніка інтелекту: наук.-техн. журнал. - 2010. - № 1 (72). - С. 122-125.

17. Землянухина Л.Н. Линейное программирование и смежные вопросы. Часть 4. Методические указания / Землянухина Л.Н., Зинченко А.Б., Сантылова Л.И. - Ростов-на-Дону: РГУ, 1998. - 36с.

18. Карманов В.Г. Математическое программирование: Учеб. пособие. / Карманов В.Г. [5-е изд.]. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 264с.

19. Кини Р.Л. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения / Р.Л. Кини, Х. Райфа. - М.: Радио и связь, 1981. - 560с.

20. Колпаков В.М. Теория и практика принятия управленческих решений / Колпаков В.М. - К.: МАУП, 2004. - 504с.

21. Корнеенко В.П. Методы оптимизации / Корнеенко В.П. - М.: Высшая школа, 2007. - 664с.

22. Коробкин А.Д. Оптимизация производственного планирования на предприятии / Коробкин А.Д., Мироносецкий Н.Б. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 2004. - 336с.

23. Кривилев А. Основы компьютерной математики с использованием системы MATLAB / Кривилев А. - М.: Лекс-Книга, 2005. - 485с.

24. Лазарев Ю. Моделирование процессов и систем в MATLAB. Учебный курс. / Лазарев Ю. - СПб.: Питер: Киев: Издательская группа BHV, 2005. - 512с.

25. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений, а также хроника событий в Волшебных Странах / Ларичев О.И. - М.: Логос, 2000. - 296с.

26. Леоненков А.В. Решение задач в среде MS Excel. Учебное пособие / Леоненков А.В. - СПб.: БХВ -Петербург, 2005. - 690с.

27. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. / Л.И. Лопатников. - М.: Дело, 2003. - 121с.

28. Лотов В.А. Многокритериальные задачи принятия решений: учебное пособие / В.А. Лотов, И.И. Поспелова - М.: МАКС Пресс, 2008. - 197с.

29. Лунгу К.Н. Линейное программирование. Руководство к решению задач / Лунгу К.Н. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 128с.

30. Математические методы и модели в экономике: Учеб. пособие / [С.А. Минюк, Е.А. Ровба, К.К. Кузьмич]. - М.: ТетраСистемс, 2002. - 432с.

31. Мэтьюз, Джон Численные методы. Использование MATLAB / Д.Г. Мэтьюз, К.Д. Финк, [пер. с англ.]; под ред. Ю.В. Козаченко. [3-е изд.]. - М.: Вильямс, 2001. - 720с.

32. Палий И.А. Линейное программирование. Учебное пособие / И.А. Палий. - М.: Эксмо, 2008. - 256с.

33. Пантелеев А.В. Методы оптимизации. Практический курс / А.В. Пантелеев, Т.А. Летова. - М.: Логос, 2011. - 110с.

34. Панченко Т.В. Генетические алгоритмы / Панченко Т.В. - Астрахань: Астраханский университет, 2007. - 87с.

35. Плохотников К.Э. Вычислительные методы. Теория и практика в среде MATLAB. Курс лекций / Плохотников К.Э. - М.: Горячая Линия - Телеком, 2009. - 496с.

36. Подиновский В.В. Введение в теорию важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений / Подиновский В.В. - М.: Физматлит, 2007. - 64с.

37. Подиновский В.В. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач / В.В. Подиновский, В.Д. Ногин. - М.: Наука, 1982. -64с.

38. Половко А.М. MATLAB для студента / А.М. Половко, П.Н. Бутусов. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 320с.

39. Попов А.Л. Системы поддержки принятия решений: Учебно-метод. пособие / Попов А.Л. - Екатеринбург: Урал. гос. ун-т, 2008. - 80с.

40. Рагулина М.И. Информационные технологии в математике / Рагулина М.И. - М.: Академия, 2008. - 304с.

41. Редько В.Г. Эволюция, нейронные сети, интеллект. Модели и концепции эволюционной кибернетики. - М. Либроком, 2013. - 224с.

42. Сирота А. Компьютерное моделирование и оценка эффективности сложных систем / Сирота А. - М.: Техносфера, 2006. - 280с.

43. Системный анализ и принятие решений: словарь-справочник: Учеб. пособие для вузов / [под. ред. В.Н. Волковой, В.Н. Козлова]. - М.: Высш. шк., 2004. - 616 с.

44. Соболь И.М. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями / И.М. Соболь, Р.Б. Статников. - М.: Дрофа, 2006. - 176с.

45. Соловьев В.И. Методы оптимальных решений / Соловьев В.И. - М. : Финансовый университет, 2012. - 364с.

46. Струченков В.И. Методы оптимизации / Струченков В.И. - М.: Экзамен, 2005. - 256с.

47. Таха, Хемди А. Введение в исследование операций / Таха, Хемди А. ; пер. с англ. - М. : Издательский дом «Вильямс», 2001. - 912с.

48. Черноруцкий И.Г. Методы оптимизации и принятия решений / Черноруцкий И.Г. - СПб.: Лань, 2001. - 384с.

49. Шевченко В.Н. Линейное и целочисленное линейное программирование / В.Н. Шевченко, Н.Ю. Золотых. - Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 2004. - 154с.

50. Шикин Е.В. Математические методы и модели в управлении / Е.В. Шикин, А.Г. Чхартишвили. - М.: Дело, 2002. - 440с.

51. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация / Штойер Р. : пер. с англ. - М. : Радио и связь, 1992. - 504с. - (Теория, вычисления и приложения).

52. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / [В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайнтбегов и др.]; под ред. В.В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ, 1999. - 391с.

Электронные ресурсы:

53. Исаев Б.Р. Популярно о генетических алгоритмах/ Б.Р. Исаев.

54. Трифонов А.Г. Многокритериальная оптимизация / А.Г. Трифонов.

55. MathWorks - MATLAB / The Language of Technical Computing - USA: The MathWorks, Inc.

56. MathWorks - Global Optimization Toolbox / Multiobjective Optimization - USA: The MathWorks, Inc.

57. Nature Republic - Product / Baby&Kids - KOR:Nature Republic Co.

58. Nature Republic - Product / Cleansing - KOR: Nature Republic Co.

59. Nature Republic - Product / Make-up - KOR: Nature Republic Co.

60. Nature Republic - Product / Men - KOR: Nature Republic Co.

61. Nature Republic - Product / Skin Care - KOR: Nature Republic Co.

Приложение А

Состав натуральных экстрактов, растительных масел и минеральных компонентов для изготовления косметики

Растительные и лекарственные экстракты	- эктракт фисташки - эктракт зеленого чая - эктракт белого чая - эктракт портулака - эктракт гамамелиса - эктракт ромашки - эктракт листьев мяты - эктракт липы - эктракт лаванды - эктракт лилии - эктракт эктракт шалфея - эктракт ромашки - эктракт цвета кукурудзы - эктракт фруктов - эктракт алоэ веры - эктракт бергамоты - эктракт омелы
Растительное масло	- масло авокадо - масло ши - масло миндаля - масло розы - масло шиповника - масло ореха макадамии - масло сладкого миндаля - масло чайного дерева - масло косточек винограда - масло косточек абрикоса - пальмовое масло - кокосовое масло - масло жожоба - аргановое масло
Минеральные компоненты	- диоксид титана - оксид цинка - оксид железа - ультрамарин - шелковая пудра - серицит - перламутровые мики - жемчужный порошок - нитрид бора - магния стеарат - каолин (белая глина Амазонии) - диоксид кремний - ниацинамид - водорастворимый коллаген - гиалуронат натрия - салициновая кислота

Размещено на Allbest.ru