Решение дифференциальных уравнений и систем

Основные функции

Для решения дифференциальных однородных дифференциальных уравнений (ОДУ) - с начальными условиями пакет Mathcad имеет ряд встроенных функций:

rkfixed - функция решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге-Кутта четвертого порядка с постоянным шагом;

Rkadapt - функция решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге-Кутта с переменным шагом;

Bulstoer - функция решения ОДУ и систем ОДУ методом - метод Булирша-Штёра если заранее известно, что решением является гладкая функция.

Рассмотрим подробнее каждую из этих функций:

rkfixed (y, x1, x2, p, D) - возвращает матрицу первый столбец которой содержит точки, в которых получено решение, а остальные столбцы - решения, первые n-1 производные. Функция возвращает матрицу, состоящую из 1+n строк. Аргументы функции: y - вектор начальных условий (k элементов); x1 и x2 - границы интервала, на котором ищется решение ОДУ; p - число точек внутри интервала (x1, x2), в которых ищется решение; D - вектор, состоящий из k элементов, который содержит первые производные искомой функции.

Rkadapt (y, x1, x2, p, D) - назначение параметров то же, что и для функции rkfixed. Существует несколько модифицированная функция rkadapt (y,x1,x2, acc,p,D,k,s) - где добавлены параметры k - максимальное число промежуточных точек решения; s - минимально допустимый интервал между точками; acc - погрешность решения (рекомендуется порядка 0.001).

Bulstoer (y, x1, x2, p, D) - назначение параметров то же, что и для функции rkfixed.

Рекомендации по использованию

Обычно функция Rkadapt благодаря автоматическому изменению шага решения дает более точный результат, но по скорости вычислений она проигрывает функции rkfixed, хотя если решение меняется медленно, она может привести к заметному уменьшению числа вычислений. Поэтому функция Rkadapt наиболее пригодна для решения ОДУ дающих медленно меняющееся решения.

Примеры решения дифференциальных уравнений

1. Решим ОДУ .

1.1. Задаем вектор начальных условий:

1.2. Задаем вектор - функцию первой производной неизвестной функции:

1.3. Для решения воспользуемся функцией rkfixed:

2. Решим дифференциальное уравнение второго порядка:

.

Преобразуем уравнение в систему ОДУ первого порядка, решенных относительно первой производной:

3. Решим систему линейных уравнений первого порядка:

.

4. Решим систему двух линейных уравнений второго порядка:

с начальными условиями .

5. Программирование в пакете Mathcad

Система Mathcad позволяет задавать функции пользователя используя встроенный язык программирования, что позволяет значительно расширить область применения пакета. Перед тем как использовать программу-функцию нужно ее задать - выполнить описание.

Порядок описания программы-функции Mathcad:

1. ввести имя программы-функции и список формальных параметров.

имя_программы (формальные параметры: =);

2. в панели Programming, выбрать Add line. На экране появится вертикальная черта и вертикальный столбец с двумя полями ввода для ввода операторов, образующих тело программы-функции;

3. в поле 1 (щелкнув на нем мышью или нажав клавишу [Tab]) ввести первый оператор тела программы-функции. Для вставки дополнительных полей ввода нажать на кнопке Add line;

4. в последнем поле (поле 2), определить возвращаемое через имя программы-функции значение (см. рис.).

Рис. Структура программы-функции

В качестве примера определим функцию перевода из радиан в градусы:

Для выполнения программы-функции необходимо обратиться к её имени с указанием списка фактических параметров. Фактические параметры указывают при каких конкретных значениях осуществляются вычисления в теле программы. Между фактическими и формальными параметрами должно быть соответствие по количеству, порядку следования и типу. Программный модуль может вести себя и как функция без имени и параметров, но обязательно возвращающий результат.

Переменные определенные в функции являются локальными. Как видно из последнего примера локальное изменение переменной х в программе-функции, не привело к изменению внешней переменной х.

Основные программные операторы

Для создания программных модулей используются следующие основные элементы:

Логические операции и выражения отношений

Логическим выражением называется конструкция, составленная из выражений отношений, знаков логических операций и круглых скобок. Значение логического выражения вычисляется слева направо с учетом приоритетов операций. Список приоритетов (по их убыванию):

1. круглые скобки;

2. логическая операция И;

3. логическая операция ИЛИ.

Выражения отношений - используются для сравнения двух арифметических выражений между собой. Общий вид: выражения знак отношения выражение

Допустимые знаки отношений представлены в таблице:

Логические операции ставятся между выражениями отношений. Определены две логические операции - логическое ИЛИ (+) и логическое И ()

Примеры программных модулей

Определим программу-функцию для вычисление корней квадратного уравнения .

Примеры цикла for.

В первых двух случаях цикл задается с помощью дискретной переменной, в третьем - списком принимаемых значений. В четвертом, переменная цикла принимает значения элемента вектора V. Последний способ комбинирует приведенные выше способы.

Составим программу-функцию для определения позиций заданного элемента в векторе.

Составим программу-функцию для зануления нечетных элементов вектора.

Составим программу-функцию для определения позиции первого нулевого элемента матрицы.

Составим программу-функцию для определения максимального элемента массива и его позиции.

7) Составим программу-функцию для определения произведения элементов массива.

6. Апроксимация функций

Аппроксимацией (приближением) функции называется нахождение такой функции (аппроксимирующей функции), которая была бы близка заданной. Критерии близости функций и могут быть различные.

В том случае, когда приближение строится на дискретном наборе точек, аппроксимацию называют точечной или дискретной.

В том случае, когда аппроксимация проводится на непрерывном множестве точек (отрезке), аппроксимация называется непрерывной или интегральной. Примером такой аппроксимации может служить разложение функции в ряд Тейлора, то есть замена некоторой функции степенным многочленом.

Наиболее часто встречающим видом точечной аппроксимации является интерполяция (в широком смысле).

В том случае, когда полином един для всей области интерполяции, говорят, что интерполяция глобальная.

В тех случаях, когда между различными узлами полиномы различны, говорят о кусочной или локальной интерполяции.

Найдя интерполяционный полином, мы можем вычислить значения функции между узлами (провести интерполяцию в узком смысле слова), а также определить значение функции даже за пределами заданного интервала (провести экстраполяцию).

Следует иметь в виду, что точность экстраполяции обычно очень невелика.

Регрессия функций