Применение системы MathCAD для исследования модели электрической цепи с переменной индуктивностью

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Комплексное моделирование технических объектов

1.1 Математическое моделирование. Применение математического моделирования в проектировании

1.2 Обзор численных методов в моделировании

1.3 Решение дифференциальных уравнений в MathCAD

2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Полная постановка задачи

2.2 Описание математической модели

2.3 Анализ исходных и результирующих данных

2.4 Графическая схема алгоритма

3. Описание реализации задачи в MathCAD

3.1 Описание реализации базовой модели

3.2 Описание исследований

3.3 Выводы по результатам исследований

Заключение

Список использованных источников

Приложение А. Базовая модель

Приложение Б. Исследования

Введение

В эпоху глобальной компьютеризации с развитием информационных технологий нерационально выполнять расчеты вручную или с применением примитивных средств автоматизации. С развитием не только межличностных, но и рыночных отношений уровень задач, решаемых человечеством, значительно повысился и требует использования более сложных методов вычислений, а также оперативности при решении поставленных вопросов.

В свою очередь персональный компьютер, при введении соответствующей программы, позволяет практически любой расчет выполнить значительно быстрее, нагляднее, точнее, на принципиально более высоком уровне. Кроме того, использование вычислительной техники позволяет значительно сократить затраты как временных, так и трудовых ресурсов.

Цель данной курсовой работы - исследование модели электрической цепи с переменной емкостью с последующим построением графиков заряда на конденсаторе.

В данной работе используется такая система моделирования как MathCAD.

MathCAD - это мощный пакет программ, предназначенный для решения различных математических задач с возможностью программирования. Система MathCAD занимает лидирующее положение среди всех остальных математических систем. Помимо выполнения своих математических функций система MathCAD является очень неплохим текстовым и графическим редактором, по многим параметрам не уступающим специализированным программам.

MathCAD является математической системой, в которой описание решения задач задаётся с помощью привычных математических формул и знаков. Применение MathCAD при решении прикладных задач технического характера позволило резко повысить скорость расчётов и уровень сложности задач. Приобретаемые при выполнении навыки и опыт будут важны при дипломном проектировании, а также инженерной и научной деятельности.

1. Комплексное моделирование технических объектов

1.1 Математическое моделирование. Применение математического моделирования при проектировании

Под моделированием понимаются методы получения и исследования моделей. Можно дать несколько определений модели.

Модель - это некоторый объект, который на разных этапах исследования может заменять исследуемый объект.

Модель - это целевой образ объекта оригинала, отражающий наиболее важные свойства для достижения поставленной цели.

Модель - это либо мысленно представляемая, либо материально реализованная система, которая может отображать или воспроизводить объект исследования, а также замещать его с целью изучения и представления новой информации об объекте. Таким образом, создание каждой модели всегда имеет какую-либо цель.

Под целью понимается конечное состояние, при котором изучаемый объект достигает определенного соответствия во времени и пространстве с другим объектом.

Среди основных целей создания модели можно выделить следующие:

- Гносеологические (познавательные);

- Образовательные;

- Управленческие;

- Экспериментальные;

- Созидательные (проектирование).

Для достижения поставленных целей модель должна обладать некоторыми свойствами, которые одновременно являются и критериями оценки качества построения модели.

Среди свойств модели можно выделить следующие:

- Эффективность;

- Универсальность;

- Устойчивость;

- Содержательность;

- Адекватность;

- Ограниченность;

- Полнота;

- Динамичность.

Свойство эффективности показывает, насколько правильным было создание и использование модели для достижения поставленной цели. Под универсальностью модели понимается возможность её применения в других задачах и для достижения других целей. Устойчивость модели означает её правильную работу в изменяющихся внешних условиях и экстренных ситуациях. Свойство содержательности определяет количество функции модели.

Среди функций модели выделяют описательную, интерпретаторскую, объяснительную, предсказательную, измерительную функции.

Адекватность определяет соответствие модели поставленной задаче. Модель всегда отображает объект-оригинал не во всех его свойствах и функциях. Таким образом, модель является ограниченной. Под полнотой модели понимается наличие сведений об объекте-оригинале, необходимых для достижения поставленной цели. Динамичность определяет изменение модели с течением времени.

Важнейшим в моделировании является понятие информации. Под информацией можно понимать следующее:

- Это обозначение содержания полученного из внешнего мира в процессе нашего приспособления к нему. При этом процесс получения и использования информации является процессом нашего приспособления к случайностям нашей среды и нашей жизнедеятельности в этой среде.

- Это совокупность, отчужденная от создателя и обобществленная форма знания.

- Это модель, то есть упрощенное неадекватное представление знаний.

К примеру, информационной моделью знания можно считать текст, закрепленный на материальном носителе. При этом информационная модель позволяет отделить ценную информацию от несущественной, выбрать аналогии среди различных видов объектов и выбрать в качестве рабочей гипотезы одно из возможных решений.

При создании машин, технических комплексов и других объектов широко используется моделирование.

Математическое моделирование - процесс создания модели и оперирование ею с целью получения сведений о реальном объекте. Можно заметить, что альтернативой математического моделирования является физическое макетирование, но у математического моделирования есть ряд преимуществ: меньшие сроки на подготовку анализа; значительно меньшая материалоёмкость, особенно при проектировании крупногабаритных объектов; возможность выполнения экспериментов на критических режимах, которые привели бы к разрушению физического макета.

Математическая модель - это совокупность математических объектов (чисел, символов, множеств и т. д.) и связей между ними, отражающих важнейшие для проектировщика свойства объекта.

Моделирование, можно сказать, представляет собой процесс замещения (замены) реального объекта исследований на равнозначную ему математическую модель, рассчитанную и исследованную для получения полной информации об объекте. Т.е., математическая модель задачи - это есть оригинал, записанный в виде уравнений, каких-либо формул и т.п.

К математическим моделям предъявляются требования адекватности, экономичности, универсальности. Эти требования противоречивы, поэтому обычно для проектирования каждого объекта используют свою оригинальную модель.

По форме представления математических моделей различают инвариантную, алгоритмическую, аналитическую и графическую модели объекта проектирования.

В инвариантной форме математическая модель представляется системой уравнений (дифференциальных, алгебраических), вне связи с методом решения этих уравнений.

В алгоритмической форме соотношения модели связаны с выбранным численным методом решения и записаны в виде алгоритма - последовательности вычислений.

Аналитическая модель представляет собой явные зависимости искомых переменных от заданных величин (обычно зависимости выходных параметров объекта от внутренних).

Графическая (схемная) модель представляется в виде графов, эквивалентных схем, динамических моделей, диаграмм и т. п.

Среди алгоритмических моделей выделяют имитационные модели, предназначенные для имитации физических и информационных процессов, протекающих в объекте при функционировании его под воздействием различных факторов внешней среды. Деление математических моделей на функциональные и структурные определяется характером отображаемых свойств технического объекта.

Структурные модели отображают только структуру объектов и используются при решении задач структурного синтеза. Структурные модели имеют форму таблиц, матриц и графов. Наиболее перспективно применение древовидных графов типа И-ИЛИ - дерева.

Функциональные модели описывают процессы функционирования технических объектов и имеют форму систем уравнений. Они учитывают структурные и функциональные свойства объекта и позволяют решать задачи как параметрического, так и структурного синтеза.

По способам получения функциональные математические модели делятся на теоретические и экспериментальные.

Теоретические модели получают на основе описания физических процессов функционирования объекта, а экспериментальные - на основе изучения поведения объекта во внешней среде, рассматривая его как кибернетический “чёрный ящик”.

Физический подход сводится к непосредственному применению физических законов для описания объектов, например, законов Ньютонов, Гука, Кирхгофа, Фурье и др.

Формальный подход использует общие математические принципы и применяется при построении как теоретических, так и экспериментальных моделей. Функциональные математические модели могут быть линейные и нелинейные.

Линейные модели содержат только линейные функции фазовых переменных и их производных. [1]

1.2 Обзор численных методов в моделировании

В широком смысле под численным методом понимается совокупность дискретной модели, реализуемой на компьютере, и вычислительного алгоритма, позволяющего решить дискретизированную задачу. Одной и той же математической модели можно поставить в соответствие множество дискретных моделей и вычислительных алгоритмов, т. е. численных методов. При выборе численного метода необходимо учитывать две группы требований:

* дискретная модель должна быть адекватной математической модели;

* численный метод должен быть корректным и реализуемым на компьютере. Для обеспечения адекватности дискретная модель должна обладать свойствами сходимости численного метода, выполнения дискретных аналогов сохранения и качественно правильного поведения решения. Сходимость численного метода, например, означает, что при уменьшении шага разбиения интервала интегрирования точность численного интегрирования возрастает. Различные математические модели являются выражением физических законов сохранения, поэтому для дискретной модели законы сохранения также должны выполняться. Качественно правильное поведение дискретной модели означает, что из-за дискретного характера поведения модели не теряются некоторые детали поведения реальной системы. Корректность численного метода означает, что дискретная задача должна быть однозначно разрешимой и устойчивой к погрешностям исходных данных и погрешностям вычислений. Реализуемость численного метода на компьютере ограничена объемом памяти и быстродействием компьютера. Вычислительный алгоритм должен предъявлять разумные требования к ресурсам компьютера. Например, математически корректный метод Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений абсолютно неприменим для решения реальных задач: если принять, что каждая арифметическая операция выполняется за 10?6с, то для решения системы с 20 неизвестными методом Крамера потребуется более миллиона лет. В то же время простейшим методом Гаусса эта система будет решена за доли секунды. В узком смысле под численными методами понимают методы приближённого решения математических задач, сводящиеся к выполнению конечного числа элементарных операций над числами. В качестве элементарных операций фигурируют арифметические действия, выполняемые обычно приближённо, а также вспомогательные операции -- записи промежуточных результатов, выборки из таблиц и т.п. Числа задаются ограниченным набором цифр в некоторой позиционной системе счисления (десятичной, двоичной и т.п.). Таким образом, в численных методах числовая прямая заменяется дискретной системой чисел (сеткой); функция непрерывного аргумента заменяется таблицей её значений в сетке; операции анализа, действующие над непрерывными функциями, заменяются алгебраическими операциями над значениями функций в сетке.

Алгоритмы решения многих физических задач, для которых не удается получить ответ в виде формулы, основаны на следующей процедуре: строится бесконечный процесс, сходящийся к искомому решению. Он обрывается на некотором шаге(вычисления нельзя продолжать бесконечно), и полученная таким образом величина приближенно принимается за решение рассматриваемой задачи.

С помощью математического моделирования решение научно - технической задачи сводится к решению математической задачи, являющейся ее моделью. Для решения математических задач используются следующие основные группы методов: графические, аналитические и численные.

Графические методы в ряде случаев позволяют оценить порядок искомой величины. Основная идея этих методов состоит в том, что решение находится путём геометрических построений. Например: для нахождения корней уравнения f(x)=0 строится график функции y=f(x), точки пересечения которого с осью абсцисс и будут искомыми корнями.

При использовании аналитических методов решение задачи удаётся выразить с помощью формул. В частности, если математически задача состоит в решении простейших алгебраических уравнений» дифференциальных уравнений и т.д., то использование известных из курса математики приемов сразу приводит к цели. К сожалению, па практике это слишком редкие случаи. Главным инструментом для решения сложных математических задач в соответствии с являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами; при этом результаты получаются в виде числовых значений. Многие численные методы разработаны давно, однако при вычислении вручную они могли использоваться лишь для решения не слишком трудоёмких задач. При использовании аналитических методов решение задачи удаётся выразить с помощью формул. В частности, если математически задача состоит в решении простейших алгебраических уравнений» дифференциальных уравнений и т.д., то использование известных из курса математики приемов сразу приводит к цели. К сожалению, па практике это слишком редкие случаи.

Главным инструментом для решения сложных математических задач в соответствии с являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами; при этом результаты получаются в виде числовых значений. Многие численные методы разработаны давно, однако при вычислении вручную они могли использоваться лишь для решения не слишком трудоёмких задач.

Система MathCAD разработана фирмой MathSoft(CШA) и является на данный момент единственной математической системой, в которой описание решения математических задач задается с помощью привычных математических формул и знаков. В названии системы аббревиатура САD являющаяся сокращением от Computer Aided Design, указывает на принадлежность системы ж системам автоматизированного проектирования.

Вычислительные возможности системы применяются для решения множества задач из области математики, физики, экономики, инженерных расчётов, научных исследований.

Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений в системах MathCAD согласно предусмотрены четыре функции, обеспечивающие:

odesolve(x, x2,[m]) - решение одного обыкновенного дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта с постоянным (по умолчанию) или адаптивно вычисляемым системой шагом интегрирования;

rkfixed(y0,xl,x2,m,D) - решение уравнений методом Рунге-Кутта с постоянным шагом интегрирования, равным (х2 - xl)/m;

Rkadapt(yO,xl,x2,m,D) - решение уравнений методом Рунге-Кутта с шагом интегрирования, адаптивно выбираемым в зависимости от характера изменения у(х);

Bulstoer(yO,xl,x2,m,D) - решение уравнений методом Булирш-Штоера.

Обозначения основных параметров, которые используются в качестве аргументов большинства встроенных функций:

у - (n х 1) - вектор результирующих переменных (n 1);

у0 - (n х 1) - вектор начальных значений переменных;

х, х1, х2 - аргумент, левая и правая границы его диапазона соответственно;

т - число точек, в которых находится решение внутри интервала (xl, х2);

D(x,y) - (n х 1) - вектор правых частей системы дифференциальных уравнений первого порядка, соответствующий первым производным вектора у. Этот вектор должен быть предварительно, до использования какой-либо функции, введен в виде выражения D(х,у): = (правые части уравнений).

При п = 1 решение ищется для одного дифференциального уравнения.

Результаты решения задач интегрирования систем дифференциальных уравнений с использованием функций rkfixed, Rkadapt, Bulstoer формируются системами MathCAD в виде (т+ 1) * (п + 1) - матрицы (таблицы), первый столбец которой содержит значения аргументов от x1 до x2, а остальные п ее столбцов образуются значениями элементов вектора у переменных состояний, исследуемой системы. Таким образом, число элементов каждого из столбцов результирующей матрицы определяется параметром т, введенным в качестве аргумента соответствующей функции.

Функция rkfixed имеет следующие аргументы:

y = Вектор начальных условий размерности

x1, x2 = Граничные точки интервала, на котором ищется решение дифференциальных уравнений. Начальные условия, заданные в векторе y, -- это значение решения в точке x1.

npoints = Число точек (не считая начальной точки), в которых ищется приближенное решение.

D (x, y) = Функция, возвращающая значение в виде вектора из n элементов, содержащих первые производные неизвестных функций.

Mathcad включает ряд функций для вычисления регрессии. Обычно эти функции создают кривую или поверхность определенного типа, которая в некотором смысле минимизирует ошибку между собой и имеющимися данными. Функции отличаются прежде всего типом кривой или поверхности, которую они используют, чтобы аппроксимировать данные согласно .

В отличие от функций интерполяции эти функции не требуют, чтобы аппроксимирующая кривая или поверхность проходила через точки данных. Функции регрессии гораздо менее чувствительны к ошибкам данных, чем функции интерполяции. Конечный результат регрессии -- функция, с помощью которой можно оценить значения в промежутках между заданными точками.

Виды регрессии обычно называются по типу аппроксимирующих функций: полиномиальная, экспоненциальная, логарифмическая и т.п.

Линейная регрессия в системе Mathcad выполняется по векторам аргумента Х и отсчетов Y функциями:

· intercept(X,Y) - вычисляет параметр а, смещение линии регрессии по вертикали;

· slope(X,Y) - вычисляет параметр b, угловой коэффициент линии регрессии.

Аппроксимация и интерполяция

Интерполяция использует значения некоторой функции, заданные в ряде точек, чтобы предсказать значения функции между ними. В MathCAD можно соединять точки данных прямыми линиями (линейная интерполяция) или соединять их отрезками кубического полинома (кубическая сплайн-интерполяция).

Функции интерполяции определяют кривую, точно проходящую через заданные точки. Из-за этого результат очень чувствителен к ошибкам данных. Кроме того, каждый элемент массива, который используется в любой из функций, описанных в этом разделе, содержит определенное значение. Поскольку MathCAD присваивает значение 0 любым элементам, которые явно не определены.

Для построения интерполяции в MathCAD имеются несколько встроенных функций, позволяющих "соединить" точки выборки данных (xi,yi) кривой разной степени гладкости. По определению, интерполяция означает построение функции D(х), аппроксимирующей зависимость у(х) в промежуточных точках. Поэтому интерполяцию еще по-другому называют аппроксимацией. В точках xi значения интерполяционной функции должны совпадать с исходными данными, т. е. A(xi)=y(xi).

Самый простой вид интерполяции - линейная, которая представляет искомую зависимость А(х) в виде ломаной линии. Интерполирующая функция А(х) состоит из отрезков прямых.

В MathCAD для построения линейной интерполяции служит встроенная функция

linterp(х, у, t),

-cspline(VX, VY) - возвращает вектор вторых производных (VK) при приближении в опорных точках к кубическому полиному;

-pspline(VX, VY) - возвращает вектор вторых производных (VK) при приближении в опорных точках к параболической кривой;

-lspline(VX, VY) - возвращает вектор вторых производных (VK) при приближении в опорных точках к прямой;

1.3 Решение дифференциальных уравнений в MathCad

Дифференциальные уравнения - это уравнения, в которых неизвестными являются не переменные (т. е. числа), а функции одной или нескольких переменных. Эти уравнения (или системы) включают соотношения между искомыми функциями и их производными. Если в уравнения входят производные только по одной переменной, то они называются обыкновенными дифференциальными уравнениями (далее чаще используется сокращение ОДУ).В противном случае говорят об уравнениях в частных производных.

Для решения дифференциальных уравнений с начальными условиями система MathCAD имеет ряд встроенных функций:

- rkfixed - функция для решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге-Кутта четвертого порядка с постоянным шагом;

- Rkadapt - функция решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге-Кутта с переменным шагом;

- Odesolve - функция, решающая ОДУ блочным методом.

Ниже приведено описание стандартной функции rkfixed с указанием параметров функции:

rkfixed(y, x1, x2, p, D)

где

y - вектор начальных условий из k элементов (k - количество уравнений в системе);

x1 и x2 - левая и правая границы интервала, на котором ищется решение ОДУ или системы ОДУ;

p - число точек внутри интервала (x1, x2), в которых ищется решение;

D - вектор, состоящий из k-элементов, который содержит первую производную искомой функции или первые производные искомых функций, если речь идет о решении системы.

Результатом работы функции является матрица из p+1 строк, первый столбец которой содержит точки, в которых получено решение, а остальные столбцы - сами решения.

При решении дифференциального уравнения первого порядка нужно создать вектор начальных условий из одного элемента Y1, который затем используется при формировании вектора-функции правой части дифференциального уравнения. При обращении к функции rkfixed указывается имя вектора Y, границы интервала, на котором ищется решение уравнения, например, (0;5), количество точек, в которых ищется решение - 100, вектор-функция, описывающая правую часть дифференциального уравнения - D. В результате получается матрица, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомой функции, во втором - значения самой результирующей функции. При построении графика функции первый столбец полученной матрицы указывается как аргумент, второй столбец - как функция.

При решении системы дифференциальных уравнений нужно создать вектор начальных условий из двух элементов, например, вектор v, который затем используется при формировании вектора-функции правой части дифференциального уравнения. При обращении к функции rkfixed указывается имя вектора v, и границы интервала, на котором ищется решение уравнения, например, (0;5), количество точек, в которых ищется решение - 100, вектор-функция, описывающая правую часть дифференциального уравнения - D. В результате получается матрица, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомых функций, во втором и третьем столбцах - значения самих функций при соответствующем значении аргумента. При построении графика можно воспользоваться первым столбцом полученной матрицы как аргументом, а вторым и третьим столбцами - как функциями.

Для решения уравнения с помощью функции rkfixed нужно выполнить замену переменных и привести дифференциальное уравнение второго порядка к двум дифференциальным уравнениям первого порядка.

2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Полная постановка задачи

Применение системы MathCAD для исследования модели электрической цепи с переменной индуктивностью, заданной графически.

Постановка задачи:

1. С использованием системы MathCAD рассчитать аналитическую зависимость для заданной графически функции переменной индуктивности.

2. С использованием системы MathCAD рассчитать значения функции заряда на конденсаторе в заданной электрической схеме. Построить графики функции индуктивности и функции заряда на конденсаторе.

3. Исследовать влияние значений изменяемого параметра на вид функции заряда на конденсаторе.

4. Построить сводный график всех полученных функций заряда на одном поле.

5. Подобрать аналитическую аппроксимирующую функцию по результатам исследований пункта 2. Построить графически исходную и аппроксимирующую зависимости.

2.2 Описание математической модели

Электрическая цепь, приведенная на рисунке 1, состоит из линейных неизменных во времени С и R и изменяющейся во времени индуктивности

и описывается дифференциальным уравнением вида:

 (2.1)

Размещено на http://www.allbest.ru/

L(t) задается графически рисунок 2.2.

комплексный математический моделирование проектирование mathcad

Рисунок А2.2

2.3 Анализ исходных и результирующих данных Исходные данные

L0 - значение индуктивности;

R - исходное сопротивление;

C(t) -исходная функция индуктивности;

С - параметр функции емкости;

? - частота изменения емкости;

q0 - начальное значение заряда на конденсаторе;

Т - время исследования

Таблица 1 - Исходные данные

C	R	q0	T	m	L0	?	Варьируемый параметр
1.3•10-5	11	10-6	0.4	0.02	0.1	200	С0=0.25•10-5 - 3•10-5

Выбираем значение варьируемого параметра функции емкости С0.

Таблица 2 - Значение варьируемого параметра функции емкости С0.

C1	C2	C3	C4	C5	C6	C7	C8	C9	C10
0.25•10-5	0.5•10-5	0.75•10-5	1•10-5	1.23•10-5	1.5•10-5	1.8•10-5	2.3•10-5	2.6•10-5	3•10-5

Результатом расчетов являются:

- значения функции заряда на конденсаторе в заданной электрической схеме;

- построение графиков функции ёмкости конденсатора и функции заряда;

- построение графиков функции заряда на конденсаторе при различных значениях параметра функции ёмкости;

Таблица 3- Используемые переменные

Параметр	Описание	Единицы измерения	Вид
R	сопротивления резистора	Ом	дискретная
L0	индуктивность катушки	Гн	постоянная
L(t)	ф-ция емкости конденсатора	Гн	функция
T, t	время исследования	с	постоянная
C	емкость конденсатора	Ф	постоянная
q0	заряд конденсатора	Кл	дискретная
min	минимальный заряд на конденсаторе	Кл	дискретная
	частота тока	Рад/с	постоянная
m	-	-	постоянная
VS	Матрица производных ф-ции при начальных условиях	-	матрица
F	вектор, содержащий функции f(x) , записанные в символьном виде	-	вектор
K	вектор коэффициентов	-	вектор
VX	вектор, содержащий значения варьируемого параметра C	-	вектор
VY	матрица содержащая, минимальные заряды на конденсаторе для каждого значения варьируемого параметра	-	вектор

2.4 Алгоритм решения задачи

Графическая схема алгоритма представлена на рисунке 2.2

Рисунок 2.2 - графическая схема алгоритма

Описание графической схемы алгоритма:

1. Вводим начальные параметры цепи из таблицы 1;

2. Построение графика изменения ф-ции индуктивности с течением времени

3. Решаем уравнение 2.1

4. Строим графики напряжения на конденсаторе и тока в цепи.

5. Решаем дифференциальное уравнение 2.1, для каждого значения варьируемого параметра.

6. Строим зависимости заряда на конденсаторе от времени, и зависимости тока в цепи от времени.

7. Изменяем варьируемый параметр.

8. Строим сводный график всех полученных функций заряда на одном поле.

9. Находим минимального значения функции заряда на конденсаторе.

10. По полученным данным производим аппроксимацию при помощи функции linfit - эта функция проводит аппроксимацию по методу наименьших квадратов

3. Описание реализации задачи в MathCAD

3.1 Описание реализации базовой модели

1. Вводим исходные данные.

2. Так как эта функция L(t) задана графически сначала нужно задать зависимость. Из Рисунка 2.2 берем координаты функции L(t) и задаем их в Mathcad. Задаём вектор F - вектор, который содержит искомую функцию и её частные производные по параметрам в аналитическом виде. Производим аппроксимацию при помощи функции genfit - эта функция проводит аппроксимацию минимальной среднеквадратической ошибкой. Затем решаем данное дифференциальное уравнение, используя функцию rkfixed , которая решает уравнения методом Рунге-Кутта 4-го порядка. В результате получим таблицу значений зарядов и токов в зависимости от времени. Строим график функции заряда на конденсаторе и зависимости тока в цепи от времени

3.2 Описание исследований

Исследуем влияние значений изменяемого параметра на минимум функции заряда на конденсаторе. Для этого задаём значение изменяемого параметра и решаем дифференциальное уравнение работы электрической цепи с помощью функции rkfixed с заданным значением изменяемого параметра. Строим график функции заряда на конденсаторе и находим минимум этой функции. После строим сводный график зависимостей заряда на конденсаторе от времени при изменяющемся параметре - параметре функции ёмкости C.

Подбираем аналитическую аппроксимирующую функцию по результатам исследований. Строим графики исходной и аппроксимирующей зависимостей.

3.3 Выводы по результатам исследований

В данной курсовой работе проводились исследования электрической цепи с переменной индуктивностью. В результате решения поставленной задачи были найдены зависимости заряда от времени и построены графики.

Исследовано влияние значений изменяемого параметра на вид функции заряда в схеме. Построен сводный график всех полученных функций заряда от времени на одном поле.

По результатам исследований вычислены аналитические аппроксимирующие функции. Построена графически исходная и аппроксимирующая зависимости. Если судить по результатам проделанной работы, то из полученных данных видно, что с увеличением емкости. С уменьшается амплитуда колебания и изменяется период функции заряда на конденсаторе.

В данном курсовом проекте для расчетов в среде Mathcad были использованы следующие элементы:

- genfit - функция проводящая аппроксимацию с минимальной среднеквадратической ошибкой;

- rkfixed - функция предназначенная для решения дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта 4-го порядка.

- linfit - эта функция проводит аппроксимацию по методу наименьших квадратов

Заключение

В данной курсовой работе было проведено исследование модели электрической цепи с переменной индуктивностью с использованием системы компьютерной математики MathCAD.

Использование математического моделирования в сочетании с применением новейших компьютерных технологий значительно облегчает сложнейшие объёмные вычисления. За последнее время новейшие разработки в области компьютерного моделирования находят всё более и более широкое применение в самых разных сферах человеческой деятельности.

Появление таких продуктов, как MathCAD и их совершенствование, обусловлено необходимостью производить сложные математические вычисления. Данная система может значительно облегчить работу студентов, инженеров, конструкторов, ученых и всех тех, кто имеет дело со сложными и трудоемкими математическими вычислениями.

На сегодняшний день сочетание вычислительных технологий и теоретических навыков студентов является, на мой взгляд, основополагающим курсом для всех электротехнических, энергетических, электронных и многих других специальностей вузов, которые в будущем столкнутся с ещё более совершенными информационными системами.

Список использованных источников

1. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем,-Мн.: ДизайнПРО 1999 - 640 с.

2. Ю. Ю. Тарасевич Численные методы на Mathcad'е. - Астраханский гос. пед. ун-т: Астрахань, 2000. - 70 c.

3. Трохова Т.А. Практическое пособие по теме “Основные приемы работы в системе MathCAD,версии 6.0.” для студентов всех специальностей дневного и заочного отделений. -Гомель: ГГТУ,1998.(м/у 2286).

4. Трохова Т. А., Самоведнюк Н. В., Романькова Т. Л. Практическое руководство к курсовому проектированию по курсу "Информатика" для студентов технических специальностей дневной и заочной форм обучения. - Гомель: Учреждение образования "ГГТУ имени П.О.Сухого", 2004. - 34 с.

5. Луковников В.И. Методические указания к выполнению с применением ЭВМ расчётно-графических работ курса ТОЭ для студентов спец. 2005, 1004. Гомель, Ротапринт ГПИ, 1990.

6. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: Учебник для электротехн., энерг., приборостроит. спец. вузов. 7-е изд., перераб. и доп. - М.: Высшая школа, 1978. -528 с.

Приложение А. Базовая модель

Параметры элементов цепи

Ом сопротивление резистора

сопротивление резистора

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Ф параметр функции ёмкости

Параметры функции ёмкости конденсатора

Функция ёмкости конденсатора

Размещено на http://www.allbest.ru/



Рисунок А.1 - График функции ёмкости конденсатора

Дифференциальное уравнение работы электрической цепи

Матрица производных функций при начальных условиях

Начальные условия

Время исследования

Находим численное решение методом Рунге-Кутта

Таблица значений заряда на конденсаторе и тока в конденсаторе

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/



Рисунок А.2 - График функции заряда на конденсаторе

Приложение Б. Исследования

1. Определение зависимости заряда на конденсаторе от времени при изменяющемся параметре функции ёмкости С0.

1-й опыт

Матрица производных функций при начальных условиях

Начальные условия

2-й опыт

Матрица производных функций при начальных условиях

Начальные условия

Рисунок Б.2 - График зависимости заряда на конденсаторе от времени



3-й опыт

Матрица производных функций при начальных условиях

Начальные условия

Рисунок Б.3 - График зависимости заряда на конденсаторе от времени

4-й опыт

Матрица производных функций при начальных условиях

Начальные условия

Рисунок Б.4 - График зависимости заряда на конденсаторе от времени

5-й опыт

Матрица производных функций при начальных условиях

Начальные условия

Рисунок Б.5 - График зависимости заряда на конденсаторе от времени

6-й опыт

Матрица производных функций при начальных условиях

Начальные условия

Рисунок Б.6 - График зависимости заряда на конденсаторе от времени

7-й опыт

Матрица производных функций при начальных условиях

Начальные условия

Рисунок Б.7 - График зависимости заряда на конденсаторе от времени

8-й опыт

Матрица производных функций при начальных условиях

Начальные условия

Рисунок Б.8 - График зависимости заряда на конденсаторе от времени

9-й опыт

Матрица производных функций при начальных условиях

Начальные условия

Рисунок Б.9 - График зависимости заряда на конденсаторе от времени

Подбираем аналитическую аппроксимирующую функцию по результатам исследования пункта 2. Строим графически исходную и аппроксимирующую зависимости.

Рисунок Б.11 - Сводный график зависимостей заряда на конденсаторе от времени при изменяющемся параметре - параметре функции ёмкости C



Рисунок Б.12 - Исходная и аппроксимирующая зависимости

Размещено на Allbest.ru