Применение системы MathCAD для исследования реакции электрической цепи на внешнее воздействие

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

ГОМЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ П. О. СУХОГО

Факультет энергетический

Кафедра "Информатика"

РАСЧЕТНО-ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе

по дисциплине "Информатика"

на тему: "Применение системы MathCAD для исследования реакции электрической цепи на внешнее воздействие"

Исполнитель: студент гр. ЭПП-22

Пырх С.В.

Руководитель: преподаватель

Андреева Д.П.

Гомель 2012

Содержание

Введение

1. Общий обзор программных средств компьютерного моделирования

1.1 Применение численных методов в компьютерном моделировании

1.2 Обзор программных средств компьютерного моделирования

2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Полная постановка задачи

2.2 Описание математической модели

2.4 Графическая схема алгоритма и ее описание

3. Описание реализации задачи в MathCad

3.1 Описание реализации базовой модели

3.2 Описание исследований

3.3 Выводы по результатам исследований

• Заключение
• Литература
• Введение
• Миллионы людей занимаются математическими расчетами, иногда в силу влечения к таинствам математики и ее внутренней красоте, а чаще в силу профессиональной или иной необходимости, не говоря уже об учебе. Ни одна серьезная разработка в любой отрасли науки и производства не обходится без трудоемких математических расчетов. Для облегчения проведения математических расчетов была разработана программа MathCAD. Система MathCAD пользуется огромной популярностью во всем мире, позволяя готовить вполне профессиональные документы, имеющие вид статей и книг по математике.
• При проектировании технических объектов и в математических расчетах используют множество видов математических моделей, в зависимости от уровня иерархии, степени декомпозиции системы, аспекта, стадии и этапа проектирования. Математические модели, используемые при проектировании, предназначены для анализа процессов функционирования объектов и оценки их выходных параметров.
• В данном курсовом проекте в среде MathCad была составлена математическая модель. Результаты моделирования представлены в виде чисел и графиков.
• 1. Общий обзор программных средств компьютерного моделирования
• 1.1 Применение численных методов в компьютерном моделировании
• В широком смысле под численным методом понимается совокупность дискретной модели, реализуемой на компьютере, и вычислительного алгоритма, позволяющего решить дискретизированную задачу. Одной и той же математической модели можно поставить в соответствие множество дискретных моделей и вычислительных алгоритмов, т. е. численных методов. При выборе численного метода необходимо учитывать две группы требований:
• дискретная модель должна быть адекватной математической модели;
• численный метод должен быть корректным и реализуемым на компьютере. Для обеспечения адекватности дискретная модель должна обладать свойствами сходимости численного метода, выполнения дискретных аналогов сохранения и качественно правильного поведения решения. Сходимость численного метода, например, означает, что при уменьшении шага разбиения интервала интегрирования точность численного интегрирования возрастает. Различные математические модели являются выражением физических законов сохранения, поэтому для дискретной модели законы сохранения также должны выполняться. Качественно правильное поведение дискретной модели означает, что из-за дискретного характера поведения модели не теряются некоторые детали поведения реальной системы. Корректность численного метода означает, что дискретная задача должна быть однозначно разрешимой и устойчивой к погрешностям исходных данных и погрешностям вычислений. Реализуемость численного метода на компьютере ограничена объемом памяти и быстродействием компьютера. Вычислительный алгоритм должен предъявлять разумные требования к ресурсам компьютера. Например, математически корректный метод Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений абсолютно неприменим для решения реальных задач: если принять, что каждая арифметическая операция выполняется за 10?6с, то для решения системы с 20 неизвестными методом Крамера потребуется более миллиона лет. В то же время простейшим методом Гаусса эта система будет решена за доли секунды. В узком смысле под численными методами понимают методы приближённого решения математических задач, сводящиеся к выполнению конечного числа элементарных операций над числами. В качестве элементарных операций фигурируют арифметические действия, выполняемые обычно приближённо, а также вспомогательные операции - записи промежуточных результатов, выборки из таблиц и т.п. Числа задаются ограниченным набором цифр в некоторой позиционной системе счисления (десятичной, двоичной и т.п.). Таким образом, в численных методах числовая прямая заменяется дискретной системой чисел (сеткой); функция непрерывного аргумента заменяется таблицей её значений в сетке; операции анализа, действующие над непрерывными функциями, заменяются алгебраическими операциями над значениями функций в сетке.
• Алгоритмы решения многих физических задач, для которых не удается получить ответ в виде формулы, основаны на следующей процедуре: строится бесконечный процесс, сходящийся к искомому решению. Он обрывается на некотором шаге(вычисления нельзя продолжать бесконечно), и полученная таким образом величина приближенно принимается за решение рассматриваемой задачи.
• С помощью математического моделирования решение научно - технической задачи сводится к решению математической задачи, являющейся ее моделью. Для решения математических задач используются следующие основные группы методов: графические, аналитические и численные.
• Графические методы в ряде случаев позволяют оценить порядок искомой величины. Основная идея этих методов состоит в том, что решение находится путём геометрических построений. Например: для нахождения корней уравнения f(x)=0 строится график функции y=f(x), точки пересечения которого с осью абсцисс и будут искомыми корнями.
• При использовании аналитических методов решение задачи удаётся выразить с помощью формул. В частности, если математически задача состоит в решении простейших алгебраических уравнений" дифференциальных уравнений и т.д., то использование известных из курса математики приемов сразу приводит к цели. К сожалению, па практике это слишком редкие случаи. Главным инструментом для решения сложных математических задач в соответствии с являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами; при этом результаты получаются в виде числовых значений. Многие численные методы разработаны давно, однако при вычислении вручную они могли использоваться лишь для решения не слишком трудоёмких задач. При использовании аналитических методов решение задачи удаётся выразить с помощью формул. В частности, если математически задача состоит в решении простейших алгебраических уравнений" дифференциальных уравнений и т.д., то использование известных из курса математики приемов сразу приводит к цели. К сожалению, па практике это слишком редкие случаи.
• Главным инструментом для решения сложных математических задач в соответствии с являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами; при этом результаты получаются в виде числовых значений. Многие численные методы разработаны давно, однако при вычислении вручную они могли использоваться лишь для решения не слишком трудоёмких задач.
• Система MathCAD разработана фирмой MathSoft(CШA) и является на данный момент единственной математической системой, в которой описание решения математических задач задается с помощью привычных математических формул и знаков. В названии системы аббревиатура САD являющаяся сокращением от Computer Aided Design, указывает на принадлежность системы ж системам автоматизированного проектирования.
• Вычислительные возможности системы применяются для решения множества задач из области математики, физики, экономики, инженерных расчётов, научных исследований.
• Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений в системах MathCAD согласно предусмотрены четыре функции, обеспечивающие:
• odesolve(x, x2,[m]) - решение одного обыкновенного дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта с постоянным (по умолчанию) или адаптивно вычисляемым системой шагом интегрирования;
• rkfixed(y0,xl,x2,m,D) - решение уравнений методом Рунге-Кутта с постоянным шагом интегрирования, равным (х2 - xl)/m;
• Rkadapt(yO,xl,x2,m,D) - решение уравнений методом Рунге-Кутта с шагом интегрирования, адаптивно выбираемым в зависимости от характера изменения у(х);
• Bulstoer(yO,xl,x2,m,D) - решение уравнений методом Булирш-Штоера.
• Обозначения основных параметров, которые используются в качестве аргументов большинства встроенных функций:
• у - (n х 1) - вектор результирующих переменных (n 1);
• у0 - (n х 1) - вектор начальных значений переменных;
• х, х1, х2 - аргумент, левая и правая границы его диапазона соответственно;
• т - число точек, в которых находится решение внутри интервала (xl, х2);
• D(x,y) - (n х 1) - вектор правых частей системы дифференциальных уравнений первого порядка, соответствующий первым производным вектора у. Этот вектор должен быть предварительно, до использования какой-либо функции, введен в виде выражения D(х,у): = (правые части уравнений).
• При п = 1 решение ищется для одного дифференциального уравнения.
• Результаты решения задач интегрирования систем дифференциальных уравнений с использованием функций rkfixed, Rkadapt, Bulstoer формируются системами MathCAD в виде (т+ 1) * (п + 1) - матрицы (таблицы), первый столбец которой содержит значения аргументов от x1 до x2, а остальные п ее столбцов образуются значениями элементов вектора у переменных состояний, исследуемой системы. Таким образом, число элементов каждого из столбцов результирующей матрицы определяется параметром т, введенным в качестве аргумента соответствующей функции.
• Функция rkfixed имеет следующие аргументы:
• y = Вектор начальных условий размерности , x2 = Граничные точки интервала, на котором ищется решение дифференциальных уравнений. Начальные условия, заданные в векторе y, - это значение решения в точке x1.= Число точек (не считая начальной точки), в которых ищется приближенное решение. (x, y) = Функция, возвращающая значение в виде вектора из n элементов, содержащих первые производные неизвестных функций.
• Mathcad включает ряд функций для вычисления регрессии. Обычно эти функции создают кривую или поверхность определенного типа, которая в некотором смысле минимизирует ошибку между собой и имеющимися данными. Функции отличаются прежде всего типом кривой или поверхности, которую они используют, чтобы аппроксимировать данные согласно .
• В отличие от функций интерполяции эти функции не требуют, чтобы аппроксимирующая кривая или поверхность проходила через точки данных. Функции регрессии гораздо менее чувствительны к ошибкам данных, чем функции интерполяции. Конечный результат регрессии - функция, с помощью которой можно оценить значения в промежутках между заданными точками.
• Виды регрессии обычно называются по типу аппроксимирующих функций: полиномиальная, экспоненциальная, логарифмическая и т.п.
• Линейная регрессия в системе Mathcad выполняется по векторам аргумента Х и отсчетов Y функциями:
• ·intercept(X,Y) - вычисляет параметр а, смещение линии регрессии по вертикали;
• ·slope(X,Y) - вычисляет параметр b, угловой коэффициент линии регрессии.
• Аппроксимация и интерполяция
• Интерполяция использует значения некоторой функции, заданные в ряде точек, чтобы предсказать значения функции между ними. В MathCAD можно соединять точки данных прямыми линиями (линейная интерполяция) или соединять их отрезками кубического полинома (кубическая сплайн-интерполяция).
• Функции интерполяции определяют кривую, точно проходящую через заданные точки. Из-за этого результат очень чувствителен к ошибкам данных. Кроме того, каждый элемент массива, который используется в любой из функций, описанных в этом разделе, содержит определенное значение. Поскольку MathCAD присваивает значение 0 любым элементам, которые явно не определены.
• Для построения интерполяции в MathCAD имеются несколько встроенных функций, позволяющих "соединить" точки выборки данных (xi,yi) кривой разной степени гладкости. По определению, интерполяция означает построение функции D(х), аппроксимирующей зависимость у(х) в промежуточных точках. Поэтому интерполяцию еще по-другому называют аппроксимацией. В точках xi значения интерполяционной функции должны совпадать с исходными данными, т. е. A(xi)=y(xi).
• Самый простой вид интерполяции - линейная, которая представляет искомую зависимость А(х) в виде ломаной линии. Интерполирующая функция А(х) состоит из отрезков прямых.
• В MathCAD для построения линейной интерполяции служит встроенная функция(х, у, t),
• cspline(VX, VY) - возвращает вектор вторых производных (VK) при приближении в опорных точках к кубическому полиному;
• pspline(VX, VY) - возвращает вектор вторых производных (VK) при приближении в опорных точках к параболической кривой;
• lspline(VX, VY) - возвращает вектор вторых производных (VK) при приближении в опорных точках к прямой;
• Решение дифференциальных уравнений в MathCad
• Дифференциальные уравнения - это уравнения, в которых неизвестными являются не переменные (т. е. числа), а функции одной или нескольких переменных. Эти уравнения (или системы) включают соотношения между искомыми функциями и их производными. Если в уравнения входят производные только по одной переменной, то они называются обыкновенными дифференциальными уравнениями (далее чаще используется сокращение ОДУ).В противном случае говорят об уравнениях в частных производных.
• Для решения дифференциальных уравнений с начальными условиями система MathCAD имеет ряд встроенных функций:
• rkfixed - функция для решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге-Кутта четвертого порядка с постоянным шагом;
• Rkadapt - функция решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге-Кутта с переменным шагом;
• Odesolve - функция, решающая ОДУ блочным методом.
• Ниже приведено описание стандартной функции rkfixed с указанием параметров функции: (y, x1, x2, p, D) где- вектор начальных условий из k элементов (k - количество уравнений в системе); и x2 - левая и правая границы интервала, на котором ищется решение ОДУ или системы ОДУ; - число точек внутри интервала (x1, x2), в которых ищется решение; - вектор, состоящий из k-элементов, который содержит первую производную искомой функции или первые производные искомых функций, если речь идет о решении системы.
• Результатом работы функции является матрица из p+1 строк, первый столбец которой содержит точки, в которых получено решение, а остальные столбцы - сами решения.
• При решении дифференциального уравнения первого порядка нужно создать вектор начальных условий из одного элемента Y1, который затем используется при формировании вектора-функции правой части дифференциального уравнения. При обращении к функции rkfixed указывается имя вектора Y, границы интервала, на котором ищется решение уравнения, например, (0;5), количество точек, в которых ищется решение - 100, вектор-функция, описывающая правую часть дифференциального уравнения - D. В результате получается матрица, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомой функции, во втором - значения самой результирующей функции. При построении графика функции первый столбец полученной матрицы указывается как аргумент, второй столбец - как функция.
• При решении системы дифференциальных уравнений нужно создать вектор начальных условий из двух элементов, например, вектор v, который затем используется при формировании вектора-функции правой части дифференциального уравнения. При обращении к функции rkfixed указывается имя вектора v, и границы интервала, на котором ищется решение уравнения, например, (0;5), количество точек, в которых ищется решение - 100, вектор-функция, описывающая правую часть дифференциального уравнения - D. В результате получается матрица, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомых функций, во втором и третьем столбцах - значения самих функций при соответствующем значении аргумента. При построении графика можно воспользоваться первым столбцом полученной матрицы как аргументом, а вторым и третьим столбцами - как функциями.
• Для решения уравнения с помощью функции rkfixed нужно выполнить замену переменных и привести дифференциальное уравнение второго порядка к двум дифференциальным уравнениям первого порядка.

1.2 Обзор программных средств компьютерного моделирования

MathCAD является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов. Пользователи MathCAD - это студенты, ученые, инженеры, разнообразные технические специалисты. Благодаря простоте применения, наглядности математических действий, обширной библиотеке встроенных функций и численных методов, возможности символьных вычислений, а также превосходному аппарату представления результатов (графики самых разных типов, мощных средств подготовки печатных документов и Web-страниц), MathCAD стал наиболее популярным математическим приложением. MathCAD 2001, в отличие от большинства других современных математических приложений, построен в соответствии с принципом WYSIWYG ("What You See Is What You Get" - "что вы видите, то и получите"). Поэтому он очень прост в использовании, в частности, из-за отсутствия необходимости сначала писать программу, реализующую те или иные математические расчеты, а потом запускать ее на исполнение. Вместо этого достаточно просто вводить математические выражения с помощью встроенного редактора формул, причем в виде, максимально приближенном к общепринятому, и тут же получать результат. Кроме того, можно изготовить на принтере печатную копию документа или создать страницу в Интернете именно в том виде, который этот документ имеет на экране компьютера при работе с MathCAD.

Создатели MathCAD сделали все возможное, чтобы пользователь, не обладающий специальными знаниями в программировании (а таких большинство среди ученых и инженеров), мог в полной мере приобщиться к достижениям современной вычислительной науки и компьютерных технологий.

Таким образом, следует хорошо представлять себе, что в состав MathCAD входят несколько интегрированных между собой компонентов - это мощный текстовый редактор для ввода и редактирования, как текста, так и формул, вычислительный процессор - для проведения расчетов согласно введенным формулам, и символьный процессор, являющийся, по сути, системой искусственного интеллекта. Сочетание этих компонентов создает удобную вычислительную среду для разнообразных математических расчетов и, одновременно, документирования результатов работы.

Пакет MathCAD позволяет производить такие математические операции как:

Все функции системы можно классифицировать следующим образом:

1) Вычислительные функции;

2) Графические функции;

3) Программирование;

4) Сервисные функции;

Вычислительные возможности системы применяются для решения множества задач из области математики, физики, экономики, инженерных расчётов, научных исследований. К основным вычислительным функциям можно отнести следующие:

1) Вычисление арифметических выражений с различной точностью.

2) Вычисление производных (обычных и частных), интегралов (обычных, многомерных и контурных).

3) Вычисление сумм и произведения.

4) Выполнение операций с размерными величинами и переменными.

5) Решение уравнений, неравенств и их систем.

6) Решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

7) Обработка матриц, векторов и ранжированных переменных.

8) Использование встроенных математических функций.

9) Создание пользовательских функций.

10) Использование символьных преобразований и вычислений.

Графические возможности системы применяются для визуализации результатов вычислений и включают построение двумерных графиков в различных системах координат, создание графиков поверхностей, карт линий уровня, трехмерных гистограмм, точечных графиков и графиков векторных полей. Система позволяет продемонстрировать процесс движения или изменения каких-либо результатов в виде анимационного клипа.

Система позволяет создавать программы, представляющие собой выражения, состоящие из программных конструкций, подобных конструкциям языков программирования. Программные выражения позволяют успешно решать в системе те задачи, которые невозможно вычислить с помощью имеющихся встроенных функций.

Простейшие действия демонстрируют использование MathCAD в качестве обычного калькулятора с расширенным набором функций. Для математика же интерес представляет, как минимум, возможность задания переменных и операций с функциями пользователя. Нет ничего проще - в MathCAD действия, как и большинство других, реализованы по принципу "как принято в математике, так и вводится".

Вычислительный эксперимент позволяет заменить дорогостоящий натурный эксперимент расчетами на ЭВМ. Он позволяет в короткие сроки и без значительных материальных затрат осуществить исследование большого числа вариантов проектируемого объекта или процесса для различных режимов его эксплуатации, что значительно сокращает сроки разработки сложных систем и их внедрение в производство. В заключение подчеркнем еще раз, что компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент позволяют свести исследование "нематематического" объекта к решению математической задачи. Этим самым открывается возможность использования для его изучения хорошо разработанного математического аппарата в сочетании с мощной вычислительной техникой. На этом основано применение математики и ЭВМ для познания законов реального мира и их использования на практике.

Система MATLAB (MATrix LABoratory - матричная лаборатория, фирма MathWorks, Inc) создана "как язык программирования высокого уровня для технических вычислений". Система имеет открытую архитектуру, современные версии поставляются вместе с пакетом расширения Simulink. Наиболее полно функциональные возможности системы проявляются в рамках комплекса "MATLAB + Simulink + пакеты расширения". Число пакетов расширения насчитывает несколько десятков.

В системе реализован принцип визуально-ориентированного программирования; уравнения состояний, описывающие динамические системы, формируются автоматически; имеются виртуальные средства регистрации и визуализации результатов моделирования. Функции системы MATLAB позволяют в интерактивном режиме выполнять сложные математические вычисления: разрабатывать алгоритмы; выполнять вычислительный эксперимент и имитационное моделирование; анализировать данные и визуализировать результаты.

Основным объектом в MATLAB является массив, для которого не требуется указывать размерность явно. Как система MATLAB объединяет операционную среду и язык программирования. Одним из достоинств системы является то, что на языке MATLAB могут быть написаны программы для многократного использования. Имеется возможность пользователю самому создавать специализированные функции и программы.

Для проектирования технических систем наиболее полезными являются пакеты комплекса "MATLAB + Simulink + пакеты расширения": System Identification Toolbox, Frequency Domain Identification, Control System Toolbox, Nonlinear Control Design, Robust Control Toolbox.

Наиболее известны области применения системы MATLAB:

1. математика и вычисления;

2. разработка алгоритмов;

3. вычислительный эксперимент, имитационное моделирование, макетирование;

4. анализ данных, исследование и визуализация результатов;

5. научная и инженерная графика;

6. разработка приложений, включая графический интерфейс пользователя.

MATLAB - это интерактивная система, основным ее объектом является массив, для которого не требуется указывать размерность явно. Это позволяет решать многие вычислительные задачи, связанные с векторно-матричными формулировками, существенно сокращая время, которое по- надобилось бы для программирования на скалярных языках типа С или FORTRAN.

Система MATLAB - это одновременно и операционная среда и язык программирования. Одна из наиболее сильных сторон системы состоит в том, что на языке MATLAB могут быть написаны программы для многократного использования. Пользователь может сам написать специализированные функции и программы, которые оформляются в виде М-файлов. По мере увеличения количества созданных программ возникают проблемы их классификации и тогда можно попытаться собрать родственные функции в специальные папки. Это приводит к концепции пакетов прикладных про- грамм (ППП), которые представляют собой коллекции М-файлов для решения определенной задачи или проблемы.

Система не свободна от недостатков. Во-первых, это низкая скорость работы (решения задач), вызванная, прежде всего, тем, что все модули системы хранятся в так называемых "исходных кодах" и перед выполнением MATLAB их вначале компилирует к исполняемому коду. Например, идентификация системы, рассмотренной в данной работе, длится порядка нескольких (менее 10) секунд.

Во-вторых, это недостаточная прозрачность математических методов, используемых для решения задач. Практически вся русская литература по MATLAB является переводом зарубежной документации. При переводе больше внимания уделяется практическому использованию системы.

2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Полная постановка задачи

Применение системы Mathcad для исследования реакции электрической цепи на внешнее воздействие

Постановка задачи

1. С использованием системы Mathcad рассчитать значения функции реакции u(t) на воздействие e(t). Построить графики функций u(t) и e(t).

2. Исследовать влияние значений изменяемого параметра на вид функции реакции u(t).

3. Построить сводный график всех полученных функций на одном поле. компьютерное моделирование mathcad аппроксимирующий функция

4. Вычислить аналитические аппроксимирующие функции по результатам исследований пункта 2. Построить графически исходную и аппроксимирующую зависимости.

5. Для функции напряжения на конденсаторе, рассчитанной в п.1, вычислить параметры по индивидуальному заданию из таблицы 2.3. Результаты вычислений продемонстрировать графически.

Исходные данные для курсовой работы

С-значение емкости конденсатора

R- исходное сопротивление

e1(t)- исходная функция внешнего воздействия

U0 - параметр функции внешнего воздействия

u₀=0 - начальное значение напряжения

Т - время исследования

Исходные данные для курсового проекта приведены в таблице 2.1:

Таблица 2.1 - исходные данные

N	C	R	t1	t2	U0	T	Варьируемый параметр
3	0.5•10-6	0.2	1.3•10-6	0.5•10-6	12	2.8•10-6	R=0.1 - 1.1

Таблица 2.2 - Вариант индивидуальных заданий для п.5

3	Найти значения времени, при котором функция напряжения пересекает пороговое значение Up=2

Значения варьируемого параметра приведено в таблице 2.1

Таблица 2.3 - Значения варьируемого параметра

R	0.1	0.3	0.6	0.8	1	1.1

2.2 Описание математической модели

Электрическая цепь, приведенная на рисунке 2.1, описывается диф. уравнением вида:

, где (2.1)

где u - напряжение;

R - сопротивление;

С - емкость конденсатора;

е1(t) -функция внешнего воздействия.

Внешним воздействием e(t) является двухэкспоненциальный импульс, описываемый функцией вида

(2.2)

где e(t) -функция внешнего воздействия;

U0- параметр внешнего воздействия

Рисунок 2.1 - Расчетная схема

2.3 Графическая схема алгоритма и её описание

1. Сначала нужно построить две функции e(t) и u(t) чтобы построить е1(t) используем выражение подставив это выражение в наше дифференциальное уравнение построим график u(t). Это делается для начальных данных. Для решения дифференциального уравнения используется функция rkfixed - она решает уравнения методом Рунге-Кутта 4-го порядка.

2. Изменяя варьируемый параметр R, строим недостающие графики.

3. Графики, получившиеся в пункте 1 и 2 сводим в один.

4. По полученным данным производим аппроксимацию при помощи функции linfit - эта функция проводит аппроксимацию по методу наименьших квадратов.

5. Вычислим значения времени, при котором функция напряжения пересекает пороговое значение Up=2.

Графическая схема алгоритма представлена на рисунке 2.2

Рисунок 2.2 -- графическая схема алгоритма

Описание графической схемы

1. В первом блоке вводим исходные данные в соответствии с вариантом задания.

2. Во втором блоке вычисляем аналитическую зависимость e1(t) заданную формульно. Результатом является вектор мгновенных значений времени и ЭДС. Для решения дифференциального уравнения используется функция rkfixed, которая решает уравнение методом Рунге-Кутта.

3. По результатам строим график зависимости напряжения по времени

4. Изменяем варьируемый параметр R.

5. Для каждого нового значения варьируемого параметра строим новые графики зависимости напряжения по времени. Опыт проводим 6 раз.

6. По результатам исследований строим сводный график полученных значений напряжения по времени на одном поле.

7. Находим аналитическую аппроксимирующую функцию по результатам предыдущего пункта.

8. Строим график полученной функции.

3. Описание реализации задачи в MathCad

3.1 Описание базовой модели

Зная начальное и конечное значение времени и установив определённый шаг, получаем множество значений времени.

Имея функцию, которой описывается двухэкспоненциальный импульс, построил график зависимости двухэкспоненциального импульса от времени (рис.3.1).



Рисунок 3.1 -- график зависимости двухэкспоненциального импульса от времени

С дифференциального уравнения (2.1) получаем вектор мгновенных значений напряжения по времени.

Строим график зависимости напряжения по времени (рис. 3.2)

Rkfixed - это встроенная функция MathCAD для решение ОДУ и систем ОДУ метод Рунге-Кутта 4 порядка с постоянным шагом.

rkfixed(y, x1, x2, npoints, D)

где:x1, x2 -- начальная и конечная точки отрезка интегрирования системы, npoints -- число узлов на отрезке [x1, x2],D--имя вектор-функции D(x,y) правых частей (x,),=).

При решении получаем матрицу из npoints+1 строк, первый столбец содержит точки, в которых получены решения, а остальные сами решения.

3.2 Описание исследований

Исследуем влияние значений изменяемого параметра на максимальное значение напряжения на конденсаторе. Производим расчет электрической схемы по новым варьируемым параметрам. Строим графики зависимости напряжения по времени.

Рисунок 3.3 -- график зависимости напряжения (U2) по времени



Рисунок 3.4 -- график зависимости напряжения (U3) по времени

Рисунок 3.5 -- график зависимости напряжения (U4) по времени

Количество графиков с зависимостью напряжения по времени соответствует количеству опытов.

3.3 Выводы по результатам исследований

В результате выполнения работы мы исследовали применение системы Mathcad для исследования реакции электрической цепи на внешнее воздействие. Построили графики этих функций.

Исследовали влияние значений изменяемого параметра на вид функции напряжения в схеме. Построим сводный график всех полученных функций напряжения на одном поле (рис. 3.6)



Рисунок 3.6 -- сводный график напряжений по времени

Вычислили аналитическую аппроксимирующую функцию по результатам исследований

Графически построили исходную и аппроксимирующую зависимости (рис.3.7)

Рисунок 3.7 -- График исходной и аппроксимирующей зависимости

Анализ полученных результатов показал, что функция внешнего воздействия напрямую зависит от величины сопротивления: с увеличением сопротивления напряжение уменьшается, это вызвано тем, что с увеличением сопротивления уменьшается функция внешнего воздействия, а также и напряжение.

В данном курсовом проекте для расчетов в среде Mathcad были использованы следующие функции:

- rkfixed - предназначена для решения уравнений методом Рунге-Кутта 4-го порядка;

- linfit - проводит аппроксимацию по методу наименьших квадратов, этот наиболее точен;

Заключение

Выполняя данную курсовую работу, я провел исследование математической модели для анализа электрических процессов в цепях с внешним воздействием e1(t), заданным формульно. При расчёте была использована математическая система MathCad.Эта система подтвердила свою состоятельность, помогла существенно сократить сложнейшие математические расчеты. В ходе данной работы я сделал вывод, что математическое моделирование, в сочетании с системами компьютерного анализа и обработки математических данных очень существенно сокращает объёмы сложнейших расчётов для студентов, инженеров, конструкторов, ученых, разного рода исследователей и специалистов в различных областях науки и техники. Факт этого заключается в том, что на сегодняшний день новейшие разработки в области компьютерного математического моделирования находят всё более и более широкое применение в самых разных сферах человеческой деятельности, начиная от социологии и заканчивая моделированием термоядерных процессов. Расширяется круг решаемых задач, повышается сложность, а вместе с ней и быстрота производимых математических расчетов. Появляются более быстрые микропроцессоры, которые являются аппаратной предпосылкой для решения математических проблем.

Список использованных источников

1. www.exponenta.ru 4.12.11 12:16

2. Тарасик В. П. Математическое моделирование технических систем, - Мн.: ДизайнПРО, 1997.- 640с.

3. www.ftoe.ru 4.12.11 17:48

4. Турчак Л. И.. Основы численных методов: Учеб.пособие.- М.: Наука Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.- 320с.

5. Глотов Ф. А. Математическое моделирование электрических схем: Учебное пособие. -- Томск: Томский политехнический университет, 2011. -- 152 с.

Размещено на Allbest.ru