Компьютерное моделирование, как вид технологии, в настоящее время является одним из важнейших факторов ускорения научно-технического прогресса. Сегодня практически невозможно производить проектирование и расчеты вручную. Системы компьютерного моделирования позволяют решать многие вопросы и задачи, связанные с различными отраслями, такими как информатика, физика, математика, механика, астрофизика и другие. В нашем случае, при помощи систем компьютерного моделирования, таких как MathCAD и Matlab, исследуем математическую модель RLC-цепи.

Основная цель работы:

Анализ электрических процессов в цепях второго порядка с внешним воздействием с применением СКМ.

Задачи курсовой работы:

С использванием системы Mathcad рассчитать значения функций тока в цепи и напряжения на конденсаторе в заданной электрической схеме под воздействием заданных значений тока, напряжения и ЭДС. Исследовать влияние варьируемой индуктивности на минимальное значение напряжения на конденсаторе. С использованием системы Matlab, для функции напряжения, вычислить время, при котором напряжение пересекает пороговое значение равное 1 В.

1. Характеристика численных методов аппроксимации и интерполяции и их реализации в Mathcad и Matlab

1.1 Аппроксимация данных в MathCAD

При линейной интерполяции Mathcad соединяет существующие точки данных прямыми линиями. Это выполняется функцией linterp, описанной ниже.

Эта функция соединяет точки данных отрезками прямых, создавая таким образом ломаную. Интерполируемое значение для конкретного x есть ордината y соответствующей точки ломаной.

Функция linterp предназначена для интерполяции, а не экстрaполяции. [3]

Кубическая сплайн-интерполяция

Кубическая сплайн-интерполяция позволяет провести кривую через набор точек таким образом, что первые и вторые производные кривой непрерывны в каждой точке. Эта кривая образуется путем создания ряда кубических полиномов, проходящих через наборы из трёх смежных точек.

В дополнение к cspline Mathcad поставляется с двумя другими кубическими сплайн-функциями. Три сплайн-функции:

Они все возвращают вектор коэффициентов вторых производных, который называют vs. Этот вектор, vs, обычно используется в функции interp. Аргументы vx и vy должны быть вещественнозначными векторами одинаковой длины. Значения в vx должны быть вещественны и расположены в порядке возрастания.

функция lspline генерирует кривую сплайна, которая приближается к прямой линии в граничных точках.

функция pspline генерирует кривую сплайна, которая приближается к параболе в граничных точках.

функция cspline генерирует кривую сплайна, которая может быть кубическим полиномом в граничных точках.

Интерполируемое значение для конкретного x есть ордината y соответствующей точки сплайна.

Для значений x, расположенных перед первой точкой в vx, Mathcad продолжает сплайн первой из составляющих его кубических парабол. Для значений x, расположенных за последней точкой в vx, Mathcad продолжает сплайн последней из составляющих его кубических парабол.

Для получения наилучших результатов значение x должно находиться между самым большим и самым маленьким значениями в векторе vx - маловероятно, что будут полезны значения, вычисленные для xвне этого диапазона. Сплайны предназначены для интерполяции, а не экстрaполяции. [2]

1.3 Реализация интерполяции и аппроксимации данных в MathCAD и Matlab

Реализация аппроксимации в MathCAD

Линейная регрессия общего вида реализуется с помощью функции Linfit (VX,VY,F). Эта функция называется - функция по методу наименьших квадратов. Рассмотрим реализацию функции на простейшем примере:

Реализация интерполяции в MathCAD

Линейная интерполяция на Mathcad'е осуществляется с помощью встроенной функции linterp. Пусть требуется провести линейную интерполяцию функции sin (x) на интервале [0.6], используя пять узлов интерполяции, и вычислить значения функции в четырех точках Xk

Задаем интервал изменения x и число узловых точек

Определяем шаг изменения x:

Вычисляем координаты узлов и значения функции в них:

Проводим линейную интерполяцию:

Вычислим значение интерполяционной функции в заданных точках и сравним их с точными значениями

Как видно, результаты интерполяции отличаются от точных значений функции незначительно. [3]

Реализация аппроксимации в MatLab

Синтаксис: p = polyfit (x, y, n)

Описание:

Функция p = polyfit (x, y, n) находит коэффициенты полинома p (x) степени n, который аппроксимирует функцию y (x) в смысле метода наименьших квадратов. Выходом является строка p длины n +1, содержащая коэффициенты аппроксимирующего полинома.

Пример:

Рассмотрим аппроксимацию функции ошибки erf (x), которая является ограниченной сверху функцией, в то время как аппроксимирующие полиномы неограниченны, что приводит к ошибкам аппроксимации.

x = (0: 0.1: 2.5) ';

y = erf (x);

вычислим коэффициенты аппроксимирующего полинома степени 6:

p = polyfit (x, y,

6) p = 0.0084 - 0.0983 0.4217 - 0.7435 0.1471 1.1064 0.0004

вычислим значения полинома в точках сетки: f = polyval (p, x);

сформируем следующую таблицу данных: table = [x y f y-f] table =

Из таблицы видно, что на отрезке [0 2.5] точность аппроксимации находится в пределах 3-4 знаков; построим графики функции и аппроксимирующего полинома на отрезке [0 5].

x = (0: 0.1: 5) ';

y = erf (x);

f = polyval (p, x);

plot (x, y, 'ob', x, f, '-g'), " axis ([0 5 0 2]) [4]

Рисунок 3 - Графическая аппроксимация в MatLab

Реализация интерполяции в MatLab

Синтаксис: yi = interp1 (x, y, xi) yi = interp1 (x, y, xi, `<метод>`)

Описание:

Функция yi = interp1 (x, y, xi) строит интерполирующую кривую для одномерного массива y, заданного на сетке x; выходной массив yi может быть определен на более мелкой сетке xi. Если Y - двумерный массив, то интерполирующая кривая строится для каждого столбца. По умолчанию реализована линейная интерполяция.

Функция yi = interp1 (x, y, xi, `<метод>`) позволяет задать метод интерполяции:

Принято, что аргумент x изменяется монотонно; кроме того, для кубической интерполяции предполагается, что сетка по x равномерна.

Пример:

Зададим синусоиду всего 10 точками и проведем интерполяцию, используя мелкую сетку.

x = 0: 10; y = sin (x);

xi = 0:.25: 10;

yi = interp1 (x, y, xi);

plot (x, y, 'o', xi, yi, `g'), hold on yi = interp1 (x, y, xi, `spline');

plot (x, y, 'ob', xi, yi, `m'), grid, hold off [5]

Рисунок 4 - Графическая интерполяция в MatLab

2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Полная постановка задачи