Математическое моделирование технического объекта

Введение

В современном мире человек уже не представляет себя без компьютерных технологий, которые заполнили почти все сферы человеческой деятельности. Компьютеры помогают нам в работе: от решения простейших задач (создания баз данных и работы с ними, выполнение простейших расчетов и др.), до выполнения трудоемких научных расчетов, которые ранее выполнялись годами, с многочисленными проверками и поправками.

Благодаря компьютерным технологиям разнообразился и наш досуг: огромное количество развивающих игр для детей, прослушивание музыки, просмотр видео и многое другое.

Современные компьютеры позволяют хранить и обрабатывать огромное количество информации, и каждому человеку необходимо знать и уметь, как использовать данную информацию по назначению из ПК, поэтому элементарная компьютерная грамотность является неотъемлемой частью образования.

MathCad - мощный пакет программ, предназначенный для решения различных математических задач с возможностью программирования. Система MathCad занимает лидирующее положение среди всех остальных математических систем. Помимо выполнения своих математических функций система MathCad является очень неплохим текстовым и графическим редактором, по многим параметрам не уступающим специализированным программам.

Система MathCad является на данный момент единственной математической системой, в которой описание решения задач задаётся с помощью привычных математических формул и знаков. Применение системы MathCad при решении прикладных задач технического характера позволило резко повысить скорость расчётов и уровень сложности задач.

В данном курсовом проекте в среде MathCad была составлена математическая модель. Результаты моделирования представлены в виде чисел и графиков.

1 Математическое моделирование технического объекта

1.1 Обзор методов компьютерного моделирования

Моделирование - это процесс замещения объекта исследований некоторой его моделью и проведение исследований на модели с целью получения необходимой информации об объекте. Модель - это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта.

Различают моделирование предметное и абстрактное. При предметном моделировании строят физическую модель, которая соответствующим образом отображает основные физические свойства и характеристики моделируемого объекта.

Физическое моделирование широко применялось до недавнего времени при создании сложных технических объектов.

Абстрактное моделирование связано с построением абстрактной модели. Такая модель представляет собой математические соотношения, графы, схемы, диаграммы и т. п. Наиболее мощным и универсальным методом абстрактного моделирования является математическое моделирование. Математическое моделирование позволяет посредством математических символов и зависимостей составить описание функционирования технического объекта в окружающей внешней среде, определить выходные параметры и характеристики, получить оценку показателей эффективности и качества, осуществить поиск оптимальной структуры и параметров объекта.

Одним из основных компонентов системы проектирования становится математическая модель. Математическая модель - совокупность математических объектов (чисел, символов, множеств и т. д.) и связей между ними, отражающих важнейшие для проектировщика свойства объекта.

Процесс формирования математической модели и использования её для анализа и синтеза называется математическим моделированием.

Компьютерное моделирование -- это математическое моделирование с использованием средств вычислительной техники. Соответственно, технология компьютерного моделирования предполагает выполнение следующих действий.

1. Определение цели моделирования.

2. Разработка концептуальной модели.

3. Формализация модели.

4. Программная реализация модели.

5. Планирование модельных экспериментов.

6. Реализация плана эксперимента.

7. Анализ и интерпретация результатов моделирования.

Содержание первых двух этапов практически не зависит от математического метода, положенного в основу моделирования, а реализация остальных пяти существенно различается для каждого из двух основных подходов к построению модели.

Существуют два основных подхода к построению модели это аналитический и имитационный.

Аналитическое моделирование предполагает использование математической модели реального объекта в форме алгебраических, дифференциальных, интегральных и других уравнений, связывающих выходные переменные с входными, дополненных системой ограничений. При этом предполагается наличие однозначной вычислительной процедуры получения точного решения уравнений.

При имитационном моделировании используемая математическая модель воспроизводит алгоритм («логику») функционирования исследуемой системы во времени при различных сочетаниях значений параметров системы и внешней среды. Примером простейшей аналитической модели может служить уравнение прямолинейного равномерного движения. При исследовании такого процесса с помощью имитационной модели должно быть реализовало наблюдение за изменением пройденного пути с течением времени.

Концептуальная (содержательная) модель -- это абстрактная модель, определяющая структуру моделируемой системы, свойства ее элементов и причинно-следственные связи, присущие системе и существенные для достижения цели моделирования. Построение концептуальной модели включает следующие этапы.

1. Определение типа системы.

2. Описание рабочей нагрузки.

3. Декомпозиция системы.

На первом этапе осуществляется сбор фактических данных, а также выдвижение гипотез относительно значений параметров и переменных, для которых отсутствует возможность получения фактических данных.

На этапе описания рабочей нагрузки описывается влияние внешних воздействий на эффективность применения данной системы в рамках производимой операции.

На этапе декомпозиции систему доводят до состояния когда для каждого элемента были известны или могли быть получены зависимости его входных характеристик от входных воздействий, существенные с точки зрения выбранного показателя эффективности.

1.2 Основные концепции компьютерного моделирования

Само по себе понятие компьютерное моделирование весьма широкое и каждый автор трактует его по-своему. Встречаются, например, такие выражения: «компьютерное моделирование верхней одежды», «компьютерное моделирование причесок» и т. п. В связи с этим есть необходимость уточнить, что же мы будем понимать под этим термином. Так вот, в данном случае компьютерное моделирование -- это математическое моделирование с использованием средств вычислительной техники. Соответственно, технология компьютерного моделирования предполагает выполнение следующих действий.

1. Определение цели моделирования.

2. Разработка концептуальной модели.

3. Формализация модели.

4. Программная реализация модели.

5. Планирование модельных экспериментов.

6. Реализация плана эксперимента.

7. Анализ и интерпретация результатов моделирования.

Содержание первых двух этапов практически не зависит от математического метода, положенного в основу моделирования (и даже наоборот -- их результат определяет выбор метода). А вот реализация остальных пяти этапов существенно различается для каждого из двух основных подходов к построению модели. Именуются эти подходы в разных книгах по-разному, мы используем для их обозначения термины «аналитическое» и «имитационное» моделирование.

Аналитическое моделирование предполагает использование математической модели реального объекта в форме алгебраических, дифференциальных, интегральных и других уравнений, связывающих выходные переменные с входными, дополненных системой ограничений. При этом предполагается наличие однозначной вычислительной процедуры получения точного решения уравнений.

При имитационном моделировании используемая математическая модель воспроизводит алгоритм («логику») функционирования исследуемой системы во времени при различных сочетаниях значений параметров системы и внешней среды. Примером простейшей аналитической модели может служить уравнение прямолинейного равномерного движения. При исследовании такого процесса с помощью имитационной модели должно быть реализовало наблюдение за изменением пройденного пути с течением времени.

Очевидно, в одних случаях более предпочтительным является аналитическое моделирование, в других -- имитационное (или сочетание того и другого). Чтобы выбор был удачным, необходимо ответить на два вопроса. О С какой целью проводится моделирование? О К какому классу может быть отнесено моделируемое явление?

Ответы на оба эти вопроса могут быть получены в ходе выполнения двух первых этапов моделирования.

Общая цель моделирования в процессе принятия решения была сформулирована в разделе «Общая схема процесса принятия решений» -- это определение (расчет) значений выбранного показателя эффективности для различных стратегий проведения операции (или вариантов реализации проектируемой системы). При разработке конкретной модели цель моделирования должна уточняться с учетом используемого критерия эффективности. Для критерия пригодности модель, как правило, должна обеспечивать расчет значений ПЭ для всего множества допустимых стратегий. При использовании критерия оптимальности модель должна позволять непосредственно определять параметры исследуемого объекта, дающие экстремальное значение ПЭ.

Таким образом, цель моделирования определяется как целью исследуемой операции, так и планируемым способом использования результатов исследования. Например, проблемная ситуация, требующая принятия решения, формулируется следующим образом: найти вариант построения вычислительной сети, который обладал бы минимальной стоимостью при соблюдении требований по производительности и по надежности. В этом случае целью моделирования является отыскание параметров сети, обеспечивающих минимальное значение ПЭ, в роли которого выступает стоимость.

Задача может быть сформулирована иначе: из нескольких вариантов конфигурации вычислительной сети выбрать наиболее надежный. Здесь в качестве ПЭ выбирается один из показателей надежности (средняя наработка на отказ, вероятность безотказной работы и т. д.), а целью моделирования является сравнительная оценка вариантов сети по этому показателю.

Приведенные примеры позволяют напомнить о том, что сам по себе выбор показателя эффективности еще не определяет «архитектуру» будущей модели, поскольку на этом этапе не сформулирована ее концепция, или, как говорят, не определена концептуальная модель исследуемой системы.

1.3 Решение однородных дифференциальных уравнений и систем однородных дифференциальных уравнений в MathCad

При решении дифференциального уравнения первого порядка нужно создать вектор начальных условий из одного элемента Y₁, который затем используется при формировании вектора-функции правой части дифференциального уравнения. При обращении к функции rkfixed указывается имя вектора Y, границы интервала, на котором ищется решение уравнения, например, (0 ; 2), количество точек, в которых ищется решение - 100, вектор-функция, описывающая правую часть дифференциального уравнения - D. В результате получается матрица z, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомой функции, во втором - значения самой результирующей функции. При построении графика функции первый столбец полученной матрицы указывается как аргумент, второй столбец - как функция.

При решении системы дифференциальных уравнений нужно создать вектор начальных условий из двух элементов, например, вектор v, который затем используется при формировании вектора-функции правой части дифференциального уравнения. При обращении к функции rkfixed указывается имя вектора v, и границы интервала, на котором ищется решение уравнения, например, (0 ; 5), количество точек, в которых ищется решение - 100, вектор-функция, описывающая правую часть дифференциального уравнения - D. В результате получается матрица s, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомых функций, во втором и третьем столбцах - значения самих функций при соответствующем значении аргумента. При построении графика можно воспользоваться первым столбцом полученной матрицы как аргументом, а вторым и третьим столбцами - как функциями. Для решения уравнения с помощью функции rkfixed нужно выполнить замену переменных и привести дифференциальное уравнение второго порядка к двум дифференциальным уравнениям первого порядка. Вид этих уравнений приведен ниже.

Документ формируется точно так же, как и при решении системы ОДУ.

Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Последовательность действий для решения дифференциального уравнения первого порядка такова:

q сформировать вектор начальных условий из одного элемента, присвоив начальное значение искомой функции переменной с индексом, например: или (в зависимости от значения переменной ORIGIN);

q определить вектор-функцию из одного элемента, которая содержит первую производную неизвестной функции:

· набрать имя функции с двумя параметрами: первый параметр - аргумент искомой функции (независимая переменная), второй - имя вектора, содержащего искомую функцию (можно использовать имя вектора начальных условий), например, D(x,Y);

· набрать оператор «:=» и выражение для первой производной (выразить из дифференциального уравнения), в котором вместо имени искомой функции подставлен первый элемент вектора-параметра, например, для уравнения

вектор-функция будет определятся следующим образом:

( если ORIGIN=0, подставлять );

q присвоить некоторой переменной значение функции rkfixed, указав в скобках следующие параметры:

· первый - имя вектора начальных условий,

· второй - левая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,

· третий - правая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,

· четвертый - количество точек, в которых ищется решение,

· пятый - имя вектора-функции, описывающего первую производную, без параметров;

например:

(в результате получится матрица Z, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомой функции, во втором - значения самой функции);

q вывести матрицу, содержащую решение ДУ с помощь оператора «=», например: Z = ;

q построить график найденной функции (см. тему 5), указав в качестве аргумента по оси абсцисс столбец , а в качестве значения функции по оси ординат - столбец (если ORIGIN=0, набирать соответственно и ).

Решение систем дифференциальных уравнений

Последовательность действий для решения системы дифференциальных уравнений первого порядка такова (описана для значения ORIGIN=0):

q перейти в исходной системе уравнений к однотипным обозначениям функций и выразить первые производные, например, систему

можно преобразовать в ;

q в документе MathCad сформировать вектор начальных условий, количество элементов которого равно количеству уравнений системы, присвоив его некоторой переменной (см. тему 2); например

q определить вектор-функцию, которая содержит первые производные искомых функций:

· набрать имя функции с двумя параметрами: первый параметр - аргумент искомых функций (независимая переменная), второй - имя вектора, содержащего искомые функции (можно использовать имя вектора начальных условий), например, D(t,V);

(Замечание: если независимая переменная явно не присутствует в системе, то в качестве ее имени можно выбрать любую переменную)

· набрать оператор «:=» и вставить шаблон вектора, количество элементов которого равно количеству уравнений системы (см. тему 2)

· набрать в качестве элементов вектора правые части системы уравнений, в которых искомые функции представлены соответствующими элементами вектора-параметра, например,

q присвоить некоторой переменной значение функции rkfixed, указав в скобках следующие параметры:

· первый - имя вектора начальных условий,

· второй - левая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,

· третий - правая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,

· четвертый - количество точек, в которых ищется решение,

· пятый - имя вектора-функции, описывающего первые производные, без параметров; например:

(в результате получится матрица Z, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомых функций, во втором - значения первой функции, в третьем - значения второй функции и т.д.);

q вывести матрицу, содержащую решение системы ДУ с помощь оператора «=», например: Z = ;

построить графики найденных функций (см. тему 5), указав в качестве аргумента по оси абсцисс первый столбец матрицы решений, например, , а в качестве значений функций по оси ординат - остальные столбцы матрицы через запятую, например, ,

2 Алгоритмический анализ задачи

2.1 Постановка задачи

1. С использованием системы MathCAD рассчитать значения функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи второго порядка в свободном режиме при отсутствии гармонического воздействия. Построить графики этих функций.

2. Рассчитать значения и построить графики функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи при апериодическом и колебательном режимах.

3. Исследовать реакцию колебательного контура на гармоническое воздействие e(t). Построить графики функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи при различных значениях частоты гармонического воздействия.

Исходные данные для курсовой работы

С - значение емкости конденсатора

R - исходное сопротивление

L - значение индуктивности;

e(t) - исходная функция гармонического воздействия

Т - время исследования

		R	L	C	U0	T	Em
1	Апериодический режим	1000	0.01	10-6	1	10-2
	Колебательный режим	10	0.005	10-6	1	10-2
	Анализ на гармонич. воздействие	50	0.064	10-7	0	10-2	10
2	Апериодический режим
	Колебательный режим
	Анализ на гармонич. воздействие
3	Апериодический режим
	Колебательный режим
	Анализ на гармонич. воздействие

Значения варьируемого параметра щ выбирать самостоятельно.

2.2 Описание математической модели

Работу цепи, приведенной на рисунке, описывает дифференциальное уравнение второго порядка вида

при e(t)=0

В свободном режиме ( при отсутствии внешнего источника ЕДС) данное дифференциальное уравнение будет выглядеть следующим образом

Гармоническое воздействие e(t) описывается следующей функциональной зависимостью

e(t)=Em•sin(щ•t)

где Em - амплитуда гармонического напряжения;

щ - круговая частота гармонического напряжения.

Собственная частота колебательного контура определяется по формуле

При исследованиях п.3 необходимо выполнить следующие вычисления:

1) Частота гармонического напряжения значительно меньше, чем собственная частота колебательного контура.

2) Частота гармонического напряжения имеет значение, близкое к собственной частоте колебательного контура.

3) Частота гармонического напряжения имеет значение, равное собственной частоте колебательного контура.

4) Частота гармонического напряжения имеет значение, близкое к собственной частоте колебательного контура и больше его.

5) Частота гармонического напряжения значительно больше, чем собственная частота колебательного контура.

2.3 Анализ исходных и результирующих данных

В задаче	В программе	комментарий	Единицы измерения
R	R	исходное сопротивление	Ом
C	C	значение емкости конденсатора	Ф
L	L	значение индуктивности	Гн
Em	Em	амплитуда гармонического напряжения	В
T	t	Время исследования	с
щ	щc	круговая частота гармонического напряжения	Рад

Графическая схема алгоритма

• 3 Описание реализации задачи в MathCad
• 3.1 Описание реализации базовой модели
• Для реализации решения данной задачи в начале необходимо решить уравнение (1) используя: исходные данные из таблицы 1 и время t,время исследования 10^-2 с.В свободном режиме при отсутствии гармонического воздействия.

(1)

В результате решения получаем вектор, состоящий из ответов решения уравнения, которыми является изменением напряжения с течение времени (приложение А). Данный вектор используем для построения графика зависимости, напряжения от времени Uc(t). Но, в MathCAD для решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений (в нашем случаи дифференциальное уравнение второго порядка) необходимо их преобразование. В результате преобразований имеющих вид;

Uc=y1 - напряжение

Uc'=y2 - скорость изменения напряжения

y2=

получим систему из двух дифференциальных уравнений:

(2)

Решение которых и является целевой задачей данной курсовой работы. При решении системы уравнений (2) получаем матрицу, состоящую из трёх столбцов где, первым столбцом которой является изменение времени t, вторым значение заряда с течением времени Uc(t) и третьим производная от изменения заряда с течением времени Uc'(t) (приложение А). Потом также строим график зависимости величины напряжения от времени Uc(t).

Следующим шагом в решении является решения дифференциального уравнения (3)

(3)

где Uc(t) и Uc'(t) будут результатами.

3.2 Описание опытной части

Выполнение опытной части представляет собой проведение ряда опытов при изменении варьируемого параметра (в нашем случае щc) и пронаблюдать изменение графика функции. Для проведения опытной части необходимо повторить п. 3.1.

3.3 Выводы по работе

В проделанной работе мы с использованием системы MathCAD рассчитали значения функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи второго порядка в свободном режиме при отсутствии гармонического воздействия и исследовали реакцию колебательного контура на гармоническое воздействие e(t). В результате, получили графики функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи при апериодическом и колебательном режимах.

Анализируя полученные графики, мы пришли к выводу: с увеличением частоты до частоты резонанса наблюдается рост амплитуды тока и напряжения. При частоте резонанса амплитуда тока и напряжения -- максимальна. При дальнейшем увеличение частоты, наблюдается уменьшение амплитуды тока и напряжения.

Если при апериодическом воздействии получился график затухающих колебаний, при резонансе - возрастающее колебание, а при изменении частоты, за исключением частоты резонанса, получаем синусоидальный график с неравномерной изменяющейся амплитудой в зависимости от времени.

Список литературы

1. Фигурнов В. Э. IBM PC для пользователя. Краткий курс. - М.: ИНФРА - М, 2001. - 480 с.: ил.

2. Дьяконов В. П. Справочник по MathCAD Plus 6.0 Pro - М.: «СК Пресс», 1997. -336с.

3.Туранкова Л. В.«Численное решение дифференциальных уравнений». М/ук 666 Гомель, ГГТУ, 1985г

4. Симонович С.В. Информатика. Базовый курс. 2-е издание - СПб.: Питер,2007. - 640 с.: ил.

5.Трохова Т.А. Практическое пособие по теме "Основные приемы работы в системе MathCAD, версии 6.0." для студентов всех специальностей дневного и заочного отделений. - Гомель: ГГТУ, 1998. (м/у 2286).

6.Токочаков В.И. Практическое пособие по теме "Решение систем алгебраических и дифференциальных уравнений в среде MathCAD Windows" для студентов всех специальностей дневного и заочного отделений. - Гомель: ГГТУ, 2000. (м/у 2453).

Заключение

В данной курсовой работе была разработана математическая модель технического объекта. С использованием системы MathCAD рассчитать значения функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи второго порядка в свободном режиме при отсутствии гармонического воздействия. Построить графики этих функций.

Рассчитать значения и построить графики функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи при апериодическом и колебательном режимах. Исследовать реакцию колебательного контура на гармоническое воздействие e(t). Построить графики функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи при различных значениях частоты гармонического воздействия.

В курсовой работе показано, что уже и в наши дни можно полностью автоматизировать труд как отдельных инженеров, так и целых проектных институтов. Безусловно, все те навыки, которые получены изучая курс информатики, будут успешно и эффективно применены в дальнейшем при решении многих инженерных задач. Таким образом, использование ПК существенно облегчает задачи решения и описания технологических процессов, позволяет инженеру быстро и качественно произвести необходимые расчеты, уменьшая во много раз процент ошибки.

Приложение А

С использованием системы MathCAD рассчитать значения функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи второго порядка в свободном режиме при отсутствии гармонического воздействия. Построить графики этих функций.

Исходные данные

Решаем Д У

Полученные данные:

График падения напряжения на конденсаторе

Приложение Б

Рассчитать значения и построить графики функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи при апериодическом режиме.

Исходные данные

Решаем Д У

Полученные данные

График функции тока в цепи при апериодическом режиме

График функции напряжения на конденсаторе при апериодическом режиме

Рассчитать значения и построить графики функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи при колебательном режиме.

Исходные данные

Решаем Д У

Полученные данные

График функции тока в цепи при колебательном режиме

График функции напряжения

Приложение В

Исследовать реакцию колебательного контура на гармоническое воздействие e(t). Построить графики функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи при различных значениях частоты гармонического воздействия.

Исходные данные

Решаем Д У

Полученные данные

График функции тока в цепи

График функции напряжения

Исходные данные

Решаем Д У

Полученные данные:



График функции тока в цепи

График функции напряжения

Исходные данные

Решаем Д У

Полученные данные

График функции тока в цепи

График функции напряжения

Исходные данные

Решаем Д У

Полученные данные

График функции тока в цепи

График функции напряжения

Исходные данные

Решаем Д У

Полученные данные

График функции тока в цепи



График функции напряжения

Исходные данные

Решаем Д У

Полученные данные

График функции тока в цепи

График функции напряженя