Диагностика отказов системы регулирования уровня в баке

(2.37)

Рис. 2.16. Система и наблюдатель состояния

Ошибка оценки состояния e_х(t) (и ошибка e(t)) асимптотически уменьшается:

(2.38)

если наблюдатель устойчив. Обеспечение устойчивости наблюдателя достигается выбором матрицы обратной связи Н.

Система, на которую воздействуют отказы, как было показано ранее (пункт 2.4.), описывается следующим образом:

(2.39)

Здесь f(t) - сигналы отказа на входе и выходе, действующие через матрицы и соответственно. Они могут представлять аддитивные отказы исполнительного механизма, процесса, входных и выходных датчиков.

Для ошибки оценки состояния выполняются следующие уравнения:

, (2.40)

тогда выходная ошибка примет вид:

. (2.41)

Вектор f (t), в этом случае, представляет аддитивные отказы, так как они добавляются к e(t) и x(t).

Как видно из уравнения (2.40), при соответствующем выборе параметров матрицы обратной связи наблюдателя Н ошибка оценки состояния при отсутствии отказов асимптотически уменьшается (см. 2.39), а в случае появления внезапных или зарождающихся сигналов отказов f(t) ошибка оценки состояния будет отличаться от нуля. Ошибка оценки выхода e(t), определяемая по формуле (2.41) при возникновении отказов так же будет отлична от нуля.

Ошибки и могут быть использованы как рассогласования. В частности, рассогласование является основой различных методов обнаружения отказов, использующих оценку выхода.

Рис. 2.17. Система с отказами

Если входные и выходные сигналы системы так же подвержены воздействию шума, то вместо классических наблюдателей используются фильтры Калмана.

Если отказы рассматриваются как изменения параметров или , то поведение системы становится:

(2.42)

а ошибки и :

(2.43)

Изменения параметров и представляют собой мультипликативные отказы.

В этом случае, изменения в рассогласованиях зависят от изменений параметров, так же как и изменения входа и переменных состояния. Следовательно, влияние изменения параметров на рассогласование не такое простое, как в случае аддитивных отказов f(t).

Наблюдатели состояния могут быть использованы для изоляции отказов, при проектировании групп рассогласований или направлений вектора рассогласований. Для отказов датчиков, спроектировать группу рассогласований очень просто. Если нам необходимо сформировать рассогласование чувствительное ко всем отказам датчиков за исключением одного, то наблюдатель формирующий это рассогласование должен возбуждаться всеми выходами за исключением одного. Однако, проектировать группы рассогласований для изоляции отказов исполнительных механизмов труднее. Эта проблема может быть решена с помощью наблюдателей при неизвестном входе и метода распределения собственных чисел. Тем не менее, изоляция отказов исполнительных механизмов не всегда возможна и в этом случае. Фиксирование направления вектора рассогласования может быть выполнено с использованием фильтров выявления отказов.

2.3.9. Формирование рассогласований, не чувствительных к возмущениям и ошибкам линеаризации

Надежность системы диагностики отказов должна быть выше, чем надежность системы, за которой осуществляется мониторинг. Диагностика отказов, основанная на моделях, использует математические модели рассматриваемой системы. Лучшие модели используется для представления динамики системы, при этом случайно улучшая показатели надежности при диагностике отказов. Тем не менее, ошибки моделирования и возмущения в сложных инженерных системах неизбежны, и, следовательно, существует необходимость в создании надежных алгоритмов диагностики отказов. Надежность системы диагностики отказов означает, что эта система должна быть чувствительна только к отказам, даже при наличии отличий модели от реальности (т.е. вариаций параметров и т.д.) Обычно, воздействие вариаций параметров и возмущений на реальный процесс неизвестно, поэтому достаточно трудно спроектировать систему диагностики, которая обладала бы высокой чувствительностью к отказам и при этом была бы не чувствительна к неопределенностям и не моделируемым возмущениям.

Основа диагностики отказов с использованием моделей - формирование рассогласований. Воздействие отказов и неопределенностей на рассогласование различить достаточно трудно. Следовательно, задачей проектирования надежных систем диагностики является формировании рассогласований, нечувствительных к неопределенностям и, в то же время, чувствительных к отказам, и, следовательно надежных.

Чтобы обобщить проблему надежности, рассмотрим модель системы, содержащую все виды моделируемых неопределенностей, возникающих на практике и воздействующих на поведение системы:

(2.45)

где d(t) - вектор неизвестного входа (возмущений), матрицы возмущений Е-₁ и Е₂ принимаются известными. Матрицы ?А, ?В, ?С и ?D - ошибка параметров или вариации, представляющие ошибки моделирования. В этом случае описание системы в форме передаточной функции имеет вид:

. (2.46)

где G_d(s)d(s) - представляют эффект возмущений:

, (2.47)

?G_u(s) используется для описания ошибок моделирования. Составляющие G_d(s)d(s) и ?G_u(s) вместе представляют моделируемые неопределенности. Если подставить выход системы в уравнение формирования рассогласования (2.11), то получим:

. (2.48)

Из этого уравнения видно, что и отказы и неопределенности (возмущения и ошибки моделирования) воздействуют на рассогласование, и, поэтому различить их воздействие трудно.

Если рассогласование формируется удовлетворяющим уравнению:

, (2.49)

т.е. возмущения отделены от рассогласования, то рассогласование устойчиво к возмущению. Это - принцип отделения возмущений для формирования надежного рассогласования.

Для ошибок моделирования, представляемых ?G_u(s), проблема надежности является более сложной. Было предложено два основных способа ее решения. Первый основан на попытке рассмотрения неопределенностей при проектировании рассогласований. Этот метод известен как активная надежность при диагностике. Второй метод называется пассивная надежность при диагностике. Этот метод предполагает использование адаптивного порога на стадии принятия решения.

2.4. Наблюдатели при неизвестном входе

Формирование надежных рассогласований является наиболее важной задачей в методах диагностики отказов, основанной на моделях. Методы отделения возмущений - основные методы, позволяющие решить данную задачу. В этих методах, неопределенные факторы моделирования системы рассматриваются как воздействие на неизвестный вход (или возмущения) модели линейной системы. Не смотря на то, что неизвестный входной вектор неизвестен, его матрица распределения принимается известной. На основе информации о матрице распределения, неизвестный вход (возмущение) может быть отделено от рассогласования. Надежная диагностика отказов, следовательно, выполняется с использование отделения рассогласований от возмущений. Проблема формирования надежного рассогласования может быть решена с использованием наблюдателя с неизвестным входом. В этом случае, рассогласование может быть так же отделено от каждого возмущения, так как рассогласование определяется как взвешенная ошибка оценки выхода.

Основными требованиями для наблюдателей при неизвестном входе или для других методов формирования надежного рассогласования является то, что матрица распределения неизвестного входа должна быть априорно известна, благодаря чему не нужно знать сам неизвестный вход. Если неопределенности вызваны возмущениями, то удовлетворить это требование достаточно легко и задача надежной диагностики отказов решается так же легко. Тем не менее, метод отделения возмущений не может быть прямо применен к системе, в которой неопределенности вызваны ошибками моделирования, ошибками линеаризации, вариациями параметров и т.д. Причиной этого является то, что матрица распределения возмущений обычно в этих случаях не известна. Эта проблема затрудняет использование этих надежных методов в диагностике отказов применительно к реальным промышленным системам. Для решения этой проблемы, некоторые исследователи советуют использовать метод оценки матрицы распределения.

2.4.1. Проектирование наблюдателей при неизвестном входе

Будем рассматривать такой класс систем, в котором неопределенности системы могут быть представлены в качестве неизвестной аддитивной составляющей, а динамические уравнения имеют такой вид:

(2.50)

где - вектор состояния, - известный вектор входа, - вектор выхода и - вектор неизвестного входа (или возмущения). A,B,C - известные матрицы соответствующих размерностей.

Составляющая Ed(t) может быть использована для описания как аддитивных возмущений так и для других видов моделируемых неопределенностей. Например, шума, составляющих связей в крупномасштабных системах, нелинейных составляющих в динамике системы, составляющих, возникающих из-за изменения во времени динамики системы, ошибок линеаризации и ошибок понижения порядка модели, вариаций параметров.

Определение 2.1. Наблюдатель называется наблюдателем при неизвестном входе для системы, описываемой уравнением (2.50), если вектор ошибки оценки состояния e_x(t) асимптотически стремится к нулю, не смотря на наличие неизвестного входа (возмущения) в системе.

Структура наблюдателя полного порядка может быть представлена следующим образом:

(2.52)

где - оцениваемый вектор состояния, а - вектор состояния этого наблюдателя полного порядка, F, T, K, H - матрицы, которые необходимо спроектировать для выполнения отделения неизвестного входа и других требований проектирования. Наблюдатель, описываемый уравнениями (2.52) представлен на рисунке 2.18.

Когда наблюдатель (2.52) проектируется для системы (2.51) ошибка оценки (e_x(t) = - ) удовлетворяет уравнению:

(2.53)

где К=К₁+К₂. (2.54)

Рис. 2.18. Структура наблюдателя при неизвестном входе полного порядка

Если выполняются следующие равенства:

, (2.55)

, (2.56)

, (2.57)

, (2.58)

то ошибка оценки будет:

. (2.59)

Если все собственные числа F устойчивы, e_x(t) будет асимптотически стремиться к нулю, т.е. Это означает, что наблюдатель (2.52), в соответствии с определением 2.1, является наблюдателем при неизвестном входе для системы (2.51). Проектирование этого наблюдателя заключается в решении уравнений (2.54)-(2.58) и выборе матрицы F так, чтобы все ее собственные числа были устойчивы.

Теорема 2.1. Необходимыми и достаточными условиями существования наблюдателя (3.2) при неизвестном входе для системы описываемой уравнением (4.51) является:

1. ранг (CE) = ранг (E),

2. ( А₁, С) является обнаруживаемой парой где

А₁ = А - Е(СЕ)⁺СА. (2.62)

Стоит заметить, что для удовлетворения условия (1) теоремы 2.1 число независимых строк в матрице С должно быть меньше чем число независимых столбцов матрицы Е. Это означает, что максимальное количество возмущений, которые могут быть отделены не может быть больше чем число независимых измерений.

Кроме того, без неизвестных входов в системе, при установке T=I, H=0 и Е=0, наблюдатель (2.52) будет простым наблюдателем Люненбергера. В этом случае, условие (1) Теоремы 2.1 выполняется в любом случае, а условие (2) сводится к условию обнаруживаемости пары (А,С). Это - хорошо известный результат проектирования наблюдателя Люненбергера полного порядка.

Можно показать, что при проектировании наблюдателей при неизвестном входе К₁ является матрицей свободных параметров. После вычисления К₁ для того, чтобы обеспечить устойчивость матрицы динамической системы F, другие параметры матриц наблюдателя могут быть вычислены из соотношения К = К₁+ К₂ и условий (2.55)-(2.58). Некоторая свобода проектирования допускаемая при выборе К₁ может быть использована, чтобы придать рассогласования необходимые проектировщику характеристики.

Процедура проектирования наблюдателя при неизвестном входе может быть представлена следующим образом:

1. Проверяем условие равенства рангов для Е и СЕ: если ранг(СЕ)?ранг(Е) наблюдатель не существует, переходим к пункту 10.

2. Вычисляем матрицы H, T и A₁:

, (2.63)

, (2.64)

. (2.65)

3. Проверяем наблюдаемость: если (С, А₁) наблюдаема, то наблюдатель существует, а матрица K₁ может быть вычислена с использованием метода расположения полюсов из условия обеспечения устойчивости матрицы F. Переходим к шагу 9.

4. Создаем матрицу преобразования P для выполнения канонического разложения наблюдателя: выбираем n₁ = rank(W₀) (W₀ матрица наблюдаемости (C, A₁)) независимых строчек p₁^T, …, p_n1^T из матрицы W₀, вместе с другими n-n₁ строками p_n1+1^T, …, p_n^T для формирования невырожденной матрицы :

P = [ p₁, …, p_n1 ; p_n1+1, …, p_n ]^T (2.66)

5. Выполнить каноническое разложение (C, А₁):

, . (2.67)

6. Проверить обнаруживаемость (C, A₁): если хотя бы одно собственное число A₂₂ неустойчиво, наблюдатель с неизвестным входом не существует, переходим к шагу 10.

7. Выбрать n₁ желаемых собственных чисел установить из выбором A₁₁-K_p¹C* c помощью размещения полюсов.

8. Вычислить:

K₁= P^-1K_p = P^-1[(K_p¹)^T (K_p²)^T]^T (2.68)

где K_p² может быть любой матрицей размерности (n-n₁)*m.

9. Вычислить F и К:

F = A₁-K₁C, (2.69)

K = K₁+K₂ = K₁+FH. (2.70)

10. Конец.

2.4.2. Схемы надежных выявления и изоляции отказов, основанные на наблюдателях при неизвестном входе

2.4.2.1. Схемы надежного выявления отказов, основанные на наблюдателях при неизвестном входе

Основной задачей в надежном выявлении отказов является задача формирования сигналов рассогласований, устойчивых к неопределенностям системы. Система с возможными отказами датчиков и исполнительных механизмов может быть описана так:

(2.71)

где f_a - отказы исполнительных механизмов, f_s - отказы датчиков. Для формирования надежного рассогласования (в смысле отделения возмущений) необходимо проектирование наблюдателя описываемого формулой (2.52). Если известна оценка состояния, то рассогласование может быть сформировано следующим образом:

. (2.72)

Когда формирование рассогласования осуществляется для системы с отказами (2.71):

. (2.73)

Из уравнения (2.73) видно, что воздействие возмущений отделено от рассогласования.

Чтобы выявить отказ исполнительного механизма необходимо сделать:

T B ? 0.

Отказ i-го исполнительного механизма будет воздействовать на рассогласование если и только если:

T b-_i ? 0.

где b-_i - i-ая колонка матрицы В.

Соответственно, чтобы выявить отказ датчика f_s(t) необходимо сделать рассогласование чувствительным к этому отказу. Это условие обычно удовлетворяется так как вектор отказа датчиков f_s(t) непосредственно воздействует на рассогласование. Надежное рассогласование может быть использовано для выявления отказов в соответствии с простой пороговой логикой:

(2.74)

где Т- пороговое значение, устанавливаемое при отсутствии отказа.

Проблема изоляции отказов заключается в определении того, в каком датчике (или исполнительном механизме) произошел отказ. Как было описано ранее (см. пункт 2.7.2.) одним из методов выполнения изоляции является формирование структурированной совокупности рассогласований. Здесь термин «структурированный» означает, что каждое рассогласование проектируется чувствительным к определенной группе отказов и нечувствительным к другим. Свойства чувствительности и нечувствительности делают возможным изоляцию. В идеальной ситуации отдельное рассогласование чувствительно только к одному отказу и нечувствительно к другим. Однако, сформировать рассогласования таким образом достаточно трудно.

2.4.2.2. Схемы надежной изоляции отказов датчиков

Для проектирования схем надежной изоляции отказов датчиков предположим, что в системе присутствуют только отказы датчиков, тогда уравнения рассматриваемой системы могут быть описаны так:

, (2.75)

где с_j R^{1 x n} - j-ая строка матрицы С, С ^j R^{(m-1) x n} - определяется удалением j - ой строки с_j из матрицы С_, y_j - j-ый компонент у и y^j R^m-1- определяется удалением j-го компонента y_j из вектора у_.

На основе этого описания, формирование рассогласования на основе наблюдателя при неизвестном входе может быть выполнено следующим образом:

(2.76)

где параметры матриц должны удовлетворять следующим уравнениям:

. (2.77)

Каждый генератор рассогласования приводится в действие всеми входами и всеми, за исключением одного выходами. При отсутствии отказов ИМ, когда отказ возникает в j-ом датчике рассогласование будет:

(2.78)

где T_s - пороговые значения рассогласований. Схема изоляции отказов датчиков изображена на рисунке 2.19.

Рис. 2.19. Схема надежной изоляции отказов датчиков

2.4.2.3. Схема надежной изоляции отказов исполнительных механизмов

Для проектирования схем надежной изоляции отказов датчиков предположим, что в системе присутствуют только отказы исполнительного механизма, тогда уравнения рассматриваемой системы могут быть описаны так:

, (2.79)

где b_i R ⁿ - i-ый столбец матрицы B, Bⁱ R^{n x (r-1)} - определяется удалением i - ой колонки b_j из матрицы B, u_j - i-ый компонент u и uⁱ R^r-1- определяется удалением i-го компонента u_i из вектора u,

.

На основе этого описания, формирование рассогласования на основе наблюдателя при неизвестном входе может быть выполнено следующим образом:

(2.80)

Параметры матриц должны удовлетворять следующим уравнениям:

. (2.81)

Каждый генератор рассогласования приводится в действие всеми выходами и всеми, за исключением одного входами. При отсутствии отказов датчиков, когда отказ возникает в i-ом исполнительном механизме рассогласование будет:

(2.82)

где T_a - пороговые значения рассогласований. Схема изоляции отказов датчиков изображена на рисунке 2.20.



Рис. 2.20. Схема изоляции отказов исполнительного механизма

2.5. Нейронные сети в диагностике отказов

Нейронная сети в диагностике могут использоваться как для выявления, так и для изоляции отказов нелинейных динамических процессов.

Нейронная сеть может использоваться как модель системы. После обучения сети, с ее помощью можно получить очень точную оценку выхода системы. В соответствии с концепцией формирования рассогласования, при использовании нейронной сети для оценки выхода системы, рассогласование может быть получено как взвешенная разность между реальным и оцененным выходами процесса. При превышении величины этого рассогласования установленного порогового значения можно сказать, что в системе произошел отказ. Такие рассогласования не являются независимыми от динамики системы.

Для выполнения изоляции отказов можно использовать вторую нейронную сеть, которая будет анализировать особенности рассогласований для различных отказов. Построенная на основе принципа анализа свойств или принципа классификации эта нейронная сеть может достоверно изолировать отказы.

Нейронные сети как классификаторы. После формирования рассогласования необходимо определить какой отказ произошел. Обычно принятие решения осуществляется с помощью пороговой логики. Основной задачей принятия решения является классификация рассогласований в различимые образцы, соответствующие различным ситуациям отказов. Следовательно, принимать решение можно на основе принципа распознавания образцов. Распознавание образцов так же включает в себя обработку входных данных.

Входные образцы называют измерениями или вектором особенностей (свойств). Функция, выполняемая системой распознавания образцов, состоит в отображении входного вектора особенностей в один из классов решений. В диагностике отказов, этими классами решений являются различные типы отказов, возникающих в системе. Основное преимущество нейронных сетей - их способность разбиения пространства образцов с целью классификации. Следовательно, нейронные сети могут быть использованы как классификаторы для разделения образцов рассогласований и формирования сигналов тревог. Таким образом, они могут выявлять и изолировать отказы.

3. Диагностика отказов системы регулирования уровня жидкости в баке

3.1. Постановка задачи

Реализацию описанного выше метода диагностики отказов, основанного на моделях будем выполнять применительно к системе регулирования процессом экстракции (рисунок 3.1).

Рис.3.1. Система регулирования

Рассматриваемая система состоит из регулятора, исполнительного механизма, объекта и датчиков.

В качестве объекта автоматизации рассматриваем процесс жидкостной экстракции, осуществляемый в смесителях-отстойниках. Смесители-отстойники представим упрощенно в виде двух соединенных между собой баков, изображенных на рисунке 3.2.

В бак 1 поступает жидкость (вода) с известным расходом Q₁. Уровень во втором баке необходимо регулировать в соответствии с заданием. Регулирование осуществляется за счет изменения вытекающего из второго бака потока Q₃. Поток Q_{3 -}изменяется задвижкой, управляемой электроприводом на базе асинхронного двигателя. Величина уровня h₂ измеряется датчиком.

Рис. 3.2. Система двух баков

Необходимо выполнить диагностику отказов элементов этой системы регулирования.

Следовательно, необходимо, на основе рассмотренного выше метода аналитической избыточности, спроектировать систему диагностики отказов, которая бы позволяла выявить и изолировать отказы датчиков, исполнительных механизмов и объекта управления.

3.2. Моделирование элементов системы и отказов

Для решения поставленной задачи в первую очередь необходимо создать модель системы, позволяющую имитировать поведение рассматриваемого процесса. Данная модель так же должна включать модели возможных отказов элементов системы регулирования.

3.2.1. Модель объекта управления

Рассматриваемая система баков (рисунок 3.2) может быть описана следующими уравнениями.

Уравнения материального баланса для баков 1 и 2 имеют вид:

, (3.1)

, (3.2)

где S₁ = S_{2 -}= S = 0.049 м² - площадь основания цилиндрических баков.

Расход через трубу, соединяющую баки, в соответствии с законом Торичелли определяется по формуле:

, (3.3)

где , - давление воды в 1 и 2 баках соответственно,

? = 9800 Н/м³ - удельный вес воды,

К₁ - коэффициент пропускной способности трубы, соединяющей баки равный K₁ = 0.05 м³/час.

Расход через вентиль:

, (3.4)

где К₂ - коэффициент пропускной способности вентиля. К₂ регулируется задвижкой и зависит от ее положения - х:

К₂(х) = 10•К_max• х . (3.5)

Максимальная пропускная способность вентиля принимается равной

К_max=0.1 м³/час.

По полученным уравнениям составим модель системы в переменных состояния:

, (3.6)

, (3.7)

В качестве переменных состояния будем рассматривать уровни жидкости в баках h₁ и h₂, входами будем считать расходы и положение задвижки x:

, . (3.8)

Таким образом, получим:

(3.9)

Данная модель является нелинейной.

3.2.2. Модель исполнительного механизма

В качестве исполнительного механизма рассматриваем трехфазный асинхронный двигатель, передаточная функция которого при частотном управлении имеет вид:

(3.10)

где К_им = 1 - коэффициент усиления , T = T_М - электромеханическая постоянная времени двигателя, определяемая следующим образом:

=0,0396 сек, (3.11)

где J=0.0081 кг • м² - момент инерции ротора,

?₀ = 2 • 3,14 • 50 = 314 рад/сек - синхронная частота,

S_М = 0.4371 - максимальное скольжение,

М_мах = 2,8025 Н • м - максимальный электромагнитный момент.

3.2.3. Моделирование датчиков

Для измерения уровня жидкости в баке 2 используется датчик уровня. По причине того, что при его моделировании не будем учитывать динамические свойства датчика, его модель может быть описана в качестве передаточной функции вида:

W_s2(s) = 1. (3.12)

Для измерения положения задвижки так же используем датчик. Он описывается так же передаточной функцией вида:

W_sх(s) = 1. (3.13)

В соответствии с техническим заданием, уровень жидкости в первом баке датчиком не измеряется. Однако, в дальнейших исследованиях необходима информация об этом сигнале. Поэтому, для восстановления этой не измеряемой величины будем использовать виртуальный датчик - наблюдатель состояния.

Спроектируем наблюдатель состояния для системы двух баков. Для этого воспользуемся описанием системы баков в переменных состояния (3.9). Для линейной динамической модели:

(3.14)

где , , для воссоздания переменных системы на основе измерений входов и выходов используется наблюдатель состояния:

. (3.15)

Система (3.9) является нелинейной, поэтому для оценки ее состояния можно построить нелинейный наблюдатель следующего вида:

. (3.16)

Для выбора коэффициентов обратной связи наблюдателя H необходимо выполнить линеаризацию в некоторой рабочей точке. Например, для точки

h₁-h₂ = 0.16357,м линеаризованная модель для (3.9) будет иметь следующий вид:

. (3.17)

Коэффициенты матрицы Н выберем исходя из условия обеспечения устойчивости наблюдателя и с учетом, того, что наблюдатель должен обладать более высоким быстродействием, чем система.

.

2.одель регулятора

3.2.5. Моделирование отказов

1. Отказ исполнительного механизма

Данный отказ будем моделировать как внезапное изменение коэффициента усиления исполнительного механизма в соответствии с уравнением:

К_ИМ = (1+?_ИМ)К_ИМ0, (3.20)

где ?_ИМ - величина отказа, изменяемая в пределах {-1…1}. ?_ИМ = 0 соответствует безотказному режиму работы.

2. Отказы датчиков

Данный тип отказов проявляется во внезапном возникновении отклонений показаний датчика от действительных значений, измеряемой величины. Моделирование осуществляется в соответствии с уравнением:

, (3.21)

где y_R - действительное значение измеряемой величины, y - значение величины, полученное датчиком, ?_S - величина отказа датчика.

Будем рассматривать следующие отказы датчиков: - датчик уровня, измеряющий h₂; - датчик положения задвижки.

Величины отказов датчиков определяются следующим образом:

?_S1 = {-1…1}, (3.22)

?_S3 = ?•t. (3.23)

3. Отказы объекта управления

Будем рассматривать следующие отказы объекта управления:

1) отверстие в баке 1

Отказ моделируется как дополнительный расход, за счет которого уменьшается уровень в баке 1 в соответствии с уравнениями:

, (3.24)

где K_fmax=0.5 м³/час - максимально возможный поток через отверстие.

Данный отказ может быть рассмотрен как внезапный и зарождающийся. В первом случае величина отказа _О1 измеряется в пределах {0…1}. _О1 = 0 соответствует безотказному режиму работы, _О1 = 1 - максимальной величине отверстия. Во втором случае величина отказа изменяется со скоростью ?_О1:

_О1 = ?_О1•t. (3.25)

2) отказ задвижки

Отказ моделируется как дополнительный поток через задвижку в соответствии с уравнением:

, (3.26)

где K_fmax=1 м³/час - максимально возможный поток задвижку, _ОУ2 = {0…1} - величина отказа.

Данный отказ так же может быть рассмотрен как внезапный и зарождающийся. При внезапном отказе величина _О2 измеряется в пределах {0…1}. _О2 = 0 соответствует безотказному режиму работы, _О2 = 1 соответствует максимальному потоку через задвижку в закрытом положении. При зарождающемся отказе:

_О2 = ?_О2•t. (3.27)

3.3. Проектирование системы диагностики отказов

3.3.1. Описание системы с отказами

Для решения поставленной задачи первоначально необходимо спроектировать формирователь рассогласования и блок оценки рассогласований.

Для этого все полученные модели рассмотрим в совокупности и получим общее описание системы с отказами.

Рис. 3.3. Система и воздействующие на нее отказы

На вход исполнительного механизма поступает известный сигнал от контроллера u(t). Сигнал u_R(t) - управляющее воздействие от исполнительного механизма, поступает на вход объекта управления. Выходной сигнал объекта управления y_R(t) непосредственно не доступен и измеряется с помощью датчиков.

Таким образом для целей диагностики известными принимаются входные и выходные векторы системы:

u(t) - известный вход исполнительного механизма;

y(t) - измеряемый датчиками выход системы.

С учетом рассмотренных моделей элементов системы (см. (3.9) - объект управления, (3.11) - исполнительный механизм, (3.12), (3.13), (3.14) - датчики) получим следующее математическое описание системы в переменных состояния:

(3.28)

где , - входной вектор системы - сигнал управления, поступающий с контроллера на вход исполнительного механизма,

- выходной вектор системы,

- возмущающее воздействие.

В качестве возмущающего воздействия рассматривается поток жидкости поступающий в первый бак:

d(t)= Q₁(t), м³/час. (3.29)

Вектор состояния системы описывается следующим образом:

, (3.30)

где h₂(t) - уровень во втором баке, м;

h₁(t) - уровень в первом баке, м;

х(t) - положение задвижки, м.

Как указывалось выше, в соответствии с выбранным методом формирования рассогласования необходимо использование линейной модели системы. Поэтому, выполним линеаризацию системы (3.26) в какой-либо рабочей точке.

Для разности уровней в баках h₁-h₂ = 0.16357,м с помощью программы Vissim 5.0, была получена следующая линейная модель:

(3.31)

где , , , .

Данная линейная модель, содержащая внешнее возмущение может быть использована при проектировании рассогласований на основе наблюдателей при неизвестном входе. При использовании наблюдателей состояния необходимо использовать описание системы в форме, не содержащей неизвестных составляющих. В этом случае будем полагать, что поток жидкости, поступающий в первый бак является известной величиной, входящей в вектор управления. Тогда линейная система будет иметь следующий вид:

(3.32)

где, , . Входной вектор системы содержит сигнал управления с контроллера - u_k(t) и поток Q₁(t):

. (3.33)

Когда в системе действуют все рассматриваемые отказы датчиков, компонентов и исполнительного механизма, ее модель (3.29) может быть представлена следующим образом:

(3.34)

где - вектор отказа датчиков, , - векторы отказов компонентов системы, описывающие утечку в баке и отказ задвижки соответственно, - вектор отказа исполнительного механизма.

Рассмотрим математическое описание векторов, введенных в систему отказов.

Отказы датчиков. В соответствии с уравнением (3.19) датчики подвержены мультипликативным отказам, при которых измерение становится , а i-ая составляющая вектора отказов может быть переписана так =.

Таким образом вектор отказов имеет вид:

, (3.35)

где величины отказов ?_si для датчиков определяются по формулам (3.20), (3.21):

?_s1={-1…1}, ?_s3= ?•t.

Отказы компонентов системы. В данном случае в качестве отказа компонентов системы рассматриваются протечка в баке 1 и отказ задвижки. В результате этих отказов нарушаются динамические отношения в системе: независимо от входного потока жидкости Q₁ и положения задвижки х в установившемся режиме происходит изменение уровней жидкости в баках. Вектора отказов компонентов системы в соответствии с формулами (3.22)-(2.25) могут быть представлены следующим образом:

; (3.36)

. (3.37)

Отказ исполнительного механизма. Отказ исполнительного механизма, моделируемый в соответствии с уравнением (3.10), связан с изменением параметров системы, и, следовательно, является мультипликативным. Данный отказ может быть описан следующим образом:

. (3.38)

Система со всеми отказами может быть описана с помощью общего вектора отказов f(t):

(3.39)

где вектор отказов и матрицы распределения отказов имеют следующий вид:

,

, .

Запишем данную систему с отказами с помощью передаточных функций:

, (3.40)

где

(3.41)

Получим численные значения данных передаточных матриц для рассматриваемой линеаризованной системы с отказами (4.96):

, (3.42)

где ;

;

;

;

;

.

, (3.43)

где ;

;

;

.

3.3.2. Моделирование отказов в Vissime

При моделировании в качестве имитатора реальной системы будем использовать ее нелинейную модель с дополнительно введенными в нее отказами датчиков, исполнительного механизма и объекта управления. Данная модель, созданная в Vissim 5.0 представлена в приложении В.

При моделировании устанавливаются следующие значения вектора входа и начальные значения состояния (3.26):

, .

Моделирование проводим на временном интервале соответствующем 4 часам.

Рассмотренные типы отказов вводятся в систему по отдельности в момент времени t=2 часа:

1. Отказ датчика уровня h₂ : y₁(t)=(1-0.2) •y_R1(t), t>2 часов.

2. Отказ датчика положения х: y₃(t)=[1+0.2•sin(10(t-2))]•y_R3(t), t>2 часов.

3. Утечка в баке 1:

, ,t>2 часов.

, ,t>2 часов.

4. Отказ задвижки:

, , t>2 часов.

, , t>2 часов.

5. Отказ исполнительного механизма: u_R1(t)=(1+0.2) •u₁(t), t>2 часов.

Результаты моделирования отказов представлены на рисунках (3.4) - (3.12).

Рис. 3.4. Сигнал y₁(t): 1- без отказа, 2 - при отказе датчика уровня h₂.

Рис. 3.5. Сигнал y₃(t): 1- без отказа, 2 - при отказе датчика положения х.



Рис. 3.6. Дополнительный поток Q_f1(t) - утечка в баке 1 (внезапный отказ)

Рис. 3.7. Дополнительный поток Q_f1(t) - утечка в баке 1 (зарождающийся отказ)

Рис. 3.8. Дополнительный поток Q_f2(t), обусловленный отказом задвижки (внезапный отказ)

Рис. 3.9. Дополнительный поток Q_f2(t), обусловленный отказом задвижки

Рис. 3.10. Сигнал u_R(t): 1 - без отказа, 2 - при отказе исполнительного механизма

3.3.3. Диагностика отказов с помощью наблюдателей состояния

Для решения задачи диагностики с помощью данных наблюдателей будем использовать описание системы с отказами в форме (3.39).

3.3.3.1. Выявление отказов

Для решения задачи выявления отказов выполним формирование рассогласования. Формирование рассогласования будем осуществлять с помощью наблюдателей состояния (см. пункт 2.3.8).

Структура формирователя рассогласования ( рисунок 2.11) математически описывается формулой (2.11):

.

Спроектируем формирователь рассогласования.

Чтобы определить структуру наблюдателя, рассмотрим исследуемую систему в форме (3.26) без отказов f(t)=0.

Для воссоздания переменных системы на основе измерений входов и выходов используется наблюдатель состояния, описываемый следующим образом:

(3.44)

где , , матрицы А,В,С равны матрицам системы (3.26).

При проектировании данного наблюдателя выберем параметры матрицы Н из условия обеспечения его устойчивости. Кроме того, при выборе Н учтем, что наблюдатель должен обладать большим быстродействием чем система, переменные состояния которой он восстанавливает. Выберем следующую матрицу Н:

.

В качестве рассогласования (пункт 2.3.8) можно использовать взвешенную величину ошибки оценки входа (We(t)). Пусть матрица весовых коэффициентов рассогласования равна W=I, тогда получим следующий формирователь рассогласования r(t):

(3.45)

где, , , , .

Определим требуемые передаточные функции H_u(s) и H_y(s).

Применим преобразование Лапласа к (3.56), полагая при этом, что x(s)|_s=0 = 0:

(3.46)

Подставив уравнение ошибки e(s) в уравнение состояния (3.58) получим:

. (3.47)

С учетом формулы (3.43) и того, что r(s)=We(s) получим:

. (3.48)

Передаточная матрица H_y(s) имеет следующий вид:

, (3.49)

где ;

;

;

;

;

;

;

;

.

Передаточная матрица H_u(s) может быть получена следующим образом:

, (3.50)

(3.51)

Проверим, выявляемы ли все рассматриваемые отказы.

Выявляемость отказов

Зная структуру формирователя рассогласования на основе наблюдателя состояния, проверим условие выявляемости отказов вектора f(t).

Реакция вектора рассогласования на возникающий отказ определяется по формуле (2.15). В данном случае:

. (3.52)

Для того, чтобы выявить i-ый отказ f_i в рассогласовании r(s), i-ая колонка передаточной матрицы должна быть не равна нулю ? 0.

Очевидно, что передаточная матрица не содержит нулевых колонок, поэтому каждый из рассматриваемых отказов датчиков, исполнительного механизма и объекта управления выявляем в рассогласовании r(t).

Кроме того, для всех отказов так же выполняется и строгое условие выявляемости:

? 0, i=1…4, (3.53)

так как не содержит нулевых столбцов.

Таким образом, для выявления всех рассматриваемых отказов достаточно построить формирователь рассогласования с рассмотренной выше структурой (3.57). При воздействии на систему (3.26) любого из отказов вектора f(t) рассогласование r(t)= e(t) будет иметь следующий вид:

, (3.54)

где ошибка оценки состояния изменяется в соответствии с формулой:

. (3.55)

Таким образом, ошибка оценки e(t) будет равна нулю только при отсутствии отказов.

Полученный формирователь рассогласования изображен на рисунке 3.11.

Выявление сигналов отказов выполним сравнением сигнала рассогласования с фиксированным порогом, устанавливаемым при отсутствии отказов:

, . (3.56)

Пороговые значения для рассогласования, представлены в таблице 3.1.

Таблица 3.1.

Пороговые значения выявления отказов

T1	T2	T3
2e-7	1e-8	1e-16

Рис. 3.11. Выявление отказов с помощью наблюдателя состояния

Моделирование

Моделирование выполняем для рассмотренных в 3.3.2 отказов. Начальные условия для формирователя рассогласования (3.57) установим равными:

.

Реакции рассогласования r(t) на соответствующие отказы изображена на рисунках (3.12) - (3.16).



Рис.3.12. Рассогласования при отказе датчика уровня h₂

Рис.3.13. Рассогласования при отказе датчика положения х

Рис.3.14. Рассогласования при утечке в баке 1

Рис. 3.15. Рассогласования при отказе задвижки

Рис.3.16. Рассогласования при отказе исполнительного механизма

Как видно из рисунков, рассогласования при отсутствии отказов близки к нулю, а при возникновении любого из отказов значительно увеличиваются. Таким образом, выполняется выявление отказов с помощью наблюдателя состояния. Из рисунков так же видно, что выявление отказов с помощью наблюдателей происходит практически без временной задержки, что является существенным преимуществом их использования.

3.3.4.2. Изоляция отказов

После выявления отказов необходимо выполнить их изоляцию.

Для выявления отказов достаточно одного рассогласования. В нашем случае это рассогласования было получено с помощью формирователя рассогласования на основе наблюдателя состояния. Однако, для изоляции отказов одного рассогласования не достаточно.

Как было описано ранее, с помощью наблюдателей можно выявлять возникающие в системе отказы датчиков и исполнительных механизмов. Сформируем группу рассогласований для изоляции отказов датчиков.

Изоляция отказов датчиков

При условии, что в системе присутствуют только отказы датчиков, выход системы может быть задан следующим образом:

Если нам необходимо выявить только отказы датчиков, то выход системы может быть задан так:

y(s) = G_u(s)u(s) + f_s(s), (3.57)

где G_u(s) определяется по (3. ), f_s(s) - s-преобразование вектора отказов датчиков:

. (3.58)

Необходимо спроектировать совокупность сигналов рассогласования, которая позволяла бы изолировать отказы каждого датчика. Для этого, в соответствии с пунктом 2.3.6 можно использовать различные схемы изоляции отказов. Рассмотрим возможность использования схемы наблюдателей Франка. В соответствии с этой схемой, в данном случае, необходимо спроектировать два сигнала рассогласований каждое из которых будет нечувствительно только к одному из отказов датчиков ( отказу датчика уровня h₂ или отказу датчика положения х).

Спроектируем сигнал рассогласования чувствительный к отказу первого датчика f_s¹(s) = [f_s1(s); f_s2(s)] и не чувствительный к отказу датчика положения f_s2(s). Перепишем уравнение (4.69) так:

, (3.59)

где y¹(s) = [y₁(s); y₂(s)], y²(s) = y₃(s), f_s²(s) = f_s3(s).

Тогда генератор рассогласования примет следующий вид:

r_s1(s) = [r_s11(s); r_s12(s)] = H_u¹(s) u(s)+ H_y¹(s)y¹(s). (3.60)

При подстановке y₁(s) в это уравнение получим:

r_s1(s) = [H_u¹(s) + H_y¹(s)G-_u(s)]u(s) + H_y¹(s)f_s¹(s). (3.61)

Рассогласование будет чувствительно только к отказу f_s¹(s), когда матрицы передаточной функции генератора рассогласования будут удовлетворять следующим условиям:

(3.62)

Для рассматриваемой системы (3.26) . При использовании наблюдателя состояния передаточная матрица(см. (3.60)):

связывающая рассогласование и 1 и 2 выходы системы в соответствии с (3.63) так:

, (3.64)

где С₁ - матрица С , из которой исключена 3 строка, Н₁ - соответствующий вектор обратной связи наблюдателя состояния. Следовательно, передаточная матрица H_u¹(s) будет иметь вид:

. (3.65)

При проектировании рассогласования таким образом может быть изолирован отказ первого датчика. Из этих формул видно, что для этого необходимо спроектировать наблюдатель состояния, запускаемый всеми входами системы и всеми, за исключением одного у₃(t) выходами. Формирователь рассогласования, построенный на основе такого наблюдателя будет иметь вид:

(3.66)

После расчета коэффициентов обратной связи наблюдателя Н₁ из условия обеспечения его устойчивости получим следующий формирователь рассогласования:

, (3.67)

Аналогичным образом определяется формирователь рассогласования позволяющий изолировать отказ датчика положения:

, (3.68)

Таким образом, с помощью полученной совокупности рассогласований {r_s1(t), r_s3(t)} выполняется изоляция отказов датчиков: каждое рассогласование не чувствительно только к соответствующему отказу датчика т.е. оно близко к нулю при соответствующем отказе, и больше некоторого порогового значения при отказе другого датчика.

Следует отметить, что в данном случае формируются вектора рассогласования r_s1(t)=[ r_s11(t); r_s12(t)] и r_s3(t)=[ r_s31(t); r_s32(t)]. Для выполнения выявления отказов достаточно использовать по одному из элементов данных векторов. Выберем в качестве рассогласований:

r_s1(t)_-=r_s12(t)=y₂(t)-. (3.69)

r_s3(t)_-=r_s31(t)=y₁(t)-. (3.70)

Пороговые значения для рассогласований представлены в таблице 3.2. Схема изоляции отказов датчиков представлена на рисунке 3.17. Сигнатуры рассогласований при различных отказах датчиков приведены в таблице 3.3, реакции рассогласований на отказы датчиков изображены на рисунках 3.18, 3.19.

Таблица 3.2.

Пороговые значения рассогласований

Ts1	Ts3
3e-8	1.1e-8

Таблица 3.3.

Сигнатуры рассогласований

Отказ	rs1	rs3
fs1 - датчик уровня h2	0	1
fs3 - датчик положения задвижки	1	0

Значение «1» в таблице 3.3 означает превышение рассогласованием соответствующего порогового значения.

Рис. 3.17. Схема изоляции отказов датчиков

Рис. 3.18. Рассогласования при отказе датчика уровня h₂

Рис. 3.19. Рассогласования при отказе датчика положения

Изоляция отказа исполнительного механизма

Для изоляции отказа исполнительного механизма будем использовать дополнительный наблюдатель состояния (рисунок 3.20). Спроектируем формирователь рассогласования. Представим описание модели исполнительного механизма (2.10) в переменных состояния:

(3.71)

Наблюдатель состояния в этом случае будет иметь вид:

(3.72)

а формирование рассогласования будет осуществляться следующим образом:

(3.73)

Сигнал о положении задвижки получаем с помощью датчика положения, вероятность возникновения отказа f_s3 в котором так же необходимо учитывать. Таким образом, в соответствии с формулами (2.41), (2.42), (2.44) рассогласование r_a(t) будет реагировать на эти два отказа:

. (3.74)

Рис. 3.20. Изоляция отказа исполнительного механизма

Пороговое значение для сигнала рассогласования T_a = 6e-17. При отказе исполнительного механизма или датчика положения это рассогласование будет превышать пороговое значение, сигнализируя об отказе. (см. рисунки 3.21, 3.22).

Рис. 3.21. Рассогласование r_a(t) при отказе исполнительного механизма

Рис. 3.22. Рассогласование r_a(t) при отказе датчика положения

Изоляция отказов элементов системы

Таким образом, с помощью наблюдателей состояния мы получили шесть сигналов рассогласования: r₁, r₂, r₃ - формирователь (3.67), r_s1, r_s2 - формирователи (3.78) и (3.79), r_a - формирователь (3.83). Для построения системы диагностики, позволяющий изолировать все рассматриваемые отказы, необходимо рассматривать все эти рассогласования совместно. Как видно из рисунков (3.12)-(3.16) рассогласования r₁, r₂, r₃ реагируют на все возможные отказы в системе, r_s1, r_s3 так же будут чувствительны ко всем отказам, а r_а сформировано таким образом, чтобы реагировать только на отказ исполнительного механизма и датчика положения.

Реакции этих рассогласований на все рассматриваемые отказы представлены в таблице 3.4. В таблице значение «0» соответствует отсутствию реакции рассогласования на отказ, «1» - рассогласование чувствительно к отказу.